3.1.2 函数的表示方法讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.2 函数的表示方法 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．函数的表示方法 __解析法____：用代数式表达y与x关系，优点：便于计算、研究性质； __图象法____：平面直角坐标系中曲线 / 折线，优点：直观看出增减、最值； __列表法___：表格罗列x、y对应值，优点：直接读取对应数值. 2．函数的解析式：请在下列括号中填写对应求函数解析式的方法名称. _待定系数法_____：已知函数类型（一次、二次、反比例等）设通用解析式，代入点求系数； __换元法____：已知求，令，反解x代入，化简得，替换为； __配凑法____：对代数式变形，配凑出整体，直接写出； __方程组法____：含与等式，联立方程消元求解. 3．分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有___不同的对应方式___，则称其为分段函数． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 由已知函数的类型求解析式 基础知识 核心知识 已知函数为一次二次反比例等固定类型解析式带有待定系数 函数解析式满足图像上所有点的坐标 方法技巧 1.根据函数类型设出含参数的解析式 2.将已知点坐标代入解析式得到关于参数的方程或方程组 3.解方程求出参数回代写出最终解析式 4.检验定义域是否符合题意 典型例题 【例题 1】（26-27高一上·全国·课后作业）若是一次函数，且，则______． 【答案】或 【分析】设，利用待定系数法求出即可. 【详解】设， 则， 故，解得或， 故或． 【例题2】已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． 【答案】 【分析】设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【详解】设， 根据题意得，解得， 所以 ． 故答案为：． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026高一·全国·专题练习）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 【巩固练习2】（25-26高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：，． (1)求二次函数的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）设出二次函数解析式，利用待定系数法求解. （2）由（1）的结论列出一元二次不等式，再求解该不等式. 【详解】（1）设二次函数，由，得，则； 由，得， 即，因此，解得，， 所以二次函数的解析式为. （2）由（1）知，，不等式， 即，解得或， 所以原不等式的解集为或. 【巩固练习3】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数为一次函数，且，，则（   ） A． B．11 C． D．15 【答案】B 【分析】先求出函数的解析式，再计算. 【详解】设，则，解得， 所以，. 故选：B. 【题型2】 配凑法求解析式 基础知识 核心知识 已知的表达式直接对右侧代数式变形凑出整体形式 配凑前后自变量取值范围保持一致 方法技巧 1.对已知表达式进行恒等变形整理成含有整体的式子 2.将整体替换成x直接得到 3.同步确定的定义域定义域由的值域决定 典型例题 【例题1】若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用换元法求解析式求解即可. 【详解】因为 ，且， 所以． 故选：D 【例题2】已知，求的解析式． 【答案】 【分析】由配凑法求解出的解析式. 【详解】因为， 所以． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，则函数的解析式是___________． 【答案】， 【分析】利用配凑法求抽象函数解析式即可． 【详解】，且， 所以，． 故答案为：，． 【巩固练习2】（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则的解析式为______. 【答案】. 【分析】用配凑法求函数解析式，注意的取值范围. 【详解】因为函数，且， 所以. 故答案为：. 【巩固练习3】（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）已知，则的解析式是__________. 【答案】， 【分析】把看成一个整体，用配凑方法化简即可得出结果，再利用基本不等式求出定义域范围即可. 【详解】因为，则， 当时，，当且仅当时等号成立， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，. 故答案为：，. 【题型3】 换元法求解析式 基础知识 核心知识 已知求引入新元替代 新元t的取值范围就是的定义域 方法技巧 1.令求出t的取值范围 2.用t表示x代入原式化简得到 3.将t换成x写出标注定义域 典型例题 【例题1】（25-26高一上·安徽滁州·期中）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】换元法求解出的解析式. 【详解】令，则，所以， 所以，所以， 故选：B. 【例题2】（25-26高三上·江西宜春·期中）若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据换元法，求函数解析式即可. 【详解】令，可得， 则，， 故选：D. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·浙江·期中）已知，则函数的解析式为（   ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】通过配凑，得，进而求得函数的解析式，要注意的影响. 【详解】因为， 设，则 所以. 所以函数的解析式为（）. 故选：D. 【巩固练习2】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则解析式为__________，定义域为__________. 【答案】 【分析】利用换元法即可求解. 【详解】， 令故， 故，， 故答案为：； 【巩固练习3】（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）已知，则__________ 【答案】 【分析】利用换元法求解析式即可． 【详解】令，则， 因为，所以， 所以． 故答案为：． 【题型4】 方程组法求解析式 基础知识 核心知识 式子中同时含有与或者与 利用变量替换构造第二个方程联立消元求解 方法技巧 1.将原式中x替换成或者得到第二个方程 2.联立两个方程当作二元一次方程组消去或 3.整理得到的解析式注意定义域限制 典型例题 【例题1】（25-26高二下·全国·期末）已知函数对任意的都有，则________． 【答案】 【分析】将原式中的替换为得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去求解． 【详解】∵，① ∴，② 由得 解得：． 故答案为：． 【例题2】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数满足，则__________． 【答案】 【分析】根据方程组法解抽象函数解析式即可． 【详解】， ， 解方程组得． 故答案为：． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______ 【答案】 【分析】应用方程组法计算求解解析式. 【详解】因为函数满足， 所以，解得. 故答案为： 【巩固练习2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数满足，求的解析式. 【答案】 【分析】将已知式子中的换成，利用方程组法即可求得答案. 【详解】将已知式子中的换成得， 所以，消去得， 所以的解析式为. 【巩固练习3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数满足，求的解析式. 【答案】 【分析】用代替得，利用方程组法即可求得答案. 【详解】由，用代替得， ，消去得， 所以的解析式为. 【题型5】 抽象函数的解析式 基础知识 核心知识 抽象函数无具体表达式只给出函数满足的关系式如 可通过赋值法代入特殊值0 1-1等求解 方法技巧 1.对关系式给x y赋特殊值求出等特殊函数值 2.多次赋值推导函数满足的性质进而求出解析式 3.求出结果后代回原式验证是否成立 典型例题 【例题1】（2025高三上·上海·专题练习）已知定义在上的函数满足对任意，，有，，则__________. 【答案】 【分析】根据所给关系式利用赋值法求出，推得和 ，联立计算即得. 【详解】因为， 令得，所以； 当时， 令得，则 ①， 又②， 用替换可得 ③， 由②③，可得， 将①式代入，可得， 又 ，两式相加，整理得 ， 显然当时也成立， 所以. 故答案为： 【例题2】（26-27高一上·全国·课堂例题）设是定义在R上的函数，且满足，并且，都有，则________. 【答案】 【详解】法一：由已知条件得， 又， 令，则， 所以. 法二：令，得， 即， 将用代换得. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，可得， 因为，所以， 则. 【巩固练习2】设是定义在上的函数，且满足对任意，等式恒成立，则的解析式为______. 【答案】 【分析】利用赋值法，令，即可求出解析式. 【详解】是定义在上的函数，且对任意恒成立， 令，得， 即，整理得 故. 故答案为：. 【巩固练习3】已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为_________. 【答案】 【分析】根据，令，得，依次可得，， ，累加可得函数解析式. 【详解】函数的定义域为，且满足， 取，得，所以， ，， ， 以上各式相加得． 故答案为：. 【题型6】 分段函数的解析式 基础知识 核心知识 分段函数是一个函数不是多个函数 定义域被划分为多个区间不同区间对应不同解析式 方法技巧 1.分清自变量x所属区间每个区间单独求对应表达式 2.重点处理分段点保证分段点处定义统一 3.写出解析式后标注每一段对应的自变量范围 典型例题 【例题1】（2026高三·全国·专题练习）已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】根据复合函数的定义写出解析式． 【详解】（1）当时，，故； （2）当时，，故． 【例题2】（25-26高一上·浙江·期中）定义运算，函数. (1)写出的解析式； (2)在坐标系中画出的图象； (3)若时恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 由（1）可得图象如下： (3) 【分析】（1）根据定义，先解，进而求解； （2）由（1）结合分段函数定义域可得函数图象； （3）根据分段函数，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）， 则或. 则. （2）略 （3）当时，，即，所以； 当时，，即，所以； 当时，，即，所以. 综上所述：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知，． (1)求出与的函数解析式； (2)，用表示，中的最大者，记为：例如，当时，．请用解析法表示函数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）换元法求，构造方程组求解； （2）做差比较与，得到. 【详解】（1）令，则， 所以， 所以. 因为①， 所以②， 得，所以. （2）由， 解得或， 由， 解得， 所以或时，；时，， 所以. 【巩固练习2】（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数，用表示和中的最小者，记为． (1)分别用图象法和解析法表示； (2)解关于的不等式． 【答案】(1)答案为解析 (2) 【分析】（1）根据定义，分类讨论，结合作图法进行求解即可； （2）根据函数的解析式，分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）当时，即，此时， 当时，即，或，此时， 则有， 两个函数在同一直角坐标系的图象如下图所示： 因为表示和中的最小者， 所以的图象如下图所示： （2）当时，，而，所以有， 当，或时，， 而，或，所以， 综上所述：的解集为：. 【巩固练习3】（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【答案】(1)， (2)或1或 (3)   【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式分类讨论可求得不等式的解集. 【详解】（1）因为， 所以， ． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． （3）作出函数的图象如图所示：    当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 【题型7】 由分段函数的值域与最值求参数 基础知识 核心知识 分段函数在每一段上独立分析单调性与取值范围 整体值域是各段函数取值集合的并集 方法技巧 1.分别分析每一段函数的单调性求出各段取值范围 2.结合题目给定值域或者最值列出关于参数的不等式 3.重点验证分段点处的函数值检验端点能否取到 4.分类讨论参数不同取值情况 典型例题 【例题1】（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式求出当时，即可得到当时的值域需包含，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以当时，即； 要使函数的值域为， 所以当时的值域需包含， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D 【例题2】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】①分别根据反比例函数和二次函数的性质求出两段函数的值域即可；②作出函数的函数图象，根据函数图象再结合函数的值域列出不等式组，即可得解. 【详解】若，则， 当时，，则， 当时，， 综上，若，则的值域为； 如图，作出函数的函数图象， 令，解得或， 由图可知，要使函数的值域为， 则，解得， 所以若的值域为，则实数m的取值范围是. 故答案为：；. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数存在最小值，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题意，函数最小值在上取得，所以需要分类求出最小值，并且不大于的下界值，即可解不等式得解. 【详解】如图，    当时，在上能取到最小值， 当时，在上能取到最小值， 当时，， 所以函数存在最小值时，需满足当时，，即； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 【巩固练习2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数，若当时，，则的最大值是_____________． 【答案】 【分析】根据给定条件，按和两种情况求出不等式的解集的并集即可求解. 【详解】当时，由，得，解得，因此； 当时，由，得，解得，因此， 因此等价于，依题意，， 所以的最大值为. 故答案为： 【巩固练习3】（24-25高一上·江苏·阶段检测）设，若是的最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数分段求其最小值，再根据是的最小值可得答案. 【详解】当时，，当且仅当即时等号成立， 当时，为单调递减函数，所以， 若是的最小值，则， 解得. 故选：B. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 【答案】D 【详解】令,则, 已知, 所以, 所以. 2．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数，则（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的解析式和自变量的范围计算函数值即可. 【详解】. 故选：D 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数若当时，，则的最大值是（   ） A．4 B．3 C．7 D．5 【答案】C 【分析】画出的图象，根据题意，数形结合，即可求得问题. 【详解】根据题意，作出的图象如下所示：    数形结合可知，要使的值域为，且取得最大值， 则只需，即可，故的最大值为. 故选：C. 4．（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测）设函数，使得的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况解不等式即可得解. 【详解】当时，，即显然恒成立，所以； 当时，，解得； 综上，的取值范围是． 故选：A. 5．（24-25高一上·江西宜春·期中）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分情况，分段求函数的值域，再求并集，即可求解. 【详解】当时，函数在单调递减，， ，，，此时函数的值域是，不是，不符合条件， 当时，函数的范围为，的范围是，所以函数的值域是，符合条件； 当时，函数的范围为，的范围是， 所以函数的值域是，符合条件； 当时，函数的范围为，的范围是，所以函数的值域是，符合条件； 当时，函数的范围为，的范围是， 所以函数的值域不是，不符合条件； 所以. 故选：D 6．（24-25高三上·湖南·阶段检测）已知函数满足对任意，，有，若，则（    ） A．10 B．15 C．30 D．40 【答案】B 【分析】利用给定的函数方程推导得到为常数，结合已知条件计算的值. 【详解】已知对任意，有，将式中替换为、替换为，可得， 因此有，变形得，即对任意非零实数，为定值. 由，得该定值为. 令，则，解得. 7．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由换元法进行，将方程转换为，结合分段函数讨论分析求解即可. 【详解】令，由，得． 当时，恒成立，此时， 所以或解得； 当时，，则，解得，不满足题意舍去， 所以的取值范围为． 故选：A． 二、多选题 8．（25-26高三·全国·二轮复习）下列选项中正确的是（ ） A．已知函数，则函数的解析式为 B．已知一次函数满足，则的解析式为 C．已知函数满足，则的解析式为 D．已知函数，则 【答案】CD 【分析】利用整体代换法求得的解析式判断A；利用待定系数法求得的解析式判断B；用替换可得，解方程组求得解析式判断C；分类讨论求得解析式求得解析式判断D. 【详解】对于A，，且，所以，故A错误； 对于B，设，则， 所以，解得或，则或，故B错误； 对于C，因为，所以， 即 ，解得，故C正确； 对于D，当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 当时，，，则， 综上所述，，故D正确. 故选：CD． 9．（25-26高一上·江苏淮安·期中）函数称为狄利克雷函数，关于的下列说法正确的是（   ） A．的值域为 B．的定义域为 C．， D．任意的，则有恒成立 【答案】BC 【分析】本题考查分段函数中狄利克雷函数的定义域、值域、函数值等性质，根据选项依次判断即可. 【详解】因为函数，所以只有两个函数值，所以的值域为 ，选项A错误； 函数定义域为两段上得并集，即全体有理数集并上全体无理数集为全体实数，所以的定义域为，选项B正确； ，的值为0或1都是有理数，所以，选项C正确； 任意，则是无理数，所以，此时，选项D错误； 故选：BC 三、填空题 10．（25-26高一上·天津静海·阶段检测）已知是一次函数，且，，则的解析式为_______. 【答案】 【分析】利用待定系数法计算即可. 【详解】由题意可设，所以， 解之得，即. 故答案为：. 11．（25-26高二下·山西阳泉·期末）若，满足，且，则_______． 【答案】8 【分析】利用解方程组法求得，，再根据求得，进而代值计算即可. 【详解】由，得， 联立上述两式解得，，即， 而， 则，即， 所以. 四、解答题 12．（25-26高一上·湖南长沙·期中）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式； （2）已知函数，求函数的解析式； 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设，根据已知列方程求参数值，即可得； （2）应用换元法求函数的解析式. 【详解】（1）令，则， 所以，则，可得，故； （2）令，则，所以. 13．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知函数    (1)在答题卡中相应的位置画出的图象； (2)若在上的值域为，求的取值范围. 【答案】(1)    (2) 【分析】（1）根据二次函数的图象及分段函数画出图象； （2）根据端点值和单调性，再结合图象分析求解范围即可. 【详解】（1）画出的图像，如图所示.    （2），，. 因为在上的值域为， 所以结合图象可得，即的取值范围为. 14．（第一章 函数的基本概念和性质 专题十一 分段函数进阶（一） 微点2 分段函数进阶（2）【培优版】）已知函数在上无最大值，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据在上无最大值，判断出时的值域，分类讨论，根据包含关系列不等式求解即可. 【详解】当时，，故. 由于在上无最大值， 所以时，的值域, 当时，. 注意到，对称轴为. 当时，如图（a）所示，的最大值为 ； 当时，如图（b）所示，的最大值为. 结合函数的大致图象可知或. 解得或，∴. 故实数的取值范围是. 15．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知 (1)求函数的解析式. (2)若，求关于的不等式的解集; (3)若，成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①若；②；③ (3) 【分析】（1）换元法即可求解； （2）因式分解，再讨论根的大小即可； （3）按照二次项系数是否为零，分情况讨论即可. 【详解】（1）因为，令则，化简得，所以. （2）即，即，即，当时； 当； 当 综上：当时原不等式的解集为； 当时原不等式的解集为； 当时原不等式的解集为. （3）由题意得恒成立， 当时显然成立； 当，即，解得. 综上：的取值范围是 16．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数的定义域为R，且，若. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)已知，，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出的值，再令，求出即可； （2）令，即可求出的解析式； （3）令，得到，再运用均值不等式即可求出. 【详解】（1）令，则，即， 解得或， 当时，令，则，即（舍去）， 当时，令，则， 又，， . （2）令，得， 即， 故的解析式为. （3）由题意得，， 令，，，， ，. ， 当且仅当，即时等号成立. 此时，解得. 故的最小值为. $3.1.2 函数的表示方法 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．函数的表示方法 __解析法____：用代数式表达y与x关系，优点：便于计算、研究性质； __图象法____：平面直角坐标系中曲线 / 折线，优点：直观看出增减、最值； __列表法___：表格罗列x、y对应值，优点：直接读取对应数值. 2．函数的解析式：请在下列括号中填写对应求函数解析式的方法名称. _待定系数法_____：已知函数类型（一次、二次、反比例等）设通用解析式，代入点求系数； __换元法____：已知求，令，反解x代入，化简得，替换为； __配凑法____：对代数式变形，配凑出整体，直接写出； __方程组法____：含与等式，联立方程消元求解. 3．分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有___不同的对应方式___，则称其为分段函数． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 由已知函数的类型求解析式 基础知识 核心知识 已知函数为一次二次反比例等固定类型解析式带有待定系数 函数解析式满足图像上所有点的坐标 方法技巧 1.根据函数类型设出含参数的解析式 2.将已知点坐标代入解析式得到关于参数的方程或方程组 3.解方程求出参数回代写出最终解析式 4.检验定义域是否符合题意 典型例题 【例题 1】（26-27高一上·全国·课后作业）若是一次函数，且，则______． 【例题2】已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026高一·全国·专题练习）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：，． (1)求二次函数的解析式； (2)求不等式的解集． 【巩固练习3】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数为一次函数，且，，则（   ） A． B．11 C． D．15 【题型2】 配凑法求解析式 基础知识 核心知识 已知的表达式直接对右侧代数式变形凑出整体形式 配凑前后自变量取值范围保持一致 方法技巧 1.对已知表达式进行恒等变形整理成含有整体的式子 2.将整体替换成x直接得到 3.同步确定的定义域定义域由的值域决定 典型例题 【例题1】若函数，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知，求的解析式． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，则函数的解析式是___________． 【巩固练习2】（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则的解析式为______. 【巩固练习3】（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）已知，则的解析式是__________. 【题型3】 换元法求解析式 基础知识 核心知识 已知求引入新元替代 新元t的取值范围就是的定义域 方法技巧 1.令求出t的取值范围 2.用t表示x代入原式化简得到 3.将t换成x写出标注定义域 典型例题 【例题1】（25-26高一上·安徽滁州·期中）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高三上·江西宜春·期中）若函数，则（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·浙江·期中）已知，则函数的解析式为（   ） A． B．（） C．（） D．（） 【巩固练习2】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则解析式为__________，定义域为__________. 【巩固练习3】（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）已知，则__________ 【题型4】 方程组法求解析式 基础知识 核心知识 式子中同时含有与或者与 利用变量替换构造第二个方程联立消元求解 方法技巧 1.将原式中x替换成或者得到第二个方程 2.联立两个方程当作二元一次方程组消去或 3.整理得到的解析式注意定义域限制 典型例题 【例题1】（25-26高二下·全国·期末）已知函数对任意的都有，则________． 【例题2】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数满足，则__________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______ 【巩固练习2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数满足，求的解析式. 【巩固练习3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数满足，求的解析式. 【题型5】 抽象函数的解析式 基础知识 核心知识 抽象函数无具体表达式只给出函数满足的关系式如 可通过赋值法代入特殊值0 1-1等求解 方法技巧 1.对关系式给x y赋特殊值求出等特殊函数值 2.多次赋值推导函数满足的性质进而求出解析式 3.求出结果后代回原式验证是否成立 典型例题 【例题1】（2025高三上·上海·专题练习）已知定义在上的函数满足对任意，，有，，则__________. 【例题2】（26-27高一上·全国·课堂例题）设是定义在R上的函数，且满足，并且，都有，则________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】设是定义在上的函数，且满足对任意，等式恒成立，则的解析式为______. 【巩固练习3】已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为_________. 【题型6】 分段函数的解析式 基础知识 核心知识 分段函数是一个函数不是多个函数 定义域被划分为多个区间不同区间对应不同解析式 方法技巧 1.分清自变量x所属区间每个区间单独求对应表达式 2.重点处理分段点保证分段点处定义统一 3.写出解析式后标注每一段对应的自变量范围 典型例题 【例题1】（2026高三·全国·专题练习）已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 【例题2】（25-26高一上·浙江·期中）定义运算，函数. (1)写出的解析式； (2)在坐标系中画出的图象； (3)若时恒成立，求实数的取值范围. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知，． (1)求出与的函数解析式； (2)，用表示，中的最大者，记为：例如，当时，．请用解析法表示函数． 【巩固练习2】（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数，用表示和中的最小者，记为． (1)分别用图象法和解析法表示； (2)解关于的不等式． 【巩固练习3】（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【题型7】 由分段函数的值域与最值求参数 基础知识 核心知识 分段函数在每一段上独立分析单调性与取值范围 整体值域是各段函数取值集合的并集 方法技巧 1.分别分析每一段函数的单调性求出各段取值范围 2.结合题目给定值域或者最值列出关于参数的不等式 3.重点验证分段点处的函数值检验端点能否取到 4.分类讨论参数不同取值情况 典型例题 【例题1】（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数存在最小值，则实数的取值范围为______. 【巩固练习2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数，若当时，，则的最大值是_____________． 【巩固练习3】（24-25高一上·江苏·阶段检测）设，若是的最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 2．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数，则（    ） A．1 B． C．0 D． 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数若当时，，则的最大值是（   ） A．4 B．3 C．7 D．5 4．（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测）设函数，使得的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江西宜春·期中）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·湖南·阶段检测）已知函数满足对任意，，有，若，则（    ） A．10 B．15 C．30 D．40 7．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高三·全国·二轮复习）下列选项中正确的是（ ） A．已知函数，则函数的解析式为 B．已知一次函数满足，则的解析式为 C．已知函数满足，则的解析式为 D．已知函数，则 9．（25-26高一上·江苏淮安·期中）函数称为狄利克雷函数，关于的下列说法正确的是（   ） A．的值域为 B．的定义域为 C．， D．任意的，则有恒成立 三、填空题 10．（25-26高一上·天津静海·阶段检测）已知是一次函数，且，，则的解析式为_______. 11．（25-26高二下·山西阳泉·期末）若，满足，且，则_______． 四、解答题 12．（25-26高一上·湖南长沙·期中）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式； （2）已知函数，求函数的解析式； 13．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知函数    (1)在答题卡中相应的位置画出的图象； (2)若在上的值域为，求的取值范围. 14．已知函数在上无最大值，求实数的取值范围. 15．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知 (1)求函数的解析式. (2)若，求关于的不等式的解集; (3)若，成立，求的取值范围. 16．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数的定义域为R，且，若. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)已知，，求的最小值. $