专题09乘法公式精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦平方差公式、完全平方公式及添括号法则，从整式乘法基础导入，通过结构特征分析过渡，作为因式分解前置学习支架，结合口诀与重点辨析帮助学生理解公式本质。 其亮点在于用几何图形验证公式（如平方差公式的图形割补）培养几何直观，通过公式变形（如a²+b²=(a+b)²-2ab）提升运算能力与推理意识，题型分层及易错点提示（如完全平方漏2ab）规范数学语言表达。学生能扎实掌握公式应用，教师可高效开展系统教学。

专题09乘法公式精讲学案 核心立意： 本节是整式运算重难点、因式分解前置基础。熟练掌握平方差、完全平方两大乘法公式，精准识别公式结构；掌握公式正向运算、逆向变形、整体代入技巧；熟练添括号法则，规范解题步骤，彻底解决整式高频计算丢分问题。 平方差公式 结构口诀：同平方、反平方，同减反 公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 ①结构特征：式子必须含有一组完全相同项、一组互为相反项； ②运算结果：相同项平方 − 相反项平方； ③a、b可代表数字、单项式、多项式整体； ④可正向计算、可逆向因式变形、可用于简便运算。 完全平方公式 结构口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央，符号看尾项 ①和的完全平方：(a+b)2=a2+2ab+b2 ②差的完全平方：(a-b)2=a2-2ab+b2 必考万能变形（期中期末高频）： a2+b2=(a+b)2-2ab a2+b2=(a-b)2+2ab (a+b)2-(a-b)2=4ab 添括号法则 ①括号前为正号，括号内所有项符号不变； ②括号前为负号，括号内所有项全部变号； ③核心用途：构造平方差、完全平方公式结构，是公式综合题必备变形手段。 重点辨析 ①平方差公式必须一同一反，两项相同、两项相反才能套用； ②完全平方结果一定是二次三项式，绝对不等于平方和/平方差； ③致命误区：(a b)2 a2 b2（考试第一易错点）； ④公式中a、b为多项式或负数时，整体平方必须加括号； ⑤添括号变号是全部变号，不能只变第一项。 （阅卷直接扣分） ①完全平方漏掉中间2ab交叉项，是本章最高频致命错误； ②平方差找错相同项、相反项，平方漏括号、漏系数平方； ③正负号混乱，负底数平方未加括号导致符号错误； ④不会灵活使用三大公式变形，不会整体代入求值； ⑤添括号只变第一项符号，剩余项忘记变号。 题型 考察方向 难度 题型一 运用平方差公式进行运算 ★ 题型二 平方差公式与几何图形 ★★ 题型三 运用完全平方公式进行运算 ★ 题型四 通过对完全平方公式变形求值 ★★★ 题型五 完全平方公式在几何图形中的应用 ★★★ 题型六 求完全平方式中的字母系数 ★★★ 题型七 整式的混合运算 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高； 题型一：运用平方差公式进行运算 解题思路：①观察式子，区分相同项与互为相反项；②套用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，相同项平方减去相反项平方；③若a、b为多项式，平方必须添加括号；④化简得到最终结果。 1．__________． 【答案】/ 【详解】解：． 2．定义，例如．则_____________． 【答案】 【分析】根据题中定义的新运算规则，将对应式子代入，利用平方差公式计算即可． 【详解】解：由题意得： ． 3．已知，则__________． 【答案】 1234320 【分析】利用换元后将所求代数式变形，再通过平方差公式转化为已知条件计算． 【详解】解：令， 由题意得，， ∴所求式子变形为． 4．下面计算正确的是（     ） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的应用； 先将原式变形为符合平方差公式的形式，再利用公式计算判断选项即可． 【详解】解：∵， 又∵平方差公式为，令，， ∴原式， ∴故选：C． 题型二：平方差公式与几何图形 解题思路：①看懂割补前后图形；②用两种方式表示面积：原图直接求面积、拼接后新图形求面积；③利用面积相等建立等式，推导或使用平方差公式；④代入边长完成计算。 5．图中梯形的面积为________．（用含，的代数式表示，结果需化简） 【答案】 【分析】根据梯形的面积公式列出代数式，利用平方差公式进行化简即可． 【详解】解：由图可知，梯形的上底为，下底为，高为， 根据梯形的面积公式，得 ∴图中梯形的面积为． 6．从边长为的大正方形中去掉一个边长为的小正方形，再将剩余部分拼成了如图所示的长方形，上述操作能验证的等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：左图阴影部分面积为两个正方形的面积差，即， 右图长方形的长为，宽为，其面积为． ∵左图的阴影面积右图的阴影面积， ∴． 7．解答以下问题： （1）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是_______， （2）如图3，大正方形与小正方形的面积之差是36，则阴影部分的面积为_______． 【答案】 18 【分析】（1）用代数式分别表示图1中阴影部分以及图2的面积即可． （2）由题意得，根据阴影面积为：代入计算即可 【详解】（1）解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：． （2）由题意得， 阴影面积为： 8．下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式的几何意义，即大正方形面积减去小正方形面积等于拼成的长方形或平行四边形的面积，逐一分析各选项图形即可． 【详解】A． 左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故A不符合题意； B． 左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故B不符合题意； C． 左图大正方形面积减去小正方形面积得，右图长方形长为，宽为，面积为，能验证，故C不符合题意； D． 左图表示完全平方公式，右图表示面积为，不能验证平方差公式，故D符合题意． 题型三：运用完全平方公式进行运算 解题思路：①口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央；②判断是和的平方还是差的平方，选用对应公式；③不能漏掉中间2ab交叉项；④带系数、负号的单项式，系数也要参与平方运算；⑤化简整理结果。 9．计算：________ 【答案】 【详解】解：. 10．下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据完全平方公式的结构特征，判断各选项能否转化为两个相同二项式相乘的形式． 【详解】解：与均符合平方差公式结构，不适用完全平方公式， A、B不符合题意； 的两个二项式各项系数均不对应相等，无法转化为相同二项式相乘的形式， C不符合题意； ，可运用完全平方公式计算， D符合题意． 11．已知，则代数式___________． 【答案】2 【分析】先化简所求代数式，再利用已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：先展开并化简所求代数式： ∵， ∴， 代入得，原式． 12．已知，，则的值为（     ） A．436 B．216 C．217 D．218 【答案】D 【分析】本题利用完全平方公式求解，将已知两个等式展开后相加，可消去含的交叉项，整理即可得到的值． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ ， 等式两边同时除以2，得 ． 题型四：通过对完全平方公式变形求值 解题思路：①熟记变形公式：a2+b2=(a+b)2-2ab，a2+b2=(a-b)2+2ab，(a+b)2-(a-b)2=4ab；②已知a+b、a-b、ab中任意两个，使用整体代入思想；③不必单独求出a、b的值，直接代入计算。 13．若，则______． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式将所求代数式变形求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 14．已知，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将通过完全平方公式恒等变形为含与的形式，代入已知数值计算． 【详解】解：． 15．若，，则的值为________． 【答案】 【分析】将所求代数式通过完全平方公式变形，用已知的和表示后代入数值计算即可． 【详解】解：，，， ． 16．若，，则的值是________． 【答案】1 【分析】先根据已知条件得出，再利用完全平方公式展开变形，最后代入平方和即可求解． 【详解】解：，， ，即， 将三个等式两边分别平方，得：，，， 展开后相加，得：， 整理，得：， 两边同除以，得：， 把代入，得：， ． 题型五：完全平方公式在几何图形中的应用 解题思路：①看清图形是由哪些小正方形、长方形拼接而成；②两种方法算面积：整体算大正方形边长平方；分割求各小块面积之和；③根据“整体面积=各部分面积之和”列等式；④结合已知线段长计算或推导代数式。 17．如图，将大正方形分成个部分，分别用两种方法求大正方形的面积，可以得到等式：________． 【答案】 【详解】解：大正方形的面积可以表示为，也可以表示为， ∴可以得到等式：． 18．如图所示的图形面积由以下哪个公式表示（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等面积法求解即可． 【详解】解：大正方形的面积， 大正方形的面积两个小正方形面积两个相同的长方形面积， ∴满足的公式是． 19．如果，，且、是长方形的长和宽，则这个长方形的面积是_______． 【答案】 【分析】将所给两个式子作差可得，即可求长方形面积． 【详解】解：，， ， ， 、是长方形的长和宽， 长方形面积为． 20．如图，两个正方形的边长分别为，如果满足，则阴影部分的面积为（     ） A．14 B．12 C．9 D．6 【答案】B 【分析】根据推出，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 题型六：求完全平方式中的字母系数 解题思路：①完全平方式标准结构：a22ab+b2，首尾两项必须是平方项；②先找出式子中的两个平方项，确定“首”“尾”；③中间的2倍乘积项存在正负两种情况，不要漏解；④对比结构求出字母系数。 21．是完全平方式，则________． 【答案】或 【分析】根据完全平方公式的结构特征，确定一次项系数的两种可能，即可求解． 【详解】解：完全平方公式为， ∵ 是完全平方式， ∴ 对比公式结构可得 ，即，，即， ∴ 一次项满足 ， ∴ ． 22．已知关于字母x的二次三项式是完全平方式，则常数k的值为（     ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】将二次项、常数项化为平方形式，结合完全平方式的一次项特征列等式求解. 【详解】解：【法一】∵是完全平方式且，， ∴原式可写为， 对比系数有解得， 故D选项正确． 【法二】∵是完全平方式， ∴令， 对比系数可得解得． 故D选项正确． 23．如果代数式是一个完全平方式，则常数的值是_____________． 【答案】 【分析】先展开原式得到二次三项式，再根据完全平方式的结构特征列方程，求解方程即可得到常数的值． 【详解】解：∵， 又∵代数式是完全平方式， ∴一次项系数一半的平方等于常数项，可得：， 整理得：， 解得． 24．若是关于的完全平方式，则的值为(    ) A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】利用完全平方公式的结构特征，得到关于的方程，即可求解的值． 【详解】解：∵是关于的完全平方式，且， ∴根据完全平方公式的结构可得，两边同除以得， 当时，解得， 当时，解得， ∴的值为或． 题型七：整式的混合运算 解题思路：①运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；②优先观察式子，符合公式就用平方差、完全平方公式简化运算；③去括号注意符号，括号前面是负号时全部项变号；④合并同类项化为最简整式。 25．计算的结果为________． 【答案】/ 【分析】先根据完全平方公式展开原式，再合并同类项即可得到计算结果． 【详解】解： ． 26．计算的结果是（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，根据完全平方公式将式子展开，再利用整式加减混合运算法则计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：C． 27．计算：____________． 【答案】 【详解】解： ． 28．若，则代数式的值为（   ） A．5 B．-5 C．10 D．-10 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先简化代数式，发现它等于，然后代入已知条件即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 解答题 1．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用平方差公式计算； （2）利用平方差公式计算； （3）利用平方差公式计算； （4）利用平方差公式计算； （5）利用平方差公式计算； （6）把代数式写成符合平方差公式的形式，再利用平方差公计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 3．先化简，再求值：，其中和互为倒数． 【答案】，2 【详解】解：原式 ， ，互为倒数， ， 原式． 4．数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：______，______（用字母表示）． 【拓展探究】 (2)用4个长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是____________． 【解决问题】 (3)如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为21，求的面积． 【知识迁移】 (4)当时，则的值是______．（直接写出结果） 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据整个图形面积（或阴影面积）及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （2）根据整个图形面积及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （3）根据图形得到两个正方形边长和及面积和求解即可得到答案； （4）根据公式直接转化即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积为或，因此可得； 图2阴影部分的面积为或，因此可得； （2）解：图3阴影部分的面积为或， 因此可得； （3）解：由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 5．对于任意有理数，，，，定义一种新运算：， (1)____________； (2)对于有理数，，若是一个完全平方式，则___________； (3)对于有理数，，若，，求的值． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）根据新运算的定义求解即可； （2）根据新运算的定义列出代数式，然后根据完全平方式的定义确定值； （3）根据新运算的定义列出代数式并变形，代入已知式子的值计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得,； （2）解：由题意可得, , ∵是一个完全平方式， ∴； （3）解：原式               ，， ． 6．综合与实践 【素材】如图1，一张长方形硬纸板的长为，宽为； 【实践操作】步骤1：将图1长方形硬纸板分割为两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形割补到长方形的下方． (1)①图2中的阴影部分的面积是________； ②观察图1、图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积，可以验证恒等式________； 【实践应用】 (2)如图3，点是线段上的点，在的同侧作正方形和正方形，点在线段上，，连接，已知正方形的边长为，正方形的边长为，求阴影部分的面积．（用含的式子表示，结果化到最简） 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由题中操作步骤即可得到图2中的阴影部分的面积；②用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积即可得到答案； （2）先由图中线段关系得到，数形结合得到，代入相关线段长度计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①根据题意，是长为、宽为的长方形， 阴影部分是一个边长为的正方形，则其面积为； ②图1的面积为，图2的面积为， 则由题意可得； （2）解：由题意得， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09乘法公式精讲学案 核心立意： 本节是整式运算重难点、因式分解前置基础。熟练掌握平方差、完全平方两大乘法公式，精准识别公式结构；掌握公式正向运算、逆向变形、整体代入技巧；熟练添括号法则，规范解题步骤，彻底解决整式高频计算丢分问题。 平方差公式 结构口诀：同平方、反平方，同减反 公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 ①结构特征：式子必须含有一组完全相同项、一组互为相反项； ②运算结果：相同项平方 − 相反项平方； ③a、b可代表数字、单项式、多项式整体； ④可正向计算、可逆向因式变形、可用于简便运算。 完全平方公式 结构口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央，符号看尾项 ①和的完全平方：(a+b)2=a2+2ab+b2 ②差的完全平方：(a-b)2=a2-2ab+b2 必考万能变形（期中期末高频）： a2+b2=(a+b)2-2ab a2+b2=(a-b)2+2ab (a+b)2-(a-b)2=4ab 添括号法则 ①括号前为正号，括号内所有项符号不变； ②括号前为负号，括号内所有项全部变号； ③核心用途：构造平方差、完全平方公式结构，是公式综合题必备变形手段。 重点辨析 ①平方差公式必须一同一反，两项相同、两项相反才能套用； ②完全平方结果一定是二次三项式，绝对不等于平方和/平方差； ③致命误区：(a b)2 a2 b2（考试第一易错点）； ④公式中a、b为多项式或负数时，整体平方必须加括号； ⑤添括号变号是全部变号，不能只变第一项。 （阅卷直接扣分） ①完全平方漏掉中间2ab交叉项，是本章最高频致命错误； ②平方差找错相同项、相反项，平方漏括号、漏系数平方； ③正负号混乱，负底数平方未加括号导致符号错误； ④不会灵活使用三大公式变形，不会整体代入求值； ⑤添括号只变第一项符号，剩余项忘记变号。 题型 考察方向 难度 题型一 运用平方差公式进行运算 ★ 题型二 平方差公式与几何图形 ★★ 题型三 运用完全平方公式进行运算 ★ 题型四 通过对完全平方公式变形求值 ★★★ 题型五 完全平方公式在几何图形中的应用 ★★★ 题型六 求完全平方式中的字母系数 ★★★ 题型七 整式的混合运算 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高； 题型一：运用平方差公式进行运算 解题思路：①观察式子，区分相同项与互为相反项；②套用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，相同项平方减去相反项平方；③若a、b为多项式，平方必须添加括号；④化简得到最终结果。 1．__________． 2．定义，例如．则_____________． 3．已知，则__________． 4．下面计算正确的是（     ） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 题型二：平方差公式与几何图形 解题思路：①看懂割补前后图形；②用两种方式表示面积：原图直接求面积、拼接后新图形求面积；③利用面积相等建立等式，推导或使用平方差公式；④代入边长完成计算。 5．图中梯形的面积为________．（用含，的代数式表示，结果需化简） 6．从边长为的大正方形中去掉一个边长为的小正方形，再将剩余部分拼成了如图所示的长方形，上述操作能验证的等式是（     ） A． B． C． D． 7．解答以下问题： （1）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是_______， （2）如图3，大正方形与小正方形的面积之差是36，则阴影部分的面积为_______． 8．下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（     ） A． B． C． D． 题型三：运用完全平方公式进行运算 解题思路：①口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央；②判断是和的平方还是差的平方，选用对应公式；③不能漏掉中间2ab交叉项；④带系数、负号的单项式，系数也要参与平方运算；⑤化简整理结果。 9．计算：________ 10．下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 11．已知，则代数式___________． 12．已知，，则的值为（     ） A．436 B．216 C．217 D．218 题型四：通过对完全平方公式变形求值 解题思路：①熟记变形公式：a2+b2=(a+b)2-2ab，a2+b2=(a-b)2+2ab，(a+b)2-(a-b)2=4ab；②已知a+b、a-b、ab中任意两个，使用整体代入思想；③不必单独求出a、b的值，直接代入计算。 13．若，则______． 14．已知，，则的值是（     ） A． B． C． D． 15．若，，则的值为________． 16．若，，则的值是________． 题型五：完全平方公式在几何图形中的应用 解题思路：①看清图形是由哪些小正方形、长方形拼接而成；②两种方法算面积：整体算大正方形边长平方；分割求各小块面积之和；③根据“整体面积=各部分面积之和”列等式；④结合已知线段长计算或推导代数式。 17．如图，将大正方形分成个部分，分别用两种方法求大正方形的面积，可以得到等式：________． 18．如图所示的图形面积由以下哪个公式表示（     ） A． B． C． D． 19．如果，，且、是长方形的长和宽，则这个长方形的面积是_______． 20．如图，两个正方形的边长分别为，如果满足，则阴影部分的面积为（     ） A．14 B．12 C．9 D．6 题型六：求完全平方式中的字母系数 解题思路：①完全平方式标准结构：a22ab+b2，首尾两项必须是平方项；②先找出式子中的两个平方项，确定“首”“尾”；③中间的2倍乘积项存在正负两种情况，不要漏解；④对比结构求出字母系数。 21．是完全平方式，则________． 22．已知关于字母x的二次三项式是完全平方式，则常数k的值为（     ） A．3 B． C．6 D． 23．如果代数式是一个完全平方式，则常数的值是_____________． 24．若是关于的完全平方式，则的值为(    ) A．或 B．或 C． D． 题型七：整式的混合运算 解题思路：①运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；②优先观察式子，符合公式就用平方差、完全平方公式简化运算；③去括号注意符号，括号前面是负号时全部项变号；④合并同类项化为最简整式。 25．计算的结果为________． 26．计算的结果是（   ） A．4 B．8 C． D． 27．计算：____________． 28．若，则代数式的值为（   ） A．5 B．-5 C．10 D．-10 解答题 1．先化简，再求值：，其中，． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 3．先化简，再求值：，其中和互为倒数． 4．数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：______，______（用字母表示）． 【拓展探究】 (2)用4个长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是____________． 【解决问题】 (3)如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为21，求的面积． 【知识迁移】 (4)当时，则的值是______．（直接写出结果） 5．对于任意有理数，，，，定义一种新运算：， (1)____________； (2)对于有理数，，若是一个完全平方式，则___________； (3)对于有理数，，若，，求的值． 6．综合与实践 【素材】如图1，一张长方形硬纸板的长为，宽为； 【实践操作】步骤1：将图1长方形硬纸板分割为两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形割补到长方形的下方． (1)①图2中的阴影部分的面积是________； ②观察图1、图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积，可以验证恒等式________； 【实践应用】 (2)如图3，点是线段上的点，在的同侧作正方形和正方形，点在线段上，，连接，已知正方形的边长为，正方形的边长为，求阴影部分的面积．（用含的式子表示，结果化到最简） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $