精品解析：江西吉安市2025-2026学年高二上学期期末教学质量检测数学试题

江西吉安市2025-2026学年高二上学期期末教学质量检测数学试题 （测试时间：120分钟 卷面总分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 倾斜角为135°，在y轴上的截距为﹣1的直线方程是（ ） A. x﹣y+1＝0 B. x﹣y﹣1＝0 C. x+y﹣1＝0 D. x+y+1＝0 2. 圆心为且过点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 二项式展开式中第四项的系数是（ ） A. 15 B. 20 C. -160 D. 240 4. 设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 20 5. 如图，三棱锥中，，且，则（ ） A B. C. D. 6. 从5人中选出4人分别到上海、香港、台北、澳门四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去上海游览，则不同的选择方案共有（ ） A. 120种 B. 96种 C. 72种 D. 48种 7. 已知过原点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 10 D. 8. 已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则面积为（ ） A. B. 8 C. D. 12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，则下列选项中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C D. 11. 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．已知两定点，动点满足，设点的轨迹为曲线，下列说法中正确的有（ ） A. 的横坐标取值范围是 B. 不存在点，使得 C. 最小值为4 D. 的面积最大值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为__________. 13. 直线与直线，若，则__________. 14. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某社区文化节需安排4个不同节目（古筝演奏、相声、吉他弹唱、民族舞），按表演先后顺序排定4个时段，每个时段表演一个节目，且节目不重复．请根据以下不同条件，分别计算符合要求的节目安排方案总数： （1）民族舞节目不能安排在第一个表演时段； （2）古筝演奏节目与相声节目必须相邻. 16. 已知双曲线的离心率，且过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知为双曲线左焦点，为双曲线上一点，且线段PF的中垂线倾斜角为，求的值（为坐标原点）. 17. 已知圆心为的圆经过点，半径为4，且圆心位于第二象限， （1）求的标准方程； （2）过点的直线交圆于另一点，连接，，若扇形的面积为，求直线的方程． 18. 如图，四棱锥中，，. （1）证明：平面ABCD； （2）若点都在半径为的球的表面上， （i）求PD的长度； （ii）棱PB上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知点为椭圆上的两点，点为椭圆外一点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作椭圆的两条切线，切点分别为，其中点在轴下方，连接. （i）求两点的坐标； （ii）过点作椭圆的一条割线，交椭圆于两点（是四个不同的点），再过点作一条与直线平行的直线，该直线交直线于点，点满足，求证：直线DG恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西吉安市2025-2026学年高二上学期期末教学质量检测数学试题 （测试时间：120分钟 卷面总分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 倾斜角为135°，在y轴上的截距为﹣1的直线方程是（ ） A. x﹣y+1＝0 B. x﹣y﹣1＝0 C. x+y﹣1＝0 D. x+y+1＝0 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再利用在y轴上的截距是﹣1，用斜截式写出直线方程． 【详解】∵直线倾斜角是135°， ∴直线的斜率等于﹣1， ∵在y轴上的截距是﹣1， 由直线方程的斜截式得：y＝﹣1×x﹣1， 即 y＝﹣x﹣1， 故选：D． 2. 圆心为且过点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件求得圆的半径，进而可求解. 【详解】由题意可得圆的半径， 所以圆的标准方程为， 故选：C 3. 二项式的展开式中第四项的系数是（ ） A. 15 B. 20 C. -160 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】由通项公式，即可求解. 【详解】由， 当时，第四项系数， 故选：C 4. 设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由条件得到，设，结合椭圆的定义及勾股定理即可求解. 【详解】因为椭圆，所以， 又因为，所以，即， 设，则且， 得到，所以. 故选：B 5. 如图，三棱锥中，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，再结合即可求解. 【详解】 . 故选：D 6. 从5人中选出4人分别到上海、香港、台北、澳门四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去上海游览，则不同的选择方案共有（ ） A. 120种 B. 96种 C. 72种 D. 48种 【答案】C 【解析】 【分析】先确定去上海游览的人，再确定剩下三个城市游览的人，即可求解. 【详解】分两步：首先从除甲乙之外的3人中选1人去上海游览，共有种， 其次从剩余4人中选3人到其他三个城市游览，共有种， 共有种， 故选：C 7. 已知过原点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由原点在已知圆内部，确定当直线时，弦长最小，进而可求解. 【详解】由，即原点在已知圆内部， 由于直线过原点，要使最小，只需直线， 而， 所以最小. 故选：A 8. 已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则面积为（ ） A. B. 8 C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】延长，交的延长线于点，确定为等腰三角形，进而得到，设，再由椭圆定义求得，进而可求解. 【详解】如图所示，延长，交的延长线于点， 因为PH为的平分线，， 故为等腰三角形， 即为的中点， 因为为的中点，所以OH为的中位线， 故，设，由椭圆定义知， ，故，解得， 故在中，边上高为. 故面积为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，则下列选项中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】A 选项，根据平行得到比例关系，进而求出 ；B选项，根据垂直得到向量数量积为0，进而可求出； 选项，利用模长公式可求出 ；选项，先求出两向量夹角余弦，再由同角三角函数关系得到正弦值． 【详解】，则，可得对； B：，则，可得对； C：，所以，可得或，C错； D：，则，故，则对. 故选：ABD 10. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，令，即可判断，对于BC，由，由系数计算公式和令进行判断，对于D，分别令和，得到和，进而可判断. 【详解】对于A，取，得，A错； 对于B,展开式中项的系数为，B对； 对于C，令， 可得二项式， 展开式中各项系数均为正， 即， 又 ，C错； 对于D，取，得， 取，得， 联立解得， 因此，D对. 故选：BD 11. 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．已知两定点，动点满足，设点的轨迹为曲线，下列说法中正确的有（ ） A. 的横坐标取值范围是 B. 不存在点，使得 C. 最小值为4 D. 的面积最大值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用轨迹方程的代数关系来证明相关选项，对于A，利用纵坐标放缩去求横坐标范围；对于B，利用方程组消元看是否有解即可得；对于C，借助基本不等式计算即可得；对于D，利用定义求面积最大值即可得. 【详解】由，可得， 即， 即，整理得； 对于A，由，则， 故，即，解得， 即的横坐标取值范围是，故A对； 对于B，若存在点，使得，则有， 又，则， 即，解得，所以存在点，使得，故B错误； 对于C，， 当且仅当时等号成立，故C对； 对于D，，则面积最大值为2， 由上知存在的最大值点，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用双曲线渐近线定义计算即可得. 【详解】依题意，则双曲线的渐近线为， 又双曲线一条渐近线方程为，所以， 故，所以双曲线的离心率为. 故答案为：2. 13. 直线与直线，若，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据两直线平行，列出有关的等式，即可求出实数的值，再验证直线的关系. 【详解】由，则，化简得，可得或， 当时，直线的方程为，此时不是直线，故舍去，所以 故答案为：. 14. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量法计算直线与平面所成角的正弦值； 【详解】设直线的方向向量为， 由材料可知平面的一个法向量， 平面的一个法向量， 平面的一个法向量， 因为直线是两平面与的交线，则有， 即且，不妨取 所以，. 则直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某社区文化节需安排4个不同节目（古筝演奏、相声、吉他弹唱、民族舞），按表演先后顺序排定4个时段，每个时段表演一个节目，且节目不重复．请根据以下不同条件，分别计算符合要求的节目安排方案总数： （1）民族舞节目不能安排在第一个表演时段； （2）古筝演奏节目与相声节目必须相邻. 【答案】（1）18 （2）12 【解析】 【分析】（1）先从古筝演奏、相声、吉他弹唱选一个安排第一个表演，再对剩下3个全排列即可求解； （2）将古筝演奏和相声看作一个整体，再和吉他弹唱、民族舞全排列即可求解. 【小问1详解】 先安排第一个表演时段，有古筝演奏、相声、吉他弹唱3种选择； 剩下3个时段，对剩下3个节目全排列，有种， 所以总数为种； 【小问2详解】 将古筝演奏和相声看作一个“整体”，内部有种排列方式； 再把这个“整体”和吉他弹唱、民族舞进行全排列，有种排法， 所以总数为种. 16. 已知双曲线的离心率，且过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知为双曲线的左焦点，为双曲线上一点，且线段PF的中垂线倾斜角为，求的值（为坐标原点）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由离心率得到，再将代入双曲线方程得到，联立求解即可； （2）法一：由直线垂直关系确定斜率，得到其直线方程，再联立双曲线方程求得坐标，即可求解；法二：设右焦点为，根据双曲线定义结合余弦定理得，在中，再结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 ∵双曲线过点，代入得 解得 ∴双曲线方程为 【小问2详解】 解法一∵线段PF的中垂线倾斜角为， ∴中垂线斜率为. ∵中垂线与垂直， ∴直线的斜率为. 又直线过点， ∴直线方程为. 联立方程组，解得点的坐标为. 为坐标原点， . 解法二∵线段PF的中垂线倾斜角为，且中垂线与PF垂直， 设中垂线与交于点，与轴交于点， 则，又， 所以 即直线PF的倾斜角为，与渐近线的倾斜角相等， 即直线PF与渐近线平行. ∴点在双曲线左支上. 设右焦点为，根据双曲线定义可得 ． 设，则. 在中，由余弦定理得： ， 解得，即. 在中，由余弦定理得： 17. 已知圆心为的圆经过点，半径为4，且圆心位于第二象限， （1）求的标准方程； （2）过点的直线交圆于另一点，连接，，若扇形的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设圆心，再根据圆半径及过点，列出相应方程组，即可求解； （2）由扇形面积可求得圆心角，即可求出圆心到直线距离，再结合直线与圆相交的弦长公式即可求解. 【小问1详解】 设圆心，因圆心在第二象限，故，圆的标准方程为. 将代入方程，得： 解得或（舍去） 所以圆的标准方程为：. 【小问2详解】 扇形面积公式为，已知，代入得： ，解得， 即圆心角. 所以圆心到直线的距离. ①当直线斜率不存在时，直线轴，不合题意，舍去. ②当直线斜率存在时，设斜率， 则直线的方程为，即. 则，解得. 所以直线的方程为或. 18. 如图，在四棱锥中，，. （1）证明：平面ABCD； （2）若点都在半径为的球的表面上， （i）求PD的长度； （ii）棱PB上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）答案见解析； （2）（i）（ii）棱PB上存在满足题意的点，此时. 【解析】 【分析】（1）连接BD，过点作于点，通过勾股定理得到，进而得到平面BDP，得到，再结合即可求证； （2）（i）以点为原点，DC，DP所在直线分别为轴，轴，在平面ABCD上作过点且垂直于CD的直线为轴，设，得到球心为.结合半径列出等式求解即可；（ii），求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 连接BD，过点作于点， 则. 在Rt中，. 在Rt中，. . ，即，且平面平面BDP， 平面BDP. ， 又，且AD与BC相交，平面平面ABCD. 平面 【小问2详解】 （i）如图，以点为原点，DC，DP所在直线分别为轴，轴， 在平面ABCD上作过点且垂直于CD的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则. 为等腰梯形，且 的外接圆圆心为CD的中点，记为. 根据球心的性质可知，球心在过点且垂直于底面的垂线上. 设，则球心为. 由球的半径，得， 解得，故. 从而. （ii）由（i）可知， 设， 则. 设平面的一个法向量， 则 令，则. 故可取. 设平面的一个法向量， 则 令，则. 故可取. ∵二面角的余弦值为， ， 即， 解得或（负值舍去）. ∴棱上存在满足题意的点，此时 19. 已知点为椭圆上的两点，点为椭圆外一点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作椭圆的两条切线，切点分别为，其中点在轴下方，连接. （i）求两点的坐标； （ii）过点作椭圆的一条割线，交椭圆于两点（是四个不同的点），再过点作一条与直线平行的直线，该直线交直线于点，点满足，求证：直线DG恒过定点. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将代入椭圆方程，即可求解； （2）（i）易知直线BT的斜率为0，即可求坐标，设直线AT的方程为，联立椭圆方程，由判别式为0，求得，即可求解；（ii）先通过DG方程为：，猜测点，再通过证明即可求解. 【小问1详解】 由题意得解得 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）显然直线BT的斜率为0，点为， 直线AT斜率存在且不为0，设直线AT的方程为， 联立得（＊） 则， 解得或0（舍去）. 将代入（*）得，将代入，得， 又点在轴下方，. 两点的坐标分别为. （ii）由（i）可知直线AB的方程为， ，则. 当直线CD经过原点时，直线CD的方程为， 联立解得或 不妨设点在轴上方，则. 直线CE的方程为：，即. 联立解得点. 为CG的中点，点为. 又， ∴直线DG为：，经过点. 猜想直线DG恒过定点， 下证一般情况仍然成立： 要证直线DG过定点， 即证， 设点，则直线CE的方程为， 联立得， 则点为. . 即证， 即证， 即证（＃） 显然，直线DT的斜率存在，设直线DT的方程为， 联立得， 显然成立， 所以，即直线DG恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $