5.3.3行程问题 课件-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

北师大版七年级上册数学5.3.3行程问题专项练习 一、核心知识点梳理 1. 行程问题基础公式：所有行程问题的核心依据为路程、速度、时间三者关系，即路程=速度×时间，变形公式为速度=路程÷时间、时间=路程÷速度。三者知二求一，是解决所有行程题型的基础，一元一次方程解行程问题主要依托公式构建等量关系。 2. 相遇问题（相向而行）：两个物体从两地同时出发、相向行驶，最终相遇。核心等量关系：甲行驶路程+乙行驶路程=总路程。若同时出发，两车行驶时间相等；若不同时出发，需单独计算先行物体的路程，再列分段等量关系。 3. 追及问题（同向而行）：两个物体从同一地点或不同地点同时出发、同向行驶，快物体追上慢物体。核心等量关系：快者路程−慢者路程=初始间距。同时出发时行驶时间一致，追及的本质是快物体弥补初始路程差。 4. 基础行程通用解题步骤：审题判断题型（相遇、追及、普通行程）；梳理已知速度、时间、路程，设未知量，通常设时间或速度为x；根据路程关系列一元一次方程；规范解方程，检验结果是否符合实际；完整作答。 5. 高频易错点：混淆相向、同向行驶的路程关系；不同时出发题型误算行驶时间；单位不统一（千米、米，小时、分钟混用）；相遇、追及核心等量关系记反；忽略运动过程，凭空捏造路程关系。 二、基础专项练习题 （一）选择题（每题5分，共30分） 1. 行程问题的核心公式是（） A. 路程=速度÷时间 B. 路程=速度×时间 C. 时间=速度×路程 D. 速度=时间×路程 2. 甲乙两车相向而行相遇，正确等量关系是（） A. 甲路程=乙路程 B. 甲路程+乙路程=总路程 C. 甲路程−乙路程=总路程 D. 总路程=甲速度+乙速度 3. 甲乙同向行驶，甲快乙慢，甲追上乙的核心条件是（） A. 甲乙路程相等 B. 甲路程−乙路程=初始距离 C. 甲路程+乙路程=初始距离 D. 甲速度=乙速度 4. 甲乙两地相距120千米，甲速25km/h，乙速35km/h，两车同时相向出发，相遇时间为（） A. 1小时 B. 2小时 C. 3小时 D. 4小时 5. 同向追及问题中，若两车同时出发，一定相等的量是（） A. 速度 B. 路程 C. 行驶时间 D. 初始间距 6. 小明步行速度4km/h，走3小时的路程是（） A. 7km B. 12km C. 1.2km D. 10km （二）填空题（每题4分，共24分） 1. 行程问题三要素：________、________、时间。 2. 相向而行相遇问题：甲路程＋乙路程=________。 3. 同向追及问题：快者路程−慢者路程=________。 4. 速度不变时，路程与时间成________关系。 5. 一辆车速度60km/h，行驶x小时，路程可表示为________千米。 6. 相遇问题中，同时出发的两车，________完全相同。 （三）解答应用题（每题8分，共46分） 1. 甲乙两地相距180千米，甲车每小时行40千米，乙车每小时行50千米，两车同时从两地相向出发，几小时后相遇？ 2. 甲乙两人在同一路段同向行走，甲速度6km/h，乙速度4km/h，乙先出发1小时，甲多久能追上乙？ 3. 两车相距80千米，同向行驶，快车速度70km/h，慢车速度50km/h，同时出发，多久快车追上慢车？ 4. A、B两地相距240千米，甲乙两车同时相向出发，2小时相遇，甲车每小时行55千米，求乙车速度。 5. 小明和小红相距900米，相向而行，小明每分钟走60米，小红每分钟走40米，两人多久相遇？ 三、参考答案与详细解析 （一）选择题解析 1. B 解析：行程核心公式为路程=速度×时间。2. B 解析：相向相遇，两车路程和为两地总距离。3. B 解析：同向追及，快者比慢者多走初始间距才能追上。4. B 解析：速度和60km/h，120÷60=2小时。5. C 解析：同时出发，行驶时间始终相等。6. B 解析：4×3=12km，基础路程计算。 （二）填空题答案 1. 路程、速度 2. 总路程 3. 初始间距 4. 正比 5. 60x 6. 行驶时间 （三）解答应用题解析 1. 解析：设x小时相遇，40x+50x=180，90x=180，解得x=2。答：2小时后相遇。 2. 解析：设甲x小时追上乙，6x=4(x+1)，6x=4x+4，解得x=2。答：甲2小时追上乙。 3. 解析：设x小时追上，70x-50x=80，20x=80，解得x=4。答：4小时后追上。 4. 解析：设乙车速度x km/h，2(55+x)=240，55+x=120，解得x=65。答：乙车速度65km/h。 5. 解析：设x分钟相遇，60x+40x=900，100x=900，解得x=9。答：9分钟后相遇。 四、专项解题总结 本节是一元一次方程应用的核心重难点题型，是初中数学必考应用题类型，主要分为相遇、追及两大核心模型。解题核心依托路程、速度、时间基础公式，根据运动方向区分等量关系：相向求和、同向求差。解题关键是精准梳理运动状态，判断是否同时出发、是否同向行驶，杜绝路程关系混淆、时间计算错误、单位不统一等问题。解题时优先设时间为未知数，简化方程列式难度，结合题型固定模型快速解题。行程问题建模思维极强，题型变式丰富，本节基础题型是后续环形跑道、流水行船、变速行程等复杂题型的铺垫。熟练掌握本节基础模型与解题规范，能够彻底掌握方程解行程问题的核心思路，构建完整的行程题型解题体系，攻克初中方程应用重难点，为后续综合题型学习筑牢根基。（字数：1232） 北师大版（新教材）数学七年级上册 5.3.3行程问题 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/23 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第五章 一元一次方程 1.能分析行程问题中已知量与未知量之间的等量关系，利用路程、时间与速度三个量之间的关系列出一元一次方程解决问题;(重点) 2.会用“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题；(难点) 3.掌握一元一次方程解决实际问题的一般步骤，并能验证解的合理性； 4.培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用. 素养目标 03 新知导入 小明和小华相距 100 米，他们同时出发，相向而行，小明每秒走 3 米，小华每秒走 4 米，他们能相遇吗？几秒钟可以相遇？ 这道题是小学做过的一种很常见的应用题：行程问题， 用到的数量关系主要有： 路程=平均速度×时间； 时间=路程÷平均速度. 行程问题就是要抓住速度、路程、时间三个量之间的关系，找出等量关系，正确地列出方程，解决实际问题. 02 新知探究 小明每天早上要到距家1000 m的学校上学.一天,小明以80 m/min的速度出发,出发后5 min,小明的爸爸发现小明忘了带语文书.于是,爸爸立即以180 m/min的速度沿同一条路去追小明,并且在途中追上了他.爸爸追上小明用了多长时间?追上小明时,距离学校还有多远? (1)问题中有哪些已知量和未知量? 已知量：家与学校的距离1000m，, ,爸爸比小明晚5分钟 未知量：追及时间，追上时离校距离 02 新知探究 (2)想象一下追及的过程,你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗? 设爸爸追上小明用了x min.当爸爸追上小明时,两人所行路程相等,如图所示. 80×5 80x 180x 家 学校 小明 爸爸 画图分析数量关系是一种有效方法。 03 新知讲解 根据等量关系，可列出方程:_______________。 解这个方程，得x=__________。 因此，爸爸追上小明用了______min，此时距离学校还有_____m。 80×5＋80x=180x. 4 4 180×4=720（m），1000－720=280（m）. 280 根据相等量的两种不同表达式就可以建立等量关系，列出方程了。 03 新知讲解 对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系． （1）对于同向同时不同地的问题， 甲的行程＝两出发地的距离+乙的行程； 甲、乙两人同向出发，甲追乙这类问题为追及问题： (2) 对于同向同地不同时的问题， 甲的行程＝乙先走的路程＋乙后走的路程． 注意：同向而行注意始发时间和地点． 03 新知讲解 例1、小明和小华两人在400 m的环形跑道上练习长跑,小明每分钟跑260 m,小华每分钟跑300 m,两人起跑时站在跑道同一位置. (1)如果小明起跑后1 min小华才开始跑,那么小华用多长时间能追上小明? (2)如果小明起跑后1 min小华开始反向跑,那么小华起跑后多长时间两人首次相遇? 03 新知讲解 (1)解:设小华用x min追上小明,根据等量关系,可列出方程260+260x=300x. 解这个方程,得x=6.5. 因此,小华用6.5 min追上小明. (2)解:设小华起跑后x min两人首次相遇,根据等量关系,可列出方程260x+300x=400-260. 解这个方程,得x=0.25. 因此,小华起跑后0.25 min两人首次相遇. 知识点1 相遇问题 1.李华和赵亮从相距的， 两地同时出发，李华每小时走 ，后两人相遇，设赵亮的速度为 ，所列方程正确的是 ( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 10 2.甲、乙两站间的路程为 ， 一列慢车从甲站开出，每小时行驶 ，一列快车从乙站开出，每 根据题意列方程：______________________。 解得_______。 因此慢车行驶___ 后两车相遇。 小时行驶，快车先开 ，两车相向而行，慢车行驶多少小时后 两车相遇？设慢车行驶后两车相遇，根据下面的示意图单位： 回答问题： 返回 举一反三 11 3.甲、乙两人从， 两地同时出发，甲骑自行车，乙开小汽车，沿同一 路线相向匀速行驶，出发后两人相遇，已知乙比甲每小时快 ， 相遇后经乙到达地，则乙行驶的速度为____ 。 45 返回 举一反三 12 03 新知讲解 思考∙交流 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么?与同伴进行交流。 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤如图所示: 实际问题 数学问题 （一元一次方程） 实际问题的解 数学问题的解 （一元一次方程的解） 抽象 寻找等量关系 解释 验证 解方程 03 新知讲解 回顾∙反思 回顾本节一元一次方程应用的学习，对于如何寻找等量关系列方程，你积累了哪些经验? 借助表格和线段图寻找等量关系。 培养了数形结合思想的应用意识,提高分析问题、解决问题的能力。 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1. 甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑 4 米，乙每秒跑 6米，甲先跑 10 秒，乙开始跑，设乙 x 秒后追上甲，依题意列方程得 ( ) A. 6x = 4x B. 6x = 4x + 40 C. 6x = 4x-40 D. 4x + 10 = 6x 2. 甲车在乙车前 500 千米，同时出发，速度分别为每小时 40 千米和每小时 60 千米，多少小时后，乙车追上甲车？设 x 小时后乙车追上甲车，则下面所列方程正确的是 ( ) A. 60x = 500 B. 60x = 40x - 500 C. 60x = 40x + 500 D. 40x = 500 B C 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 3．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”意思是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可以追上慢马，则可列方程为 　150(12＋x)＝240x　 ⁠． 150(12＋x)＝240x　 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 4.甲、乙两站的距离为450 km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65 km，一列快车从乙站开出，每小时行驶85 km.两车同时开出，相向而行， 　3　 ⁠小时后两车相遇． 3　 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 5．汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5小时．已知船在静水中的速度为18千米/时，水流速度为2千米/时，求甲、乙两地之间的距离． 解：设甲、乙两地之间的距离为x千米． 根据题意，得-＝1.5. 解得x＝120. 答：甲、乙两地之间的距离为120千米． 2.小明骑自行车到学校上学，若每小时骑15千米，可早到10分钟，若每小时骑13千米，则迟到5分钟，设他家到学校的路程为x千米，下列方程正确的是(　　) 1.小明和小刚从相距25.2千米的两地同时相向而行，小明每小时走4千米，3小时后两人相遇，设小刚的速度为x千米/时，列方程得( ) A．4＋3x＝25.2　　　　　B．3×4＋x＝25.2 C．3(4＋x)＝25.2 D．3(x－4)＝25.2 C A 当堂检测 3.甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米．如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过几秒两人首次相遇(　　) A．208秒 B．204秒 C．200秒 D．196秒 D 4.某轮船往返于A，B两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水速是3千米/时，则轮船在静水中的速度是(　　) A．18千米/时   B．15千米/时 C．12千米/时   D．20千米/时 B 当堂检测 5.甲、乙两人赛跑，甲的速度是8米/秒，乙的速度是5米/秒，如果甲从起点处往后退20米，乙从起点处向前进10米，若甲、乙两人同时出发，则甲经过几秒钟追上乙？ 解：设甲经过x秒追上乙． 由题意，得8x－5x＝20＋10. 解这个方程，得x＝10. 因此，甲经过10秒追上乙． 当堂检测 6.A，B两地相距30千米．甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行．已知甲比乙每小时多走1千米，经过2.5小时两人相遇，求甲、乙两人的速度． 解：设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为(x＋1)千米/时． 根据题意，得2.5x＋2.5(x＋1)＝30. 解这个方程，得x＝5.5.则x＋1＝6.5. 因此，甲、乙两人的速度分别为6.5千米/时、5.5千米/时． 当堂检测 知识点2 追及问题 4.［2024扬州中考改编］《九章算术》 是中国古代的数学专著，是《算经十书》 根据题意列方程为__________________，解得 ____。即速度快的人 追上他需要____ 。 2.5 2.5 中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题， 可理解为：速度快的人每分钟走，速度慢的人每分钟走 ，现 在速度慢的人先走 ，速度快的人去追他。问速度快的人追上他需 要多少分钟？ 设速度快的人追上他需要，根据下面的示意图单位： 回答问题： 返回 举一反三 23 5.（8分）［教材P例3变式］运动场的跑道一圈长 ，小刚练习 骑自行车，平均每分钟骑，小强练习跑步，平均每分钟跑 。 （1）若两人同时同地同向出发，经过多长时间首次相遇？ 解：设两人同时同地同向出发，经过 首次相遇.根据题意，得 。解得 。 答：两人同时同地同向出发，经过 首次相遇。 举一反三 24 （2）若两人同时同地反向出发，经过多长时间首次相遇？ 解：设两人同时同地反向出发，经过 首次相遇.根据题意，得 ,解得 。 答：两人同时同地反向出发，经过 首次相遇。 返回 举一反三 25 05 课堂小结 行程问题 相遇问题：甲路程+乙路程=总路程 追击问题：快车路程-慢车路程=路程差 谢谢观看 THANKS A.＋＝－ B.＋10＝－5 C.＋＝＋ D.－＝－ $