广西南宁市武鸣高级中学2026-2027学年高三第一次月考数学试卷

( ………… …………内………… …………装………… …………订………… …………线………… ………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( ………… …………外………… …………装………… …………订………… …………线………… ………… ) ( ………… …………内………… …………装………… …………订………… …………线………… ………… ) ( 学校:姓名:班级:考号: ) ( ………… …………外………… …………装………… …………订………… …………线………… ………… ) 绝密 启用前 2026-2027学年南宁市武鸣高级中学高三第一次月考 数学学科试卷 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在试卷上无效。 3.考试结束后,本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.若、是全集的真子集,则下列四个命题:;是的必要不充分条件其中与命题等价的有( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,则函数的最大值为( ) A. B. C. D. 3.设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,给出下列四个命题:若,,则;若,,则;若,,,则;若,,,,,则其中真命题的个数是( ) A. B. C. D. 4.在棱长为的正方体中,,是线段含端点上的一动点, ; ; 三棱锥的体积为定值; 与所成的最大角为. 上述命题中正确的个数是( ) A. B. C. D. 5.已知双曲线:的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点,则的方程为( ) A. B. C. D. 6.下列说法正确的是 A. 对具有线性相关关系的变量,,其经验回归方程为若一个样本点为,则实数的值是 B. 进行经验回归方程分析时,可以用决定系数来比较模型的拟合效果,越小,表示残差平方和越大,说明模型的拟合效果越好 C. 若随机变量,,,则 D. 若随机变量,,则 7.设数列的前项和为,若对任意的,都是数列中的项,则称数列为“数列”对于命题:存在“数列”,使得数列为公比不为的等比数列;对于任意的实数,都存在实数,使得以为首项、为公差的等差数列为“数列”下列判断正确的是( ) A. 和均为真命题 B. 和均为假命题 C. 是真命题,是假命题 D. 是假命题,是真命题 8.已知数列的各项是或,,且在第个和第个之间有个,即,,,,,,,,,,,,,则数列的前项的和为 ( ) A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 9. 已知数列不是常数列,其前项和为,则下列选项正确的是 A. 若数列为等差数列,恒成立,则为递增数列 B. 若数列为等差数列,,,则的最大值在或时取得 C. 若数列为等比数列,则恒成立 D. 若数列为等比数列,则也为等比数列. 10.已知抛物线,其焦点为,为直线上任意一点,过作抛物线的两条切线,切点分别为,,斜率分别为,,则( ) A. B. C. 过定点 D. 的最小值为 11.已知点,若点是圆上的动点,若的面积为,则点的横坐标可能为( ) A. B. C. D. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.给出下列命题: 存在实数,使; 函数是偶函数; 若是第一象限的角,且,则; 直线是函数的一条对称轴; 函数的图像关于点成对称中心图形. 其中正确命题的序号是 . 13. . 14.已知,分别是定义在上的奇函数和偶函数,且若存在,使得等式成立,则实数的取值范围是 . 四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.本小题分 是正三角形,线段和都垂直于平面设,,且为的中点,如图. 求证:平面;求证:; 求平面与平面所成锐二面角的大小. 16.本小题分 某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏,每次由一个小孩与其一位家长参与,测试家长对小孩饮食习惯的了解程度.在每一轮游戏中,主持人给出,,,四种食物,要求小孩根据喜爱程度对其排序,然后由家长猜测小孩的排序结果.设小孩对四种食物排出的序号依次为,家长猜测的序号依次为,其中,都是,,,四个数字的一种排列,用来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度. 若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解. ( )求他们在一轮游戏中,对四种食物排出的序号完全不同的概率; ( )求的分布列简要说明方法,不用写出详细计算过程. 若有一组小孩和家长进行了三轮游戏,三轮的结果都满足,请判断这位家长对小孩的饮食习惯是否了解,说明理由. 17.本小题分 已知奇函数和偶函数满足. 求函数和函数的解析式; 设函数,若在内有且只有一个零点,求实数的取值范围. 18.本小题分 已知,分别是椭圆:的左,右焦点,,当在上且垂直轴时, 求的标准方程; 为的左顶点,为的上顶点,是上第四象限内一点,与轴交于点,与轴交于点. ( )证明:四边形的面积是定值. ( )求的面积的最大值. 19.本小题分 已知函数,,. 若曲线在处的切线与曲线相切,求的值; 当时,函数的图象恒在函数的图象的下方,求的取值范围; 若函数恰有个不相等的零点,求实数的取值范围. 2026-2027学年南宁市武鸣高级中学高三第一次月考 数学学科答案 1.【答案】 【解析】【分析】 本题主要考查了集合的包含关系的判断及应用,考查集合的基本运算,考查了图的应用,属于基础题. 直接根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系,从而求出结论. 【解答】 解:由得图, ,与、是全集的真子集矛盾,不可能存在 是的必要不充分条件 故和命题等价的有共个, 故选:. 2.【答案】 【解析】【分析】 本题考查三角函数的图象变换和性质,考查二倍角公式,两角和与差的三角函数公式,属于中档题. 先通过平移确定,再确定,再由正弦函数的性质即可求解. 【解答】 解:由题可知, , 所以当时,有最大值为. 故选C. 3.【答案】 【解析】【分析】 本题考查了线面平行的性质,线面垂直的性质,空间直线与平面的位置关系,线面垂直的判定,面面垂直的判定,面面平行的判定和线面平行的判定. 利用线面平行的性质和线面垂直的性质得为真命题;利用空间直线与平面的位置关系得不是真命题利用线面垂直的判定和线面平行的性质及面面垂直的判定得是真命题;利用线面平行的性质和判定及面面平行的判定得是真命题,从而得结论. 【解答】 解:因为,所以在内必存在一条直线,使得. 又因为,所以,因此,因此为真命题; 因为,则或,因此不是真命题; 因为,所以. 又因为,所以在内存在. 由得,所以,因此是真命题; 因为,由,,得在内必存在,,且与相交, 使得,. 又因为,,所以,,所以,因此是真命题. 故答案为. 4.【答案】 【解析】【分析】 本题考查正方体的结构特征,考查异面直线成角、线面平行、垂直的判定与性质的应用,及棱锥的体积求法,考查分析与计算能力,综合性较强,属于较难题. 利用正方体的结构特征,线面位置关系的判定和性质,异面直线成角及棱锥体积的计算对个命题逐个判断,即可得出结论. 【解答】 解:由正方体可得: ,平面, , , ,, 平面,又, , 同理:, ,, 平面, , ,正确; ,,, , 同理得:, ,, 平面平面, , 平面,正确; 易知,,, 到平面的距离为定值, 三棱锥的体积等于三棱锥的体积,底面的面积为定值,到平面的距离为定值, 三棱锥 的体积为定值,正确; 当在处时,由勾股定理易得: , ,即, 与所成的角为, , 与所成的角为, 与所成的最大角为,正确. 故选D. 5.【答案】 【解析】【分析】 本题考查的是双曲线的标准方程,考查计算能力,属于基础题. 由题意及双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为,即,因为双曲线与椭圆有公共焦点,所以,解方程即可得到答案. 【解答】 解:由题意及双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为,即, 因为双曲线与椭圆有公共焦点, 所以,解得, 故双曲线的方程为. 故选B. 6.【答案】 【解析】解:对于,经验回归方程来刻画具有线性相关关系的变量,它得到的是一个可能值,A错误; 对于,越大,越接近,表示残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好, 越小,表示残差平方和越大,说明模型的拟合效果越差,B错误; 对于,据题意得,C错误; 对于,由,, 得, 所以,得,D正确, 故选D. 7.【答案】 【解析】【分析】 本题考查数列新定义问题,考查等差数列、等比数列的概念,通项公式以及前项和,命题真假的判断,属于较难题. 对于,只要能找到满足条件的数列即可,为此可先由为公比不为的等比数列,如取,利用与的关系,求出,然后验证说明即可判断; 对于,同样只要能找到满足条件的等差数列即可,为此取,然后验证说明即可判断. 【解答】 解:对于,取数列 则, 时首项,公比的等比数列,并且对任意,都有,即是数列中的第项,所以为真命题; 对于,任意的实数,取,则,,即是数列中的第项,所以此数列是“数列”,也为真命题. 故选A. 8.【答案】 【解析】【分析】 本题考查分组求和,求解本题的关键是先把数列进行分组. 求出第个为数列的第几项,再判断第项在第几组,得到共有多少个和,即可求和. 【解答】 解:第个为数列的第项. 当时,; 当时,. 所以的前项有个和个,因此. 故选C. 9.【答案】 【解析】【分析】 本题考查等差数列、等比数列的通项公式和前项和等基础知识,考查运算求解能力. 利用等差数列、等比数列的通项公式和前项和直接求解. 【解答】 解:在中,若数列为等差数列,恒成立,且数列不是常数列, 则公差,故单调递增,故A正确; 在中,若数列为等差数列,,, 则,解得,, 所以,,, 故当时,,当时,, 则的最大值在或时取得,故B正确; 在中,若数列为等比数列,则,公比, 若,则恒成立; 若,则恒成立,故C正确; 在中,若数列为等比数列,取, 所以,,, 显然不成等比数列,故D错误. 故选ABC. 10.【答案】 【解析】【分析】 本题考查直线与抛物线的位置关系,属较难题. 设点,过的切线方程可设为,联立方程组,依据,找出的关系,可判断、的正确性;进一步设出切点,的坐标,可写出直线的方程,判断利用抛物线的焦半径公式验证. 【解答】 解:设点,由已知,过点且与抛物线相切的直线的斜率存在且不等于, 切线方程可设为:, 又抛物线方程为, 由,消去,得:. 直线与抛物线相切, , 于是有,. 此时,切点为, 过作抛物线的两条切线,切线斜率是方程的两实根, ,,故A正确 ,故B错误; 设, 则 当时,直线的斜率 方程为, 令,且,,则, 当时,直线为,故C正确 . 当且仅当时,即或等号成立,故D错误. 故选AC. 11.【答案】 【解析】【分析】 本题主要考查的是点到直线的距离公式,直线与圆的位置关系以及平行线间的距离公式,属于较难题. 首先确定直线的方程,然后根据的面积为确定点到直线的距离,从而在,上,最后求这两条直线与圆的交点横坐标即为点的横坐标. 【解答】 解:因为点, 所以直线的方程为:,, 又因为的面积为, 所以点到直线的距离为, 设与直线平行且距离为的直线方程为, 则,解得:或, 所以点应该在直线,上, 联立解得:或 联立解得: 综上可得点的横坐标可能为:,,. 故选BCD. 12.【答案】 【解析】【分析】 本题主要考查的是三角函数的性质,属于基础题. 可结合对应的三角函数的性质分别进行判断. 【解答】 解:因为,所以错误; 函数是奇函数不是偶函数,所以错误; 若是第一象限的角,且,例如,则所以不正确 ,因为,所以直线是函数的一条对称轴,正确; 因为,所以函数的图像关于点成对称中心图形正确. 故答案为. 13.【答案】 【解析】【分析】 本题考查同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和与差的三角函数公式,二倍角公式及应用,属于中档题. 利用二倍角公式、两角和与差的三角函数公式将所求式子化简,再利用诱导公式可求出答案. 【解答】 解: , 故答案为. 14.【答案】 【解析】【分析】 本题主要考查函数的解析式以及函数的奇偶性与函数的单调性,属于中档题. 利用函数的奇偶性求出函数与的解析式,由题意得,,构造函数,进而判断出函数的单调性与最值,即可得出结论. 【解答】 解:由得, 又因为为定义在上的奇函数,为定义在上的偶函数. 即, 所以,. 存在,使得等式成立, 即,, 设, 则, 时,, 设,则,而, 易知在上单调递减,在上单调递增, 因此,, 所以,即. 故答案为: 15.【答案】解:证明:如图所示: 取的中点,连接,. ,, 且, 又且, 且, 四边形为平行四边形, 故DF. 平面,平面, 平面. 证明:平面, 又是正三角形, . 平面. . 又, . 又,为中点, . 又,平面,平面, 平面. 又平面, . 延长交延长线于,连接. 由,知为中点, , 由平面, 平面. 为所求二面角的平面角, 在等腰直角三角形中, 易求. 【解析】本题考查了空间中的线面平行的判定,空间中的线线垂直的判定,空间中点到平面的距离,以及求二面角的大小,属于中档题. 利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理即可证明; 利用线面、面面垂直的判定和性质定理即可证明; 延长交延长线于,连,只要证明平面即可得到为所求的平面与平面所成二面角,在等腰直角三角形中即可得到. 16.【答案】解: 若家长对小孩的饮食习惯完全不了解,则家长对小孩的排序是随意猜测的. 先考虑小孩的排序为的情况,家长的排序有种等可能的结果. 其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的有,,,,,,,,,共有种结果. 故相应的概率为, 若小孩对四种食物的排序是其他情况, 只需将角标,,,按照小孩的排序的顺序调整即可. 例如:假设小孩的排序为,四种食物按排列为, 再研究的情况即可,可知这样处理后第一种情况的计算结果是一致的, 所以他们在一轮游戏中,对四种食物排出的序号完全不同的概率为, ( )根据的分析,同样只考虑小孩排序为的情况,家长的排序一共有种情况, 列出所有情况,分别计算每种情况下的值. 的分布列如下表: 这位家长对小孩的饮食习惯比较了解. 理由如下:假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解, 由 可知,在一轮游戏中, . 三轮游戏结果都满足“”的概率为, 这个结果发生的可能性很小, 所以可认为这位家长对小孩的饮食习惯比较了解. 【解析】本题考查概率的计算、随机变量的分布列以及极大似然法的应用. 先考虑小孩的排序为的情况,共种,家长的排序与对应位置的数字完全不同”的有种结果,得出其概率,若小孩对四种食物的排序是其他情况,我们发现结果也是一样的; ( )根据的分析,同样只考虑小孩排序为的情况,家长的排序一共有种情况, 列出所有情况,分别计算每种情况下的值,即可得出的分布列; 由 可知,在一轮游戏中,,三轮游戏结果都满足“”的概率为,这个结果发生的可能性很小,即可得出结论. 17.【答案】解: 由已知,, 得:, 又为奇函数,偶函数, 即, 由联立,可得,,. ,, 当时,,得,不符合题意; 当时,若在内有且只有一个零点, 则,即, 解得:, 综上,满足题意的实数的取值范围是. 【解析】本题考查函数的奇偶性及函数的零点问题,属于较难题. 由和,解方程组即可求解. 可得,分和时两种情况讨论,即可得解. 18.【答案】解:由题意知,,,则, 得,又,,解得,则 所以的标准方程是. 由题意知,,设,,. 因为,,三点共线,则,解得, ,,三点共线,则,解得, ,,, , . ( )因为, 所以当最大时,最大. :,设与平行的直线:, 与联立,消得, ,解得,舍去, 两平行线,间的距离, ,则. 【解析】本题考查直线与椭圆的综合应用,属于较难题. 根据条件求出,,即可得椭圆方程; 设,,,求出,与,的关系,求得的值,进而可求证四边形的面积为定值. ( )先分析出当最大时,最大,求出的最大值即可. 19.【答案】解:由题意,, 函数的导数为, 故函数在处的切线的斜率为, 故函数在处的切线的方程为. 设曲线在处的切线与曲线相切的切点为, , 联立,消去可得, 解得. 故的值为、. 设函数 , . 当时,,函数在上单调递增, 由题意,解得; 当时,当时,,函数在上单调递减; 当时,,函数在上单调递增. 由题意, 即, 又,故,不符合题意; 综上所述,的取值范围为. . 当时,若,,在上单调递增; 若,,在上单调递减; 若,,在上单调递增. 所以的极大值为, 所以函数的图象与轴至多有一个交点,不符合题意; 当时,若,,单调递减 若,,单调递增. 所以. 当,即时,函数的图象与轴至多有一个交点,不符合题意, 当,即时, . 令,,, ,在上单调递增, , 所以当时,, 所以, 所以存在唯一,, , 所以存在唯一,, 当时,有两个不相等的零点,符合题意. 当时,令,解得,只有一个零点,不符合题意; 当时,,不可能有两个零点,不符合题意; 当时,若,,在上单调递增; 若,,在上单调递减; 若,,在上单调递增. 所以的极大值为, 所以函数的图象与轴至多有一个交点,不符合题意; 综上所述,实数的取值范围为. 【解析】本题考查导数的几何意义、利用导数研究恒成立问题以及零点问题,涉及利用导数研究函数的单调性、最值、极值、零点存在性定理的应用,属于难题. 通过求导,得出函数在处的切线的方程及斜率,设切点为,依题意联立,即可求解; 设,求导,分类讨论在不同取值下的单调性及最值,根据即可求解的取值范围; 由,分类讨论的取值,得出函数的单调性及极值或最值,由函数的零点存在性定理求解即可. 第2页,共2页 第1页,共1页 学科网(北京)股份有限公司 $