专题二 三角形的内角与外角典型题培优系列【（挑战压轴题）导图知识卡片+八大考点讲练+优选题训练 共39题】2026-2027学年人教版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦三角形的内角与外角核心知识点，系统梳理内角和定理证明、与平行线/角平分线结合的角度问题、折叠中的角度计算、直角三角形锐角互余及外角性质等八大考点，形成从基础到综合应用的递进学习支架。 资料以思维导图构建知识体系，结合典例精讲与优选真题，通过尺规作图辅助线证明、折叠问题分析等培养几何直观与推理能力。课中助力教师分层教学，课后帮助学生强化练习，提升解决复杂问题的应用意识。

2026-2027学年人教版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题二 三角形的内角与外角 【思维导图+八大考点讲练+优选真题练 共39题〔解析版〕】 目 录 【思维导图 知识梳理】 2 【压轴考向 考点讲练】 2 【压轴考点01】三角形内角和定理的证明 2 【压轴考点02】与平行线有关的三角形内角和问题 7 【压轴考点03】与角平分线有关的三角形内角和问题 10 【压轴考点04】三角形折叠中的角度问题 15 【压轴考点05】三角形内角和定理的应用 17 【压轴考点06】直角三角形的两个锐角互余 23 【压轴考点07】锐角互余的三角形是直角三角形 27 【压轴考点08】三角形的外角的定义及性质 33 【优选真题 实战演练】 40 【压轴考点01】三角形内角和定理的证明 【典例精讲】（25-26七年级下·广东佛山·期末）学习完七年级下册第86页“三角形内角和定理”后，小华发现：不通过撕、拼的方法，而是在的顶点处，通过尺规作图添加适当辅助线，也可说明 (1)请在图中用尺规作图作出所需辅助线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据所作辅助线，完成下面的证明过程． 如图，在中，过点作直线， 根据_____________________________ 得到_________，_________， 根据平角定义，___________________________， 因此，，即． 【答案】(1)如图所示，直线即为所求 (2)如图，在中，过点作直线， 根据两直线平行，内错角相等， 得到，， 根据平角定义，． 因此，，即 【思路引导】（1）根据作一个角等于已知角，作出辅助线即可； （2）利用平行线的性质及平角的定义可证明结论． 【对应练习1】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③过上一点D作， ④过点C作于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)证明见解析 【思路引导】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【规范解答】（1）解：能证明“三角形内角和是”的方法是①②③； （2）解：①∵， ∴，， ∵， ∴， 故①能证明“三角形内角和是”； ②∵， ∴，， ∵， ∴， 故②能证明“三角形内角和是”； ③∵，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 故③能证明“三角形内角和是”； ④∵， ∴， 故④不能证明“三角形内角和是”． 【对应练习2】解答下列各题 (1)如图1，点在上，，，求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于点，若比大，求的度数； (3)如图3，若，，平分，平分，作，直接写出的大小（用的代数式表示）．    【答案】(1) 证明：如图1，延长交于点F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) (3) 【思路引导】（1）如图1，延长交于点F，根据，，可得，所以，可得，再根据即可解答； （2）如图2，作，根据，可得，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据比大，列出等式即可求的度数； （3）如图3，过点E作，设直线和直线相交于点G，根据平行线的性质和角平分线定义可求的度数． 【规范解答】（1）略 （2）解：如图2，作，    ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∵比大， ∴， ∴，解得: ． ∴的度数为； （3）解：如图3，过点E作，设直线和直线相交于点G，    ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了三角形的内角和定理、平角的定义、平行线的判定和性质等知识点，正确地作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 【压轴考点02】与平行线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图，，． (1)证明：； (2)若，平分，直接写出的度数． 【答案】(1)证明： ， ， ， ， ； (2) 【思路引导】（1）根据平行线性质推出，再结合题意进行等量代换推出，进而即可证明； （2）利用角平分线定义求出，进而得到，再根据求解，即可解题． 【规范解答】（1）略 （2）解： 平分， ， ， 结合（1）可知， ， ． 【对应练习1】（25-26七年级下·四川广元·期末）如图，，E为上一点，，过点E作于点G，平分，且， 则下列结论中： ①； ②；③； ④平分；其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】根据平行线的性质及垂直定义可得，结合及平行线性质求出，进而判断①②；利用角平分线及三角形内角和定理求出，即可判断③；通过已证结论即可判断④． 【规范解答】解：，， ，即，故①正确； ， ， ， ， ， ，即，， ， ， ，故②正确； 平分， ， 在中，，故③正确； ∵，若平分，则需， 但根据已知条件不能推出，因此不能推出平分，结论④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个． 【对应练习2】（25-26七年级下·浙江金华·期末）如图，，被直线所截，，将线段沿着直线平移得到线段，连接．在平移过程中，当时，的度数是_______． 【答案】/度 【思路引导】两直线平行，同位角相等，得出的度数，利用平角得出的度数，根据三角形内角和为即可求出的度数． 【规范解答】解：线段和线段交于点D， ∵ 线段平移后得到线段， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 解得． 【压轴考点03】与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）如图，在中，于点D，平分，交于点E． (1)若，，求，的度数； (2)若，试猜想与有何关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)猜想：； 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即此时在左侧， ∴ ． 【思路引导】（1）先根据三角形内角和定理得出，再根据角平分线定义求出，然后根据直角三角形两锐角互余求出，根据三角形外角性质求出； （2）根据角平分线定义，结合三角形内角和定理得出，根据直角三角形两锐角互余得出，，最后根据角度间关系，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【对应练习1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为，则的面积_______； (2)当，时，求的度数． (3)若，的周长比的周长多，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据是的中线，的面积为，即可求出的面积； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运用三角形内角和性质以及三角形的高进行求解即可； （3）根据是的中线，得到，由的周长比的周长多，推出，即可求解． 【规范解答】（1）解： 是的中线，的面积为， ； （2）解： ，， ， 平分， ， 是的高， ， ， ； （3）解： 是的中线， ， 的周长比的周长多， ， 则， ， ． 【对应练习2】（25-26七年级下·四川达州·期末）已知，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，且于E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分交于点F，平分交于点G，求的度数； (3)如图3，P为线段上一点，I为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，则，，之间的数量关系是． 【答案】(1)证明：如图1中，过E作． ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) (3)或． 【思路引导】（1）如图1中，过E作．利用平行线的性质即可解决问题． （2）如图2中，作，，设，，可得，证明，，推出即可解决问题． （3）分两种情形分别画出图形求解即可． 【规范解答】（1）略 （2）解：如图2中，作，， 设，， 由（1）知：，， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ； （3）解：如图，设交于． 当点N在内部时， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ． 当点在直线的下方时， ∵， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 综上所述：或． 【压轴考点04】三角形折叠中的角度问题 【典例精讲】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么________． 【答案】43 【思路引导】由折叠的性质得出，再由三角形内角和定理得出． 【规范解答】解：由折叠的性质可知：， ∵， ∴． 【对应练习1】如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据折叠的性质可知，根据三角形内角和定理可得，进而可得原三角形的的度数． 【规范解答】解：由折叠的性质可知，则， ，，, 即， 解得． 【对应练习2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图1，中，是边上的点，先将沿着翻折，使点落在点处，且，交于点（如图2），又将沿着翻折，使点落在点处，若点恰好落在上（如图3），且，则______． 【答案】84 【思路引导】根据翻折，平行的性质得到，结合题意得到，在中，由三角形内角和定理得到，最后在中由三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】解：∵先将沿着翻折， ∴，， ∵， ∴， ∵将沿着翻折，使点落在点处，点恰好落在上， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，， ∴， 在中， ， 故答案为：． 【压轴考点05】三角形内角和定理的应用 【典例精讲】（26-27八年级上·河南开封·开学考试）如图，在中，是中线，是边上的高，点F在上且，于点G (1)若，，求的度数； (2)若．求的长 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据直角三角形性质推出，，进而推出，再结合垂线定义，以及直角三角形性质推出，进而即可求出的度数； （2）连接，设，利用三角形中线性质得到，再根据三角形等高，面积比等于底边之比，推出，，最后结合三角形面积公式求解，即可解题． 【规范解答】（1）解： ，， ， ， ， 是边上的高， ， ， ， ， 于点G， ， ． （2）解：连接， 设， 是中线， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 【对应练习1】（26-27八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，在中，，平分，交于点F． (1)若，，求的度数； (2)在（1）的条件下，判断与是否垂直，并说明理由； (3)直接写出当与满足怎样的数量关系时，． 【答案】(1) (2)与不垂直，理由如下： 由（1）知：， 平分， ， ， 与不垂直． (3)当时， 【思路引导】（1）利用三角形内角和求出的度数，两直线平行，同位角相等,即可求出的度数； （2）判断与是否垂直，看是否为，根据（1）的答案以及角平分线的定义求出的度数，利用三角形内角和求的度数； （3）逆向思维，假设，可以用和代替，过程同第二问，代入即可． 【规范解答】（1）解：，， ， ， ； （2）略 （3）当时，，理由如下： ∵， ， ， ， 平分， ， 在中，， ， ． 【对应练习2】（25-26七年级下·河南洛阳·期末）如图，，平分，过射线上一点作交射线于点，点是直线上一点，连接，平分交于点．（提示：三角形的内角和为） (1)如图1，当点与点重合时，________________； (2)如图2，当点在线段上时，，求的度数； (3)当点在直线（不与，重合）上时，，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或或 【思路引导】（1）根据平分，求出，根据平行线的性质求出，由平分，得到，最后根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据平分，求出，根据平行线的性质求出，由平分，得到，最后根据三角形的内角和定理即可求解； （3）根据平分，求出，根据平行线的性质求出，分三种情况：当点在线段左侧时，当点在线段上时，当点在线段右侧时，根据角平分线的定义，三角形的内角和定理以及三角形的外角性质求解即可． 【规范解答】（1）解： ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ； （2） ，平分， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ； （3） ，平分， ， ， ， ， 当点在线段的反向延长线上时， ， ， ， ， 平分， ， ； 当点在线段上时， ，， ， ， 平分， ， ； 当点在线段的延长线上时， ，， ， ， 平分， ， ； 综上所述，的度数为或或． 【压轴考点06】直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）如图，长方形中，点是边上一点，连接，过点作交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】利用长方形的性质得出直角，结合垂直定义利用同角的余角相等求出，最后在直角三角形中求解． 【规范解答】解：四边形是长方形， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，． 【对应练习1】（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，当为的平分线时，将沿着翻折，得到．如下结论：①点落在上；②；③平分．结论正确的是（     ） A．①②正确 B．②③正确 C．①③正确 D．①②③都正确 【答案】D 【思路引导】根据三角形内角和及角平分线求出，结合翻折得到，由此判断①；根据翻折性质得到，结合①即可判断②；根据直角三角形两锐角互余判断③． 【规范解答】解：在中，，， ∴， 当为的平分线时，， 由翻折得， ∴， ∴点落在上，故①正确； 由翻折得， 由①知点落在上， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴平分，故③正确． 【对应练习2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形中，点E在延长线上，连接交于F，，． (1)求证：； (2)如图1，若，求证：平分； (3)如图2，在（2）的条件下，，点M在上，点N在上，，平分交于点H，连接，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分； (3) 【思路引导】（1）由得到，从而，即可得出，从而证明； （2）由得到，由得到，因此．由平行线的性质得到，从而，即可得证结论； （3）由平行线的性质结合，可得，， 设，，因此，从而．由平行线的性质与角平分线的定义得到，因此，根据角平分线的定义得到，可得，从而，再由直角三角形两锐角互余求解即可． 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵， ∴，， 设，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． 【压轴考点07】锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各条件进行分析判断即可． 【规范解答】解：∵ 在中，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中， ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， ∴不能判定为直角三角形． ∴ 能判定的条件是． 故选：A． 【对应练习1】（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法． 根据各选项角的度数的关系求出角，逐项进行判断即可． 【规范解答】解：①∵， ∴， ∴为直角三角形， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴， ∴为直角三角形， 故②正确，符合题意； ③∵， ∴，， ∴不是直角三角形， 故③错误，不符合题意； ④∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形， 故④正确，符合题意； ⑤∵， ∴， ∴不是直角三角形， 故⑤错误，不符合题意； 综上，符合题意的选项为①②④， 故选：C． 【对应练习2】25-26七年级下·福建莆田·期中）如图1，，点、点分别为、上的点．射线从顺时针旋转至停止，射线从逆时针旋转至便立即回转．若射线的旋转速度为秒，射线的旋转速度为秒，且，满足．射线、射线同时转动与停止，设射线运动时间为． (1)求、的值； (2)若射线与射线交于点，当，求的值； (3)如图2，射线（点在点的左侧）从顺时针旋转，速度为 秒，且与射线、射线同时转动与停止．若，则当为何值时，射线所在直线、射线所在直线、射线所在直线能围成直角三角形． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【思路引导】（1）由绝对值的非负性和偶次方的非负性得方程组，解方程组即可； （2）分交点在线段的两侧进行讨论，得 和 ，分别列出关于的方程，解出方程即可； （3）三条射线所在的直线能围成直角三角形可分类讨论：当时，射线从逆时针旋转至，当时，射线从开始顺时针旋转，当时，射线从顺时针旋转至停止．再分别考虑是哪两条直线垂直构成直角三角形． 【规范解答】（1）∵，， 解得， ，； （2）由题意知当运动的时间为时， ， ， 如图，当点在线段的右侧时，过点作，则， ，， ， 即 解得； 如图，当点在线段的左侧时，同理可得 解得； 综上可得，或． （3）， 当时，射线从逆时针旋转至，当时，射线从开始顺时针旋转，当时，射线从顺时针旋转至停止． 由题意知当运动的时间为时， ， ， ， ①当直线垂足为，即时，为直角三角形，如图所示，点在线段右侧时，则 解得 ②当直线垂足为，即时，为直角三角形，如图所示，点在线段左侧时，则 解得 当时，，， ， ， ， ，不能构成三角形， 不符合题意； ③当直线垂足为，即 时，为直角三角形，如图所示， ， ，则 解得 由题意知当运动的时间为时， ， ， ， ④当直线垂足为，即 时，为直角三角形，如图所示， ， ，则 解得 ⑤当时，直线与直线重合，，为直角三角形． 综上所述，当或或或时，射线所在直线、射线所在直线、射线所在直线能围成直角三角形． 【压轴考点08】三角形的外角的定义及性质 【典例精讲】（26-27八年级上·四川眉山·开学考试）已知直线，直线分别与相交于． (1)【阅读理解】如图1，分别平分和，求证：； (2)【推广应用】如图2，点在射线上，点在射线上，分别平分和，若，，求和的度数． (3)【拓展提升】如图3，点在线段上，点是直线上的动点（不与重合），分别平分和，设，请直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∴； (2)； (3)或 【思路引导】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得答案； （2）先由外角的性质得，由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，由外角的性质得，最后由角平分线的定义得； （3）分两种情况讨论：当点H在点F右边时，当点H在点F的左边时，画出图形分别求解即可． 【规范解答】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （3）解：当点H在点F右边时，如图所示： ∵分别平分和， ∴可设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点H在点F的左边时，如图所示： ∵分别平分和， ∴可设，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上，或． 【对应练习1】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）按要求回答以下问题 【问题】 (1)如图1，在中，，的平分线与的平分线相交于点．求的度数． 【探究】 (2)如图2，在四边形中，，，是四边形的一个外角．平分，平分，则________． 【应用】 (3)如图3，在五边形中，设，，，是五边形的一个外角，平分，平分，则_____________．（用含有，，的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据角平分线的定义可得，，由三角形外角性质得，，由，可得，即可求解； （2）延长、交于点，同理感知，，由，，以及三角形的外角性质和平角的定义可得，，即可求解； （3）延长、交于点，记、的交点为，同理探究，，由角平分线可得，，则，在四边形中，，可求①，在、中，由三角形内角和定理可求②，由得，即可求解． 【规范解答】（1）解： 平分， ， 平分的外角， ， 在和中，由三角形外角性质得，， ， ，即， ； （2）如图，延长、交于点， 同理可得，， ， ， ，， ， ； （3）如图，延长、交于点，记、的交点为， 同理可得，， 平分，平分， ，， 设，， ， 在四边形中，， ，即①， 在、中，由三角形内角和定理可得，， ， ，即②， 得， 解得． 【对应练习2】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图①，在中，，，、均是的外角，射线从射线出发，绕点以每秒的速度逆时针旋转，交射线于点．设射线的旋转时间为秒． (1)用含的代数式表示；当点与点重合时，_____． (2)当点在点右侧时，的取值范围是_________________． (3)如图②，、的角平分线交于点，请判断与的数量关系并说明理由． (4)如图③，的角平分线交的反向延长线于点，当的三个内角中，有一个角等于另一个角的倍时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)解：，理由为： ∵是的外角， ∴， ∵、的角平分线交于点P， ∴，， ∴； (4)t的值为或 【思路引导】（1）根据运动可以得到的度数，然后利用方程求出值即可； （2）根据动线的位置确定，且不超过时的，列不等式组解题即可； （3）由角平分线的定义得到，，然后利用三角形外角的性质得到结论即可； （4）先求出、、的度数，分为、、和四种情况分别解题即可． 【规范解答】（1）解：∵射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转， ∴； ∵，， ∴， 当点E与点C重合时， ∴，解得； （2）若要与射线相交， 则， 当点E在点C右侧时， ， 解得， （3）略 （4）解：∵， ∴， 又∵和是和的平分线， ∴，， ∴， ∴， 当时，则，解得； 当时，则，解得(舍去)； 当时，则，解得(舍去)； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为，． 1．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）将一副三角板按如图所示的方法摆放，点在边上，，，．若斜边，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据，，求出的度数，再用的度数减去的度数，即可求出的度数． 【规范解答】解：∵为等腰三角形， ， ∴, ∵， ， ∴, ∴, ∵， ∴． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，是的角平分线，是的高，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据三角形的内角和求，由题目条件得，再利用三角形的高、角平分线进行角度计算即可． 【规范解答】解：是的角平分线， ， ， ， 是的高， ， 在中，， 即， ，, ， ， ， ， ． 3．（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）如图，在四边形中，，平分交边于点为延长线上一点，且，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先证及，利用平行线性质推导角的关系，逐项判断． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴，故A正确； ∵， ∴． ∵， ∴，故D正确； ∵，，且， ∴，故C正确； ∵，， ∴． 若， 则， 即，题目未限定此条件，故B不一定正确． 4．如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得，再结合角平分线的定义，找出角变化的规律即可求解． 【规范解答】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26七年级下·北京·期末）如图，已知，为上的两点，为上的两点，延长至点平分，点在直线上，且平分．若，则下列结论中，一定成立的是：（     ） ①； ②； ③设，则； ④． A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】C 【思路引导】根据平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，分别对四个结论进行推导验证；利用推导角的关系，结合计算具体角度表达式，从而判断结论的正确性． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故②正确； 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵共线， ∴， ∴ ，故④正确； ∵， 而， ∴与不一定相等，故①错误； 综上所述，正确的结论是②④． 6．（26-27八年级上·广东江门·开学考试）如图，的度数为_____________． 【答案】 【思路引导】连接，根据三角形的内角和可得，，即可求解． 【规范解答】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，将沿经过点A的直线折叠，使边所在的直线与边所在的直线重合，点C落在边上的E处．若，，则_______． 【答案】 【思路引导】根据三角形外角的性质求出，由折叠得到，，再根据三角形的内角和定理求出，即可解答． 【规范解答】解：∵，， ∴， 由折叠可得，，， 在中，， ∴． 8．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，妍妍在走廊上看到一个“安全出口”标志，她从中抽象出这样一个数学图形，其中，，若，，，则的度数为_________． 【答案】/80度 【思路引导】由得，再由三角形内角和为可得，由，得，即可求解． 【规范解答】解：延长交于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴． 9．（25-26七年级下·北京·期末）已知，将含有的直角三角板按如图方式摆放，其中，，与的角平分线交于点G，则__________． 【答案】75 【思路引导】分别过点、作的平行线、，设，首先利用三角形内角和定理求出的度数，进而用含的代数式表示出，接着根据平分将用表示出来，利用“平行于同一条直线的两条直线平行”构建起平行关系网，随后利用平行线的性质及的条件，逐步推导出与关于的表达式，最后结合角平分线的性质求出目标角． 【规范解答】解：如图，分别过点，点作的平行线，， ， 设 ， 平分 ， ， 平分 ． 【考点剖析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理与角平分线的定义，解决此类问题的通法是“过拐点作平行线”，这一辅助线能将分散在不同位置的角联系起来，“设而不求”（设）则是处理此类角度计算题的高效技巧． 10．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，已知，点为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，平分，平分，…，以此类推，则，________． 【答案】 【思路引导】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 同理可得 ， 归纳类推得，其中n为正整数， ∴． 11．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如图，已知是的角平分线，是的边上的高，与交于点，，，求和的度数． 【答案】 【思路引导】先利用角平分线定义求出，再由高的定义得到直角，求出，最后利用三角形内角和定理求． 【规范解答】解：是的角平分线，， ， 是边上的高， ， 即， 在中，， ， 在中，根据三角形内角和为， 则， ． 12．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）某城市为了强化音乐喷泉灯光秀的灯光效果，在河的两岸安置了可旋转探照灯．假定河两岸是平行的，如图1所示：，，，，灯射线从开始绕点逆时针旋转，与此同时，灯射线从开始绕点顺时针旋转．若灯、灯转动的速度分别是度/秒、度/秒，且满足：．设旋转时间为秒． (1)填空： ， ； (2)在灯射线到达之前，灯射线与线段的夹角为 度，灯射线与线段的夹角为 度．（均用含的代数式表示） (3)在（2）的条件下，当两灯射出的光束互相平行时，求的值． (4)如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，两灯射出的光束交于点．点在射线上，且 ，则在转动过程中，是否存在一点，使得为定值？若存在，请直接写出的值和的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2   4 (2)    (3)或 (4)解：如图， 在转动过程中，存在一点，使得为定值．理由： 设灯射线转动时间为秒，则， ∴ ∵， ∴，即 ∴ ∴当时，在转动过程中，存在一点，使得为定值， 此时，． 【思路引导】（1） 根据两个非负数和为零，即可得出这两个非负数均为零，列出关于和的方程，求解即可； （2）根据灯射线运动速度和时间得出旋转角度，加上原来可得灯射线与线段的夹角，根据灯射线运动速度和时间得出旋转角度，加上原来可得灯射线与线段的夹角； （3）在（2）的条件下，当两灯射出的光束互相平行时分三种情况进行讨论求解即可； （4）由三角形内角和定理求出的度数，由表示出的度数，再由含的表达式表示出，当时，存在一点，使得为定值，进而求出的值． 【规范解答】（1）解： ， ∵，， ∴，解得； （2）解：如图， ∵灯、灯转动的速度分别是度/秒、度/秒，， ∴，， ∴在灯射线到达之前， 灯射线与线段的夹角为度， 灯射线与线段的夹角为度； （3）解：在（2）的条件下，当两灯射出的光束互相平行时有以下三种情况， 情况一：当, 都在的右侧时，如图， ∵，， ∴，， ∵ ∴ ∴， 解得； 情况二：当在的右侧，在的左侧时，如图： ∵，， ∴，， ∵ ∴ ∴ 解得； 情况三：当, 都在的左侧时，如图， ∵，， ∴，， ∵ ∴ ∴ 解得； 又∵在灯射线到达之前，则（秒）， 综上，当两灯射出的光束互相平行时，的值为或． （4）略． 13．（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）问题情境：如图1，，．求的度数． 小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可得． 问题迁移： (1)请用一种与小明不同的方法求的度数； (2)如图3，，点P在直线上运动，当点P在两点之间运动时，，与之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在两点外侧运动时（点P与三点不重合），请你直接写出与间的数量关系． 【答案】(1)如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (2)解：，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， 又， ， ． (3)当点在两点之间时，当点在射线上时 【思路引导】（1）如图，延长交于点，根据，同旁内角互补求出，再根据三角形外角的性质求出，最后根据邻补角的性质求解即可； （2）过点作，可得，然后根据平行线的性质分别把和表示出来，再利用角的和差关系，即可求出结果； （3）分两种情况讨论：当点在两点之间时，当点在射线上时．过点作，则可得出，然后平行线的性质分别求出把和表示出来，则利用角的和差关系，即可得到结果． 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）解：当点在两点之间时，当点在射线上时； 理由如下：如图，当点在射线上时，过点作， ， ， ， ， 又， ， ； 如图，当点在两点之间时，如图，过点作， ， ， ， ， 又， ， ， 综上所述：或． 14．（25-26七年级下·北京·期末）已知点C在线段上，点A和点E在线段同侧，且． (1)若： ①如图1，，则__________； ②如图2，分别作、的角平分线并交于点P，则__________； (2)当点E在线段上时，求证：．请在图3中完成下列证明过程： 证明：__________，（______________________________） 又， ． (3)分别作，的角平分线，： ①若，则__________； ②若直线与直线交于点P，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (3)①；② 【思路引导】（1）①根据三角形的内角和计算； ②根据角平分线的定义和三角形的内角和解题即可； （2）利用三角形的外角的性质解题； （3）①用（2）的方法，同理可得，结合角平分线的定义得到，，根据平行线的性质推出，列方程计算即可； ②根据角平分线的定义和三角形的内角和可得到， ，结合计算即可． 【规范解答】（1）解：①∵，， ∴， ∴； ②如图，由①知， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴ ； （2）略 （3）解：①如图，同理可得， ∵， ∴； 由题意知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ②如图， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴ ． 15．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图1，直线，直线与，分别交于点，，若过点作，平分，，交于点．设． (1)若，则________； (2)点是平面内一点，连接，，依题意回答下列问题： ①如图2，若，分别平分，，则的度数是多少？（用含的式子表示） ②若点在直线上，，且，求的值． 【答案】(1)10 (2)①；②或 【思路引导】（1）首先利用角平分线的定义，由得到的度数，再结合，根据平行线的同旁内角互补性质的得到的度数；因为，所以，进而可推导的度数． （2）对于①，先根据角平分线定义分别得到和的表达式，再过点作平行于的辅助线，利用平行线的内错角相等的性质，将拆分为两个角的和，代入已知表达式化简即可．对于②，先确定的度数，结合得到的度数；因为点在直线上，所以分在线段上和在的延长线上两种情况，分别利用三角形内角和定理或角的和差关系列方程求解． 【规范解答】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①过点作，过点作， ， ，， 平分，， ， 又， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ②， ， 当点在延长线上时， 过点作， ， ， ， 由①得，， ， ， ， ， ， 又， ， 解得， 当点在线段上时， 过点作， ， ， 由①得，， ， ， ， ， ， 又， ， 解得， 所以的值为或． （用三角形内角和解也可） 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull2026-2027学年人教版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题二三角形的内角与外角 【思维导图+八大考点讲练+优选真题练共39题〔原卷版)】 目录 【思维导图知识梳理】 ….2 【压轴考向考点讲练】…… 二【压轴考点1】三角形内角和定理的证明★女★ 怎【压轴考点02】与平行线有关的三角形内角和问题★★女★ 【压钻考点3】与角平分线有关的三角形内角和问题★★★女 5 。【压销考点4】三角形折叠中的角度问题★★★ 7 。【压销考点6】三角形内角和定理的应用★★★★ …………….8 ②。【压轴考点06】直角三角形的两个锐角互余★★女★ 二【压精考点07】锐角互余的三角形是直角三角形★★女女 11 二【压轴考点08】三角形的外角的定义及性质★★女女 …….12 【优选真题实战演练】...... 第1页共21页 模块 思维导图知识梳理 ☆1.三角形的内角与外角的定义 ☆3.推论（由定理和性质可得） ☆4.常见模型与角度关系 (1)三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角 (1)直线与三角形结合 内角：三角形两边组成的角。叫 作三角形的内角 (2)三角形中，至少有两个内角不大于90 如图，直线l经过点A,且1∥BC (3)直角三角形的两个锐角互余. 则∠1=∠A,∠2=∠B 同理∠3=∠C. 外角：三角形的一边与另 即：在Rt△ABC中， 边的延长线组成的角， 若∠C=90°，则∠A+∠B=90° 叫作三角形的外角 (2)角平分线模型 如图，AD平分∠BAC, ☆2.三角形的内角和定理与外角性质定理 别∠BAD=∠CAD=∠BAC 内角和定理：在△ABC中， 挑战压轴题专题二 (3)直角三角形中的奈角关系 ∠A+∠B+∠C=180° 三角形的内角与外角 在Rt△ABC中，∠C=90 3 则∠A+∠B=90° 外角性质定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 ☆7.典型题型示例 内角的和 ☆6.公式快速记忆 例1：求角度 如围，∠ACD是△ABC的-个外角， ★内角和定理：∠A+∠B+∠C=180 ★外角性质定理：∠ACD=LA+∠ 图，在△ABC中 ∠R4C=4,∠B=75,AD是∠ABC的角平分线 ∠ACD=∠A+∠B. 表∠ADB的度数 ★直角三角形：∠A+∠B=0(若∠C=90) ★平角定义： ∠1+∠2=180 ★对项角相等 例2：方向角问题 有5.解题思路与方法 女类直线果行内楼角相等 图.，。C三岛的平面，C岛在A岛的花偏东50 ★角平分拽定义：∠BAD=∠CAD=∠BAC 心方句 C岛在B岛的北偏西40 (1)织围：准确线出中的内角外角及其位置关系。 (2)遮用：很据题目条件，选择内角和定理发外角性质定理 古台古6解题技巧（压轴题必备】 (3)转化：将复奈的角度关系通过平移、延长，作平行线 ★构造法：通过腿长边。作年行战。作垂线等，构通出 例3：外角应用 方法转化。构造热患的模型 己如的角度关系。 如图，在△ABC中，∠C=∠D=90,AD,BC相交于点 (4)计算：列出等式，求出未知角的度级 ★整体思想：将分餐的用度是系在同一三角形成平角中城 女一考 比较∠CAE与∠DBE的大小 (5)验证：检查结果是香持合三角形内角和或 ★分计论：当形有多种位关系时，需分计论 角性质定理 想：将复余彩转化为特球三角形（等 总结提升①拿短三角彩内角和定理与外角性质定理，是解题的基础。⑦然练运用推论与角度关系，能快选求出未如角。 ③多观察、多探完，善于将实际问题特化为数学模型 模块二 压轴考向考点讲练 【压轴考点01】三角形内角和定理的证明★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·广东佛山·期末)学习完七年级下册第86页“三角形内角和定理” 后，小华发现：不通过撕、拼的方法，而是在△ABC的顶点A处，通过尺规作图添加适当辅助线，也可说 明∠A+∠B+∠C=180° (1)请在图中用尺规作图作出所需辅助线（保留作图痕迹，不写作法）： (2)根据所作辅助线，完成下面的证明过程， 如图，在△ABC中，过点A作直线MN I BC, 第2页共21页 根据 得到∠B=∠ ,∠C=∠ 根据平角定义，∠十∠BAC+∠ 因此，∠B+∠BAC+∠C=180°，即∠A+∠B+∠C=180°. 【对应练习1】(25-26八年级下·辽宁沈阳·期中)课堂上，为了证明“三角形的内角和是180”， 四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法. E ①过点C作 ②延长AC到点F, EF∥AB 过点C作CE∥AB B ③过AB上一点D C ④过点C作CD1 作E II BC, AB于点D D B DF∥AC D B 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是180°”的方法是 (请填写序号)； (2)在(1)的方法中，请任选其中一种方法进行证明. 【对应练习2】解答下列各题 (1)如图1，E点在BC上，∠A=∠D,∠ACB+∠BED=180°，求证：AB II CD: (2)如图2，AB II CD,BG平分∠ABE,与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB 的度数： (3)如图3，若∠DEB=a,ABI‖CD,BM平分∠EBK,DN平分∠CDE,作BP II DN,直接写出∠PBM的大 小（用a的代数式表示）· 第3页共21页 D D E G E 图1 图2 图3 【压轴考点02】与平行线有关的三角形内角和问题★★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·湖北武汉·期末)如图，ABⅡDE,∠BFD=∠1 D (1)证明：DF‖AC; (2)若∠1=65°，DF平分∠BDE,直接写出∠C的度数. 第4页共21页 【对应练习1】(25-26七年级下·四川广元·期末)如图，AB II CD,E为AB上一点，CE IFH,过点 E作EG⊥FH于点G,EH平分∠BEG,且∠BEG=2∠C,则下列结论中：①CE⊥GE;②2∠C+ ∠HFD=90°；③∠H=60°；④EF平分∠CEG:其中正确的结论有( ) A H G D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【对应练习2】(25-26七年级下·浙江金华·期末)如图，AC,BC被直线AB所截，∠C=76°，将线 段AC沿着直线AB平移得到线段PQ,连接BQ.在平移过程中，当∠CBQ=3∠Q时，∠Q的度数是 B 二【压轴考点03】与角平分线有关的三角形内角和问题★★女★ 【典例精讲】(25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测)如图，在△ABC中，AD1BC于点D,AE 平分∠BAC,交BC于点E. B D E (1)若∠B=75°，∠C=45°，求∠DAE,∠AEC的度数； (2)若∠B>∠C,试猜想∠DAE与∠B-∠C有何关系，并证明你的猜想. 第5页共21页 【对应练习1】(25-26七年级下·河南南阳·期末)如图，在△ABC中，AD,AE,AF分别是△ABC的 高、角平分线、中线 FED (1)若△ABF的面积为5，则△ABC的面积一一一； (2)当∠B=30°，∠C=50时，求∠DAE的度数. (3)若AB=10,△ABF的周长比△ACF的周长多2，求AC的长度. 【对应练习2】(25-26七年级下·四川达州·期末)已知a‖b,点A,B在直线a上，点C,D在直线 b上，且AD1BC于E. B B B D 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠ABC+∠ADC=90°： (2)如图2，BF平分∠ABC交AD于点F,DG平分∠ADC交BC于点G,求∠AFB+∠CGD的度数： (3)如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI,N为∠IPB的角平分线上一点，且∠NCD= ∠BCN,则∠CIP,∠IPN,∠CNP之间的数量关系是. 第6页共21页 【压轴考点04】三角形折叠中的角度问题★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·四川成都·期末)如图，将直角三角形纸片ABC的直角C沿EF折叠，点 C落到纸片内部的点C'处.如果∠EFC=47°，那么∠CEF=一_. F 【对应练习1】如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N,将纸片沿着BN对折一次使得点 A落在A'处后，再将纸片沿着BA'对折一次，使得点C落在BN上的C'处，已 知∠CMB=68°，∠A=18°，则原三角形中∠C的度数为() N M A.909 B.889 C.870 D.86° 【对应练习2】(25-26七年级下·江苏宿迁·期末)如图1，△ABC中，D是AC边上的点，先将△ABD 沿着BD翻折，使点A落在点A'处，且A'D∥BC,A'B交AC于点E(如图2)，又将△BCE沿着A'B翻折， 使点C落在点C'处，若点C'恰好落在BD上（如图3），且∠C'EB=72°，则∠C=. A A B 图1 图2 图3 第7页共21页 二【压轴考点05】三角形内角和定理的应用★★★★ 【典例精讲】(26-27八年级上·河南开封·开学考试)如图，在Rt△ABC中∠BAC=90°，AD是中 线，AE是边BC上的高，点F在AD上且AF=3DF,FG⊥BC于点G DG (1)若∠B=∠BAD,∠C=60°，求∠DFG的度数： (2)若AE=8.求FG的长 【对应练习1】(26-27八年级上·四川绵阳·开学考试)如图，在△ABC中，DE WBC,EF平 分∠AED,交AB于点F. B (1)若∠A=52°，∠B=60°，求∠AED的度数： (2)在(1)的条件下，判断EF与AB是否垂直，并说明理由： (3)直接写出当∠A与∠B满足怎样的数量关系时，EF1AB. 第8页共21页 【对应练习2】(25-26七年级下·河南洛阳·期末)如图，∠A0B=70°，0C平分∠A0B,过射线0B 上一点D作DE II OA交射线OC于点E,点F是直线OD上一点，连接EF,FG平分∠EFO交OC于点G.(提 示：三角形的内角和为180°) G DFB D B 图1 图2 备用图 (1)如图1，当点F与点D重合时，∠FG0= _ (2)如图2，当点F在线段0D上时，∠DEF=10°，求∠FG0的度数： (3)当点F在直线OD(F不与O,D重合)上时，∠DEF=,直接写出∠FG0的度数（用含的代数式表 示)· 【压轴考点06】直角三角形的两个锐角互余★★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·重庆荣昌·期末)如图，长方形ABCD中，点E是边BC上一点，连 接AE,过点E作EF⊥AE交CD于点F,若∠EFC=70°，则∠BAE的度数是( ) FC E A.20° B.30° C.35° D.70° 第9页共21页 【对应练习1】(25-26七年级下·河北秦皇岛·期末)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB= 30°，D是边AB上的一个动点，连接CD,当CD为∠ACB的平分线时，将△CDB沿着CD翻折，得 到△CDE.如下结论：①点E落在AC上；②DE⊥AC;③DE平分∠ADC.结论正确的是( ) D A.①②正确 B.②③正确 C.①③正确 D.①②③都正确 【对应练习2】(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末)如图，四边形ABCD中，点E在BA延长线 上，连接CE交AD于F,∠AEC=∠DCE,∠ABC=∠ADC B M 图1 图2 (1)求证：AD‖BC: (②)如图1，若∠EFA=90°-∠ADC,求证：CF平分∠BCD: (3)如图2，在(2)的条件下，∠BAD-∠ABC=40°，点M在BC上，点N在BM上，∠MFN=∠MNF, FH平分∠EFM交AB于点H,连接HN,HN 1 HF,求∠HNF的度数. 第10页共21页 二【压轴考点07】锐角互余的三角形是直角三角形★★女★ 【典例精讲】(2025八年级上·全国·专题练习)下列条件能判定△ABC为直角三角形的是( ①∠A+∠B=∠C, ②∠A:∠B:∠C=1:1:2, ③∠A=∠B=3∠C, ④∠A=2∠B=3∠C. A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【对应练习1】(25-26七年级上·山东东营·阶段检测)在下列条件：①∠A+∠B=∠C;②∠A: ∠B:∠C=1:2:3;③∠A=∠B=2∠C;④∠A=90°-∠B:⑤∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC 为直角三角形的条件有( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【对应练习2】25-26七年级下·福建莆田·期中)如图1，MW‖PQ,点A、点C分别为MN、PQ上的 点，射线AB从AN顺时针旋转至AM停止，射线CD从CQ逆时针旋转至CP便立即回转.若射线AB的旋转速度 为a°/秒，射线CD的旋转速度为b°/秒，且a,b满足(a+b-5)2+|a-b+1=0.射线AB、射线CD同时 转动与停止，设射线AB运动时间为t M M G E C 图1 图2 图3 (1)求a、b的值： (2)若射线AB与射线CD交于点H,当∠AHC=100°，求t的值； (3)如图2，射线EF(点E在点C的左侧)从EG顺时针旋转，速度为()°/秒，且与射线AB、射线CD同时 转动与停止.若∠PEG=27°，则当t为何值时，射线AB所在直线、射线CD所在直线、射线EF所在直线能 围成直角三角形. 第11页共21页 二【压轴考点08】三角形的外角的定义及性质★★★★ 【典例精讲】(26-27八年级上·四川眉山·开学考试)已知直线AB I CD,直线EF分别与AB、CD相交 于E、F. HD 图1 图2 图3 (1)【阅读理解】如图1，PE、PF分别平分∠BEF和∠EFD,求证：PE⊥PF: (2)【推广应用】如图2，点G在射线EA上，点H在射线FD上，GP、FP分别平分∠BGH和∠EFH,若 ∠P=54°，∠GQF=70°，求∠EGH和∠EFH的度数 (③)【拓展提升】如图3，点G在线段EF上，点H是直线CD上的动点（不与F重合），FP、HP分别平分 ∠EFH和∠GHD,设∠EGH=m°，请直接用含m的代数式表示∠FPH的度数. 第12页共21页 【对应练习1】(26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)按要求回答以下问题 图1 图2 图3 【问题】 (1)如图1，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点P.求∠P的度数. 【探究】 (2)如图2，在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=100°，∠DCE是四边形ABCD的一个外角.BP平分 ∠ABC,CP平分∠DCE,则∠P= 【应用】 (3)如图3，在五边形ABCDE中，设∠A=a,∠E=B°，∠C=Y°，∠EDF是五边形ABCDE的一个外角， BP平分∠ABC,DP平分∠EDF,则∠P= =·(用含有a,B,y的代数式表示) 第13页共21页 【对应练习2】(25-26七年级下·湖南衡阳·期末)如图①，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB= 70°，∠CBM、∠ACD均是△ABC的外角，射线AM'从射线AM出发，绕点A以每秒10°的速度逆时针旋 转，交射线BD于点E.设射线AM'的旋转时间为t(t>O)秒. B B B E CD M M M M M 图① 图② 图③ (1)∠BAE= (用含t的代数式表示)：当点E与点C重合时，t=-一一· (2)当点E在点C右侧时，t的取值范围是 (③)如图②，∠ABD、∠AED的角平分线交于点P,请判断∠P与∠BAE的数量关系并说明理由， (4)如图③，∠CBM的角平分线BQ交EP的反向延长线于点Q,当△PBQ的三个内角中，有一个角等于另一 个角的3倍时，直接写出t的值， 第14页共21页 模块三 优选真题实战演练 1.(26-27九年级上·浙江温州·开学考试)将一副三角板按如图所示的方法摆放，点D在BC边上， ∠ACB=∠EDF=90°，∠A=45°，∠E=60°.若斜边AB∥EF,则∠BDF的度数是( B A.15 B.18° C.25° D.30° 2.(25-26七年级下·福建泉州·期末)如图，在△ABC中，∠A=∠ACB,CD是△ABC的角平分线， CE是△ABC的高，若∠DCE=39°，则∠ECB的度数为( DB E A.21 B.22° C.23 D.24° 3.(26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试)如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，DE平分∠ADC 交边BC于点E,F为CD延长线上一点，且∠DAF=∠CDE,则下列结论不，定正确的是( ) A.AF∥DE B.∠BED+∠F=180° C.∠BAF=∠EDF D.∠DAF=∠F 4.如图，在△ABC中，∠A=m,∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1:∠A1BC和∠A1CD的平分 线交于点A2,得∠A2;∠A2021BC和∠A2021CD的平分线交于点A2022,则∠A2022=（ 第15页共21页 A B----- A C.2022 2m n婴 5.(25-26七年级下·北京·期末)如图，已知EF‖GH,A,D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延 长AM至点C,AB平分∠DAC,点N在直线DB上，且BN平分∠FBC.若∠ACB=I00°，则下列结论中，一 定成立的是：( ①∠MAB=∠CBE: ②∠NBC=∠BDH: ③设∠CBM=a,则∠BAD=50°-a: ④∠DBA=50° E M G D H A.①④ B.②③ C.②④ D.②③④ 6.(26-27八年级上·广东江门·开学考试)如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 E 7.(26-27八年级上·四川达州·开学考试)如图，将△ABC沿经过点A的直线AD折叠，使边AC所在的 直线与边AB所在的直线重合，点C落在边AB上的E处.若∠B=45°，∠BDE=20°，则 ∠CAD= 第16页共21页 E B D 8.(25-26七年级下·陕西西安·期中)如图，妍妍在走廊上看到一个“安全出口”标志，她从中抽象出 这样一个数学图形，其中AB II DG,AE IICF,若∠BAC=50°，∠CDG=70°，∠DCF=20°，则∠EAC的 度数为 ←园 9. (25-26七年级下·北京·期末)已知l1‖l2,将含有30°的直角三角板ABC按如图方式摆放，其中 ∠B=90°，∠C=30°，∠EAC与∠FDB的角平分线交于点G,则∠G= D G B E h 10.(25-26七年级下·甘肃白银·期中)如图，在△ABC中，已知∠A=60°，点0为△ABC内一点，且 ∠B0C=140°，其中B01平分∠AB0,C01平分∠AC0,B02平分∠AB01,CO2平分∠AC01,B0n平分 ∠AB0n-1,C0n平分∠AC0m-1,…,以此类推，则∠B01C=100°，∠B02025C=一一一一， 第17页共21页 11.(26-27八年级上·广西南宁·开学考试)如图，己知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的AB边 上的高，AD与CE交于点F,∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠BAD和∠ADB的度数. B D 12.(26-27八年级上·广西南宁·开学考试)某城市为了强化音乐喷泉灯光秀的灯光效果，在河的两岸 安置了可旋转探照灯.假定河两岸是平行的，如图1所示：AB∥CD,PQ1AB,PQ1CD,∠MPQ= ∠NQD=30°，灯P射线从PM开始绕P点逆时针旋转，与此同时，灯Q射线从QN开始绕Q点顺时针旋转，若 灯P、灯Q转动的速度分别是a度/秒、b度/秒，且满足：|a+b-6+(b-4)2=0.设旋转时间为t秒. -B A B D 图1 图2 (1)填空：a=_,b=_-: (2)在灯Q射线到达QC之前，灯P射线与线段PQ的夹角为_度，灯Q射线与线段PQ的夹角为度.（均用含t 的代数式表示) (3)在(2)的条件下，当两灯射出的光束互相平行时，求t的值. (4)如图2，若两灯同时转动，在灯Q射线到达QD之前，两灯射出的光束交于点E.点F在射线PB上，且 ∠PQE=k·∠PEF,则在转动过程中，是否存在一点F,使得∠QEF为定值？若存在，请直接写出k的值 和∠QEF的度数：若不存在，请说明理由 第18页共21页 13.(26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试)问题情境：如图1，AB∥CD,∠PAB=130°，∠PCD= 120°.求∠APC的度数. 小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB,通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110， M M A B B A ------E B B D N 图1 图2 图3 备用图 问题迁移： (1)请用一种与小明不同的方法求∠APC的度数； (2)如图3，AD∥BC,点P在直线OM上运动，当点P在A,B两点之间运动时，∠ADP=,∠BCP= B,∠CPD与B之间有何数量关系？请说明理由： (3)在(2)的条件下，如果点P在A,B两点外侧运动时（点P与A,B,O三点不重合），请你直接写出∠CPD 与%，B间的数量关系， 第19页共21页 14.(25-26七年级下·北京·期末)己知点C在线段BD上，点A和点E在线段BD同侧，且∠B=∠D= ∠ACE=C. 图1 图2 图3 (1)若a=90°： ①如图1，∠A=70°，则∠ECD= ②如图2，分别作∠BAC、∠CED的角平分线并交于点P,则∠APE= (2)当点E在线段AD上时，求证：∠BAC=∠DCE.请在图3中完成下列证明过程： 证明：∠DCA=∠BAC+∠ 又∠B=∠ACE, .∠BAC=∠DCE. (3)分别作∠BAC,∠CED的角平分线AF,EG: ①若AF II EG,则a=- ②若直线AF与直线EG交于点P,直接写出∠APE的度数（用含a的代数式表示）· 第20页共21页 15.(25-26七年级下·辽宁大连·期末)如图1，直线AB∥CD,直线EF与AB,CD分别交于点G,H,若 过点G作PG⊥EF,PH平分∠CHG,PG,PH交于点P.设∠CHP=a. E、 G G B B D H 图1 图2 备用图 (1)若a=40°，则∠AGP=°： (2)点Q是平面内一点，连接QG,QH,依题意回答下列问题： ①如图2，若GQ,HQ分别平分∠AGP,∠PHG,则∠GQH的度数是多少？（用含a的式子表示） ②若点Q在直线PG上，∠PHQ=号∠GHP,且∠GQH=75°，求a的值. 第21页共21页 2026-2027学年人教版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题二 三角形的内角与外角 【思维导图+八大考点讲练+优选真题练 共39题〔原卷版〕】 目 录 【思维导图 知识梳理】 2 【压轴考向 考点讲练】 2 【压轴考点01】三角形内角和定理的证明 2 【压轴考点02】与平行线有关的三角形内角和问题 4 【压轴考点03】与角平分线有关的三角形内角和问题 5 【压轴考点04】三角形折叠中的角度问题 7 【压轴考点05】三角形内角和定理的应用 8 【压轴考点06】直角三角形的两个锐角互余 9 【压轴考点07】锐角互余的三角形是直角三角形 11 【压轴考点08】三角形的外角的定义及性质 12 【优选真题 实战演练】 15 【压轴考点01】三角形内角和定理的证明 【典例精讲】（25-26七年级下·广东佛山·期末）学习完七年级下册第86页“三角形内角和定理”后，小华发现：不通过撕、拼的方法，而是在的顶点处，通过尺规作图添加适当辅助线，也可说明 (1)请在图中用尺规作图作出所需辅助线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据所作辅助线，完成下面的证明过程． 如图，在中，过点作直线， 根据_____________________________ 得到_________，_________， 根据平角定义，___________________________， 因此，，即． 【对应练习1】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③过上一点D作， ④过点C作于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 【对应练习2】解答下列各题 (1)如图1，点在上，，，求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于点，若比大，求的度数； (3)如图3，若，，平分，平分，作，直接写出的大小（用的代数式表示）．    【压轴考点02】与平行线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图，，． (1)证明：； (2)若，平分，直接写出的度数． 【对应练习1】（25-26七年级下·四川广元·期末）如图，，E为上一点，，过点E作于点G，平分，且， 则下列结论中： ①； ②；③； ④平分；其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【对应练习2】（25-26七年级下·浙江金华·期末）如图，，被直线所截，，将线段沿着直线平移得到线段，连接．在平移过程中，当时，的度数是_______． 【压轴考点03】与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）如图，在中，于点D，平分，交于点E． (1)若，，求，的度数； (2)若，试猜想与有何关系，并证明你的猜想． 【对应练习1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为，则的面积_______； (2)当，时，求的度数． (3)若，的周长比的周长多，求的长度． 【对应练习2】（25-26七年级下·四川达州·期末）已知，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，且于E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分交于点F，平分交于点G，求的度数； (3)如图3，P为线段上一点，I为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，则，，之间的数量关系是． 【压轴考点04】三角形折叠中的角度问题 【典例精讲】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么________． 【对应练习1】如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【对应练习2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图1，中，是边上的点，先将沿着翻折，使点落在点处，且，交于点（如图2），又将沿着翻折，使点落在点处，若点恰好落在上（如图3），且，则______． 【压轴考点05】三角形内角和定理的应用 【典例精讲】（26-27八年级上·河南开封·开学考试）如图，在中，是中线，是边上的高，点F在上且，于点G (1)若，，求的度数； (2)若．求的长 【对应练习1】（26-27八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，在中，，平分，交于点F． (1)若，，求的度数； (2)在（1）的条件下，判断与是否垂直，并说明理由； (3)直接写出当与满足怎样的数量关系时，． 【对应练习2】（25-26七年级下·河南洛阳·期末）如图，，平分，过射线上一点作交射线于点，点是直线上一点，连接，平分交于点．（提示：三角形的内角和为） (1)如图1，当点与点重合时，________________； (2)如图2，当点在线段上时，，求的度数； (3)当点在直线（不与，重合）上时，，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【压轴考点06】直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）如图，长方形中，点是边上一点，连接，过点作交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【对应练习1】（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，当为的平分线时，将沿着翻折，得到．如下结论：①点落在上；②；③平分．结论正确的是（     ） A．①②正确 B．②③正确 C．①③正确 D．①②③都正确 【对应练习2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形中，点E在延长线上，连接交于F，，． (1)求证：； (2)如图1，若，求证：平分； (3)如图2，在（2）的条件下，，点M在上，点N在上，，平分交于点H，连接，，求的度数． 【压轴考点07】锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 【对应练习1】（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【对应练习2】25-26七年级下·福建莆田·期中）如图1，，点、点分别为、上的点．射线从顺时针旋转至停止，射线从逆时针旋转至便立即回转．若射线的旋转速度为秒，射线的旋转速度为秒，且，满足．射线、射线同时转动与停止，设射线运动时间为． (1)求、的值； (2)若射线与射线交于点，当，求的值； (3)如图2，射线（点在点的左侧）从顺时针旋转，速度为 秒，且与射线、射线同时转动与停止．若，则当为何值时，射线所在直线、射线所在直线、射线所在直线能围成直角三角形． 【压轴考点08】三角形的外角的定义及性质 【典例精讲】（26-27八年级上·四川眉山·开学考试）已知直线，直线分别与相交于． (1)【阅读理解】如图1，分别平分和，求证：； (2)【推广应用】如图2，点在射线上，点在射线上，分别平分和，若，，求和的度数． (3)【拓展提升】如图3，点在线段上，点是直线上的动点（不与重合），分别平分和，设，请直接用含的代数式表示的度数． 【对应练习1】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）按要求回答以下问题 【问题】 (1)如图1，在中，，的平分线与的平分线相交于点．求的度数． 【探究】 (2)如图2，在四边形中，，，是四边形的一个外角．平分，平分，则________． 【应用】 (3)如图3，在五边形中，设，，，是五边形的一个外角，平分，平分，则_____________．（用含有，，的代数式表示） 【对应练习2】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图①，在中，，，、均是的外角，射线从射线出发，绕点以每秒的速度逆时针旋转，交射线于点．设射线的旋转时间为秒． (1)用含的代数式表示；当点与点重合时，_____． (2)当点在点右侧时，的取值范围是_________________． (3)如图②，、的角平分线交于点，请判断与的数量关系并说明理由． (4)如图③，的角平分线交的反向延长线于点，当的三个内角中，有一个角等于另一个角的倍时，直接写出的值． 1．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）将一副三角板按如图所示的方法摆放，点在边上，，，．若斜边，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，是的角平分线，是的高，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）如图，在四边形中，，平分交边于点为延长线上一点，且，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·北京·期末）如图，已知，为上的两点，为上的两点，延长至点平分，点在直线上，且平分．若，则下列结论中，一定成立的是：（     ） ①； ②； ③设，则； ④． A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④ 6．（26-27八年级上·广东江门·开学考试）如图，的度数为_____________． 7．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，将沿经过点A的直线折叠，使边所在的直线与边所在的直线重合，点C落在边上的E处．若，，则_______． 8．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，妍妍在走廊上看到一个“安全出口”标志，她从中抽象出这样一个数学图形，其中，，若，，，则的度数为_________． 9．（25-26七年级下·北京·期末）已知，将含有的直角三角板按如图方式摆放，其中，，与的角平分线交于点G，则__________． 10．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，已知，点为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，平分，平分，…，以此类推，则，________． 11．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如图，已知是的角平分线，是的边上的高，与交于点，，，求和的度数． 12．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）某城市为了强化音乐喷泉灯光秀的灯光效果，在河的两岸安置了可旋转探照灯．假定河两岸是平行的，如图1所示：，，，，灯射线从开始绕点逆时针旋转，与此同时，灯射线从开始绕点顺时针旋转．若灯、灯转动的速度分别是度/秒、度/秒，且满足：．设旋转时间为秒． (1)填空： ， ； (2)在灯射线到达之前，灯射线与线段的夹角为 度，灯射线与线段的夹角为 度．（均用含的代数式表示） (3)在（2）的条件下，当两灯射出的光束互相平行时，求的值． (4)如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，两灯射出的光束交于点．点在射线上，且 ，则在转动过程中，是否存在一点，使得为定值？若存在，请直接写出的值和的度数；若不存在，请说明理由． 13．（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）问题情境：如图1，，．求的度数． 小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可得． 问题迁移： (1)请用一种与小明不同的方法求的度数； (2)如图3，，点P在直线上运动，当点P在两点之间运动时，，与之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在两点外侧运动时（点P与三点不重合），请你直接写出与间的数量关系． 14．（25-26七年级下·北京·期末）已知点C在线段上，点A和点E在线段同侧，且． (1)若： ①如图1，，则__________； ②如图2，分别作、的角平分线并交于点P，则__________； (2)当点E在线段上时，求证：．请在图3中完成下列证明过程： 证明：__________，（______________________________） 又， ． (3)分别作，的角平分线，： ①若，则__________； ②若直线与直线交于点P，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 15．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图1，直线，直线与，分别交于点，，若过点作，平分，，交于点．设． (1)若，则________； (2)点是平面内一点，连接，，依题意回答下列问题： ①如图2，若，分别平分，，则的度数是多少？（用含的式子表示） ②若点在直线上，，且，求的值． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $