16.3 乘法公式 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦乘法公式（平方差公式、完全平方公式、添括号法则），通过回顾多项式乘法、去括号法则等旧知导入，以“具体-抽象”为支架，引导学生从特例计算过渡到公式推导，构建新旧知识联系。 特色在于融合数形结合（如平方差公式用面积验证）与推理探究（完全平方公式从特例到一般推导），培养几何直观（数学眼光）和推理意识（数学思维），通过符号与文字语言转化提升数学表达，助力学生理解公式本质，教师教学重点突出、流程清晰。

16.3 乘法公式 16.3.1 平方差公式 课题 平方差公式 课型 新授课 教学内容 教材第112-114页的内容 教学目标 1.掌握平方差公式的结构特征，理解平方差公式的意义. 2.能正确地运用平方差公式. 3.经历完全平方公式的探索过程，培养学生观察、归纳、猜想、验证等能力. 教学重难点 教学重点：平方差公式的推导及应用. 教学难点：灵活运用平方差公式进行乘法运算. 教学活动 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入新课 【问题1】在16.2节中，我们学习了整式的乘法，知道了多项式与多项式相乘的法则，根据所学知识，计算下列多项式的积，你能发现什么规律? (1)(x+1)(x-1)= ； (2)(m+2)(m-2)= ； (3)(2x+1)(2x-1)= . 【师生活动】学生计算，三位学生在黑板上板书，师生共同分析板书的结果. 2.发现探究，学习新知 【追问1】上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？ 【学生活动】学生观察并独立思考，尝试着进行概括发现相乘的两个多项式均为相同的两个数的和、两个数的差的形式，而且这两个多项式的积恰好是这两个数的平方差. 【追问2】你能将发现的规律用式子表示出来吗？ 【师生活动】学生在教师指导下尝试用含字母的式子表示上述规律(a+b)(a-b)=a2-b2. 【追问3】你能对发现的规律进行推导吗？ 【学生活动】运用多项式乘法法则及合并同类项可以推导此公式，学生自主推导. 【问题2】前面探究所得的式子(a+b)(a-b)=a2-b2，称为（乘法的）平方差公式，你能将平方差公式用文字语言表述吗？ 【学生活动】学生回答问题，相互补充：两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 【问题3】(1)正方形ABCD按如图所示的方式裁掉绿色矩形部分，剩下的面积应该怎么表示呢？ (2)图中长方形AEFG的面积应该怎么表示呢？ （黄、橙色改为绿色，其他两个正方形为灰色） 【学生活动】学生根据图中标注尺寸分别表示相应面积：（1）a2-b2；（2）(a+b)(a-b). 【追问4】由上述两种方法表示的面积之间的关系能得到什么结论呢? 【师生活动】教师引导学生发现两个绿色长方形之间的关系，并得出结论(a+b)(a-b)=a2-b2. 3.学以致用，应用新知 【例1】运用平方差公式计算： (1)(3x+2)(3x-2)；(2)(-x+2y)(-x-2y)． 解：(1)(3x+2)(3x-2)＝(3x)2-22＝9x2-4. (2)(-x+2y)(-x-2y)＝(-x)2-(2y)2＝x2-4y2. 【例2】计算： (1)(x-1)(x+1)(x2+1)； (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)； (3)102×98. 解：(1)(x-1)(x+1)(x2+1)=(x2-1)(x2+1)=x4-1. (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)＝y2-22-(y2+4y-5)＝y2-4-y2-4y+5＝-4y+1. (3)102×98＝(100+2)(100-2)＝1002-22＝10 000-4＝9 996. 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列能用平方差公式计算的是( ) A．(－x＋y)(x－y) B．(x－1)(－1－x) C．(2x＋y)(2y－x) D．(x－2)(x＋1) 答案：B （2）运用平方差公式计算： ①(m＋2n)(m－2n)； ②(－4a＋3)(－4a－3)； ③1 007×993； ④(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)． 解：①原式＝m2－4n2. ②原式＝(－4a)2－32＝16a2－9. ③原式＝(1 000＋7)×(1 000－7)＝1 0002－72＝999 951. ④原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.平方差公式的结构特征是什么？ 3.应用平方差公式时要注意什么？ 6.布置作业 教材P113练习1-3，教材P117习题16.3第1,5题. 承前启后，为本节内容的引入作铺垫； 让学生在每个算式的计算过程中进一步巩固多项式乘法法则，体会多项式乘法与本节内容的关系“一般——特殊”；三个特殊的算式是有代表性和层次性，可以为抽象概括出一般的结论奠定基础. 让学生经历具体--抽象的过程，即经历观察、比较、概括、推理的过程，从中体会研究数学问题的基本思想方法“具体--抽象”. 让学生将符号语言转化为文字语言，发展学生的数学语言表达能力；学生在用文字语言表述公式内容时，可以加深对公式结构特征的理解. 通过探究活动，让学生认识平方差公式的几何意义，使学生更好地理解这一公式，并在此过程中体会数形结合思想. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括平方差公式及其应用. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 16.3.2 完全平方公式 第1课时 完全平方公式 课题 完全平方公式 课型 新授课 教学内容 教材第114-116页的内容 教学目标 1.掌握完全平方公式的结构特征，理解完全平方公式的意义. 2.能正确地运用完全平方公式. 3.积累研究数学问题的经验，激发学习兴趣，培养创新能力和探索精神. 教学重难点 教学重点：完全平方公式的推导及应用. 教学难点：灵活运用完全平方公式进行乘法运算. 教学活动 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入新课 【问题1】根据乘方的定义可知a2＝a·a，那么(a＋b)2 应该写成什么样的形式呢？怎样进一步运算呢？计算下列各式： (1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)=________； (2)(m＋2)2＝( )( )=________； (3)(p－1)2＝( )( )=________； (4)(m－2)2＝( )( )=________. 【学生活动】学生依据多项式的乘法运算律独立完成计算． 2.发现探究，学习新知 【追问1】通过上面的计算你能发现什么规律？ 【学生活动】学生分成小组，讨论、观察、探讨，发现规律如下： (1)右边第一项是左边括号中第一项的平方，右边最后一项是左边括号中第二项的平方，右边中间一项是左边括号中第一项和第二项乘积的2倍． (2)左边如果为“＋”号，右边全是“＋”号，左边如果为“－”号，右边中间一项的符号就为“－”号，其余都为“＋”号． 【追问2】问题1中左边的平方式我们可以用(a＋b)2与(a－b)2统一表示，你能利用多项式乘法以及幂的意义对这两个平方式进行计算，验证上面的规律是否正确吗？ 【师生活动】教师请学生板书进行计算： (a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2. (a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2. 教师带领学生观察两式，并与问题1中的计算结果进行对比，验证前面发现的规律的正确性. 所以，对于具有此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. (a－b)2＝a2－2ab＋b2. 【追问3】这两个公式叫作（乘法的）完全平方公式.你能用文字语言描述这两个公式吗？ 【师生活动】学生用自己语言叙述，教师知道总结：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍． 【问题2】如图，一块边长为a m的正方形实验田，现将其边长增加b m，求扩大后的实验田的面积. 【学生活动】学生回答问题：实验田扩大后是边长为(a＋b)m的大正方形，所以面积为S＝(a＋b)2 m2. 【追问1】请同学们思考一下还有别的计算方法吗?能不能将实验田按图中所示分成四小块分别计算再求和？ 【学生活动】学生思考、计算、讨论：四块面积分别为：a2、ab、ab、b2；四块面积的和S＝a2＋2ab＋b2． 【追问2】上述两种计算方法得到的结果之间有什么关系呢？你能得到什么结论？ 【学生活动】学生回答(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. 【追问3】如果将该正方形田地的边长缩减b m，则其面积又是多少？类比问题2的探究方法进行探究，你能得到什么结论？ 【学生活动】学生通过计算、探讨后回答：(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 【追问4】通过前面两个问题的研究，你们发现了什么？ 【师生活动】师生共同探讨：通过几何方法验证了完全平方公式的正确性. 【问题3】请同学们思考下面的问题：(a＋b)2与(-a-b)2相等吗？(a-b)2与(b-a)2相等吗？(a-b)2与a2-b2相等吗？ 【学生活动】学生根据完全平方公式进行计算推导，得出结论：(a＋b)2与(-a-b)2相等，(a-b)2与(b-a)2相等，(a-b)2与a2-b2不相等. 3.学以致用，应用新知 【例1】运用完全平方公式计算： (1)(4m＋n)2；(2)(y－)2. 解：(1)(4m＋n)2＝(4m)2＋2·(4m)·n＋n2＝16m2＋8mn＋n2. (2)(y－)2＝y2－2·y·＋()2＝y2－y＋. 【例2】运用完全平方公式计算： (1)1022；(2)992. 解：(1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝10 404. (2)992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12＝9 801. 4.随堂训练，巩固新知 （1）运用完全平方公式计算: ① (6a+5b)2；②(4x-3y)2 ；③(2m-1)2 ；④(-2m-1)2 . 解：①原式=36a2+60ab+25b2 . ②原式==16x2-24xy+9y2. ③原式=4m2-4m+1. ④原式=4m2+4m+1. （2）已知x－y＝6，xy＝－8.求: ① x2＋y2的值； ②(x+y)2的值. 解：①∵x－y＝6，xy＝－8，(x－y)2＝x2＋y2－2xy， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝36－16＝20. ②∵x2＋y2＝20，xy＝－8，∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy＝20－16＝4. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.完全平方公式的结构特征是什么？ 3.应用完全平方公式时要注意什么？. 6.布置作业 教材P115练习1-3，教材P117习题16.3第2,4,6-8题，教材P121复习题第5,7，8,12题. 通过计算四个平方式，让同学们观察总结计算结果的规律，得到规律性结果. 通过小组讨论发现规律，锻炼学生的观察能力，归纳总结能力，小组合作能力. 前面通过几个特例总结规律，这里对于一般化的(a＋b)2与(a－b)2进行计算，验证上述规律的正确性，完成从特殊到一般的研究过程. 进一步通过对几何图形的研究验证完全平方公式，从几何的角度进行解释，让学生从不同的角度理解这一公式. 通过讨论该问题，让学生发现不同代数式之间的关系，加深对公式的理解，规避在公式使用过程中的常见错误. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括运用完全平方公式进行计算、运用完全平方公式求值. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 完全平方公式 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍． 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 第2课时 添括号法则 课题 添括号法则 课型 新授课 教学内容 教材第116-117页的内容 教学目标 1. 掌握添括号法则，会运用法则进行整式变形. 2. 经历由去括号到添括号的探索过程，培养逆向思维能力，渗透类比、转化和整体思想. 3. 积累研究数学问题的经验，激发学习兴趣，培养创新能力和探索精神. 教学重难点 教学重点：添括号法则. 教学难点：运用法则进行整式变形. 教学活动 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入新课 【问题】请同学们利用去括号法则去括号． (1)a+(b+c)；　(2)a-(b+c)． 【学生活动】学生自行解题. 解：(1)a+(b+c)＝a+b+c. (2)a-(b+c)＝a-b-c. 【追问】同学们还记得去括号法则吗？ 【学生活动】去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里各项不变号；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都变号． 2.发现探究，学习新知 【问题1】大家还记得加法交换律吗？结合（1）中的运算进行讨论. 【师生活动】教师请同学们回答加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.用字母表示：加法结合律:(a+b)＋c=a＋(b+c). 【师生活动】教师引导学生观察加法结合律，发现式中添加括号改变了运算顺序，（1）中去括号的过程a+(b+c)＝a+b+c，其实是加法结合律反过来，去括号改变运算顺序. 【追问】在加法运算中去括号、添括号，可以改变运算顺序，那么含减号的式子是否也可以通过去括号、添括号，改变运算顺序呢？请结合（2）中a-(b+c)＝a-b-c去括号的过程进行讨论. 【师生活动】教师引导学生讨论，（2）中去括号的作用：通过去括号使运算顺序发生改变.式子反过来，a-b-c＝a-(b+c)是一个添括号的过程，运算顺序也发生了改变. 【教师活动】教师总结：无论是之前学过的去括号，还是添括号都是为了改变运算顺序，使运算更简便. 【问题2】我们学习了去括号的法则，那么添括号又有什么法则呢？ 【师生活动】教师引导学生思考：添括号和去括号是互逆的，所以我们可以得到添括号法则： a+b+c＝a+(b+c). a-b-c＝a-(b+c). 【追问】请同学们观察上述两式，用文字语言表述添括号法则. 【师生活动】教师引导学生观察两式，在括号前是正号、负号两种情况下添括号的规律，形成文字表述： 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号； 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 3.学以致用，应用新知 【例1】运用乘法公式计算： (1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)； 解：(x＋2y－3)(x－2y＋3) ＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)] ＝x2－(2y－3)2 ＝x2－(4y2－12y＋9) ＝x2－4y2＋12y－9.　　　　 (2)(a＋b＋c)2. 解：(a＋b＋c)2 ＝[(a＋b)＋c]2 ＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2 ＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2 ＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. 4.随堂训练，巩固新知 （1）在括号里填上适当的项： ①a＋2b－c＝a＋( )； ②a－b－c＋d＝a－( )； ③(a－b－c)(a－b＋c)＝[a－( )][a－( )]． 答案：①2b－c ②b＋c－d ③b＋c b－c （2）计算： ①(a－b＋c)2； ②(1－2x＋y)(1＋2x－y)． 解：①原式＝[(a－b)＋c]2 ＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c ＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc； ②原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)] ＝12－(－2x＋y)2 ＝1－4x2＋4xy－y2. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.添括号法则有哪些需要注意的地方？ 6.布置作业 教材P117练习1-3，教材P117习题16.3第3题. 回顾之前学习的去括号法则，帮助学生复习旧知，进而引出本节课的学习内容. 联系加法结合律和去括号法则，对添括号的必要性和作用进行说明，让学生对这部分内容有进步一的理解. 根据去括号法则推出添括号法则，从去括号法则得出添括号时那些想放在括号内，括号前用什么符号. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括添括号法则在整式乘法中的应用. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 添括号法则 a+b+c＝a+(b+c) a-b-c＝a-(b+c) 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号； 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $