15章 《对角互补与半角模型》讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第四讲 对角互补模型 模块一：对角互补模型 知识梳理 1.对角互补模型 条件：在四边形ABCD中，①AD=CD;②∠ADC+∠ABC=180°： 9B网C 辅助线：法一，DE⊥BC于点E,DF⊥BA交BA的延长线于点F, 法二，延长BC至点E使CE=AB,连接DE; 结论：对角线BD平分∠ABC. 2.常见类型 (1)类型一：含90的对角互补模型 如图，∠AOB=∠DCE=90,CD=CE,则有以下结论： ①0C平分∠40B:②S.ocn+S,cs=)0C 作法1 作法2 (2)类型二：含120的对角互补模型 如图，∠AOB=2∠DCE=120°，CD=CE,则有以下结论： Doc平分∠40B:②0D+OE=0C:③Sn+5ai- 0C2 4 C E 作法1 作法2 ☒例题精讲 【引例】(I)如图，在四边形ABCD中，AD=CD,∠ABC=∠ADC=9O°.求证： ∠DBC=45° (2)若1)中条件改为∠ABC=120°，∠ADC=60°，上述结论是否变化？ D A B G 3 【例1】半角模型 (I)如左图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD,若四边形ABCD的面积为 24cm AC ,则长为_cm. A B (2)如右图，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180,AB=AD,AE⊥BC于点E.若 AE=17,BC=8,CD=6,则四边形ABCD的面积为 BE C 4 【例2】等腰直角三角形应用 如图1，已知Rt△ABC中，AB=BC,AC=2,把一块含30角的三角板DEF的直角顶点D 放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),点C在DE上，点B 在DF上. (1)求重叠部分△BCD的面积： (2)如图2，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30°，DE交BC于点M,DF交 AB于点N ①请说明DM=DN; ②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若不发生变化，请求出重叠部分的面积，若发 生变化，请说明理由. F B B N E M C D D 图1 图2 模块二：半角模型 国 知识梳理 1.半角模型 条件：①等腰A4BC, ②∠DAE=)∠BAC 2 辅助线：过点A作线段AD'使∠CAD'=∠BAD,AD=AD',连接ED'、CD', 结论：①△ABD≌△AB'D',②△ADE≌△AD'E',③BD、DE、EC满足三边关系. C(B) 2.常见类型 模型示例 条件：①四边形ABCD为正方形，②∠EAF=45, 辅助线：过点A作线段AG使∠BAG=∠FAD,AG=AF,，连接BG, 结论：①△ADF≌△ABG,②G、B、E三点共线，③△AEF≌△AEG,④EF=DF+BE: 模型示例二 条作：①AB=AD,②∠C+∠ADC-10,@∠EF-号BAD, 辅助线：过点A作线段AG使∠BAG=∠FAD,AG=AF,连接BG, 结论：①△ADF≌aABG,②G、B、E三点共线，③△AEF≌△AEG,④EF=DF+BE. 6 ☒例题精讲 【引例】如图，点E、F分别是边长为l的正方形ABCD的边BC、CD上的点，△CEF的 周长是2，AH⊥EF于点H,①求∠EAF的度数：②求证：AH=CD D 父 ⊙ E C 【例3】广义半角模型 (I)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的 点，且∠EAF=∠BMD,求证：EF=BE+FD: ☑ (2)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的 点，且∠B4P=B1D,()冲的结论是否仍然成立？ B (3)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延 长线上的点，且∠EAF=∠BD,)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立 2 请写出它们之间的数量关系，并证明. D B C 8 【例4】半角模型与运动问题结合 如图，正方形O1BC的边O1、OC在坐标轴上，点B的坐标为 -4,4) 4,点P从点4出发， 0 以每秒1个单位长度的速度沿轴向点运动：点”从点◇同时出发，以相同的速度沿 轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点也停止运动.连接BP,过P点作BP的垂线， 0 0 点D,BD与'轴交于点E,连接PE. E 与过点平行于“轴的直线相交于点， .设点运动的 t(s) 时间为 (1)写出∠PBD的度数和点D的坐标（点D的坐标用t表示）： (2)探索△POE周长是否随时间t的变化而变化，若变化，说明理由；若不变试求这个定值， 19 巅峰突破 【突破】在正方形ABCD内部，∠EAF=∠ECF=45°，求证：BE∥DF. D E 10 课后自测 【练习1】如图所示，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形， 以D为顶点作一个60°的∠MDN,点M、N分别在AB、AC上，求△AMN的周长. M D 【练习2】如图，等腰RABC中，∠B=90°，AB=a,0为AC中点，E0⊥OF.求证： BE+BF为定值. A B F 答案版 模块一：对角互补模型 知识梳理 1.对角互补模型 条件：在四边形ABCD中，①AD=CD:②∠ADC+∠ABC=180°： 辅助线：法一，DE⊥BC于点E,DF⊥BA交BA的延长线于点F, 法二，延长BC至点E使CE=AB,连接DE; 结论：对角线BD平分∠ABC. B 2.常见类型 (1)类型一：含90的对角互补模型 如图，∠AOB=∠DCE=90°，CD=CE,则有以下结论： ①Oc平分∠40B:②Sam+SaE-0C 12 作法1 作法2 (2)类型二：含120的对角互补模型 如图，∠AOB=2∠DCE=120,CD=CE,则有以下结论： 00c平分∠i08:②0n+OE-0c:⑧Sam+S-5。 0c 作法1 作法2 ×例题精讲 【引例】(I)如图，在四边形ABCD中，AD=CD,∠ABC=∠ADC=90°.求证： ∠DBC=45° (2)若1)中条件改为∠ABC=120°，∠ADC=60°，上述结论是否变化？ D B 【答案】(I)延长BC至点E使CE=AB,连接DE, D 4 B .∠ADC=∠ABC=90°， 3 .∠BAD+∠C=180, .∠A=∠DCE 又，AD=CD,CE=AB, △D1B2ADCE(SMS) ∴.BD=DE,∠ADB=∠CDE」 又：∠ADC=90°，即∠ADB+∠BDC=90°， ,∠CDE+∠BDC=90°，即∠BDE=90°， ∴.△BDE为等腰直角三角形， .∠DBC=45° (2)结论变为∠DBC=60°，证明如下： 延长BC至点E使CE=AB,连接DE, :∠ABC=120°，∠ADC=60°， ,∠BAD+∠C=180, .∠A=∠DCE, 又AD=CD,CE=AB, △DAB≌ADCE(SAS) .BD=DE,∠ADB=∠CDE, 又，∠ADC=60°，即∠ADB+∠BDC=60°， .∠CDE+∠BDC=60°，即∠BDE=60°， ∴.△BDE为等边三角形， ∴.∠DBC=60° 【例1】半角模型 (I)如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90,AB=AD,若四边形ABCD的面积为 24cm2 ,则长为 cm 14 B (2)如图，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180,AB=AD,AE⊥BC于点E.若 AE=17,BC=8,CD=6,则四边形ABCD的面积为 BE 【答案】解：(I)过点A作AE⊥AC,交CB延长线于点， D ⊙ ,∠BAD=90°，∠EAC=90, .∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC,.∠EAB=∠DAC, .∠BAD=∠BCD=90°，.∠ABC+∠D=180, 又∠ABC+∠ABE=180,.∠ABE=∠D, '∠EAB=∠DAC AB=AD 和 △ABE"△ADC 中， ∠ABE=∠D 5 △ABE≌△ADC(ASA) S.ABE S.ADC AE=AC Sn=5c。ABC是等腰直角三角形，及x方4CA征=方4C, 四边形ABCD=24 1 24C=24,4C=48,4C=45(边长取正数)； (2)过点A作AF⊥CD,交CD的延长线于点F, A BE C ,AE⊥BC,AF⊥CF, .∠AEB=∠AFD=90°， :∠ABC+∠ADC=180,∠ADC+∠ADF=180, ∠ABC=∠ADF, 「∠AEB=∠AFD ∠ABC=∠ADF △ABE 0r克， 和 AB=AD △ABE≌△ADF(AAS) .AE=AF=17, Sa8m=5+5m-8c4E+CDAr=×8x17+x6x17=17x8+6=19, 2 16 【例2】等腰直角三角形应用 如图1，已知Rt△ABC中，AB=BC,AC=2,把一块含30角的三角板DEF的直角顶点D 放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),点C在DE上，点B 在DF上 (I)求重叠部分△BCD的面积： (2)如图2，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30°，DE交BC于点M,DF交 AB于点N ①请说明DM=DN; ②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若不发生变化，请求出重叠部分的面积，若发 生变化，请说明理由. F B B E M E C D D 图1 图2 【答案】(I):AB=BC,AC=2. CD-54c=1,5w .CD-BD= 1 2 · (2)连接BD, 证明：D是AC的中点，∠CBA=90°， .CD=AD=BD,BD⊥AC ,∠CDM+∠MDB=90,∠BDN+∠MDB=90°， .∠CDM=∠BDN, g ∠DCM=∠DBN=45 CD=BD 在 和 中， ACMD BND ∠CDM=∠BDN .aCDM≌△BDN(ASA), .DM DN, S四边形BwDN=S.BDM+S,BND ②证明： 又，aCDM2aBDN. S.BND=S.CMD S四边形BMDN=S.BDM+S.CMD =S.BCDS.ABC 2x2*2x1= 11 2 18 模块二：半角模型 国 知识梳理 1.半角模型 条件：①等腰A4BC, ②∠DAE=)∠BAC, 2 辅助线：过点A作线段AD'使∠CAD'=∠BAD,AD=AD',连接ED'、CD', 结论：①△ABD≌△AB'D',②△ADE≌△AD'E',③BD、DE、EC满足三边关系. C(B 2.常见类型 模型示例 条件：①四边形ABCD为正方形，②∠EAF=45, 辅助线：过点A作线段AG使∠BAG=∠FAD,AG=AF,，连接BG, 结论：①△ADF≌△ABG,②G、B、E三点共线，③△AEF≌△AEG,④EF=DF+BE: 模型示例二 条件：①AB=AD,②∠C+∠ADC=10,@∠EF-号BAD, 辅助线：过点A作线段AG使∠BAG=∠FAD,AG=AF,连接BG, 结论：①△ADF≌aABG,②G、B、E三点共线，③△AEF≌△AEG,④EF=DF+BE. 19 X例题精讲 【引例】如图，点E、F分别是边长为1的正方形ABCD的边BC、CD上的点，△CEF的 周长是2，AH⊥EF于点H,①求∠EAF的度数：②求证：AH=CD D B E 【答案】(1)把△ADF绕点A旋转90°到△ABG的位置，AF=AG,DF=BG :CE+EF+FC=2,CE+EB+CF+FD=2,.EF=EB+BG,△AEG≌△AEF, :∠EF=)∠GF=45°.全等三角形对应高相等（利用三角形全等可得，则=AB 2 .AH=CD 【例3】广义半角模型 (I)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上 的点，且BMF=BD,求证：EF=BE+FD: 20 D B E (2)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上 的点，且∠BF=<BD,⑩冲的结论是香的然成立？ (3)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD 延长线上的点，且∠BP=)∠BAD,①中的结论是香仍然成立？若成立，请证明：若不 21 成立，请写出它们之间的数量关系，并证明. D C 【答案】(I)延长EB到G,使BG=DF,连接AG.则有△AEG≌aAEF,:.EG=EF, EF=BE+FD 2 (2)成立： (3)不成立，应该是EF=BE-FD 在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.则有△ABG≌△ADF, ·∠BAG=∠DAB,AG=AF:·∠BAG+∠EAD=∠DMF+∠EAD=∠EAF=∠5BAD, 2 .∠GAE=∠EAF ,AE=AE,.△AEG≌△AEF,.EG=EF, .EG=BE-BG,.EF BE-FD. 【例4】半角模型与运动问题结合 如图，正方形OABC的边OA、OC在坐标轴上，点B的坐标为 4,4),点P从点4出发 以每秒1个单位长度的速度沿轴向点运动：点从点同时出发，以相同的速度沿 轴的正方向运动，规定点'到达点时，点也停止运动.连接BP,过P点作BP的垂线， 0 0 与过点”平行于'轴的直线相交于点D,BD与'轴交于点E,连接PE.设点P运动的 t(s) 时间为 221 (I)写出∠PBD的度数和点D的坐标（点D的坐标用t表示）： (2)探索△POE周长是否随时间t的变化而变化，若变化，说明理由；若不变试求这个定值. 【答案】解：)：正方形OABC,B(44) ∴.0A=AB=4,∠A=90, 由题意：AP=1,O0=t, 点P坐标： (-4+t,0) 过点D作DH⊥x轴于H, BP⊥PD, .∠BPD=90, .∠BPA+∠DPH=90°， 又，∠BPA+∠ABP=90, ∴∠ABP=∠DPH, ∠A=∠PHD=90 ∠ABP=∠HPD 在 和 中， AABP △HPD BP=PD △ABP≌△HPD(AAS) ∴.AP=HD=t,AB=PH=4, ..PH=PO+OH=4,PO=4-1. 23 .OH=t,即O0=t,D横坐标为t, DH=t,D纵坐标为t,, (6,-) :∠P8D=45,点D坐标 (2)△POE的周长不随1变化，为定值， 过点B作BF⊥y轴交y轴于C,将△BCE绕点B逆时针旋转0，得到△BAG, ,正方形OABC, .BC=BA,∠ABC=90°， 由(1)得∠PBD=45°， .∠CBE+∠ABP=45°， 由旋转可知：BG=BE,AG=CE,∠ABG=∠CBE, ∴.∠GBP=∠ABG+∠ABP=LCBE+∠ABP=45°， ∴.∠GBP=∠EBP, BG=BE ∠GBP=∠EBP aGBp和 EBP 中， BP=BP △GBP≌AEBP(SAS) .PG=PE PG=AG+AP=CE+AP, .'PE=CE+AP C.POE PO+OE+PE =PO+OE+CE+AP =(PO+AP)+(OE+CE) =0A+0C, .0A=0C=4, 24 ∴.周长C=4+4=8, .△POE周长为定值8，不随1改变 25 巅峰突破 【突破】在正方形ABCD内部，∠EAF=∠ECF=45°，求证：BE∥DF, D 【答案】，四边形ABCD是正方形， :,∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，且对角线AC平分∠BAD与∠BCD, .∠BAC=∠BCA=LCAD=∠ACD=45, ,点E在△ABC内，点F在△ACD内， .射线AE在∠BAC内，射线AF在∠CAD内， .∠BAE+∠EAC=45,∠EAC+∠CAF=∠EAF=45°， .∠BAE=∠CAF 同理，射线CE在∠BCA内，射线CF在∠ACD内， .∠BCE+∠ECA=45,∠ECA+∠ACF=∠ECF=45°， ∴.∠BCE=∠ACF, 在正方形外作△ABH≌△ADF, 26 D E H 由全等得AH=AF,BH=DF,∠BAH=∠DAF,∠ABH=∠ADF, 同法，在正方形外作△CBG=aCDF,使CB与CD对应、CG与CF对应、BG与DF对应， 且点G与点F在直线BC的异侧. 由全等得CG=CF,BG=DF,∠BCG=∠DCF,∠CBG=∠CDF, ,点H与点E在直线AB的异侧， ∴.∠HAE=∠HAB+∠BAE=∠DAF+∠BAE, 又，射线AF在∠CAD内， .∠DAF=∠DAC-∠CAF=45°-∠CAF, 由∠CAF=∠BAE,.∠DAF=45-∠BAE, .∠HAE=45°-∠BAE+∠BAE=45°=∠EAF 在△HAE与△FAE中，AH=AF,∠HAE=∠FAE,AE=AE, ,△HAE≌aFAE(SAS),·HE=FE, 同法可证： :点G与点E在直线BC的异侧， .∠ECG=LECB+LBCG=∠BCE+∠DCF, 又，射线CF在∠ACD内， ∴.∠DCF=∠ACD-∠ACF=45°-∠ACF, 由∠ACF=∠BCE,∴.∠DCF=45°-∠BCE, 127 .∠ECG=∠BCE+45°-∠BCE=45°=∠ECF, 在△ECG与△ECF中，CG=CF,∠ECG=∠ECF,CE=CE, CG ECF(SAS)GE-rE .'HE FE=GE,.'HE=GE, “.点E在线段HG的垂直平分线上， .BH =DF,BG=DF,.BH=BG, ,点B也在线段HG的垂直平分线上， .直线BE就是线段HG的垂直平分线，∴.BE⊥HG, ∠ABH=∠ADF,∠CBG=∠CDF, .∠ADF+∠CDF=∠CDA=90°， ∴.∠ABH+∠CBG=90°， 又，∠ABC=90°，且点H、G均在∠ABC的外部， ∴.∠ABH+∠ABC+∠CBG=90°+90=180°， 点H、B、G三点共线， 设直线DF交直线AB于点T(点T在射线DF上)，直线BH交直线DF于点P, 在Rt△ADT中，，点T在直线AB上， .∠DAT=∠DAB=90°， .∠ATD=90-∠ADT, ,点T在射线DF上，.∠ADT=∠ADF, .∠ATD=90-∠ADF, 又点A、B、T共线，点D、F、T共线，点P在直线DF上， ∴.∠BTP=∠ATD=90°-∠ADF, :点T、A、B共线，点P、B、H共线， 28 .∠TBP=∠ABH,∠ABH=∠ADF, .∠TBP=∠ADF. 在 △BTP中 的 三角形内角和定理， ∠BPT=180°-∠TBP-∠BTP=180°-∠ADF-90+∠ADF=90° .BH⊥DF, .BE⊥HG,BE⊥BH, 由DF⊥BH, .BEIIDE 29 课后自测 【练习1】如图所示，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形， 以D为顶点作一个60°的∠MDN,点M、N分别在AB、AC上，求△AMN的周长. M D 【答案】如图所示，延长AC到E使CE=BM, M E D 在△BDM与△CDE中，，BD=CD,∠MBD=∠ECD=90°，BM=CE, :△BDM≌aCDE,.MD=ED, .∠BDC=120°，∠MDN=60°， .∠BDM+∠NDC=60°， 又.∠BDM=∠CDE. .∠MDN=∠EDN=60. 在△MND与△END中，DN=DN,∠MDN=∠EDN=6O°，DM=DE, .△MND≌aEND,则NE=MN, .△AMN的周长为2. 【练习2】如图，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=a,O为AC中点，E0⊥OF 30 求证：BE+BF为定值. A B 【答案】连结0B由上可知，∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∠1=∠3， A E 1 3 B F C 而∠4=∠C=45°，0B=0C, .aOBE≌aOCF, .BE=FC BE+BF=CF+BF=BC=a. 3