精品解析：上海市南洋模范中学2024届高三上学期开学考试数学试题

南洋模范2023学年第一学期高三年级数学开学考 2023.9 一､填空题（本大题共有12题，4*6+5*6=54） 1. 已知全集，集合，集合，那么______． 2. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为__________________. 3. 双曲线的焦点到渐近线的距离等于_____． 4. 的二项式展开中，系数最大的项为______． 5. 方程的解为________． 6. 已知数列都是公差为1的等差数列，其首项分别为，且，是正整数，设则数列的前项和=__________. 7. 若的值域为，则至多有_______个零点. 8. 若向量与不共线也不垂直， 且， 则向量夹角________. 9. 已知正六边形，､分别是对角线､上的点，使得，当___________时，､､三点共线. 10. 函数的图象绕着原点旋转弧度，若得到的图象仍是函数图象，则可取值的集合为_________. 11. 平面内，若三条射线两两成等角为，则，类比该特性：在空间上，若四条射线两两成等角为，则___________. 12. 若实数使得存在两两不同的实数，有，则实数的取值范围是________. 二､选择题（本大题共有4题，4*2+5*2=18） 13. 在区间上，若，则下列四个图中，能表示函数图像的是（ ） A. B. C. D. 14. 某银行有一自动取款机，在某时刻恰有个人正在使用或等待使用该取款机的概率为，根据统计得到，则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为（ ） A. B. C. D. 15. 已知数列满足，那么（ ）是等差数列 A B. C. D. 16. 设函数，在上的导函数存在，且，则当时（ ） A. B. C D. 三､解答题（本大题共有5题，14*3+18*2=78） 17. 已知在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，. （1）求证：直线平面； （2）求点到平面的距离. 18. 已知在中，所对的边分别为，若且． (Ⅰ)求角A、B、C的大小； (Ⅱ)设函数，求函数的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离． 19. 根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆）， 其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的 累计投放量与累计损失量的差. （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量； （2）已知该地共享单车停放点第个月底单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 20. 已知函数，. （1）判断函数的奇偶性； （2）若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围； （3）记（是自然对数的底数）.若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围. 21. 已知椭圆长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为、，抛物线：的准线与轴交于，椭圆与抛物线的一个交点为. （1）当时，求椭圆的方程； （2）在（1）的条件下，直线过焦点，与抛物线交于、两点，若弦长等于的周长，求直线的方程； （3）由抛物线弧和椭圆弧合成的曲线叫做“抛椭圆”，是否存在以原点为直角顶点，另两个顶点、落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形，若存在，求出两直角边所在直线的斜率；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南洋模范2023学年第一学期高三年级数学开学考 2023.9 一､填空题（本大题共有12题，4*6+5*6=54） 1. 已知全集，集合，集合，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的性质求出集合，根据求函数值域的方法求出集合，然后利用集合的运算即可求解. 【详解】由题意知：集合， 集合，所以， 则， 故答案为：. 2. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为__________________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据侧面展开图扇形弧长可求得底面半径，并利用勾股定理求得圆锥的高，代入圆锥体积公式即可求得结果. 【详解】设圆锥底面半径为，则，解得：， 圆锥的高，圆锥的体积. 故答案为：. 3. 双曲线焦点到渐近线的距离等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】由给定的双曲线方程写出它的焦点和渐近线的方程，再利用点到直线的距离公式求解即得. 【详解】双曲线中，实半轴a=2，虚半轴b=3，则半焦距， 所以双曲线焦点，渐近线方程，即， 由点到直线距离公式得所求距离为. 故答案为：3 4. 的二项式展开中，系数最大的项为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式中系数的性质即可求解. 【详解】由题意知：的二项式展开中，