精品解析：广西南宁市第三中学2026-2027学年高三上学期月考（一）数学试题

南宁三中2026~2027学年度上学期高三月考（一） 数学试题 2026.9 一、单选题 1. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算法则进行计算. 【详解】 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到，利用交集概念求出交集. 【详解】，故，解得，故， 又，故. 故选：B 3. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据，得， 所以， 所以. 4. 图1为元代瓷器白地褐彩龙凤纹罐，高约为，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成，如图2.圆台的上底直径约为，下底直径约为，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题设，圆台上下底的半径分别为、，高为， 所以该瓷器容积为. 5. 反比例函数的图象是双曲线，两条坐标轴是它的渐近线，若以其中心为原点，实轴所在的直线为x轴，重新建立直角坐标系，则双曲线在新坐标系中的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据实轴与函数的交点得出，即可得出双曲线方程. 【详解】反比例函数的图象是等轴双曲线，且实轴所在的直线为， 联立，得或， 则， 则双曲线在新坐标系中的方程为 故选：C. 6. 若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正余弦的二倍角公式、弦化切求出，再由两角差的正切公式可得答案. 【详解】若，则， 解得， 则. 故选：C. 7. 如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人，若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共（ ） A. 32种 B. 24种 C. ·20种 D. 16种 【答案】D 【解析】 【分析】按照元素甲、乙所在舱位进行讨论，特殊元素优先考虑即可求解. 【详解】按照甲、乙两人同时在天和核心舱或问天实验舱两种情况讨论： ①若甲、乙两人同时在天和核心舱，则需要从剩余4人中再选1人， 剩下的3人去剩下的两个舱位，则有种可能； ②若甲、乙两人同时在问天实验舱，则剩下的4人选3人去天和核心舱即可， 共有种可能， 根据分类加法计算原理，共有种可能. 故选：D. 8. 设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，．若，则（ ） A. 0 B. 6 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇偶性，得到对称性，结合解析式求解，，再求解. 【详解】由是偶函数得，所以，故函数关于直线对称， 由是奇函数，的定义域为，故， 令，代入， 即，函数关于点中心对称， 由对称得，而，所以， 已知，得， 由中心对称，令， ，则，， 解得，，所以， 由，令，得,即， 由，令，得， 于是，所以. 二、多选题 9. 已知圆，，则（ ） A. 时，和外离 B. 时，和有三条公切线 C. 若和相交且公共弦所在直线方程为，则 D. 若和相交且公共弦长为，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据圆心间距离及与半径和及半径差的关系判断圆与圆的位置关系及圆与圆的公切线判断A，B，根据两圆的相交关系，结合圆的方程求相交弦方程判断C，由相交弦与圆的半径及弦心距的几何关系求弦长判断D. 【详解】A：圆的圆心为，半径为. 圆，的圆心为，半径为. ，， 所以两个圆外离，A选项正确， B：圆的圆心为，半径为. 圆，的圆心为，半径为. ，， 所以两个圆外切，和有三条公切线，B选项正确， C：由两圆方程相减可得，即为公共弦所在直线方程， 若和相交且公共弦所在直线方程为，则，所以，C正确； D：由知：到的距离为， 而圆的半径，所以，则，D错误； 故选：ABC. 10. 已知等比数列的公比为，前项和为．若，且，则下列各选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，借助等比数列通项求出公比范围，再结合等比数列的性质逐个分析即可. 【详解】由题意，等比数列的公比为，， 由，则，所以，即， 所以，得，故B正确； 而，故A错误； 而，所以，故C正确； 而，故D错误. 故选：BC. 11. 已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，P为直线上的一动点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若为等边三角形，则 B. 若，则存在两个不同的点P C. 若A，O，P共线，则与x轴平行 D. 若A，O，P共线，则的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】由抛物线的性质，求得A点横坐标，即可得，进而判断A；设直线：，联立直线与抛物线方程，求以为直径的圆的表达式，令，即可求解P点个数，进而判断B；若A，O，P共线，可求P点坐标，根据根与系数关系可得B点纵坐标，从而判断C；，利用基本不等式即可求解，进而判断D. 【详解】由题，抛物线的焦点F为， 不妨令， 对A选项，若为等边三角形， 则， 根据抛物线的性质可知，此时AP与y轴垂直， 故点A的横坐标为3，所以，故A正确； 对B选项，由题可知，直线的斜率不为0， 令直线：， 联立直线与抛物线方程有， 所以， ， 所以以为直径的圆的方程为：， 令，则， 整理可得，故只有一个点P可使，故B错误； 对C选项，若A，O，P共线， 则直线AP：，令，则， 由B选项可知，， 所以点B的纵坐标为，所以与x轴平行，故C正确； 对D选项，由C选项， ， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 等差数列满足：，则________ 【答案】40 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，可得，代入前n项和公式，即可求得答案. 【详解】因为为等差数列，所以， 则. 故答案为：40 13. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，令，分析函数的性质并求出最大值，再列出不等式求解作答. 【详解】函数的定义域为R，令，函数， 而对勾函数在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， ， 因为，则 ，有，即， 因此函数在上单调递减，同理可证在上单调递增， 于是，函数在上单调递增，在上单调递减，函数值集合均为， 依题意，函数在上有两个零点，则有，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 14. 已知球O的直径PQ＝4，A，B，C是球O球面上的三点，△ABC是等边三角形，且∠APQ＝∠BPQ＝∠CPQ＝30°，则三棱锥P－ABC的体积为________． 【答案】 【解析】 【详解】设球心为三角形截面小圆的圆心为， ∵是等边三角形， ∴在面的投影是等边的重心（此时四心合一）是直径， 是等边的重心 ∴等边的高 三棱锥 体积 即答案为 四、解答题 15. 某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求的值； （2）从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； （3）将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） （3）的分布列如下， 0 1 2 数学期望为0.6 【解析】 【分析】（1）根据频率之和等于1求解； （2）根据超几何分布求解概率； （3）利用二项分布求分布列和数学期望. 【小问1详解】 根据频率之和等于1可得， ，解得. 【小问2详解】 由频率分布图可知，电池续航时间不少于35小时的频率等于， 所以电池续航时间不少于35小时的电池有组， 电池续航时间少于35小时的电池有组， 所以从抽取的50组电池中任取2组， 恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率为. 【小问3详解】 由（2）知，每次抽到电池续航时间不少于35小时的概率等于 由题可知，随机变量服从二项分布，所以, 所以所有可能的取值有0,1,2， 所以 , 所以的分布列如下， 0 1 2 所以的数学期望为. 16. 如图，和都垂直于平面，且，，是的中点. （1）证明：//平面； （2）若四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值的最大值. 【答案】（1） 取的中点，连接，， ，分别是和的中点，与平行且相等； 和都垂直于平面，且，与平行且相等， 与平行且相等，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，证明为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求出； （2）先根据体积求出点到平面的距离，再建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，代入公式即可求出最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设到平面的距离为， 则，故． 由于垂直于平面，建立如图的空间直角坐标系， ，， ，，，， 设，则， ，， 设平面的法向量为，则由得， 取，得，，因此平面的一个法向量． 由于垂直于平面，因此是平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 则， ∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得，即可求解. 【小问1详解】 由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； 【小问2详解】 由正弦定理得：，则，则，. 18. 已知椭圆的离心率为，为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4 . （1）求的方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点. (i) 若的面积是的面积的两倍，求直线的方程; (ii)求面积的最大值. 【答案】（1） （2）(i) 或；(ii) 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义得到，由离心率得到，由的关系得到，从而得到椭圆的方程； （2）(i)设，与椭圆方程联立得到，，由得到，代入，解出的值，得到直线的方程； (ii)由点坐标表示出点坐标，得到直线的方程，令得到点的坐标，利用弦长公式表示出，利用点到直线的距离公式得到三角形的高，从而表示出三角形的面积，利用换元和对勾函数性质得到面积最大值. 【小问1详解】 由题意得，所以， 又因为，所以，， 所以的方程为. 【小问2详解】 (i)当直线与轴垂直时，此时四点共线，不合题意； 当直线与轴不垂直时，设，， 不妨设点在轴上方，点在轴下方，即， 联立，消去并整理得， ，， 因为，即，所以， 所以，， ，， 所以解得，， 所以或， 即直线的方程为或 (ii) 因为，所以， 又因为，所以，所以， 令得， 因为，，所以， 所以， 所以， 又因为， 点到直线的距离， 所以， 令，则， ， 因为，，当时，，所以在上单调递增， 当时，取到最小值，此时取到最大值为. 19. 已知函数，． （1）若是的极值点，求a的值并说明是极大值点还是极小值点； （2）若时，，求a的取值范围； （3）对的定义域内的任意，，证明：． 【答案】（1），是的极大值点． （2） （3）证明：因为， 所以要证成立， 只要证成立， 因为，所以只要证成立， 因为，， 所以只要证成立. 记， 则，对成立， 所以在上单调递减， 当时，，所以， 取，由知，从而， 所以成立，故原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）根据极值点的性质得，求出，判断函数的单调性结合极值的定义判断； （2）求导，讨论函数的单调性，最值，求解的范围； （3）利用分析法将要证不等式转化为，令，记，利用导数判断单调性证明. 【小问1详解】 的定义域为，， 因为是函数的极值点，所以，解得， 当时，， 因为，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点. 【小问2详解】 ， 当时，，， 时，；时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以时，，不合题意. 当时，由得， 当，即时，对成立， 所以在上单调递减，所以时，合题意； 当，即时，对成立， 所以在上单调递增， 所以当时，，不合题意. 综上，a的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁三中2026~2027学年度上学期高三月考（一） 数学试题 2026.9 一、单选题 1. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 图1为元代瓷器白地褐彩龙凤纹罐，高约为，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成，如图2.圆台的上底直径约为，下底直径约为，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为（ ） A. B. C. D. 5. 反比例函数的图象是双曲线，两条坐标轴是它的渐近线，若以其中心为原点，实轴所在的直线为x轴，重新建立直角坐标系，则双曲线在新坐标系中的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则 （ ） A. B. C. D. 7. 如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人，若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共（ ） A. 32种 B. 24种 C. ·20种 D. 16种 8. 设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，．若，则（ ） A. 0 B. 6 C. D. 5 二、多选题 9. 已知圆，，则（ ） A. 时，和外离 B. 时，和有三条公切线 C. 若和相交且公共弦所在直线方程为，则 D. 若和相交且公共弦长为，则 10. 已知等比数列的公比为，前项和为．若，且，则下列各选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，P为直线上的一动点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若为等边三角形，则 B. 若，则存在两个不同的点P C. 若A，O，P共线，则与x轴平行 D. 若A，O，P共线，则的最小值为2 三、填空题 12. 等差数列满足：，则________ 13. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为___________. 14. 已知球O的直径PQ＝4，A，B，C是球O球面上的三点，△ABC是等边三角形，且∠APQ＝∠BPQ＝∠CPQ＝30°，则三棱锥P－ABC的体积为________． 四、解答题 15. 某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求的值； （2）从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； （3）将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望. 16. 如图，和都垂直于平面，且，，是的中点. （1）证明：//平面； （2）若四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值的最大值. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 18. 已知椭圆的离心率为，为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4 . （1）求的方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点. (i) 若的面积是的面积的两倍，求直线的方程; (ii)求面积的最大值. 19. 已知函数，． （1）若是的极值点，求a的值并说明是极大值点还是极小值点； （2）若时，，求a的取值范围； （3）对的定义域内的任意，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $