江西吉安市永丰县第三中学、吉安长田学校2025-2026学年高二上学期第一次联考数学试卷

高二第一次月考数学试卷答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B A C D D A AD CD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】由题意，直线，又倾斜角，故直线的倾斜角.故选：C 2．A 【分析】分别求出直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可求出. 【详解】因，，，则斜率，， 如图所示，直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点，从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷，所以此时； 从转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大， 所以此时，综上可得直线的斜率的取值范围为.故选：A. 3．B 【分析】由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，∴m＝3或m＝－2，故m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件． 【详解】由于l1⊥l2，可得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，∴解得m＝3或m＝－2，所以m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件，故选：B. 4．A 【解析】设出点的坐标和中点，用表示出坐标，将坐标代入对应直线方程即可得到的表达式， 联立得到表达式代入求解即可. 【详解】设，，则 ， 的中点为， ， 分别在直线和， ，， ，即.，即 ， 又，，即 ，所以，即 ， 解得.故选：A. 【点睛】平面解析几何问题中的设而不求方法注意事项： （1）凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”； （2）“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多. 5．C 【分析】将方程化为，令，即可求解. 【详解】因为，令，解得，， 所以直线都经过平面内一个定点． 6．D 【分析】设直线，根据已知有，再应用基本不等式求得，即可得面积最小值，确定等号成立条件即可得. 【详解】设直线，其中，因为直线过点，所以， 而，解得，当且仅当，即时等号成立， 故，此时直线的纵截距为14. 7．D 【分析】将直线化成斜截式，结合，且异号，可得，由异号即可得答案. 【详解】由题意可知，且异号，将直线化斜截式，为，直线的斜率，又因为直线不过第二象限，所以，即，又因为异号，所以. 8．A 【分析】先求出直线约束 ；对配方，消去，转化为关于的二次函数；利用二次函数求出最大值，代回算出最大值. 【详解】过的直线的斜率是 直线方程是，整理得 点在直线上，故 ，又 ， 所以，，所以, 因为, 所以, 由，得 ，因此 , 令 ，则 ，这是开口向上的二次函数，且在上单调递增， 因此只需求的最大值， 二次函数 ，开口向下，对称轴 ，最大值，即 ，，所以=. 9．AD 【分析】由直线方程的意义判断A，直线方程的截距式判断B，由直线与的交点及距离的定义判断C，分类讨论确定过两点的直线方程判断D． 【详解】根据点斜式方程的含义知表示为过点且斜率为的直线方程，A正确； 在轴，轴上的截距分别为，，只有时，直线方程为，B错误； 直线与轴的交点坐标是，交点到原点的距离为，C错误； 无论直线斜率是否存在(垂直于轴时，，式子简化为；平行于轴时，，式子简化为)，都能表示过， 的直线，D正确.故选：AD. 10．CD 【分析】根据直线在坐标轴上的截距是否为零进行分类讨论，结合截距互为相反数求得正确答案. 【详解】若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为，又直线过点，所以，即，所以直线方程为，即； 若直线在坐标轴上的截距不为0，设直线方程为，又直线过点， 所以，解得，所以直线方程为，即． 综上可知，所求直线方程为或． 11．ABD 【分析】首先求出点A，B的坐标，可判断选项A的正误；判断两条直线的位置关系可判断选项B的正误；根据基本不等式链可判断选项C，D的正误. 【详解】由，得． 因为，所以，得． 由，得． 因为，所以，得． 所以，A正确． 由直线：和直线：，知． 所以．所以．所以，为定值，B正确． ，当且仅当时，等号成立，C错误． 因为，所以，即的最大值为，当且仅当时，等号成立，D正确．故选：ABD． 12． 【分析】根据直线的一般式方程与斜率公式求解. 【详解】因为直线的斜率为1，所以解得， 故答案为:3. 13． ； ． 【分析】（1）设，求出线段的中点坐标，根据题意列方程组求出a、b，求得直线的方程； （2）根据题意利用基本不等式求出面积的最小值时对应的点A、B的坐标，即可求出直线的方程； 【详解】（1）设，则线段的中点为； 所以，且， 分别化为：, 解得； 所以直线的方程为：，整理得； （2）设，，而， 又P在直线上，，即， ，当且仅当时等号成立， 此时直线的方程为，即． 14．或 【详解】由题可知，直线过点，所以直线在x轴上的截距为， 又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或， 则所求直线方程为或. 15．边所在直线方程为，边所在直线方程为， 边所在直线方程为，边所在直线方程为 【分析】根据截距式、两点式求得四边形四条边所在的直线方程． 【详解】如图，由截距式，得边所在直线方程为，即， 边所在直线方程为，即， 由两点式，得边所在直线方程为，即， 边所在直线方程为，即． 16．(1);(2);(3) 【分析】（1）由直线的点斜式方程可求解； （2）与轴垂直可得斜率为0，利用斜截式可得答案； （3）由直线的斜截式方程求解. 【详解】（1）由点斜式，得， 化成一般式，． （2）直线方程为，即． （3）由斜截式，得， 化成一般式为. 17．(1)或;(2)或． 【分析】（1）利用同角三角函数关系求得倾斜角的正切值，得到斜率，然后利用直线方程的斜截式得到； （2）分截距为0和不为0两种情况利用截距式求解. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，则，则，直线的斜率． 又直线在轴上的截距是，由斜截式得直线方程为，即或． （2）设直线在，轴上的截距均为，若，即过点和． 则的方程为，即． 若，设的方程为．过点，．，的方程为． 综上可知，直线的方程为或． 18．(1)；(2)； (3)①对角线（为第四个顶点）所在直线方程为.的方程为. ②对角线（为第四个顶点）所在直线方程为.的方程为. ③对角线（为第四个顶点）所在直线方程为.的方程为. 【分析】（1）根据重心坐标与三角形顶点坐标的关系计算即可. （2）根据斜率公式计算即可. （3）以为顶点可构成三个不同的平行四边形，求这三个平行四边形的所有对角线所在的直线方程. 【详解】（1）因为的三个顶点分别为，是的重心 所以重心坐标为，即. （2）因为的三个顶点分别为， 所以. 所以. （3）以为顶点的平行四边形有三种情况，对应三组对角线： ①对角线（为第四个顶点） 因为，所以所在直线方程为，即. 的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. ②对角线（为第四个顶点） 因为，所以所在直线方程为，即. 的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. ③对角线（为第四个顶点） 因为，所以所在直线方程为，即. 的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即. 19．(1)证明:直线：，即， 由，得，所以直线必过定点，此定点坐标为. (2)或；(3). 【分析】（1）求出直线所过定点即可. （2）求出直线的横纵截距，再列式求解. （3）求出直线的斜率及纵截距，结合题意列式求解. 【详解】（1）证明略，. （2）依题意，，在直线：中，令，得；令，得， 由直线在两坐标轴上的截距相等，得，解得或，所以或. （3）直线：的斜率为，纵截距为， 由直线不经过平面直角坐标系的第二象限，得，解得， 所以的取值范围是. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安市永丰县三中、吉安长田学校2025-2026学年上学期 高二第一次联考数学试卷 一、单选题：每小题5分，共40分. 1．已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．135° D．150° 2．已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的(　 ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知点在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为 A． B． C． D． 5．对任意实数，直线一定经过点（ ） A． B． C． D． 6．已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 7．已知直线不经过第二象限，且，则（   ） A． B． C． D． 8．若，，且点在过点、，的直线上，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题：每小题6分，共18分；每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．表示过点且斜率为的直线方程 B．在轴，轴上的截距分别为的直线方程为 C．直线与轴的交点到原点的距离为 D．过点的直线方程为 10．过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 11．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（    ） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 三、填空题：每小题5分，共15分. 12．若直线：的斜率为1，则实数_____ 13．在平面直角坐标系中，已知射线：，：，过点作直线分别交射线，于点A，B. （1）当的中点在直线上时，直线的方程为______． （2）当的面积取得最小值时，直线的方程为______． 14．过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 四、解答题:共77分;第15题为13分,第16、17题分别为15分,第18、19题分别为17分. 15．已知四边形的顶点分别为，，，，试求这个四边形四条边所在的直线方程． 16．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7. 17．求适合下列条件的直线的方程： (1)在轴上的截距为，倾斜角的正弦值是； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等； 18．已知的三个顶点分别为，是的重心． (1)试求点的坐标； (2)试求的值； (3)试求以为顶点构成的平行四边形的两条对角线所在的直线方程． 19．已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $