精品解析：上海市南洋模范中学2026-2027学年高三上学期9月初态考数学试题

2026南模中学9月高三初态考 一、填空题 1. 已知集合 ，则 _____ 【答案】 【解析】 【详解】先解绝对值不等式确定集合： 由，得或， 即或， 故， 其补集， 结合，取交集得： . 2. 直线的斜率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用直线一般式方程的斜率公式直接计算即可得到结果. 【详解】已知直线的一般式方程为，当时，直线的斜率公式为. 本题中直线方程为，对应参数，，代入斜率公式可得： . 3. 若是真命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】对和进行分类讨论，当时，对一切实数都适合；当时，则二次函数开口向下，且与轴无交点，即可满足条件，从而求出的取值范围即可. 【详解】当时，恒成立，符合题意； 当时，是真命题，则，解得， 综上，当是真命题时，的取值范围为. 4. 某校数学组老师的年龄分布茎叶图如图所示， 则该校数学组老师年龄的中位数与极差之和为_____. 2 8 3 2 3 6 6 8 4 0 5 5 2 4 8 【答案】68 【解析】 【详解】由茎叶图可得所有年龄数据（从小到大排列）：28，32，33，36，36，38，40，45，52，54，58，共11个数据. 中位数：11个数据的中位数为第6个数据，即38. 极差：最大值58减去最小值28，得. 因此中位数与极差之和为. 5. 若将方程化简为的形式，则________． 【答案】 25 【解析】 【分析】方程左侧是平面上点到两个定点(0，5)的距离之和，根据椭圆的定义，若距离之和大于两定点间的距离，那么该点的轨迹是椭圆，以此作为解题突破口。 【详解】方程可以看作点P(x，y)到距离之和为26， 由椭圆的定义可知，方程表示的轨迹是以 �� 1 ， �� 2 为焦点的椭圆， 设椭圆长半轴长，短半轴长，半焦距分别为，，. 所以  所以 因此方程为 所以 因为a>0，b>0 所以a=12，b=13 故 �� + �� = 12 + 13 = 25 . 6. 有4名男生，5名女生，全排成一行，则甲不在中间也不在两端的排法种数的是___________. 【答案】241920 【解析】 【分析】先排甲再排没有限制条件的另外8人，按照分步乘法计数原理计算. 【详解】先排甲有种不同的排法，再排其余8人，有种不同的排法， 根据分步乘法计数原理，不同的排法共有种． 故答案为：. 7. 已知，向量两两不平行，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，由向量共线定理建立数量关系，化简即可求出的值. 【详解】由，则由向量共线定理可知，存在， 使得，则， 所以，因此， 又两两不平行，所以，即，即，所以. 8. 已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】令，得到，问题转化为直线与的图象只有一个交点，分与两种情况，画出函数图象，数形结合得到答案. 【详解】令，则方程等价为，显然， 当时，若，， 若，由得：，即，作出的图象如图： 若，则直线与的图象只有一个交点，满足条件， 若，要使直线与的图象只有一个交点， 则只需当时，直线与的图象没有交点， 即此时，即需，所以，解得：， 综上，或，即实数的取值范围是． 故答案为： 9. 若 ，则 的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【详解】 而， . ，根据正弦函数的值域可以得，则，又因为，所以. 10. 已知点满足：是函数图象上任意一点.则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设利用导数研究函数的单调性，得出当时，函数最小值为.从而可得点在直线上运动.，设与平行的直线与相切于点，利用求导求得切点，结合图形计算出点到直线的距离即可. 【详解】设， 设， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 所以，即点在直线上运动. 设与平行的直线与相切于点，令， 得，故切点为，由图知其到直线的距离，即为的最小值. 故答案为： 11. 半径为2的球内部有一定点，，过点作该球的截面，将该球分为两部分，体积分别为、．类比教材中利用祖暅原理推导球体积的方法，可求得的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】类比祖暅原理得出球缺及剩余体积计算，再结合导函数得出单调性求解. 【详解】 设球缺（球的截面分球的两个部分）所在球体的半径为，球缺的高度为（球垂直于截面的半径的端点到截面的距离）， 不妨设，先用与水平面平行且经过球缺所在球的球心的平面截球缺， 则球台的高为，下底面半径为，上底面半径为， 由祖暅原理，球台体积等于与之等高，底面半径相等的圆柱挖去一个与之等高的小圆锥余下的几何体的体积， 其中小圆锥的底面半径为，则球台体积为， 将其加上半球的体积，即得球缺的体积：. 若，则可先计算另一半高为的大球缺体积，再用球的体积减去大球缺的体积， 即得小球缺的体积为. 类比球体积的推导方法，构造一个底面半径的圆柱， 里面挖去底面为圆柱下底面，顶点为上底面的圆心的圆锥，则可以算得在任意高度， 两个几何体的截面面积均为， 故两个几何体的体积相等，由可知越大，体积越大，故当截面垂直于时， 取较大的球缺的体积为，较小的为，可得所求最小值为. 故答案为：. 12. 在长方体中，，，M为棱BC的中点，动点P满足，则点P的轨迹与长方体的侧面的交线长等于___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出图形，由角的关系得到边的关系，然后再在平面内建系，求出P的轨迹方程，确定点P的轨迹与长方体的面的交线，进而求得交线长. 【详解】如下图所示： 当P在面内时，面，面； 又，在与中，∵，则， ∴，则，即. 在平面中，以DC所在直线为x轴，以DC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则，， 设，由，得， 整理得：，即. ∴点P的轨迹是以F(5，0)为圆心，半径为4的圆. 设圆F与面的交点为E､M，作EK垂直x轴于点K，如图， 则； ∴； 故点P的轨迹与长方体的面的交线为劣弧，所以劣弧的长为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据题意在平面中，以DC所在直线为x轴，以DC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，得出点P的轨迹是以F(5，0)为圆心，半径为4的圆，再利用弧长公式求解是关键，属于中档题. 二、选择题 13. 设x、y、，若，则下列结论中不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在同一坐标系中作出的图象，利用函数零点思想，结合图象逐一判断即得. 【详解】如图在同一坐标系中分别作出函数的图象， 依题意直线与三个函数都有交点，设交点的横坐标依次为， 则需判断这些交点的横坐标之间有怎样的大小关系. 由图知，有三种不同的情况：当直线在①位置时，显然有：； 当直线在②位置时，显然有：； 当直线在③位置时，显然有：，故D错误. 14. 设函数一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A选项函数的极大值不一定是函数的最大值，所以错；对于B中的是将的图象关于y轴对称，所以是其极大值点,错误；对于C中的是将的图象关x轴对称，所以才是其极小值点，错误；而对于D中的是将的图象关原点对称，故是其极小值点，正确. 故选D. 15. 平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，过内任意一点作垂直于轴的直线，满足为一线段.现沿方向平移这些线段，使得它们的中点均在轴上，这样叫做平移对称法.对于，，直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先作出两函数在区间上的图象，根据平移对称法，分别算出和时，两函数的函数值，求得对应线段的中点的纵坐标，从而得出需要将两函数图象上下平移的长度，根据平移后对应点的坐标结合各选项逐一判断即得；也可以通过计算两函数的函数值差值等分量，根据该函数的类型结合选项确定答案. 【详解】方法一：依题意，作出函数与在上的图象. 按照平移对称法，当时，，线段中点纵坐标为， 则应将此时的线段沿方向向下平移，的图象上的对应点纵坐标应分别为和，故排除B项； 当时，，线段中点纵坐标为，则应将此时的线段沿方向向下平移， 的图象上的对应点纵坐标应分别为和，故可排除C，D两项，A项符合题意. 方法二：根据平移对称法的基本概念，将函数和函数在上的函数值差值等分在轴上下两侧， 等分量为，故在上线性变化，结合选项知，只有选项A符合题意. 故选：A. 16. 已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是，接下来的两项是、，再接下来的三项是、、，以此类推，若且该数列的前项和为2的整数幂，则的最小值为（ ） A. 440 B. 330 C. 220 D. 110 【答案】A 【解析】 【分析】把题设中的数列分成如下的组： ，记前组的和为，算出后结合前项和为2的整数幂可得的最小值. 【详解】把题设中的数列分成如下的组： ，记前组的和为。 则 . 令即，故. 故当时，数列至少包括前13组且含有第14组的前个元素. 设前项和为2的整数幂且第项为第组的第个元素，则， 且前项和，其中，. 下证：当时，总有. 记，则当时，有， 故为单调增数列，而，故即. 所以， 由为2的整数幂，故，从而， 当时，，与矛盾； 当时，，此时， 故选：A. 【点睛】本题考查分组数列的和以及与不定方程的整数解，对于分组数列的前项和的问题，一般采用计算“大组”和，再计算“小组”和，而不定方程的整数解问题，则需把和式放缩为2的正整数幂的形式，从而确定和的表达式，本题属于难题. 三、解答题 17. 如图，在中，，斜边，D是AB的中点．现将以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且． （1）求该圆锥的全面积； （2）求异面直线AO与CD所成角的大小．（结果用反三角函数表示） 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的侧面积公式和圆锥全面积公式进行求解即可； （2）根据三角形中位线定理，结合异面直线成角的定义进行求解即可. 【小问1详解】 在中，，即圆锥底面半径为2． 圆锥的侧面积，圆锥的底面积， 故圆锥的全面积； 【小问2详解】 过D作交BO于点M，连接CM． 则为异面直线AO与CD所成角． 因为平面OBC，所以平面OBC，因为平面OBC， 所以． 在中，，所以． 由D是AB的中点可知M是OB的中点，所以，则有． 在中，． 所以，即异面直线AO与CD所成角的大小为. 18. 已知锐角中，，，分别为角，，所对的边，且. （1）求角的大小； （2）若，求周长的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理代入已知等式化简，结合正弦定理求得角， （2）将周长最小值转化为边的最小值，通过余弦定理和基本不等式求解，验证符合锐角三角形条件即可. 【小问1详解】 将代入等式 展开化简可得 ； 整理得 ，即； 由正弦定理可得 ， 因为，且锐角三角形中，即可得； 又为锐角三角形，，故； 【小问2详解】 由题意，，故，三角形周长， 由余弦定理得； 又，代入上式得 ； 由基本不等式可得，故， 当且仅当时等号成立，此时，即， 此时，为等边三角形，满足锐角三角形条件； 故周长最小值为. 19. 从中国夺得第一枚奥运金牌至今， 已过去约四十年. 在这期间， 中国体育不断进步和发展， 如跳水、举重、体操、乒乓球、射击、羽毛球等， 现已处于世界领先地位. 我国某邻国为挑选参加第 19 届杭州亚运会乒乓球男单比赛的队员， 对世界排名均不靠前， 且水平相当的甲乙二人的乒乓球单打水平分别进行了五轮综合测试， 按某评判标准得到评价成绩如下 (分数越高，代表打球水平越好) 甲:5 6.3 9.5 9.2 6 乙:7.2 7.3 6.6 7 7.9 （1）参考上面数据你认为选派甲乙哪位选手参加合适？说明理由； （2）现甲、乙二人进行单打比赛，并约定其中一人比另一人多赢两局时比赛就结束，且最多比赛 20 局，若甲、乙在每一局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛互不影响，求比赛结束时比赛局数 所有可能取值及数学期望. 【答案】（1）选派乙选手参加合适； （2）的所有可能取值为2,4,6,8,10,12,14,16,18,20，数学期望为 【解析】 【分析】（1）分别计算甲乙两人测试成绩的平均数与方差，在平均成绩相同的前提下，方差越小成绩稳定性越高，以此为依据选择参赛选手； （2）结合比赛结束规则确定的所有可能取值，根据独立重复试验的概率公式计算对应取值的概率，再代入期望公式求解数学期望. 【小问1详解】 由题意可得： ∵ 甲的平均成绩 ， 乙的平均成绩 ， ∴ 甲乙两人的平均成绩相同， ∵ 甲的成绩方差 ， 乙的成绩方差 ， ∴ ，即乙的成绩稳定性更高， ∴ 选派乙选手参加比赛更合适. 【小问2详解】 ∵ 比赛在一方领先2局时结束，最多打满20局， ∴ 的所有可能取值为2,4,6,8,10,12,14,16,18,20. 将每2局比赛记为一轮，每轮比赛中两人打平（各胜1局）的概率为 ，一轮内比赛结束（一人连胜2局）的概率为 . 当时，前轮均打平、第轮比赛结束的概率为 ，即 . 前9轮均打平的概率为 ，此时比赛打满20局结束，即 . ∴ 数学期望 . 设 ∵ ① ② 用①减去②可得 ∵ 代入上式得 ∴ ∴ . 20. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线 与椭圆 交于 两点 ( 点在 点的上方)，与 轴交于点 . （1）当 时，点 为椭圆 上除顶点外任一点，求 的周长； （2）当 且直线 过点 时，设 ，求证: 为定值， 并求出该值; （3）若椭圆 的离心率为 ，当 为何值时， 恒为定值；并求此时 面积的最大值. 【答案】（1） （2）为定值，理由如下， 当时，椭圆的方程为， ∵ 直线过点，代入得，即，直线的方程为， ∴直线与轴交点的坐标为. 设，， ∵ ，，， ∴ ，即，同理可得， 则. 联立直线与椭圆方程，消去整理得， 由韦达定理得，， 代入得分子， 分母， ∴ ，即为定值. （3），面积最大值为 【解析】 【分析】（1）利用椭圆定义将三角形周长转化为，代入参数计算即可. （2）根据向量关系将转化为关于交点横坐标的表达式，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理化简证明为定值. （3）先由离心率求出椭圆方程，将用交点坐标表示，结合韦达定理整理为与无关的表达式，求出的值，再利用弦长公式与点到直线距离公式表示三角形面积，结合基本不等式求最大值. 【小问1详解】 当时，椭圆的方程为，则，，， 即，. 点为椭圆上任意一点，由椭圆定义得， 又， ∴ 的周长为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵ 椭圆的离心率，又，， ∴ ，解得，即椭圆方程为. 联立直线与椭圆方程：，消去整理得， 由得， 由韦达定理得，. ∴ 要使该式为与无关的定值，则含的项系数为，即， 解得，即，此时定值为，当时，， 弦长， 原点到直线的距离， 则的面积， 由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号，满足， ∴ 面积的最大值为. 21. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. （1）求曲线在（0，1）的曲率； （2）求曲线曲率的最大值； （3）函数，若不存在曲率为0的点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据曲率公式求解即可； （2）根据曲率公式求解函数曲率的最大值； （3）根据不存在曲率为0的点，得到在无实数解，令，通过多次求导，求得函数的最小值,进而得到的取值范围. 【小问1详解】 因为，则，， 所以 【小问2详解】 因为，则，， 所以， 令 则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，所以曲率最大值为. 【小问3详解】 ， ， 因为不存在曲率为0的点，所以在无实数解， 令， ， 令，求导得， 故函数在上单调递增， 而，则存在，使， 即，此时， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 由，得， 则， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026南模中学9月高三初态考 一、填空题 1. 已知集合 ，则 _____ 2. 直线的斜率为________． 3. 若是真命题，则实数的取值范围是______. 4. 某校数学组老师的年龄分布茎叶图如图所示， 则该校数学组老师年龄的中位数与极差之和为_____. 2 8 3 2 3 6 6 8 4 0 5 5 2 4 8 5. 若将方程化简为的形式，则________． 6. 有4名男生，5名女生，全排成一行，则甲不在中间也不在两端的排法种数的是___________. 7. 已知，向量两两不平行，若，则_____. 8. 已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是_________. 9. 若 ，则 的取值范围为_____ 10. 已知点满足：是函数图象上任意一点.则的最小值为__________. 11. 半径为2的球内部有一定点，，过点作该球的截面，将该球分为两部分，体积分别为、．类比教材中利用祖暅原理推导球体积的方法，可求得的最小值为________． 12. 在长方体中，，，M为棱BC的中点，动点P满足，则点P的轨迹与长方体的侧面的交线长等于___________. 二、选择题 13. 设x、y、，若，则下列结论中不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 设函数一定正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，过内任意一点作垂直于轴的直线，满足为一线段.现沿方向平移这些线段，使得它们的中点均在轴上，这样叫做平移对称法.对于，，直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（ ） A. B. C. D. 16. 已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是，接下来的两项是、，再接下来的三项是、、，以此类推，若且该数列的前项和为2的整数幂，则的最小值为（ ） A. 440 B. 330 C. 220 D. 110 三、解答题 17. 如图，在中，，斜边，D是AB的中点．现将以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且． （1）求该圆锥的全面积； （2）求异面直线AO与CD所成角的大小．（结果用反三角函数表示） 18. 已知锐角中，，，分别为角，，所对的边，且. （1）求角的大小； （2）若，求周长的最小值. 19. 从中国夺得第一枚奥运金牌至今， 已过去约四十年. 在这期间， 中国体育不断进步和发展， 如跳水、举重、体操、乒乓球、射击、羽毛球等， 现已处于世界领先地位. 我国某邻国为挑选参加第 19 届杭州亚运会乒乓球男单比赛的队员， 对世界排名均不靠前， 且水平相当的甲乙二人的乒乓球单打水平分别进行了五轮综合测试， 按某评判标准得到评价成绩如下 (分数越高，代表打球水平越好) 甲:5 6.3 9.5 9.2 6 乙:7.2 7.3 6.6 7 7.9 （1）参考上面数据你认为选派甲乙哪位选手参加合适？说明理由； （2）现甲、乙二人进行单打比赛，并约定其中一人比另一人多赢两局时比赛就结束，且最多比赛 20 局，若甲、乙在每一局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛互不影响，求比赛结束时比赛局数 所有可能取值及数学期望. 20. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线 与椭圆 交于 两点 ( 点在 点的上方)，与 轴交于点 . （1）当 时，点 为椭圆 上除顶点外任一点，求 的周长； （2）当 且直线 过点 时，设 ，求证: 为定值， 并求出该值; （3）若椭圆 的离心率为 ，当 为何值时， 恒为定值；并求此时 面积的最大值. 21. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. （1）求曲线在（0，1）的曲率； （2）求曲线曲率的最大值； （3）函数，若不存在曲率为0的点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $