专题02三角形的内角与外角知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题02三角形的内角与外角知题通关讲义 知识点01:三角形内角和定理 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 3.三角形内角取值规律 (1)任意三角形最多 1 个直角、最多 1 个钝角； (2)最少有两个锐角； (3)三个角都小于 90为锐角三角形；一个角等于 90 为直角三角形；一个角大于 90为钝角三角形。 知识点02:直角三角形的性质（必背） 1. 角的性质：两锐角互余 在 Rt△ABC 中，∠C=90° ⇒ ∠A + ∠B = 90°。 2. 边的性质：勾股定理（核心） 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 3.特殊线段性质 知识点03:直角三角形的判定（必考） 1.按角判定 2.按边判定（勾股定理逆定理） 3. 中线判定 若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形（中线= 边长 ⇒ 直角三角形）。 在△ABC 中，若 D 为 AB 的中点，且 CD=AB，则∠ACB = 90°，△ABC 为直角三角形。 知识点04:三角形的外角 1.外角定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 (1)每个顶点对应 2 个相等外角，一个三角形共 6 个外角； (2)一个外角与相邻内角互为邻补角，和为 180。 2.数量：每个顶点可作 2 个外角，整图共 6 个外角，同顶点的两个外角相等；日常解题一般取每个顶点 1 个外角，共 3 个。 关系：外角和它相邻的内角互为邻补角，二者相加等于180。 3.外角解题优势 遇到求 “飞镖模型、八字模型、折叠角度” 时，用外角性质可省去多次内角和计算，简化推理步骤。 1. 三角形内角和运用疏漏 提醒：三角形内角和为180°；直角三角形的两个锐角互余，不可误记内角和为90°。 2. 直角三角形判定混淆 提醒：有两个角互余的三角形是直角三角形，判定依据为两角互余。 3. 三角形外角定义理解错误 提醒：三角形外角由三角形的一边与另一边的延长线组成，并非三角形外部任意角。 4. 外角性质理解片面 提醒：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，不可纳入相邻内角。 5. 外角大小关系判断出错 提醒：三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角，不能表述为外角大于三角形任意内角。 6. 内外角邻补关系混淆 提醒：三角形外角与相邻内角互为邻补角，二者之和为180°，计算时注意区分。 7. 角度计算缺少分类讨论 提醒：涉及三角形高线位置的角度计算题，存在多解，需要分类讨论，不可只考虑一种情形。 8. 几何推理书写不规范 提醒：角度推导过程需标注推理依据，不可直接跳步写出结果，避免步骤失分。 9. 外角与内角大小关系误判 提醒：三角形外角只大于不相邻内角；钝角所对应的外角小于这个钝角。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形内角和定理的证明 ★★★ 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 ★★ 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 ★★★ 题型四 三角形折叠中的角度问题 ★★★★ 题型五 三角形内角和定理的应用 ★★ 题型六 直角三角形的两个锐角互余 ★ 题型七 锐角互余的三角形是直角三角形 ★ 题型八 三角形的外角的定义及性质 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 三角形内角和定理的证明 1．如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．    【答案】三角形内角和定理 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 【详解】解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 2．如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质，有同位角相等，即 ，进而求出 ，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】如图： 故答案选A 【点睛】本题考查平行线的性质、两角互补与三角形内角和定理，找到为关键． 3．定理：三角形的内角和等于． 已知：的三个内角为，，． 求证：． 证法1 证法2 如图1，延长到点，则（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）． ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 如图2，过点作，∵， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， 又∵（平角定义）， ∴（等量代换）． 下列说法正确的是（    ） A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理 B．证法1用合理的推理证明了该定理 C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整 D．证法2用严谨的推理证明了该定理 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理证明的常见思路去判断即可． 【详解】三角形外角和性质是建立在三角形内角和定理的基础上的，不能循环证明， 故A、B都不符合题意； 证法2用严谨的推理证明了该定理，故不需要分三角形的形状， 故C不符合题意；D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握严谨的定理证明是解题的关键． 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 4．如图，直线，，，则的度数为_________． 【答案】 【分析】先利用平行线的性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 5．如图，已知，，垂足为点B，那么之间的数量关系是（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理， 延长交于点G，根据平行线的性质得到，然后表示出，，然后在中利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示，延长交于点G， ∵ ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴整理得，． 故选：D． 6．如图，点在线段上，，，点在上，若，:，，则_______．    【答案】/度 【分析】根据题意及平行线的判定与性质推出，设，则，，根据三角形内角和定理、三角形外角性质推出，据此求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ：：， 设则， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 7．如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，根据三角形内角和定理得出，进而根据角平分线的定义，以及平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴ ∵， ∴， 故选：C． 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 8．如图，是角的平分线，，，的度数为__________． 【答案】30 【分析】根据三角形的内角和可知，进而根据角平分线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是角的平分线， ∴． 9．如图，在中，、分别平分，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，先由三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义推出，则可由三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 10．如图，已知三角形的三个内角平分线交于点，于点，已知，则_______． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义、三角形内角和定理可知．又因为，，所以，进而根据三角形内角和定理求即可． 【详解】解：∵、、为三角形的角平分线， ∴，，． ∴ ． ∴． 又∵，， ∴． ∵，， ∴． 11．如图，在中，，点在右侧，连接、，设，过作于点，点在内部，且平分，延长至点，使，则可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设 ，利用“8字模型”表示出 ，进而表示出 和 ，最后利用三角形内角和及对顶角相等建立与的关系即可. 【详解】解：设， 平分， ， 设与交于点，在和中，， ， ， ， ， ， ， 共线， ， 设交于点 ， 在中，， 又， 在中，， ， . 题型四 三角形折叠中的角度问题 12．如图，在中，，是的中点，是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，当时，______．    【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质．分当在上方，时，当在下方，时，两种情况，先利用平行线的性质得到，再由折叠的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，当在上方，时，    ∴， 由翻折可知：； 如图，当在下方，时，    ∴， ∴ 由翻折可知：． 故答案为：或． 13．如图，将沿向下翻折，使顶点落在边上的点处，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理．根据折叠的性质可知，利用平角是，求出的度数，然后利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵将沿向下翻折，使顶点落在边上的点处， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 14．如图，长方形纸片中，为边上一点，将纸片沿，折叠，点落在点的位置，点落在点的位置（点在点右侧）．若，则__________． 【答案】/度 【分析】设，，用两种方法表示，求出的值，进而解题． 【详解】解：设，， 则，， ∵， ∴，， ∵， ， ∴， 化简得， ∴． 15．如图，在三角形纸片中，，，点在上且．若在上找一点，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好与三角形的一边平行，则满足所有平行条件的度数为（     ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】分时和时两种情况，再结合平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和性质，列式计算即可． 【详解】解：当时，如图，则， 由折叠性质得：， ， 则 当时，如图，则， 由折叠性质得：，， ∴ ∵ ∴ 当时，如图，则， ， ∴ 综上，的度数为或或 题型五 三角形内角和定理的应用 16．如图，在中，，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 17．如图，的度数为_____________． 【答案】 【分析】连接，根据三角形的内角和可得，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．如图是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片和它的平面示意图．已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作交于点F，过点D作，由平行线的性质求出，进而求得，然后由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 19．如图，在中，，点，分别在边，上，连接，，且，，，则的度数为_________． 【答案】20 【分析】已知边和角的条件，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判定为等边三角形．根据三角形的内角和定理，求出．再根据等腰三角形的性质，得到，最后求出． 【详解】解：，， ， ， ， ，, ． ， ∴是等腰三角形，且． 在中， ． 题型六 直角三角形的两个锐角互余 20．如图，中于D，于E，则与的关系是________ 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余是解题关键．根据直角三角形的两个锐角互余可得，，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 21．如图，是一个直角三角形，已知 ，那么 __________． 【答案】/60度 【分析】根据图可知，，用，即可求出． 【详解】解：， ． 22．如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴． 23．在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形．如图，直线直线于点，点、点分别在射线、上；已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为4倍角三角形，则=___． 【答案】或 【分析】本题考查直角三角形的性质及倍角三角形的定义，关键是通过角平分线的性质推导的内角关系，再结合倍角三角形的定义求解的度数． 【详解】解：∵平分，平分，且， ∴． ∵， ∴， 在中，． 又平分，故． 在中，，结合， 可得． ∵为4倍角三角形，且， ∴存在两种情况： ①直角是4倍的一个锐角，即，解得，则． ②一个锐角是4倍的另一个锐角，即，解得，则． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 题型七 锐角互余的三角形是直角三角形 24．若一个三角形的两个角分别为和，则第三个角的度数是（   ），这个三角形是（   ） A．，直角三角形 B．，锐角三角形 C．，钝角三角形 D．，锐角三角形 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得第三个角的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵一个三角形的两个角分别为和， ∴第三个角为， ∴这个三角形是直角三角形． 故选：A． 25．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 26．在下列条件：①；②；③；④中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的定义，三角形内角和定理等知识点，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 根据直角三角形的判定和三角形内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：①不能确定为直角三角形，故①不符合题意； ②∵，， ∴，，， ∴为直角三角形，故②符合题意； ③设， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴是直角三角形，故③符合题意； ④设， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴不是直角三角形，故④符合题意； 综上，正确的有②③共2个． 故选D． 题型八 三角形的外角的定义及性质 27．如图，是的外角，若，，则_______ 【答案】 【详解】解：∵是的外角，，， ∴， ∴. 28．如图，在和中，与相交于点．若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的外角性质求出，的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 29．如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知，，，，，则是______． 【答案】 【分析】延长交于点，根据平行线性质得出，利用三角形外角性质求出，再根据平行线同旁内角互补求出，两者相加即可． 【详解】解：延长交于点， ，， ， ， ， ， ， ． 30．如图，已知，P为外一点（点P不在直线，，上），且在的上方，连接，．若，，，则的度数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和外角的性质，正确理解题意，分情况画出图形是解题的关键． 根据点P有3种可能的位置，分情况进行讨论，依据三角形内角和定理以及外角的性质进行计算即可求解． 【详解】解：如图一，， ∵， ∴， ∴； 如图二，， ∵， ∴， ∴； 如图三，延长交于点D， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； 综上，的度数可能是，或， 结合选项可知，A、B、C选项均不符合题意； 故选：D． 解答题 1．如图，、分别是的高线和角平分线，相交于点，且． (1)请证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：是的角平分线， ， 又是的高线， ， 又， ， ， 即； (2)． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形的性质． 根据角平分线的定义可知，根据垂直的定义可知，所以可得：，等量代换可得：，根据三角形内角和定理可证； 根据，可知，又因为，所以可得：，等量代换可得：，从而可求的度数． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 由可知， ， ， 即， ． 2．如图，两面镜子相交于点，当从固定点发出的水平光线经过镜子反射时，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，当两面镜子的夹角为锐角时，反射光线垂直镜面，光线与镜面平行（原题条件可以看成），求的度数； (3)改变两面镜子的夹角，保持反射光线垂直镜面，记与所夹锐角为与所夹锐角为，直线与直线所夹锐角等于； ①如图3，当为锐角时，求的度数； ②当为钝角时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)①，；② 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理， （1）首先得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）设，表示出，然后在中，根据两锐角互余得到，进而求解即可； （3）①设，根据题意得到①，②，联立求解即可； ②与①同理的方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 在中，； （2）解：设， ， ， ， ； ， ， 在中，， ， ． （3）解：①如图3，设，则， ， ， ， ， 即①， ， ， ， 又， 即②， 由①，②解得：， ，． ②与①同理可得，． 3．（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 【答案】 （1），理由如下： ∵在中，，， ∴， ∴； （2）是直角三角形． ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了余角性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）利用余角性质即可求解； （）由直角三角形两锐角互余可得，即得，据此即可求解； （）利用余角性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】略 4．如图，把的纸片沿着折叠． (1)若点A落在四边形的内部点的位置（如图1），且，，请求出的度数； (2)若点A落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），求证：． 【答案】(1) (2) 证明：由折叠的性质得，，， ， ， ， ， ， ， ，即． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义：本题解题的关键在于理解和掌握折叠的性质以及能够熟练运用三角形的内角和定理； （1）由折叠的定义得到，，，再由平角的定义求出，的度数，即可根据三角形内角和定理求出的度数； （2）先由折叠的性质得到，，，再由平角的定义得到，则由三角形内角和定理得到，则，进而得到，即． 【详解】（1）解：由折叠的性质得，， ，， ， 同理，， ， （2）解：略． 5．【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理可知； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理计算即可； （3）根据角平分线的定义求出，可知只能是或，根据三角形外角的性质得到，根据角平分线的定义求出，根据三角形内角和定理求出，则，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，的平分线，相交于点， ∴， ∴； （3）解：∵平分，平分外角，， ∴，即， 因此只能是或． 根据三角形外角的性质得到， ∵平分外角，平分外角， ∴， ∴，即， ∴， 分情况讨论： 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述，的度数为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02三角形的内角与外角知题通关讲义 知识点01:三角形内角和定理 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 (1)任意三角形最多 1 个直角、最多 1 个钝角； (2)最少有两个锐角； (3)三个角都小于 90为锐角三角形；一个角等于 90 为直角三角形；一个角大于 90为钝角三角形。 知识点02:直角三角形的性质（必背） 1. 角的性质：两锐角互余 在 Rt△ABC 中，∠C=90° ⇒ ∠A + ∠B = 90°。 2. 边的性质：勾股定理（核心） 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 3.特殊线段性质 知识点03:直角三角形的判定（必考） 1.按角判定 2.按边判定（勾股定理逆定理） 3. 中线判定 若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形（中线= 边长 ⇒ 直角三角形）。 在△ABC 中，若 D 为 AB 的中点，且 CD=AB，则∠ACB = 90°，△ABC 为直角三角形。 知识点04:三角形的外角 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 (1)每个顶点对应 2 个相等外角，一个三角形共 6 个外角； (2)一个外角与相邻内角互为邻补角，和为 180。 2.数量：每个顶点可作 2 个外角，整图共 6 个外角，同顶点的两个外角相等；日常解题一般取每个顶点 1 个外角，共 3 个。 关系：外角和它相邻的内角互为邻补角，二者相加等于180。 遇到求 “飞镖模型、八字模型、折叠角度” 时，用外角性质可省去多次内角和计算，简化推理步骤。 1. 三角形内角和运用疏漏 提醒：三角形内角和为180°；直角三角形的两个锐角互余，不可误记内角和为90°。 2. 直角三角形判定混淆 提醒：有两个角互余的三角形是直角三角形，判定依据为两角互余。 3. 三角形外角定义理解错误 提醒：三角形外角由三角形的一边与另一边的延长线组成，并非三角形外部任意角。 4. 外角性质理解片面 提醒：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，不可纳入相邻内角。 5. 外角大小关系判断出错 提醒：三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角，不能表述为外角大于三角形任意内角。 6. 内外角邻补关系混淆 提醒：三角形外角与相邻内角互为邻补角，二者之和为180°，计算时注意区分。 7. 角度计算缺少分类讨论 提醒：涉及三角形高线位置的角度计算题，存在多解，需要分类讨论，不可只考虑一种情形。 8. 几何推理书写不规范 提醒：角度推导过程需标注推理依据，不可直接跳步写出结果，避免步骤失分。 9. 外角与内角大小关系误判 提醒：三角形外角只大于不相邻内角；钝角所对应的外角小于这个钝角。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形内角和定理的证明 ★★★ 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 ★★ 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 ★★★ 题型四 三角形折叠中的角度问题 ★★★★ 题型五 三角形内角和定理的应用 ★★ 题型六 直角三角形的两个锐角互余 ★ 题型七 锐角互余的三角形是直角三角形 ★ 题型八 三角形的外角的定义及性质 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 三角形内角和定理的证明 1．如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．    2．如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．定理：三角形的内角和等于． 已知：的三个内角为，，． 求证：． 证法1 证法2 如图1，延长到点，则（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）． ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 如图2，过点作，∵， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， 又∵（平角定义）， ∴（等量代换）． 下列说法正确的是（    ） A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理 B．证法1用合理的推理证明了该定理 C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整 D．证法2用严谨的推理证明了该定理 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 4．如图，直线，，，则的度数为_________． 5．如图，已知，，垂足为点B，那么之间的数量关系是（      ）． A． B． C． D． 6．如图，点在线段上，，，点在上，若，:，，则_______．    7．如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 8．如图，是角的平分线，，，的度数为__________． 9．如图，在中，、分别平分，，，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知三角形的三个内角平分线交于点，于点，已知，则_______． 11．如图，在中，，点在右侧，连接、，设，过作于点，点在内部，且平分，延长至点，使，则可表示为（     ） A． B． C． D． 题型四 三角形折叠中的角度问题 12．如图，在中，，是的中点，是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，当时，______．    13．如图，将沿向下翻折，使顶点落在边上的点处，已知，，则（    ） A． B． C． D． 14．如图，长方形纸片中，为边上一点，将纸片沿，折叠，点落在点的位置，点落在点的位置（点在点右侧）．若，则__________． 15．如图，在三角形纸片中，，，点在上且．若在上找一点，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好与三角形的一边平行，则满足所有平行条件的度数为（     ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 题型五 三角形内角和定理的应用 16．如图，在中，，的度数为（     ） A． B． C． D． 17．如图，的度数为_____________． 18．如图是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片和它的平面示意图．已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 19．如图，在中，，点，分别在边，上，连接，，且，，，则的度数为_________． 题型六 直角三角形的两个锐角互余 20．如图，中于D，于E，则与的关系是________ 21．如图，是一个直角三角形，已知 ，那么 __________． 22．如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 23．在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形．如图，直线直线于点，点、点分别在射线、上；已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为4倍角三角形，则=___． 题型七 锐角互余的三角形是直角三角形 24．若一个三角形的两个角分别为和，则第三个角的度数是（   ），这个三角形是（   ） A．，直角三角形 B．，锐角三角形 C．，钝角三角形 D．，锐角三角形 25．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 26．在下列条件：①；②；③；④中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型八 三角形的外角的定义及性质 27．如图，是的外角，若，，则_______ 28．如图，在和中，与相交于点．若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 29．如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知，，，，，则是______． 30．如图，已知，P为外一点（点P不在直线，，上），且在的上方，连接，．若，，，则的度数不可能是（    ） A． B． C． D． 解答题 1．如图，、分别是的高线和角平分线，相交于点，且． (1)请证明：； (2)若，求的度数． 2．如图，两面镜子相交于点，当从固定点发出的水平光线经过镜子反射时，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，当两面镜子的夹角为锐角时，反射光线垂直镜面，光线与镜面平行（原题条件可以看成），求的度数； (3)改变两面镜子的夹角，保持反射光线垂直镜面，记与所夹锐角为与所夹锐角为，直线与直线所夹锐角等于； ①如图3，当为锐角时，求的度数； ②当为钝角时，请直接写出的度数． 3．（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 4．如图，把的纸片沿着折叠． (1)若点A落在四边形的内部点的位置（如图1），且，，请求出的度数； (2)若点A落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），求证：． 5．【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $