专题05等腰三角形知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题05等腰三角形知题通关讲义 知识点01:基本概念 1.等腰三角形定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 名称区分：相等的两边叫腰，第三条边叫底边；两腰的夹角是顶角，腰与底边的夹角是底角。 对称性：轴对称图形，1 条对称轴，为顶角平分线所在直线。 2.等边三角形定义 三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形；有3 条对称轴。 知识点02.等腰三角形的重要性质（必背） 知识点03:等腰三角形的核心判定（高频考点） 知识点04:常用辅助线（解题技巧） 遇到等腰三角形，优先作以下辅助线，利用三线合一解题： 1.作顶角的平分线； 2.作底边上的中线； 3.作底边上的高。作用：将等腰三角形分割为两个全等的直角三角形，简化计算与证明。 知识点05:分类讨论题型（选择、填空易错重灾区） 等腰三角形很多题目答案不唯一，必须分类讨论，最后结合几何规则验证取舍。 1. 角度类分类讨论 已知一个内角，未说明是顶角还是底角，分两种情况： 情况一：已知角为顶角； 情况二：已知角为底角。 验证规则：三角形内角和为180，底角必须小于，出现矛盾则舍去该情况。 2. 边长类分类讨论 已知两条边长，未说明是腰还是底边，分两种情况： 情况一：已知长边为腰，短边为底边； 情况二：已知短边为腰，长边为底边。 验证规则：满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），不满足则舍去。 知识点06:含 30° 角的直角三角形重要推论 1.内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2.几何语言： CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中线 ⇒ CD = AB 3.逆推论（判定）：直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对锐角为30。 Rt△ABC 中，∠C=30° ⇒ AB= BC。 1. 混淆腰、底边、顶角、底角概念 提醒：等腰三角形中，相等两边为腰，第三边为底边；两腰夹角是顶角，腰与底边夹角为底角，审题不可混淆边角名称。 2. 跨三角形误用等边对等角 提醒：等边对等角仅适用于同一个三角形，不可在两个不同三角形中，由边长相等直接推内角相等。 3. 扩大三线合一的适用范围 提醒：三线合一仅针对等腰三角形的顶角与底边，底角对应的角平分线、中线、高并不重合，不可随意套用。 4. 已知一内角求角度，未分类讨论 提醒：已知等腰三角形一个内角，需分该角为顶角、底角两种情况计算，结果要验证三角形内角和。 5. 已知两边求周长，未分类讨论检验 提醒：已知等腰三角形两边长，分腰、底边两种情况计算周长，计算后结合三边关系检验，舍去不合理解。 6. 跨三角形误用等角对等边 提醒：等角对等边仅适用于同一个三角形，不可在两个不同三角形中，由内角相等直接推边长相等。 7. 混淆等边三角形与等腰三角形从属关系 提醒：等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形全部性质，不能将二者作为并列两类三角形。 8. 等边三角形判定忽略等腰前提 提醒：有一个角为60°的三角形不一定是等边三角形，此判定定理的前提是三角形为等腰三角形。 9. 证明题直接默认使用三线合一 提醒：使用三线合一性质前，需先证明三角形是等腰三角形，不能未经证明直接套用该性质推理。 10. 利用外角求内角，遗漏多解情况 提醒：借助等腰三角形外角求内角，要区分外角对应顶角或底角，存在多解，不可只计算一种情况。 题型 考察方向 难度 题型一 等边对等角 ★★ 题型二 三线合一 ★★ 题型三 根据等角对等边证明等腰三角形 ★★ 题型四 根据等角对等边证明边相等 ★★ 题型五 根据等角对等边求边长 ★★ 题型六 含 30 度角的直角三角形 ★★ 题型七 格点图中画等腰三角形 ★★ 题型八 找出图中的等腰三角形 ★★ 题型九 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 ★★★ 题型十 等腰三角形的性质和判定 ★★★ 题型十一 等边三角形的性质 ★★ 题型十二 等边三角形的判定 ★★ 题型十三 等边三角形的判定和性质 ★★★ 题型十四 大（小）边对大（小）角定理 ★★ 题型十五 最短路径问题 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 等边对等角 1．已知在中，，，则的度数为_____°． 2．如图，中，，D是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 3．如图，点D在上，，交于点F，，，．若，则的度数为_________ ． 4．某工地有一个可调节的三角支撑支架，支架底部端点为O，两条可绕O转动的杆分别为、，点N固定在上，点A在上滑动，点M在上滑动，三根支撑段满足．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型二 三线合一 5．如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，为的边上一点，且，平分，与相交于点，．若，，则的长为_________________． 7．某中学的同学设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边的中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的．他们得出结论的依据是（    ） A．三角形的稳定性 B．垂线段最短 C．三线合一 D．等边对等角 题型三 根据等角对等边证明等腰三角形 8．如图，在中，，，若某个三角形能与拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的三角形有（   ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 9．如图，在中，点D，E分别是边的中点．若，，则的长为________． 10．如图，在中，点D在边上，连接，若，则图中的等腰三角形共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型四 根据等角对等边证明边相等 11．如图，平分，若，则下列不正确的结论是（    ）    A． B． C． D． 12．在中，，和的平分线分别交于点，若，，求______． 13．如图，在中，，，和的平分线交于O点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．14 题型五 根据等角对等边求边长 14．为了使桥面更加稳固，桥面上的斜拉钢缆一般与桥面呈三角形结构，如图是桥面上两条绳索与桥面的示意图，已知，则的长度为（　　） A． B． C． D． 15．如图，将一张宽为的长方形纸片沿着线段折叠，若重叠部分的的面积是，则线段的长为____．    16．如图，在中，，平分交于点M，过点M作交于点N，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型六 含 30 度角的直角三角形 17．中，，最短边，最长边的长是（    ） A． B． C． D． 18．如图，大盈江边一棵竹子在一次强风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵竹子在折断前的高度为（　　） A．4米 B．8米 C．12米 D．15米 19．舂（）米，是我国古代的一种劳动方式．舂的结构简单（如图），一口石臼（）上架着用一根木头做成的“碓（）身”，“碓”的头部下面有杵（）．“碓”肚的两边有支撑翘动的横杆，“碓”尾部悬空．舂米时，谷类放到臼内，劳作者踩踏“碓”尾，使“碓”头高高抬起来，如图所示．已知交于点，与碓身所在水平线相交于点，若米，，则点到的距离为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 20．如图，在中，，，点在边上，连接，，若，则的长为________． 题型七 格点图中画等腰三角形 21．正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知点A，B在格点上，点C也在格点上，若为等腰三角形，则图中符合条件的点C有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 22．如图，正方形的网格中，点，是小正方形的顶点，如果点是小正方形的顶点，且使是等腰三角形，则点的个数为 ___________． 23．在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 题型八 找出图中的等腰三角形 24．如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 25．如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形． A．3 B．4 C．5 D．6 26．如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型九 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 27．已知平面直角坐标系中，点A的坐标为，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6 28．在直角坐标系中，为坐标原点，已知，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有________个． 29．如图，，是射线上的定点，是射线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 30．如图，点、都在正方形网格的格点上，若等腰的三个顶点都在格点上，则满足条件的点的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型十 等腰三角形的性质和判定 31．如图，在中，，平分，下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 32．如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，分别交射线，于点，，连接，则的大小为_________． 33．如图，在中，，，垂足为，且，若，则的长为（     ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 题型十一 等边三角形的性质 34．如图，在等边中，点是边的中点，则（   ） A． B． C． D． 35．请运用“特殊化”策略完成本题：如图，点是等边三角形内任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别是，，，若，则的值为________． 36．将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，若将向右继续滚动，则数轴上对应的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．都有可能 题型十二 等边三角形的判定 37．下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 38．如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______．    39．如图，已知直角三角形ABC中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 题型十三 等边三角形的判定和性质 40．如图，工人在某施工现场作业，有一个长为米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子（图中）的倾斜角为，那么的长是（   ）米． A． B． C． D． 41．在中，，，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为_____． 42．如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使得，连接，过点E作交的延长线于点F，若的面积为10，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 题型十四 大（小）边对大（小）角定理 43．在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法判断 44．若等腰三角形的一边长等于2，另一边长等于3，则它的周长等于（   ）． A．7 B．8 C．9 D．7或8 45．如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 题型十五 最短路径问题 46．如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是________（填序号）． 47．如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______． 48．如图，点P位于内部，点M，N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 解答题 1．如图，，分别是线段，上的点，，，连接，，相交于点． (1)求证：． (2)连接，是等腰三角形吗？证明你的结论． 2．如图所示，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点F，过F作，交于D交于E，延长至M，试说明之间的数量关系． 3．如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 4．如图①，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． (1)与的数量关系为__________，与构成的锐角夹角的度数是__________； (2)【探究发现】 在（1）的基础上，延长至点，使，连接，，如图②所示，求证：平分． (3)【拓展延伸】 如图③，在等边中，为边上一点，为上一点，且，，求． 5．如图，在中，点，在边上，连接，，满足，且，点在边上，连接交于点．    (1)若平分，，求的度数； (2)如图，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图，点，在边上，且，连接，，已知，，直接写出的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05等腰三角形知题通关讲义 等腰三角形核心知识速查表 知识点01:基本概念 1.等腰三角形定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 名称区分：相等的两边叫腰，第三条边叫底边；两腰的夹角是顶角，腰与底边的夹角是底角。 对称性：轴对称图形，1 条对称轴，为顶角平分线所在直线。 2.等边三角形定义 三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形；有3 条对称轴。 知识点02.等腰三角形的重要性质（必背） 知识点03:等腰三角形的核心判定（高频考点） 知识点04:常用辅助线（解题技巧） 遇到等腰三角形，优先作以下辅助线，利用三线合一解题： 1.作顶角的平分线； 2.作底边上的中线； 3.作底边上的高。作用：将等腰三角形分割为两个全等的直角三角形，简化计算与证明。 知识点05:分类讨论题型（选择、填空易错重灾区） 等腰三角形很多题目答案不唯一，必须分类讨论，最后结合几何规则验证取舍。 1. 角度类分类讨论 已知一个内角，未说明是顶角还是底角，分两种情况： 情况一：已知角为顶角； 情况二：已知角为底角。 验证规则：三角形内角和为180，底角必须小于，出现矛盾则舍去该情况。 2. 边长类分类讨论 已知两条边长，未说明是腰还是底边，分两种情况： 情况一：已知长边为腰，短边为底边； 情况二：已知短边为腰，长边为底边。 验证规则：满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），不满足则舍去。 知识点06:含 30° 角的直角三角形重要推论 1.内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2.几何语言： CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中线 ⇒ CD = AB 3.逆推论（判定）：直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对锐角为30。 Rt△ABC 中，∠C=30° ⇒ AB= BC。 1. 混淆腰、底边、顶角、底角概念 提醒：等腰三角形中，相等两边为腰，第三边为底边；两腰夹角是顶角，腰与底边夹角为底角，审题不可混淆边角名称。 2. 跨三角形误用等边对等角 提醒：等边对等角仅适用于同一个三角形，不可在两个不同三角形中，由边长相等直接推内角相等。 3. 扩大三线合一的适用范围 提醒：三线合一仅针对等腰三角形的顶角与底边，底角对应的角平分线、中线、高并不重合，不可随意套用。 4. 已知一内角求角度，未分类讨论 提醒：已知等腰三角形一个内角，需分该角为顶角、底角两种情况计算，结果要验证三角形内角和。 5. 已知两边求周长，未分类讨论检验 提醒：已知等腰三角形两边长，分腰、底边两种情况计算周长，计算后结合三边关系检验，舍去不合理解。 6. 跨三角形误用等角对等边 提醒：等角对等边仅适用于同一个三角形，不可在两个不同三角形中，由内角相等直接推边长相等。 7. 混淆等边三角形与等腰三角形从属关系 提醒：等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形全部性质，不能将二者作为并列两类三角形。 8. 等边三角形判定忽略等腰前提 提醒：有一个角为60°的三角形不一定是等边三角形，此判定定理的前提是三角形为等腰三角形。 9. 证明题直接默认使用三线合一 提醒：使用三线合一性质前，需先证明三角形是等腰三角形，不能未经证明直接套用该性质推理。 10. 利用外角求内角，遗漏多解情况 提醒：借助等腰三角形外角求内角，要区分外角对应顶角或底角，存在多解，不可只计算一种情况。 题型 考察方向 难度 题型一 等边对等角 ★★ 题型二 三线合一 ★★ 题型三 根据等角对等边证明等腰三角形 ★★ 题型四 根据等角对等边证明边相等 ★★ 题型五 根据等角对等边求边长 ★★ 题型六 含 30 度角的直角三角形 ★★ 题型七 格点图中画等腰三角形 ★★ 题型八 找出图中的等腰三角形 ★★ 题型九 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 ★★★ 题型十 等腰三角形的性质和判定 ★★★ 题型十一 等边三角形的性质 ★★ 题型十二 等边三角形的判定 ★★ 题型十三 等边三角形的判定和性质 ★★★ 题型十四 大（小）边对大（小）角定理 ★★ 题型十五 最短路径问题 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 等边对等角 1．已知在中，，，则的度数为_____°． 【答案】 【分析】根据两条边相等，可知为等腰三角形，已知的度数，可得到的度数，再利用三角形内角和计算的度数即可． 【详解】解： 在中，， ， ． 2．如图，中，，D是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的性质逐一判断． 【详解】解：， ，故A正确； ，是的中点， ，平分，故B、C正确； 与的数量关系不确定，故D不正确，符合题意． 3．如图，点D在上，，交于点F，，，．若，则的度数为_________ ． 【答案】 【分析】先求出，再由平角的定义即可求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．某工地有一个可调节的三角支撑支架，支架底部端点为O，两条可绕O转动的杆分别为、，点N固定在上，点A在上滑动，点M在上滑动，三根支撑段满足．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设 ，根据等腰三角形的性质（等边对等角）和三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和），逐步用 表示出 、、，最后利用 是 的外角建立方程求解． 【详解】设 ， ， ， （三角形外角性质）． ， ， 是 的外角， ，即 ， 解得 ， ． 题型二 三线合一 5．如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵等腰三角形中，，， ∴平分 ∴． 6．如图，为的边上一点，且，平分，与相交于点，．若，，则的长为_________________． 【答案】1 【分析】由等腰三角形的性质得，再由，可得，则，即可求解． 【详解】解：平分，， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴． 7．某中学的同学设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边的中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的．他们得出结论的依据是（    ） A．三角形的稳定性 B．垂线段最短 C．三线合一 D．等边对等角 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形， ∴， ∵点O是的中点， ∴（三线合一）， ∵垂直地面， ∴平行地面，即房梁是水平的， 故选：C． 题型三 根据等角对等边证明等腰三角形 8．如图，在中，，，若某个三角形能与拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的三角形有（   ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质作图即可解题． 【详解】如图所示，这样的三角形共有7种， 故选：C． 9．如图，在中，点D，E分别是边的中点．若，，则的长为________． 【答案】4 【分析】根据三角形中位线，等腰三角形的判定和性质求解即可； 【详解】解：∵点D，E分别是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．如图，在中，点D在边上，连接，若，则图中的等腰三角形共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据等角对等边进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴和都是等腰三角形， ∵， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 综上，等腰三角形共有3个． 题型四 根据等角对等边证明边相等 11．如图，平分，若，则下列不正确的结论是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定方法以及等腰三角形的判定，根据平分得出，又因为，所以，由内错角相等，两直线平行，从而得到． 【详解】解：∵BD平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，． 不能证明． 故选：D． 12．在中，，和的平分线分别交于点，若，，求______． 【答案】 【分析】先运用平行线的性质推出，，再运用角平分线的性质推出，，运用等量代换结合等角对等边的性质推出，，最后根据，代入数值即可求解． 【详解】∵， ∴，， ∵平分， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴． 13．如图，在中，，，和的平分线交于O点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．14 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，，将周长转化为，求出即可． 【详解】解：∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴周长为， 故选：C． 题型五 根据等角对等边求边长 14．为了使桥面更加稳固，桥面上的斜拉钢缆一般与桥面呈三角形结构，如图是桥面上两条绳索与桥面的示意图，已知，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边这一判定定理是解题的关键．根据等腰三角形的判定定理（等角对等边），判断三角形的边的关系，进而求出 的长度． 【详解】解：在中， ， （等角对等边）， 又， ． 故选：C． 15．如图，将一张宽为的长方形纸片沿着线段折叠，若重叠部分的的面积是，则线段的长为____．    【答案】6 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、等角对等边以及三角形的面积等知识，掌握求解的方法是关键； 根据折叠的性质和平行线的性质可得，进而得到，然后利用三角形的面积公式求出即可解决问题． 【详解】解：如图，由折叠的性质可得：， ∵长方形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴，即， ∴（cm）， ∴， 故答案为：6．    16．如图，在中，，平分交于点M，过点M作交于点N，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】平分，构造了等腰三角形，再根据含30度角的直角三角形的性质求解． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 中，， ． 题型六 含 30 度角的直角三角形 17．中，，最短边，最长边的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据角度比例和三角形内角和定理求出三个角的度数，确定三角形为直角三角形，再利用直角三角形中角所对直角边等于斜边一半的性质计算最长边的长度． 【详解】解： 设，则， 三角形内角和为， ， 解得， ，，即是直角三角形，最长边为斜边， ，它所对的边为最短边， ． 18．如图，大盈江边一棵竹子在一次强风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵竹子在折断前的高度为（　　） A．4米 B．8米 C．12米 D．15米 【答案】C 【分析】给图形标注上字母，由含角的直角三角形的性质得，即可解决问题． 【详解】解：如图， 根据题意得：，米， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 即这棵竹子在折断前的高度是米． 19．舂（）米，是我国古代的一种劳动方式．舂的结构简单（如图），一口石臼（）上架着用一根木头做成的“碓（）身”，“碓”的头部下面有杵（）．“碓”肚的两边有支撑翘动的横杆，“碓”尾部悬空．舂米时，谷类放到臼内，劳作者踩踏“碓”尾，使“碓”头高高抬起来，如图所示．已知交于点，与碓身所在水平线相交于点，若米，，则点到的距离为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】过点作，根据角所对直角边等于斜边一半可得结论． 【详解】解：过点作，如图， ∵米，， ∴（米）， 所以，点到的距离为0.75米． 20．如图，在中，，，点在边上，连接，，若，则的长为________． 【答案】 【分析】先由三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余求出相关角度，再由所对的直角边是斜边的一半求出，然后得出，进而由等腰三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：在中，，，则， 在中，，，则， ， ， ， ， 即， ． 题型七 格点图中画等腰三角形 21．正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知点A，B在格点上，点C也在格点上，若为等腰三角形，则图中符合条件的点C有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法． 根据等腰三角形的定义判断即可． 【详解】解：如图，满足条件点C有8种情形． 故选：C． 22．如图，正方形的网格中，点，是小正方形的顶点，如果点是小正方形的顶点，且使是等腰三角形，则点的个数为 ___________． 【答案】8 【分析】分三种情况：当时，当时，当时，即可解答． 【详解】解：如图： 分三种情况： 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交小正方形的格点为，； 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交小正方形的格点为，； 当时，作的垂直平分线，交小正方形的格点为，，,； 综上所述：是等腰三角形，则点的个数为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键． 23．在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，正方形的性质等知识，连接，，，，，，然后分五种情形判断可得结论． 【详解】解：连接，，，，，，如图， 类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，共有20个． 故选：C． 题型八 找出图中的等腰三角形 24．如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，利用图形分类讨论是解题关键． 根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰的等腰三角形得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，，，，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：B． 25．如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定定理得到△ABD与△BAC是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠C＝72°，推出△ADE和△BCE是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到AE＝BE，得到△ABE是等腰三角形． 【详解】解：∵AB＝AC＝BD， ∴△ABD与△BAC是等腰三角形， 在△ABD与△BAC中， ， ∴△ABD≌△BAC（SSS）， ∴∠D＝∠C＝72°， ∴∠BAD＝∠D＝∠C＝∠ABC＝72°， ∴∠∠ABD＝∠BAC＝36°， ∴∠DAE＝∠CBE＝36°， ∴∠AED＝∠BEC＝72°， ∴∠D＝∠AED＝∠C＝∠BEC， ∴△ADE和△BCE是等腰三角形， ∵∠AED＝∠BEC， ∴△ADE≌△BCE（AAS）， ∴AE＝BE， ∴△ABE是等腰三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 26．如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键； 在火车自左向右运动的过程中，车长可以是腰，也可以是底边，分别判断即可． 【详解】解：当车长为底时， ， 是等腰三角形是； 当车长为腰时， ，，，， ，，，是等腰三角形， 故得到的等腰三角形共有5个． 故选：D． 题型九 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 27．已知平面直角坐标系中，点A的坐标为，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6 【答案】B 【分析】分类讨论①②③时，求出点P的个数． 【详解】因为为等腰三角形， 所以可分三类讨论： ①(有一个)．此时只要以A为圆心长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是点P； ②(有两个)．此时只要以O为圆心长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P的两种选择； ③(一个)．作的中垂线与y轴有一个交点，该交点就是点P的最后一种选择． 综上所述，共有4个． 故选B.    【点睛】本题考查等腰三角形的判定、坐标与图形性质，解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏． 28．在直角坐标系中，为坐标原点，已知，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有________个． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，坐标与图形的性质，能正确进行分类求出所有的情况是解题的关键．有三种情况：当时，以为圆心，以为半径画圆，看与轴交点个数；当时，以为圆心，以为半径画圆，看与轴交点个数；当时，作的中垂线，看中垂线与轴的交点个数，从而得到答案． 【详解】解：如图，有三种情况 当时，以为圆心，以为半径的圆与轴交点有1个； 当时，以为圆心，以为半径的圆与轴交点有2个； 当时，作的中垂线，中垂线与轴的交点有1个． 故答案为：4． 29．如图，，是射线上的定点，是射线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键．分两种情况：当为底时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图， 当为底时，为等腰三角形， 当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形， 满足条件的点共有个． 故选：C． 30．如图，点、都在正方形网格的格点上，若等腰的三个顶点都在格点上，则满足条件的点的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的定义，分，，三种情况讨论，结合网格特点找出满足条件的格点的个数． 【详解】解：设网格小正方形的边长为， 由图可知，点、在同一条竖直格线上，且， 网格横向有个格，纵向有个格， 分三种情况讨论：①当时，点在以为圆心，为半径的圆上， 在网格内，满足条件的格点有个，分别位于点的左侧和右侧，与点在同一水平线上， ②当时，点在以为圆心，为半径的圆上． 在网格内，满足条件的格点有个，分别位于点的左侧和右侧，与点在同一水平线上， ③当时，点在线段的垂直平分线上． 线段的垂直平分线是经过中点的水平格线， 该直线上共有 个格点，除去与、共线的个点（即 中点），剩余个点满足条件， 综上所述，满足条件的点的个数是． 题型十 等腰三角形的性质和判定 31．如图，在中，，平分，下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质．根据等腰三角形的判定和性质，逐项判断，即可． 【详解】解：∵， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵平分， ∴，，故B，C选项正确，不符合题意； 根据题意无法得到与的大小关系，故D选项错误，符合题意； 故选：D 32．如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，分别交射线，于点，，连接，则的大小为_________． 【答案】 【分析】根据圆的半径相等得到，由等边对等角，三角形内角和定理即可解得的大小． 【详解】解：连接， ∵以点为圆心，长为半径画弧，分别交射线，于点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 33．如图，在中，，，垂足为，且，若，则的长为（     ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】C 【分析】在上取一点使得，可证，则，则题目可解． 【详解】解：在上取一点使得， ， ， ，     ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型十一 等边三角形的性质 34．如图，在等边中，点是边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，掌握这一性质是关键；由等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：在等边中，点是边的中点， ∴，平分， ∴； 故选：A． 35．请运用“特殊化”策略完成本题：如图，点是等边三角形内任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别是，，，若，则的值为________． 【答案】9 【分析】根据点是等边三角形内任意一点，且最终结果为确定值，求出当点为等边三角形的三条高线的交点时，的值即可. 【详解】解：由题意，当点为等边三角形的三条高线的交点时， 由三线合一可知：为等边三角形三边的中点， ∴， ∴的值为9. 36．将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，若将向右继续滚动，则数轴上对应的点是（     ） A．点 B．点 C．点 D．都有可能 【答案】A 【分析】根据题意可知等边三角形边长为1，滚动一周距离为3，顶点落点呈周期性变化． 计算2026与起始点的距离，除以3看余数即可确定对应顶点． 【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴每滚动一周，向右移动3个单位长度， ∵， ∴数轴上对应的点是点． 题型十二 等边三角形的判定 37．下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的判定条件． 根据等边三角形的判定条件：三条边相等的三角形是等边三角形，有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，有两个角是60度的三角形是等边三角形，进行判断即可． 【详解】解：①∵等腰三角形有一个外角是， ∴与这个外角相邻的内角是， ∴这个等腰三角形是等边三角形，正确； ②等腰三角形有两个外角相等，当这两个外角是两个底角相邻的外角时，等腰三角形不是等边三角形，错误； ③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，如这条高是底边的高也满足这条高是底边的中线，但是这个三角形不一定是等边三角形，错误； ④三个内角都相等的三角形是等边三角形，正确． 故选C． 38．如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______．    【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 【详解】解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 39．如图，已知直角三角形ABC中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】分三种情况讨论：画出符合题意的图形，从而可得答案. 【详解】解：如图，当时，为等腰三角形， 当时，为等腰三角形， 当时，而 所以是等边三角形， 当时，为等腰三角形， 符合条件的点有6个， 故选C 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，等边三角形的判定，清晰的分类讨论是解本题的关键. 题型十三 等边三角形的判定和性质 40．如图，工人在某施工现场作业，有一个长为米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子（图中）的倾斜角为，那么的长是（   ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．证明为等边三角形，然后由等边三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：依题意得 ，，米． ， ． ， 为等边三角形． 米． 故选：A． 41．在中，，，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为_____． 【答案】12 【分析】延长到点，使得，连接，证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图, 延长到点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，E为边的中点， ∴． 42．如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使得，连接，过点E作交的延长线于点F，若的面积为10，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，中线的性质和三角形面积的计算，利用等边三角形的性质找出和面积之间的关系是解题的关键． 首先利用等边三角形的性质，中线的性质得到对应角度和，再利用等边三角形的性质找出和面积之间的关系即可得到的面积． 【详解】解：∵为等边三角形，是边上的中线， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴C为线段的中点， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选B 题型十四 大（小）边对大（小）角定理 43．在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键． 先根据三角形概念得到、、的对角分别为、、，再根据得出结论． 【详解】解：∵在中， ， 又∵、、的对角分别为、、， ∴． 故选：B． 44．若等腰三角形的一边长等于2，另一边长等于3，则它的周长等于（   ）． A．7 B．8 C．9 D．7或8 【答案】D 【分析】分边长2为腰和边长3为腰两种情况解答，并运用三角形的三边关系验证解答即可． 【详解】解：①当边长2为腰时，三边为2、2、3，由2+2＞3，则可组成三角形，即周长为2+2+3=7； ②当边长3为腰时，三边为3、3、2，由2+3＞3，则可组成三角形，即周长为2+3+3=8； 所以该等腰三角形的周长为7或8． 故答案为D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，正确应用三角形的三边关系是解答本题的关键、也是解答本题的易错点． 45．如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称、三角形的边角关系，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．先利用轴对称的性质、三角形的边角关系可得点与点重合，再根据轴对称的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是上一点， ∴点关于直线的对称点在上， 设点关于直线的对称点为点， 如图1，假设点在（不含点）上，连接， 由轴对称的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴在中，，在中，， ∴， ∴在中，， ∴，这与不符， ∴假设不成立，即点不在（不含点）上； 如图2，假设点在（不含点）上，连接， 同理可得：点不在（不含点）上； ∴点与点重合， ∴与关于直线对称，点的对应点是点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 题型十五 最短路径问题 46．如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是________（填序号）． 【答案】② 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边式解决问题的关键． 由三角形三边关系得到，根据图形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴ 路线的长度为， 路线的长度为， 故答案为：②． 47．如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了折叠性质，轴对称−最短路线问题，关键是确定点M的位置． 根据折叠可知B和E关于AD对称，由对称的性质得出当M和D重合时，此时的值最小，即为． 【详解】解：连接，由题可知B和E关于AD对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点M和点D重合时，此时的值最小，即为， ∴则的最小值为5， 故答案为：5． 48．如图，点P位于内部，点M，N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定和性质．将三角形的周长利用轴对称转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键．设点关于的对称点为，关于的对称点为，根据当点、在上时，的周长最小，再结合等边三角形的判定和性质即可解答． 【详解】解：如图，分别作点P关于，的对称点C，D，连接，，，，． 点P关于的对称点为点C， ，，， 点P关于的对称点为点D， ，，， ，， 是等边三角形， ， 的周长， 即周长的最小值是7． 故选：A． 解答题 1．如图，，分别是线段，上的点，，，连接，，相交于点． (1)求证：． (2)连接，是等腰三角形吗？证明你的结论． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴． (2)解：是等腰三角形．理由如下， 如图，连接， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）根据“”直接证明即可； （2）先由得到，再由得到，根据角的和差关系即可得到，从而得到，即可得出是等腰三角形． 【详解】（1）证明：略 （2）解：是等腰三角形．证明略 2．如图所示，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点F，过F作，交于D交于E，延长至M，试说明之间的数量关系． 【答案】 ，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到，同理可得，根据，可得． 【详解】略 3．如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点A、D在线段的垂直平分线上， ∴所在直线是线段的垂直平分线． 【分析】（1）根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据直角三角形的性质得出； （2）证明，得出，，说明点A、D在线段的垂直平分线上，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）略 4．如图①，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． (1)与的数量关系为__________，与构成的锐角夹角的度数是__________； (2)【探究发现】 在（1）的基础上，延长至点，使，连接，，如图②所示，求证：平分． (3)【拓展延伸】 如图③，在等边中，为边上一点，为上一点，且，，求． 【答案】(1)，； (2)证明：由（1）可知，， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 平分； (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的性质即可得到结论； （2）由（1）可知，，求得，推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到， ，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可得到结论； （3）连接，设，得出，，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）（1）解：如图①，是等边三角形， ，， 在和中 ， ，， ， 故答案为：，； （2）略． （3）解：如图所示，连接， 设， 在等边中，， 又， ， ， ， 又，则， 同理可得，，又， ， ， ， ， ． 5．如图，在中，点，在边上，连接，，满足，且，点在边上，连接交于点．    (1)若平分，，求的度数； (2)如图，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图，点，在边上，且，连接，，已知，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明：作，交于点， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)7 【分析】（1）先由三角形的内角和定理求得，再根据三角形的内角和定理求得，，然后根据角平分线的定义求得，进而可求解； （2）作，交于点，分别证明，得到，，进而由可证得结论； （3）由（2）知，，作，，连接，，证明得到，再证明得到，利用两点之间线段最短得到，当D、M、共线时取等号，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵，， ∴由（2）知，， 作，，连接，， 则， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴ ∴， ∴，当D、M、共线时取等号， ∴的最小值是7． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $