精品解析：上海市第二中学2027届高三上学期摸底考数学试卷

2027届市二中学高三上摸底考数学 一、填空题 1. 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中，其重心相对与水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在关系．该运动员在时的瞬时速度是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求得正确答案. 【详解】 故答案为： 2. 设曲线在点处的切线方程为，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由， 则， 根据题意可得，即， 解得. 3. 已知奇函数是定义在上的严格减函数，若，则实数取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【详解】奇函数是定义在上的严格减函数， ，即， ，解得． 4. 五一节放假期间，甲、乙、丙三人来景德镇旅游的概率分别是、、，已知三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来景德镇旅游的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用相互独立事件的概率公式求出没有人来景德镇旅游的概率，再利用对立事件的概率公式求解即可 【详解】由题意可得3人中没有人来景德镇旅游的概率为， 所以至少有1人来景德镇旅游的概率为， 故答案为： 5. 设，则______结果用数值表示 【答案】0 【解析】 【分析】把按照二项式定理展开，可得的值． 【详解】因为 则， 故答案为0． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 6. 若函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a＞0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】令f′(x)＝3x2－3a2＝0，∴x＝±a， 当f′(x)＞0时，x＞a或x＜－a； 当f′(x)＜0时，－a＜x＜a. 所以f(x)极大值＝f(－a)＝2a3＋a， f(x)极小值＝f(a)＝a－2a3. ∴ 点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略 (1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. (2)已知函数求极值.求→求方程的根→列表检验在的根的附近两侧的符号→下结论. (3)已知极值求参数.若函数在点处取得极值，则，且在该点左、右两侧的导数值符号相反. 7. 函数的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中则的最小值为_________ 【答案】8 【解析】 【详解】∵函数（，且）的图象恒过定点A， ∴当时，，∴，又点A在一次函数的图象上，其中， ∴，又， ∴，，∴，（当且仅当时取“”），故答案为8. 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 8. 已知，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据利用两角和的正切公式展开求出，进而由 展开即可求解. 【详解】解析由于， 又，所以， 又 ， 而， 所以， 所以， 故. 故答案为： 【点睛】本题考查了正切的两角和的公式，熟记公式是解题的关键，属于中档题. 9. 已知P是直线l: 上一动点，过点P作圆C:的两条切线，切点分别为A、B.则四边形PACB面积的最小值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由圆的方程为求得圆心、半径r为，由“若四边形面积最小，则圆心与点的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长，最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解． 【详解】由题意得：圆的方程为： ∴圆心为，半径为2， 又∵四边形PACB的面积，所以当PC最小时，四边形PACB面积最小．将代入点到直线的距离公式，， 故四边形PACB面积的最小值为2． 故答案为：2 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想．此题属中档题． 10. 如图，已知椭圆E的方程为(a>b>0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆的离心率等于________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用椭圆的对称性和为平行四边形，可以得出、两点是关于轴对称，进而得到；设，，，从而求出，然后由，利用，求得，最后根据得出离心率． 【详解】解：是与轴重合的，且四边形为平行四边形 ， 所以、两点的纵坐标相等，、的横坐标互为相反数， 、两点是关于轴对称的． 由题知： 四边形为平行四边形，所以 可设，， 代入椭圆方程解得： 设为椭圆的右顶点，，四边形为平行四边形 对点： 解得： 根据： 得： ． 故答案为：． 11. 如图，已知在多面体ABCDEF中，平面ABCD是正方形，CE⊥平面ABCD，BF//CE，且AB=CE=3， BF=2，取AB的中点G，点H为线段CE上的一动点. ①当CH=1时，HG//平面ADF； ②直线CD与AE所成角的正切值为； ③存在点H使GH⊥DF； ④AF的中点到平面ABE的距离为.则以上说法正确的序号是___________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对①，取的中点，进而证明平面平面，然后得到答案； 对②，由AB∥CD，则∠EAB（或其补角）是所求角，进而解得答案； 对③，建立空间直角坐标系，进而利用空间向量的数量积得到答案； 对④，根据题意，所求距离为到平面的距离的一半，进而用等体积法求得答案. 【详解】对①，如图1， 取的中点，连接由题意，，即四边形BCHT是平行四边形，所以TH∥BC，而BC∥AD，所以TH∥AD， 又G,T分别为AB,FB的中点，所以GT∥AF，而，， 所以平面平面，故平面，故①正确； 对③，如图2，因为AB∥CD，所以直线与所成角即为直线与所成角，连 接，则∠EAB（或其补角）是所求角，因为EC⊥平面ABCD，所以EC⊥AB， 又AB⊥BC，且，所以AB⊥平面BCEF，则AB⊥BE， 所以，故②错误； 对于③，以C为坐标原点，所在方向分别为轴的正方向建立如图3的空间直角坐标系， 则,设，所以，，若， 所以，解得，因为，符合题意，故③正确； 对④，如图4， 取的中点为，则到平面的距离即为到平面的距离的一半， 设所求距离为d，由勾股定理易得：, 则， ,所以. 即到平面的距离为，故④正确. 故答案为：①③④. 12. 已知，若，使得，若的最大值为，最小值为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图像，计算函数的对称轴，设，数形结合判断得时，取最小值，时，取最大值，再代入解析式从而求解出另外两个值，从而得和，即可求解. 【详解】作出函数的图像如图所示，令，则函数的对称轴为，由图可知函数关于，，对称，设，则当时，取最小值，此时，可得，故；当时，取最大值，此时，可得，故，所以. 故答案为： 【点睛】解答该题的关键是利用数形结合，利用三角函数的对称性与周期性判断何时取得最大值与最小值，再代入计算. 二、单选题 13. 在等比数列中，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】结合等比数列的性质来求得正确答案. 【详解】， ∵等比数列中，而， ∴． 故选：A 14. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解函数零点，排除C、D，再用导函数求解单调区间，排除B. 【详解】令，解得：或，排除C、D； ， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故选：A 15. 在对角线的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线、的距离之和为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出正方体的棱长，根据已知条件结合椭圆的定义建立直角坐标系，可得点的轨迹方程为，设，利用向量数量积的坐标表示结合即可求解. 【详解】设，因为点到直线、的距离之和为， 所以点到点和点的距离之和为， 由椭圆的定义可知：点的轨迹是椭圆的一部分， 以所在的直线为轴，线段的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 因为正方体的体对角线，所以正方体的棱长为， 则，，所以，，， 可得点的轨迹为椭圆， 所以，， 则 ， 因为，所以，所以， 由此可得， 故选：A. 16. 已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得，所以点在的平分线上，即为的角平分线，利用正弦定理得，，可知，结合三角函数的性质可求最小值. 【详解】表示与共线的单位向量，表示与共线的单位向量， 的分向与的平分线一致， ， 所以点在的平分线上，即为的角平分线， 在中，，，利用正弦定理知： 同理，在中， ，其中 分析可知当时，取得最小值，即 故选：C 三、解答题 17. 已知等差数列{an}满足：S6=21，S7=28，其中是数列的前n项和. （1）求数列的通项； （2）令bn=，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将条件用首项，公差表示，计算即可. （2）利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 数列为等差数列，依题意S6=21，S7=28，所以， 所以d=1，所以 【小问2详解】 18. 在中，内角､､的对边分别为､､，且. （1）求角的大小； （2）若，判断的形状. 【答案】（1） （2）等腰三角形 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，利用正切函数的三角恒等变换即可求解； （2）利用化简，然后结合（1）中结论即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以，，即，， 因为，所以，故. 【小问2详解】 由，所以， 故由， 则，化简得， 即，所以， 又因为，所以， 所以是等腰三角形. 19. 如图1，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面ABCE． （1）设F为的中点，在AB上是否存在一点M，使得平面．若存在，请证明；若不存在，请说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）存在，理由见详解. （2） 【解析】 【分析】（1）先分析确定点M位置，再取D1E的中点L，根据平面几何知识得AMFL为平行四边形，最后根据线面平行判定定理得结果. （2）取的中点，的中点，连接，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积即可求解. 【小问1详解】 存在，且AM＝AB， 取D1E的中点L，连接AL，FL， ∵FLEC，ECAB，∴FLAB且FL＝AB， ∴FLAM，FL=AM ∴AMFL为平行四边形，∴MFAL， 因为MFAD1E上， AL⊂平面AD1E，所以MF平面AD1E. 故线段AB上存在满足题意的点M，且＝. 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接， ， ， 因为平面平面ABCE， 则平面ABCE， 故以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，，，， ,, 设平面的一个法向量为， 由，即， 令，解得，所以， 设直线与平面所成角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为 20. 已知是定义在上的奇函数，且若对任意的m，，，都有. （1）若，求实数a的取值范围； （2）若不等式对任意和都恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义，令，计算，证得在上递增，由此结合奇函数的性质化简不等式，求得的取值范围. （2）将不等式恒成立转化为对任意的都恒成立，通过构造一次函数的方法，求得的取值范围. 【详解】（1）设任意，，满足， 由题意可得， 即， 在定义域上是增函数. 则可化为， 解得，a的取值范围为. （2）由（1）知不等式对任意和都恒成立， 对任意的都恒成立， 恒成立， 即对任意的都恒成立， 令，， 则只需， 解得，的取值范围. 【点睛】利用函数单调性的定义进行证明，主要是判断的符号. 21. 双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点. （1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设，若的斜率存在，且，求的斜率. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）设，根据题设条件得到，从而解得的值． （2）设，，直线与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据与双曲线交于两点，可得，且．再设的中点为，由即，从而得到，进而构建关于的方程求解即可． 试题解析：（1）设． 由题意，，，， 因为是等边三角形，所以， 即，解得． 故双曲线的渐近线方程为． （2）由已知，，． 设，，直线．显然． 由，得． 因为与双曲线交于两点，所以，且． 设的中点为． 由即，知，故． 而，，， 所以，得，故的斜率为． 【考点】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、平面向量的数量积 【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，利用的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程得到方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届市二中学高三上摸底考数学 一、填空题 1. 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中，其重心相对与水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在关系．该运动员在时的瞬时速度是________． 2. 设曲线在点处的切线方程为，则_________． 3. 已知奇函数是定义在上的严格减函数，若，则实数取值范围为_________． 4. 五一节放假期间，甲、乙、丙三人来景德镇旅游的概率分别是、、，已知三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来景德镇旅游的概率为______． 5. 设，则______结果用数值表示 6. 若函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a＞0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围为________． 7. 函数的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中则的最小值为_________ 8. 已知，且，则________. 9. 已知P是直线l: 上一动点，过点P作圆C:的两条切线，切点分别为A、B.则四边形PACB面积的最小值为___________. 10. 如图，已知椭圆E的方程为(a>b>0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆的离心率等于________． 11. 如图，已知在多面体ABCDEF中，平面ABCD是正方形，CE⊥平面ABCD，BF//CE，且AB=CE=3， BF=2，取AB的中点G，点H为线段CE上的一动点. ①当CH=1时，HG//平面ADF； ②直线CD与AE所成角的正切值为； ③存在点H使GH⊥DF； ④AF的中点到平面ABE的距离为.则以上说法正确的序号是___________. 12. 已知，若，使得，若的最大值为，最小值为，则__________． 二、单选题 13. 在等比数列中，，则（ ） A. B. C. D. 2 14. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 15. 在对角线的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线、的距离之和为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 三、解答题 17. 已知等差数列{an}满足：S6=21，S7=28，其中是数列的前n项和. （1）求数列的通项； （2）令bn=，证明：. 18. 在中，内角､､的对边分别为､､，且. （1）求角的大小； （2）若，判断的形状. 19. 如图1，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面ABCE． （1）设F为的中点，在AB上是否存在一点M，使得平面．若存在，请证明；若不存在，请说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 20. 已知是定义在上的奇函数，且若对任意的m，，，都有. （1）若，求实数a的取值范围； （2）若不等式对任意和都恒成立，求实数t的取值范围. 21. 双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点. （1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设，若的斜率存在，且，求的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $