精品解析：湖南长沙市部分校2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

2026年秋季第一次学情分析 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算．根据合并同类项，单项式乘单项式，完全平方公式，积的乘方公式，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 2. 在下列函数中表示y关于x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考査了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式是，根据定义作答即可． 【详解】解：A．，不是y关于x的反比例函数，故此选项不符合题意； B．是关于的反比例函数，故此选项符合题意； C．是关于的正比例函数，故此选项不符合题意； D．不是y关于x的反比例函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 如图，，点在直线上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与垂直的定义，解题的关键是利用垂直的定义和平行线的性质逐步计算角度．先由垂直的定义得，再结合的度数求出的度数；接着利用平行线的性质得到与相等；最后根据邻补角的性质求出的度数． 【详解】解：如图， ， ． 故选：B． 4. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程的解求参数：熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，把代入一元二次方程得到，然后解关于m的一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得：． 故选：C． 5. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，根据方差公式及数据特征，逐一分析选项的正误． 【详解】解：选项A、算式中平方差项数为5，对应数据个数，正确． 选项B、平均数，正确． 选项C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误． 选项D、加入两个7后，数据更集中，方差由减小为，正确． 综上，错误的说法是C． 故选C 6. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象分布在第二、四象限 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象经过点 D. 若点都在图象上．且，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数，当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴图象分布在第二、四象限，当时，y随x的增大而增大，故A，B选项正确，不符合题意； 当时，， ∴图象经过点，故C选项正确，不符合题意； 当点在第二象限，第四象限内时， ∵， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 7. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定第一个月到第三个月的增长次数为，结合月平均增长率列方程． 【详解】解：∵第一个月新建个充电桩，月平均增长率为， ∴第二个月新建充电桩个数为， ∴第三个月新建充电桩个数为， ∵第三个月新建个充电桩， ∴可列方程为． 8. 若，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两方面分类讨论得出答案． 【详解】∵，∴分两种情况： （1）当时，正比例函数数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； （2）当时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，解题的关键是掌握它们的性质． 9. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图像的开口向上 B. 其图像的对称轴为直线 C. 其最小值为5 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键．根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：∵，， ∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意； 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 当时y取得最大值，故选项C不符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意； 故选：D． 10. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接，有下列结论：①与的面积相等；②；③；④；⑤的面积等于，其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】（1）求出，同理，可判断⑤①；分别过点C，D作，垂足分别为G，H，则，根据，可得，可得四边形为平行四边形，可判断②；证明四边形和是平行四边形，可判断④． 【详解】解：∵轴， ∴， 同理，故⑤正确； ∴，故①正确； 如图，分别过点C，D作，垂足分别为G，H，则， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形， ∴，故②正确； ③根据题意无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误； 根据题意可得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理四边形是平行四边形， ∴， ∴，故④正确； 因此正确的结论有4个：①②④⑤． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 把多项式分解因式的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解：=． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了公式法因式分解，正确应用公式是解题关键． 12. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 13 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若两个实数根为，则满足，.利用该关系得到与的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】∵m，n是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得：，， ∴． 13. 如图，已知，点D在上，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数是 _______度． 【答案】65 【解析】 【分析】根据题意可得，再根据等腰三角形两个底角相等和三角形内角和为180°进行计算即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：65． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 14. 某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有__________人． 【答案】 【解析】 【分析】设小组人数为，每个人给除自身外的成员送贺卡，总贺卡数等于人数乘以每人送出的贺卡数，列一元二次方程求解后舍去不合题意的负解即可． 【详解】解：设这个数学小组共有人， ∵每个人需要给组内除自己以外的人送贺卡， ∴总贺卡数可表示为， 据此列方程，得 ， 整理，得 ， 解得，． ∵人数不能为负数， ∴舍去， 即这个数学小组共有人． 15. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 16. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，对称轴为直线．则方程的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．利用抛物线的对称性可以求得抛物线与轴的另一个交点坐标，再利用二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为：， ∵抛物线与轴的交点关于对称轴对称，其中一个交点为， ∴另一个与轴的交点为， ∴方程的两个根为． 故答案为： 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可． 【详解】解：原式 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简结果为，值为 【解析】 【详解】解： ， 当，时，原式． 19. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解： ∴， 即 ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， ， ∴或， 20. 如图，在中，点，分别是，的中点，过点作，垂足为，点在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求矩形的面积． 【答案】（1） 证明：，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后可得四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定定理可进行求证； （2）由（1）可得，，设，则，然后根据勾股定理可得x的值，进而可得，最后问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，，即， 解得：， ，是的中位线， ， ， ． 21. 如图，平面直角坐标系中，反比例函数（是常数，且）与一次函数（，是常数，且）的图象相交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）直接写出当时的取值范围； （3）在轴上是否存在一点，使得最小，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的综合应用. （1）把点代入求出，进而求出，把点，代入，即可求出； （2）直接根据函数图像作答即可； （3）求出直线与y轴的交点C的坐标为，点关于x轴的对称点D的坐标为，求出直线的解析式为：，求出直线与x轴的交点P的坐标即可. 【小问1详解】 把点代入，得： ∴反比例函数的解析式为. 把点代入，得： ∴ 把点，代入，得 ，解得:. ∴一次函数的解析式为. 【小问2详解】 ∵， 由图可知，当时，或. 【小问3详解】 存在. 直线与y轴的交点C的坐标为，点关于x轴的对称点D的坐标为，直线与x轴的交点就是所求点P. 设直线的解析式为：. 把，代入，得： ，解得：. ∴直线的解析式为：. ∴直线与x轴的交点P的坐标为. 22. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）在直线的下方的抛物线上，是否存在点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标是时，有最大面积，最大面积是． 【解析】 【分析】（1）根据直线的解析式求出点、的坐标，再根据抛物线的对称性求出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）根据抛物线的对称轴是，可以求出抛物线的最小值为，最大值为，即可得到的取值范围； （3）过点作直线轴，交直线于点，设点的坐标是，即可得到点的坐标为，根据三角形的面积公式可得：，根据二次函数的性质可知当点的坐标是时，有最大面积，最大面积是． 【小问1详解】 解：当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， 设点的坐标是， 抛物线的对称轴为直线， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 当时，可得：， 点的坐标是， 把点、、的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线有最小值，最小值为， 当时，， 当时，， 当时，； 【小问3详解】 解：设点的坐标是， 如下图所示，过点作直线轴，交直线于点， 则点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 整理可得：， 当时有最大面积，最大面积是， 此时，即点的坐标是． 23. 中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团 圆和完 美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的倍，用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个． （1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？ （2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以元销售时，那么半个月可以售出个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高元，销量会相应减少个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）普通豆沙饼的单价是元，蛋黄豆沙饼的单价是元 （2）当售价定为元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用， （1）设普通豆沙饼的单价是元，则蛋黄豆沙饼的单价是元，根据“用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个”列出分式方程求解即可； （2）设售价定为元，利润为元，根据题意列出关于的二次函数，结合二次函数的性质求解即可； 解题的关键：（1）正确理解题意，列出方程；（2）正确列出函数关系式． 【小问1详解】 解：设普通豆沙饼的单价是元，则蛋黄豆沙饼的单价是元， 依题意，得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解且符合题意， ∴（元）， 答：普通豆沙饼的单价是元，蛋黄豆沙饼的单价是元； 【小问2详解】 设售价定为元，利润为元， 依题意，得：， ∵ ∴二次函数的图像开口向下，函数有最大值， ∴当时，有最大值，最大值为元， 答：当售价定为元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是元． 24. 在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“郡值”．函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值”．例如：点在函数图象上，点的“郡值”为，函数图象上所有点的“郡值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数在时的“最优郡值”为． 根据定义，解答下列问题： （1）①点的“郡值”为__________； ②函数的“最优郡值”为__________； （2）线段的“最优郡值”为，求的值； （3）若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优郡值”为，求的值． 【答案】（1）； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“郡值”的定义，点的“郡值”即为纵坐标与横坐标的差，代入计算即可；函数的“郡值”表达为，所以根据在时随的增大而减小，即可判断当时，取得最大值，故“最优郡值”为； （2）函数的“郡值”表达式为，“最优郡值”为，即的最大值为，那么需要分情况讨论的符号，根据的增减性代入对应区间的端点值计算出最大值，从而解得的值； （3）将二次函数图象的顶点代入直线，得到，然后代回二次函数解析式得，从而求出二次函数“郡值”的表达式为，由于在上的最大值为，因此需要分三种情况讨论对称轴的位置，分别是，和，根据“郡值”表达式的增减性代入对应区间端点计算最大值，从而解得的值． 【小问1详解】 解：①点的“郡值”为； ②， ， 在时随的增大而减小， 时，的最大值为， 函数的“最优郡值”为． 【小问2详解】 解：线段， ， 的“最优郡值”为， 需要分和两种情况讨论， 当，即时，随增大而减小， 要取得最大值，则，解得，经检验符合； 当，即时，随增大而增大， 要取得最大值，则，解得，经检验符合， 综上所述，或． 【小问3详解】 解：二次函数图象的顶点在直线上， ， ， 二次函数“郡值”表达式为， 二次函数的“最优郡值”为，即在上的最大值为， 需要分三种情况讨论对称轴的位置． 当对称轴时，即时，在区间上随增大而减小， 当时，取得最大值，代入得，解得或（舍去）； 当对称轴时，在区间上的最大值即为顶点纵坐标，代入得，， 该情况与题意不符； 当对称轴时，在区间上随增大而增大， 当时，取得最大值，代入得，解得（舍去）或． 综上所述，或． 25. 如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； （3）如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2） （3）符合条件的点有三个，坐标为：，， 【解析】 【分析】（1）先推导出，再根据待定系数法进行求解即可； （2）先求出，即，根据三角形的内角和求出，推导出，得到，可推导出是等腰直角三角形，求出，继而求出直线解析式是，联立直线与抛物线，求出点D的横坐标，再求出，即可解答； （3）分类讨论：当为对角线和菱形边时，利用直线与x轴成角关系建立关于P的横坐标的方程，进而求出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时， ， 解得， ∴，即， ∵，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 设直线解析式是，把，分别代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是， 联立直线与抛物线：，得 ， 解得（点B，舍去），， 将代入，得 ， ∴； 【小问3详解】 解：设直线解析式是， 把，代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是． ①当为菱形的对角线时，如图2， 设，则， ∴， ，四边形是菱形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，即轴， ∴， ， 解得（不合题意舍去）或， 此时， ． ②当为菱形的边时，如图， 作于点H， 设，则， ∴，， ， ∴． ∴ 解得：，，（不合题意舍去）． 或． ∴，， 如图所示， 综上所述，符合条件的点有三个，坐标为：，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季第一次学情分析 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列函数中表示y关于x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，点在直线上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 6. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象分布在第二、四象限 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象经过点 D. 若点都在图象上．且，则 7. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图像的开口向上 B. 其图像的对称轴为直线 C. 其最小值为5 D. 当时，y随x的增大而增大 10. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接，有下列结论：①与的面积相等；②；③；④；⑤的面积等于，其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 把多项式分解因式的结果是_____． 12. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 13. 如图，已知，点D在上，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数是 _______度． 14. 某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有__________人． 15. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_____． 16. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，对称轴为直线．则方程的解是___________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 20. 如图，在中，点，分别是，的中点，过点作，垂足为，点在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求矩形的面积． 21. 如图，平面直角坐标系中，反比例函数（是常数，且）与一次函数（，是常数，且）的图象相交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）直接写出当时的取值范围； （3）在轴上是否存在一点，使得最小，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 22. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）在直线的下方的抛物线上，是否存在点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 23. 中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团 圆和完 美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的倍，用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个． （1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？ （2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以元销售时，那么半个月可以售出个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高元，销量会相应减少个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 24. 在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“郡值”．函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值”．例如：点在函数图象上，点的“郡值”为，函数图象上所有点的“郡值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数在时的“最优郡值”为． 根据定义，解答下列问题： （1）①点的“郡值”为__________； ②函数的“最优郡值”为__________； （2）线段的“最优郡值”为，求的值； （3）若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优郡值”为，求的值． 25. 如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； （3）如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $