精品解析：广西壮族自治区柳州市柳州地区民族高级中学2026-2027学年高三上学期自主训练（一）数学试题

柳地高2027届高三上自主训练题（一） 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，求的值（ ） A. 2 B. 5 C. 3 D. 1 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ） A. 18种 B. 27种 C. 36种 D. 54种 5. 函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在东营市“河海交汇，湿地油城”主题展示活动中，主办方从全市精选多处具有地方特色的旅游景点，并划分为“滨海赶海”“城市休闲”“玩水乐园”“人文景区”四大主题板块，甲乙两位游客各自随机选择一个主题体验，事件：甲和乙至少一人选择“玩水乐园”，事件：甲和乙选择的主题不同，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数为定义在上的偶函数，，且，则下列选项不正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 以为周期的函数 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（　　） A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B. 抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”则 C. 某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，一定会有1700粒种子发芽 D. 数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 11. 已知函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 有三个不同零点 C. 的对称中心是 D. 若过点存在3条直线与曲线相切，则实数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知二项式，其展开式中项的系数为__________. 13. 函数 在时的值域是______________． 14. 已知函数，则函数的零点个数是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数满足. （1）求的解析式； （2）用定义法证明在上单调递减，并求在上的值域. 17. 2019年5月，重庆市育才中学开展了“最美教室”文化布置评比活动，工作人员随机抽取了16间教室进行量化评估，其中评分不低于9分的教室评为优秀，以下表格记录了它们的评分情况： 分数段 教室间数 1 3 8 4 （1）现从16间教室中随机抽取3间，求至多有1间优秀的概率； （2）以这16间教室的评分数据估计全校教室的布置情况，若从全校所有教室中任选3间，记表示抽到优秀的教室间数，求的分布列. 18. 吉林文旅部门统计了某景点在2026年2月至6月的旅游收入y（单位：万元），得到以下数据： 月份x 2 3 4 5 6 旅游收入y 10 12 11 12 20 （1）根据表中所给数据，用相关系数r判断（r的结果保留2位小数）是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？（当时，认为线性相关性较强），若可以，求出y关于x的线性回归方程；若不可以，请说明理由； （2）为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了100名游客，得到如下列联表，请直接填写下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”． 喜欢 不喜欢 总计 男 50 女 30 总计 60 参考公式：相关系数，参考数据： 线性回归方程：，其中， ，其中． 临界值表： 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数（其中为常数，且）. （1）若是奇函数，求实数的值； （2）在（1）的条件下，判断的单调性，并解关于的不等式：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳地高2027届高三上自主训练题（一） 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式，结合确定集合的元素，再根据交集定义计算.  【详解】首先求解一元二次不等式，因式分解可得， 因此不等式的解集为， 由于（正整数集），因此集合， 已知，根据交集的定义，取两个集合的公共元素， 可得. 2. 已知函数，求的值（ ） A. 2 B. 5 C. 3 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】， ． 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用函数的单调性确定正确选项. 【详解】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. 4. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ） A. 18种 B. 27种 C. 36种 D. 54种 【答案】A 【解析】 【分析】先将6张卡片分为3组，再将3组不同卡片放入3个不同的信封即可. 【详解】6张卡片平均分成3组且1，2的卡片同组有种方法， 再将3组卡片放入3个不同的信封中有种方法， 所以将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中， 若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种方法. 5. 函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 6. 在东营市“河海交汇，湿地油城”主题展示活动中，主办方从全市精选多处具有地方特色的旅游景点，并划分为“滨海赶海”“城市休闲”“玩水乐园”“人文景区”四大主题板块，甲乙两位游客各自随机选择一个主题体验，事件：甲和乙至少一人选择“玩水乐园”，事件：甲和乙选择的主题不同，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查条件概率的计算，通过计数事件A、事件AB包含的基本事件数，结合条件概率公式求解即可. 【详解】甲乙各自从4个主题中随机选择1个，共有种等可能的基本事件。 事件的对立事件为“甲乙都不选择‘玩水乐园’”，此时每人有3种可选主题，共种基本事件，因此， 表示“至少一人选玩水乐园且两人选择的主题不同”，分两类：①甲选玩水乐园、乙选其他主题，共3种； ②乙选玩水乐园、甲选其他主题，共3种，因此， 根据古典概型下的条件概率公式，代入得. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，由，得，由，得，所以最大； ，因为，由基本不等式得， 所以，所以. 8. 已知函数为定义在上的偶函数，，且，则下列选项不正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 以为周期的函数 D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，求出可判断A；利用和得出可判断B正确；利用周期函数的定义和求出周期可判断C；赋值法求出，结合周期可判断D. 【详解】因为函数为定义在上的偶函数， 所以，， 对于A，令，可得， 因为，可得，故A正确； 对于B，因为， 所以， 可得， 从而， 又因为，可得， 所以，可得， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，因为， 所以，所以， 可得，所以有， 所以以6为周期的函数，故C正确； 对于D，，，令可得，可得， 令可得，可得， 令可得，可得， 令可得，可得，所以， 所以，故D错误. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：适当的赋值和变量代换，是探求抽象函数周期的关键，求解抽象函数问题，要有扎实的基础知识和较强的抽象思维和逻辑推理能力. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据换底公式即可判断A；根据指数幂的运算即可判断BC；根据指数与对数的运算即可判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（　　） A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B. 抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”则 C. 某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，一定会有1700粒种子发芽 D. 数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 【答案】ABD 【解析】 【详解】任选2名同学包含“两名男生”，“两名女生”以及“一男一女”， 则“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件，故A正确； 对于B，由题意得，得到，，故B正确； 某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，不一定会有1700粒种子发芽，故C错误； 数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为，方差为，故D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 有三个不同零点 C. 的对称中心是 D. 若过点存在3条直线与曲线相切，则实数 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导分析单调性可判断A；求导分析单调性再求出各极值点后可判断B；求二阶导，令二阶导为零可求对称中心，进而判断C；求解切点处的切线方程，将经过的点代入，利用方程的根即可判断D. 【详解】，，令，解得或， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极大值，在处取得极小值，A正确； 计算，，进而作出图像，故有两个不同零点，B错误 ，，令，解得， ，所以的对称中心是，C正确； 对于D，设切点横坐标为，切点坐标为 过点且与相切的直线的斜率为， 由点斜式，切线方程为， 该切线过点，将代入切线方程得： ， 过点存在3条直线与曲线相切， 故， 化简得有三个解， 令， 令，解得或， 当或时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 且极大值为，极小值为， 所以，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知二项式，其展开式中项的系数为__________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据二项式定理写出通项，利用赋值法，可得答案. 【详解】二项式展开式通项为， 令，则，所以，故展开式中项的系数为10. 故答案为：. 13. 函数 在时的值域是______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数性质，结合二次函数求出值域即得. 【详解】当时，，函数， 显然当，即时，，当，即时，， 所以所求值域是. 故答案为： 14. 已知函数，则函数的零点个数是__________. 【答案】7 【解析】 【分析】由可得或，作出图形，结合图形即可求解. 【详解】由题意，令，解得或. 当时，，开口向下，对称轴为，，； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增. 作出的大致图象如下， 由图可知，直线与图象有3个交点； 直线与图象有4个交点. 所以函数的零点个数是7个. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解指数不等式化简集合，再根据交集的定义计算可得； （2）依题意可得真包含于，再分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 由，即， 解得，所以， 当时， 所以 【小问2详解】 若“”是“”成立的充分不必要条件，可得真包含于， 因为，， ①当时，，解得； ②当时，故或， 解得或，即； 综合①②：. 16. 已知函数满足. （1）求的解析式； （2）用定义法证明在上单调递减，并求在上的值域. 【答案】（1） （2）证明：设， 则， 因为，， 所以，即在上单调递减， 又，，故值域为. 【解析】 【分析】（1）根据换元法计算求解即可； （2）根据函数单调性的定义证明单调性，进而可得值域. 【小问1详解】 由，令，则， 则有，即； 【小问2详解】 略 17. 2019年5月，重庆市育才中学开展了“最美教室”文化布置评比活动，工作人员随机抽取了16间教室进行量化评估，其中评分不低于9分的教室评为优秀，以下表格记录了它们的评分情况： 分数段 教室间数 1 3 8 4 （1）现从16间教室中随机抽取3间，求至多有1间优秀的概率； （2）以这16间教室的评分数据估计全校教室的布置情况，若从全校所有教室中任选3间，记表示抽到优秀的教室间数，求的分布列. 【答案】（1）；（2）分布列答案见解析. 【解析】 【分析】 （1）设表示所抽取的3间教室中有间教室优秀，至多有1间优秀为事件， 根据互斥事件的和的概率公式求解； （2）由题意表示抽到优秀的教室间数服从二项分布，根据二项分布求解即可. 【详解】（1）设表示所抽取的3间教室中有间教室优秀，抽取的3间教室中至多有1间优秀为事件，则. （2）由题表数据可知，从16间教室中任选1间是优秀的概率为， 由题可知的所有可能取值为0，1，2，3，则 ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 【点睛】关键点点睛：互斥事件A、B的和（并）的概率公式,根据题意能够确定随机变量是快速解决分布列问题的关键. 18. 吉林文旅部门统计了某景点在2026年2月至6月的旅游收入y（单位：万元），得到以下数据： 月份x 2 3 4 5 6 旅游收入y 10 12 11 12 20 （1）根据表中所给数据，用相关系数r判断（r的结果保留2位小数）是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？（当时，认为线性相关性较强），若可以，求出y关于x的线性回归方程；若不可以，请说明理由； （2）为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了100名游客，得到如下列联表，请直接填写下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”． 喜欢 不喜欢 总计 男 50 女 30 总计 60 参考公式：相关系数，参考数据： 线性回归方程：，其中， ，其中． 临界值表： 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）可用线性回归模型拟合，相关系数，线性回归方程为 （2）完善后的列联表如下： 喜欢 不喜欢 总计 男 40 10 50 女 20 30 50 总计 60 40 100 能认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联” 【解析】 【分析】(1) 将数据代入相关系数及回归方程系数公式直接求解； (2) 代入数据求出. 【小问1详解】 因为， ，， ， 所以相关系数，线性相关性较强，可以用线性回归模型拟合y与x的关系. ，， 故线性回归方程为. 【小问2详解】 完善后的列联表如下： 喜欢 不喜欢 总计 男 40 10 50 女 20 30 50 总计 60 40 100 则， 故能认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”. 19. 已知函数（其中为常数，且）. （1）若是奇函数，求实数的值； （2）在（1）的条件下，判断的单调性，并解关于的不等式：. 【答案】（1） （2）在上单调递减；时，解集为；时，解集为或；时，解集为或. 【解析】 【分析】奇函数条件，化简得到恒等式，求出； （2）利用奇函数性质移项，结合在R上单调递减，脱去f转化为二次不等式，再分类讨论两根大小. 【小问1详解】 因为为奇函数，有，即， 即，所以，所以. 【小问2详解】 当时，， 当时，令， 函数是增函数，函数是增函数， 故是增函数，又在定义域上是减函数， 所以函数在上是减函数， 又因为函数图象是连续的，所以在R上单调递减， 不等式等价于， 由单调性可得，，， 时,，解集为， 时,，解集为或， 时,，解集为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $