专题07整式的乘法知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题07整式的乘法知题通关讲义 知识点01.幂的运算性质 基本幂运算法则（a≠0，m、n为正整数） 知识点02:零指数幂与负整数指数幂（重难点 + 扣分重灾区） 1. 零指数幂 定义：任何不等于 0 的数的 0 次幂等于 1 公式：a0=1 硬性前提：a0 意义：任何非零数的 0 次幂等于 1 禁忌：00 无意义，考试高频坑 2. 负整数指数幂 定义：非零数的负整数次幂 = 正整数次幂的倒数 公式：a−p=（a0，p为正整数） 核心真谛：负指数≠负数！ 口诀：负指数，变倒数，指数变正 3.特殊指数对比详解表 4.拓展：分数负指数 口诀：分数负指数，直接倒过来 知识点03:整式乘除运算法则 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减，有括号优先括号内 知识点04:整式混合运算顺序 1.先乘方（积的乘方、幂的乘方） 2.再乘除（单项式乘除，同底数幂加减指数） 3.最后加减，合并同类项；有括号先算括号内。 知识点05:科学记数法除法 1.科学记数法基础形式 一个绝对值较小 / 较大的数写成：a 10n 要求：1 |a| < 10，n为整数 大数：n>0；小数：n<0 2.科学记数法除法计算法则 两个科学记数法相除： (a10m) (b 10n) = (a b) (10m 10n) 分步拆解： (1)系数部分相除：ab (2)10 的幂次相除：同底数幂除法，底数 10 不变，指数相减 10m-n (3)整理结果：保证新系数满足 1 |a|<10，调整 10 的指数 1. 单项式乘单项式漏乘字母因式 提醒：系数相乘，同底数幂分别相乘；不可遗漏仅在一个单项式中含有的字母及其指数。 2. 单项式乘多项式漏乘多项式的项 提醒：单项式与多项式相乘，单项式要乘遍多项式的每一项，再将积相加，不可漏乘任意一项。 3. 负系数单项式乘多项式变号不全 提醒：单项式带负号时，与多项式每一项相乘均要变号，不可仅改变首项符号。 4. 多项式乘多项式漏乘产生缺项 提醒：一个多项式的每一项，必须与另一个多项式的每一项相乘，防止漏乘缺项。 5. 多项式相乘时符号判定失误 提醒：两项相乘遵循同号得正、异号得负，每一组相乘都要判定符号，不可最后统一变号。 6. 整式混合运算颠倒运算顺序 提醒：整式混合运算顺序为先乘方，再乘法，最后加减；有括号先计算括号内，不可颠倒顺序。 7. 展开多项式后同类项合并不彻底 提醒：多项式乘法展开后，需要合并同类项，未合并至最简形式会造成答案错误。 8. 强行套用乘法公式计算普通多项式乘法 提醒：不满足平方差、完全平方公式结构的算式，不能直接套用乘法公式，应按多项式乘法法则运算。 题型 考察方向 难度 题型一 计算单项式乘单项式 ★ 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 ★★ 题型三 计算单项式乘多项式及求值 ★★ 题型四 单项式乘多项式的应用 ★★ 题型五 利用单项式乘多项式求字母的值 ★★ 题型六 计算多项式乘多项式 ★★ 题型七 （x+p）（x+q）型多项式乘法 ★★ 题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 ★★★ 题型九 多项式乘多项式 —— 化简求值 ★★★ 题型十 多项式乘多项式与图形面积 ★★★ 题型十一 多项式乘法中的规律性问题 ★★★★ 题型十二 整式乘法混合运算 ★★★ 题型十三 同底数幂的除法运算 ★ 题型十四 同底数幂除法的逆用 ★★ 题型十五 零指数幂 ★ 题型十六 计算单项式除以单项式 ★ 题型十七 用科学记数法表示数的除法 ★★ 题型十八 多项式除以单项式 ★★ 题型十九 整式四则混合运算 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 计算单项式乘单项式 1．计算：________． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．填空： （1）( )；      （2）( )； （3）( )；        （4）( )． 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 4．若，则________． 5．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．若，，则____________． 题型三 计算单项式乘多项式及求值 7．计算________． 8．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 9．若，则的值是________． 10．现规定一种运算：，其中a，b为有理数．求的值（   ） A． B． C． D． 题型四 单项式乘多项式的应用 11．化简，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 12．正方形和正方形的边长分别为，用含的代数式表示阴影部分的面积___________；（要化简哟） 13．如图，已知等腰中，，是延长线上一点，作（、在直线的同侧），使得，则当逐渐增大时，的面积大小变化情况是（     ） A．一直变大 B．一直变小 C．先变小再变大 D．保持不变 题型五 利用单项式乘多项式求字母的值 14．若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 15．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 16．对于实数a，b，c，d，规定一种运算，如．若的取值与无关，则的值为___________． 题型六 计算多项式乘多项式 17．计算的结果中，______，______． 18．如图，则长方形花园的面积为（   ） A． B． C． D． 19．若，则_____． 20．下列各式中，结果错误的是（    ） A． B． C． D． 题型七 （x+p）（x+q）型多项式乘法 21．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 22．已知 ，计算的值为________． 23．利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法． 如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 24．若的展开式中不含的一次项，则常数的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 25．已知的展开式中，不含有和，则______． 26．对于多项式，，，（a，b，c，d是常数），若与的积减去与的积，其差为常数，则a，b，c，d应满足的关系是（   ） A． B． C． D． 题型九 多项式乘多项式 —— 化简求值 27．若且，则代数式的值等于（   ） A． B．2 C． D．3 28．若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ___________． 29．实数a，b，c满足且；则 的值为（   ） A．0 B． C． D．1 题型十 多项式乘多项式与图形面积 30．小羽制作了如图所示的卡片A类，B类，C类各10张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，现要拼一个长为，宽为的大长方形，那么所准备的C类卡片的张数（    ） A．够用，剩余4张 B．够用，剩余5张 C．不够用，还缺4张 D．不够用，还缺5张 31．如图，长方形的面积是，为上一点，，为上一点，则的面积是__________． 32．如图，将图1中两个边长分别为，的正方形按如图2所示放置在长方形内（正方形两邻边与长方形两邻边重合）．若，长方形与重叠部分面积之差为，则下列各个量为定值的是（     ） A．长方形的面积 B．长方形的周长 C．的值 D．重叠部分周长 题型十一 多项式乘法中的规律性问题 33．我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．的展开式中的一次项系数是（   ） A．80 B． C． D．10 34．观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为________． 35．“杨辉三角”给出了展开式的系数规律（其中n为正整数，展开式的项按a的次数降幂排列）： 依据以上规律，写出展开式中含的系数是（   ） A． B． C． D． 题型十二 整式乘法混合运算 36．计算：______． 37．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 38．将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则=______． 题型十三 同底数幂的除法运算 39．计算：_____． 40．计算： ______． 41．计算： （1）______； （2）______． 42．实数，，满足，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 题型十四 同底数幂除法的逆用 43．已知，，则的值为______． 44．，则的值为（   ） A．71 B．7.1 C．7.2 D．72 45．如果，那么称为的“拉格数”，记为由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论： ①，②，③，④，⑤ 其中正确的结论有________． 题型十五 零指数幂 46．计算：___________． 47．如果不成立，那么a的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 48．若有意义，则的取值范围是__． 49．满足等式的所有整数解的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型十六 计算单项式除以单项式 50．的运算结果是__________________． 51．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 52．_____． 53．下列计算中，正确的个数有（    ） （1）    （2） （3）     （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十七 用科学记数法表示数的除法 54．2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（     ） A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍 55．五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍． 56．词元（Token）是大模型处理信息的最小信息单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征．2026年3月，中国日均词元调用量已突破Token.已知每消耗一度电大约可产出Token．由此估计，产出Token所消耗的电量用科学记数法表示为（   ） A．度 B．度 C．度 D．度 题型十八 多项式除以单项式 57．计算：______． 58．定义新运算符号“”：，则（    ） A． B． C． D．1 59．在等式中，括号内表示的整式是_________． 60．已知与一个多项式之积是，则这个多项式是（  ） A． B． C． D． 题型十九 整式四则混合运算 61．化简：__． 62．一多项式除以，所得商式是，余式是，则这个多项式是（　　） A． B． C． D． 63．若规定符号的意义是：，则当时，的值为______． 64．对于实数，，整式，，规定整式的运算：，．当时，若对于始终成立，则，满足的条件是（   ） A． B． C． D． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 2．计算 (1)； (2)已知，，求 3．求下列各式的值： (1)，其中； (2)，其中． 4．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 5．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含的一次项时，求的值； (3)求的值，其中． 6．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．例如图1，可得等式或 (1)如图2，请写出你发现的恒等式：________________； (2)利用（1）中的发现计算：若，，求的值； (3)利用6个相同的宽为，长为的小长方形，拼成如图3所示的大长方形，记长方形面积与长方形的面积差为S，求S（用含的代数式表示）． 7．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出成就．南宋数学家杨辉借助三角数表，阐释了二项和（，2，3，4，…）展开式的系数规律，这一数表也因此得名．如下图，该三角形图表两条斜边上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和． 例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．利用上面的规律，完成以下问题： (1)请写出的展开式为 ； (2)的展开式中共有 项，从左往右第三项的系数是 ； (3)代数推理：已知x为整数，求证：能被24整除． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07整式的乘法知题通关讲义 知识点01.幂的运算性质 基本幂运算法则（a≠0，m、n为正整数） 知识点02:零指数幂与负整数指数幂（重难点 + 扣分重灾区） 1. 零指数幂 定义：任何不等于 0 的数的 0 次幂等于 1 公式：a0=1 硬性前提：a0 意义：任何非零数的 0 次幂等于 1 禁忌：00 无意义，考试高频坑 2. 负整数指数幂 定义：非零数的负整数次幂 = 正整数次幂的倒数 公式：a−p=（a0，p为正整数） 核心真谛：负指数≠负数！ 口诀：负指数，变倒数，指数变正 3.特殊指数对比详解表 4.拓展：分数负指数 口诀：分数负指数，直接倒过来 知识点03:整式乘除运算法则 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减，有括号优先括号内 知识点04:整式混合运算顺序 1.先乘方（积的乘方、幂的乘方） 2.再乘除（单项式乘除，同底数幂加减指数） 3.最后加减，合并同类项；有括号先算括号内。 知识点05:科学记数法除法 1.科学记数法基础形式 一个绝对值较小 / 较大的数写成：a 10n 要求：1 |a| < 10，n为整数 大数：n>0；小数：n<0 2.科学记数法除法计算法则 两个科学记数法相除： (a10m) (b 10n) = (a b) (10m 10n) 分步拆解： (1)系数部分相除：ab (2)10 的幂次相除：同底数幂除法，底数 10 不变，指数相减 10m-n (3)整理结果：保证新系数满足 1 |a|<10，调整 10 的指数 1. 单项式乘单项式漏乘字母因式 提醒：系数相乘，同底数幂分别相乘；不可遗漏仅在一个单项式中含有的字母及其指数。 2. 单项式乘多项式漏乘多项式的项 提醒：单项式与多项式相乘，单项式要乘遍多项式的每一项，再将积相加，不可漏乘任意一项。 3. 负系数单项式乘多项式变号不全 提醒：单项式带负号时，与多项式每一项相乘均要变号，不可仅改变首项符号。 4. 多项式乘多项式漏乘产生缺项 提醒：一个多项式的每一项，必须与另一个多项式的每一项相乘，防止漏乘缺项。 5. 多项式相乘时符号判定失误 提醒：两项相乘遵循同号得正、异号得负，每一组相乘都要判定符号，不可最后统一变号。 6. 整式混合运算颠倒运算顺序 提醒：整式混合运算顺序为先乘方，再乘法，最后加减；有括号先计算括号内，不可颠倒顺序。 7. 展开多项式后同类项合并不彻底 提醒：多项式乘法展开后，需要合并同类项，未合并至最简形式会造成答案错误。 8. 强行套用乘法公式计算普通多项式乘法 提醒：不满足平方差、完全平方公式结构的算式，不能直接套用乘法公式，应按多项式乘法法则运算。 题型 考察方向 难度 题型一 计算单项式乘单项式 ★ 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 ★★ 题型三 计算单项式乘多项式及求值 ★★ 题型四 单项式乘多项式的应用 ★★ 题型五 利用单项式乘多项式求字母的值 ★★ 题型六 计算多项式乘多项式 ★★ 题型七 （x+p）（x+q）型多项式乘法 ★★ 题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 ★★★ 题型九 多项式乘多项式 —— 化简求值 ★★★ 题型十 多项式乘多项式与图形面积 ★★★ 题型十一 多项式乘法中的规律性问题 ★★★★ 题型十二 整式乘法混合运算 ★★★ 题型十三 同底数幂的除法运算 ★ 题型十四 同底数幂除法的逆用 ★★ 题型十五 零指数幂 ★ 题型十六 计算单项式除以单项式 ★ 题型十七 用科学记数法表示数的除法 ★★ 题型十八 多项式除以单项式 ★★ 题型十九 整式四则混合运算 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 计算单项式乘单项式 1．计算：________． 【答案】 【分析】运用单项式乘单项式的运算法则计算，即可作答． 【详解】解： 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A，，故A错误； 选项B，与不是同类项，无法合并，故B错误； 选项C，，运算正确； 选项D，，故D错误． 3．填空： （1）( )；      （2）( )； （3）( )；        （4）( )． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式与单项式相乘、单项式除以单项式等知识点，掌握单项式乘法中因式与积的关系成为解题的关键． 根据单项式乘法中因式与积的关系，逐个列式并运用单项式除法法则计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴． （3）∵， ∴． （4）∵， ∴． 故答案为：，，，． 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 4．若，则________． 【答案】 【分析】计算出的结果，可确定a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 6．若，，则____________． 【答案】1 【分析】此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝， 当 和 时， 原式． 故答案为：． 题型三 计算单项式乘多项式及求值 7．计算________． 【答案】 【分析】利用单项式乘多项式运算法则，用单项式乘多项式的每一项，再把所得积相加即可得到结果． 【详解】解：． 8．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴A错误． ∵与不是同类项，不能合并，∴，B错误． ∵中为一次项，无法得到，∴，C错误． ∵，∴D正确． 9．若，则的值是________． 【答案】 【分析】先根据单项式乘以多项式法则将式子变形为含的形式，最后整体代入已知条件求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 10．现规定一种运算：，其中a，b为有理数．求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义的运算得到整式的混合运算，根据单项式乘以多项式，就是用单项式乘以多项式的每一项，再把它们的积相加；然后合并同类项，求解即可． 【详解】解：根据新定义运算可得 ， A选项符合题意． 题型四 单项式乘多项式的应用 11．化简，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用单项式乘多项式法则求解判断即可． 【详解】解：． 12．正方形和正方形的边长分别为，用含的代数式表示阴影部分的面积___________；（要化简哟） 【答案】 【分析】本题考查整式加减的应用，单项式乘多项式．阴影部分的面积等于两个正方形面积之和减去和的面积，由此列式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．如图，已知等腰中，，是延长线上一点，作（、在直线的同侧），使得，则当逐渐增大时，的面积大小变化情况是（     ） A．一直变大 B．一直变小 C．先变小再变大 D．保持不变 【答案】D 【分析】设，，根据计算即可解答． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴设， 则， 设，则， ， ∴ ， ∴的面积大小不变． 题型五 利用单项式乘多项式求字母的值 14．若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 15．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴ ∴， 故选：B． 16．对于实数a，b，c，d，规定一种运算，如．若的取值与无关，则的值为___________． 【答案】 【分析】先根据新运算规则将转化为整式的运算，根据运算结果与的取值无关，得到关于、的关系式，即，再利用新运算规则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 的取值与无关， ， ∴． 题型六 计算多项式乘多项式 17．计算的结果中，______，______． 【答案】 【分析】将左边的多项式展开，根据多项式相等时对应项的系数相等确定p和q的值． 【详解】解：∵ ， 且， ∴， ∴，． 18．如图，则长方形花园的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：长方形花园的面积为 19．若，则_____． 【答案】 【分析】将等式左边展开，利用多项式相等对应项系数相等，求出和的值，再计算． 【详解】解：先展开等式左边，， ∵ ∴可得方程组， 解得：， ∴． 20．下列各式中，结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 对每个选项运用多项式乘法法则展开计算，对比左右两边是否相等，从而找出结果错误的选项． 【详解】解：A、与右边相等，正确，不符合题意； B、与右边相等，正确，不符合题意； C、而选项右边是，错误，符合题意； D、与右边相等，正确，不符合题意． 故选：C． 题型七 （x+p）（x+q）型多项式乘法 21．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 22．已知 ，计算的值为________． 【答案】 【分析】先将所求多项式按照多项式乘多项式法则展开，整理得到含的代数式，再根据已知等式求出的值，整体代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 23．利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法． 如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查列代数式、多项式乘多项式与几何图形面积的应用，设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再利用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为，宽为， 由图1、图2可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形面积为： ． 故选：B． 题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 24．若的展开式中不含的一次项，则常数的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】先展开多项式乘积，合并同类项后，根据展开式不含x的一次项，得到一次项系数为0，即可求解a的值． 【详解】解：， 展开式中不含的一次项， 一次项系数为，即， 解得． 25．已知的展开式中，不含有和，则______． 【答案】 【分析】首先根据多项式乘以多项式法则将原式展开，结合展开式中不含有和，可得关于，的二元一次方程组并求解，然后代入求值即可． 【详解】 ， 展开式中不含有和， ，解得，     ． 26．对于多项式，，，（a，b，c，d是常数），若与的积减去与的积，其差为常数，则a，b，c，d应满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式，整式的加减运算，根据为常数，可得化简后式子中x项的系数为0，由此可解． 【详解】解： ， 与的积减去与的积，其差为常数， ， ， 故选C． 题型九 多项式乘多项式 —— 化简求值 27．若且，则代数式的值等于（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式—化简求值，先利用多项式乘以多项式的计算法则求出所求式子的结果为，再利用整体代入法计算求解即可． 【详解】解：∵且， ∴ ， 故选：A． 28．若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ___________． 【答案】9 【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的值，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∴ ， 所以当时，的值为9． 故答案为：9． 29．实数a，b，c满足且；则 的值为（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是求代数式的值．熟练掌握多项式乘多项式法则，等式变形，整体代入，是解题的关键． 根据整式的乘法法则计算，结果中保留，由得，根据即得． 【详解】解：∵ ， 且， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 题型十 多项式乘多项式与图形面积 30．小羽制作了如图所示的卡片A类，B类，C类各10张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，现要拼一个长为，宽为的大长方形，那么所准备的C类卡片的张数（    ） A．够用，剩余4张 B．够用，剩余5张 C．不够用，还缺4张 D．不够用，还缺5张 【答案】D 【分析】根据长方形的面积公式求出拼成的大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解． 【详解】解：∵大长方形的面积为， C类卡片的面积是， ∴需要C类卡片的张数是15， ∴不够用，还缺5张． 31．如图，长方形的面积是，为上一点，，为上一点，则的面积是__________． 【答案】45 【分析】本题考查了代数式整体代换思想和三角形面积的特殊求法．长方形和直角三角形面积易得，利用长方形面积减去周围三个直角三角形面积即可求出的面积． 【详解】解：设，， ， ， ， ， ． 32．如图，将图1中两个边长分别为，的正方形按如图2所示放置在长方形内（正方形两邻边与长方形两邻边重合）．若，长方形与重叠部分面积之差为，则下列各个量为定值的是（     ） A．长方形的面积 B．长方形的周长 C．的值 D．重叠部分周长 【答案】D 【详解】解：设重叠部分的长和宽分别为、， 由题意得，， 又长方形与重叠部分面积之差为， ， 整理得， ， ， ，即重叠部分周长为，为定值，即D选项符合题意， 长方形的面积为， 、非定值， 非定值， 长方形的面积非定值，即A选项不符合题意； 长方形的周长为， 长方形的周长非定值，即B选项不符合题意； 由于，故、有多种取值的可能，如：，，；，，；故的值非定值，即C选项不符合题意． 题型十一 多项式乘法中的规律性问题 33．我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．的展开式中的一次项系数是（   ） A．80 B． C． D．10 【答案】A 【分析】根据数字的变化规律可得的系数由左向右依次是、、、、、，把看作是，看作是，根据规律把展开即可得到的一次项系数． 【详解】解：根据题意可得， ， ∴ ， ∴的展开式中的一次项系数是. 34．观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为________． 【答案】 【分析】先根据已知等式总结规律，将原方程化简得到，然后求解，再代入求值即可． 【详解】解：观察已知等式，可得规律：， 对于， 根据规律得， 即， 解得或， 当时，； 当时，， 因此代数式的值为． 35．“杨辉三角”给出了展开式的系数规律（其中n为正整数，展开式的项按a的次数降幂排列）： 依据以上规律，写出展开式中含的系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据展开式的规律，发现每个展开式的第二项系数是n，第一个字母的指数为，第二个字母的指数为1，依此规律解答即可． 本题考查了规律的探索，熟练掌握规律的发现是解题的关键． 【详解】解：由题意发现： 中，每个展开式的第二项系数是n，第一个字母的指数为，第二个字母的指数为1， 故的第二项为， 故含项的系数是． 故选：D． 题型十二 整式乘法混合运算 36．计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，正确掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 利用幂的乘方和积的乘方依次化简计算即可． 【详解】解：原式=， 故答案为：． 37．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键．根据整式的运算性质，逐项计算并判断即可． 【详解】解：A、，该选项正确，符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选A． 38．将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则=______． 【答案】9 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，整式的乘法运算，根据题意化简，得，再化简解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 即， 解得． 故答案为： 9． 题型十三 同底数幂的除法运算 39．计算：_____． 【答案】 【详解】解：． 40．计算： ______． 【答案】 【详解】解： ． 41．计算： （1）______； （2）______． 【答案】 5 【分析】本题考查了0指数幂、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法等知识，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键； （1）先计算有理数的乘方、0指数幂和同底数幂的除法，再计算加减； （2）先计算幂的乘方、积的乘方，再进行同底数幂的乘除运算即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：5； （2） ； 故答案为：． 42．实数，，满足，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据已知得出，，进而得到，，再代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 题型十四 同底数幂除法的逆用 43．已知，，则的值为______． 【答案】/0.25 【分析】根据同底数幂除法的逆运算计算即可． 【详解】解：． 44．，则的值为（   ） A．71 B．7.1 C．7.2 D．72 【答案】C 【分析】本题是对整式乘法的考查，熟练掌握同底数幂乘除法及幂的乘方知识是解决本题的关键． 利用同底数幂乘除法及幂的乘方知识，对原式变形，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 45．如果，那么称为的“拉格数”，记为由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论： ①，②，③，④，⑤ 其中正确的结论有________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键．结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算进行计算即可． 【详解】解：由题意，∵ ，故①错误； ∵ ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 设， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴，故④正确； ∴， ∵ ∴ ∴，故⑤错误； 那么正确的有②③④． 故答案为：②③④． 题型十五 零指数幂 46．计算：___________． 【答案】4 【分析】先分别计算绝对值和零指数幂，再求和得到结果． 【详解】解：原式． 47．如果不成立，那么a的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了零指数幂有意义的条件．根据零指数幂成立的条件是底数，当该等式不成立时，底数为0，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵不成立， ∴， ∴． 故选：D 48．若有意义，则的取值范围是__． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂的定义，熟练掌握零指数幂的定义是解答本题的关键． 根据零指数幂的定义解答即可． 【详解】解：有意义， ， 解得：， 故答案为：． 49．满足等式的所有整数解的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘方的运算，零指数幂，解题的关键是考虑周全所有情况． 根据1的任何次幂都为1，的偶次幂为1，除0外的任何数的0次幂为1，进行求解即可． 【详解】解：由得， ， 当时，，此时，； 当时，或； 当时，或， 当时，，此时，，不符合题意； 当时，，此时，，符合题意； 所以，符合题意的整数解的个数为4， 故选：B． 题型十六 计算单项式除以单项式 50．的运算结果是__________________． 【答案】 【分析】将系数和同底数幂分别相除，再把所得结果相乘即可得到答案． 【详解】解： 51．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，所以A错误； 选项B：与是同类项，，计算正确，所以B正确； 选项C：，所以C错误； 选项D：与不是同类项，不能合并，所以D错误． 52．_____． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，根据积的乘方，单项式除以单项式运算法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 53．下列计算中，正确的个数有（    ） （1）    （2） （3）     （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，单项式除以单项式，积的乘方，多项式除以单项式，熟练掌握运算法则，逐一计算判断即可． 【详解】解：（1），正确，符合题意； （2），错误，不符合题意； （3），错误，不符合题意；     （4），错误，不符合题意； 故选：A． 题型十七 用科学记数法表示数的除法 54．2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（     ） A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍 【答案】D 【详解】解：由题意得． 55．五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍． 【答案】5 【分析】本题考查了科学记数法和单项式除以单项式，先把数据用科学记数法表示，根据题意列出算式，再根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ，， ， 阵风战机价格是歼-10C的5倍． 故答案为：5． 56．词元（Token）是大模型处理信息的最小信息单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征．2026年3月，中国日均词元调用量已突破Token.已知每消耗一度电大约可产出Token．由此估计，产出Token所消耗的电量用科学记数法表示为（   ） A．度 B．度 C．度 D．度 【答案】C 【详解】解：度． 题型十八 多项式除以单项式 57．计算：______． 【答案】 【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 58．定义新运算符号“”：，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】解：∵ ∴ ． 59．在等式中，括号内表示的整式是_________． 【答案】 【分析】利用多项式除以单项式即可得到结果． 【详解】设括号内的整式为， 由题意得， ． 60．已知与一个多项式之积是，则这个多项式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘多项式，根据乘法与除法的互逆关系，可得整式的除法，根据整式的除法，可得答案． 【详解】解：由与一个多项式之积是，得 ， 即这个多项式是． 故选：C． 题型十九 整式四则混合运算 61．化简：__． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是关键． 根据整式的混合运算法则进行计算． 【详解】解：原式． 故答案为：． 62．一多项式除以，所得商式是，余式是，则这个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算，设该多项式为A，根据题意列出等式即可求出答案． 【详解】解：设多项式为A， ∴ 故选：A． 63．若规定符号的意义是：，则当时，的值为______． 【答案】 【分析】根据定义对所求式子进行化简，再把已知代入计算即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ∵， ∴， ∴． 64．对于实数，，整式，，规定整式的运算：，．当时，若对于始终成立，则，满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则．由，，推出，结合，即可求解． 【详解】解：，， 当时，则， 当时，则， ， ， 始终成立， ， ， ， 故选：D． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 2．计算 (1)； (2)已知，，求 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算； （1）根据指数运算法则进行化简计算； （2）化为同底数幂形式，通过指数相等建立方程组求解． 【详解】（1）解： ； （2）∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又 ∵ ，， ∴ ， ∴ ， 将 代入 ， 得 ， ， 解得：， ∴ ， ∴ ． 3．求下列各式的值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过整式的乘除运算去掉括号，再合并同类项化简，然后代入计算得出结果； （2）先用整式的乘法去掉小括号，合并同类项后，进行整式的除法运算，再代入的值计算得出结果． 【详解】（1）解： ． 将代入得： 原式． （2） ． 将代入得： 原式． 4．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 5．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含的一次项时，求的值； (3)求的值，其中． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含的一次项，令含的一次项的系数为 0 进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解： ， ∵代数式中不含的一次项， ， ． （3）解：， ， ， 原式． 6．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．例如图1，可得等式或 (1)如图2，请写出你发现的恒等式：________________； (2)利用（1）中的发现计算：若，，求的值； (3)利用6个相同的宽为，长为的小长方形，拼成如图3所示的大长方形，记长方形面积与长方形的面积差为S，求S（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用两种方法表示出大正方形的面积即可解答； （2）利用（1）的结论求解即可； （3）根据图3可得：，设长方形的长为c，则长方形的长为，宽为；长方形的长为，宽为；然后求出长方形面积与长方形的面积，最后作差即可解答． 【详解】（1）解：图2的正方形的面积一种表示方法为，另一种表示方法为， 所以． （2）解：设，则 ， ， ∵， ∴ ， 解得：． （3）解：由图可知：， 设长方形的长为c，则长方形的长为 ，宽为； 长方形的长为 ，宽为； ∴长方形的面积为，长方形的面积为， ∴长方形面积与长方形的面积差为，即． 7．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出成就．南宋数学家杨辉借助三角数表，阐释了二项和（，2，3，4，…）展开式的系数规律，这一数表也因此得名．如下图，该三角形图表两条斜边上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和． 例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．利用上面的规律，完成以下问题： (1)请写出的展开式为 ； (2)的展开式中共有 项，从左往右第三项的系数是 ； (3)代数推理：已知x为整数，求证：能被24整除． 【答案】(1) (2)8，21 (3)证明：根据二项和（，2，3，4，…）展开式的系数规律，可得 ， ∵x为整数， ∴是整数， ∴是24的倍数，即能被24整除． 【分析】(1)根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的系数规律先确定展开式中各项的系数，再确定每一项中对应的次数即可得到展开式； (2)根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的项数规律得到展开式的项数比n大1，即项数为，可得的展开式中的项数，再根据展开式中的系数规律得到从左到右各项的系数即可得出答案； (3)根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的项数及系数的规律将代数式展开并化简，再提取公因数即可证得结论． 【详解】（1）解：根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的系数规律可知，的展开式中从左到右各项的系数为1，5，10，10，5，1，每一项中a的次数按降幂排列从5降到0，b的次数按升幂排列从0升到5， ∴； （2）解：根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的项数规律可知，展开式的项数比n大1，即项数为， ∴的展开式中共有(项)； 根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的系数规律可知，的展开式中从左到右各项的系数为1，7，21，35，35，21，7，1， ∴的展开式中从左到右第三项的系数是21； （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $