5.3.3行程问题（课件）-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程中的行程问题，系统梳理基础公式（s=vt及变形）、相遇追及往返三类题型及标准解题步骤。通过“小明上学忘带书”等情境问题引入，结合线段图分析，搭建从公式到题型的学习支架，衔接方程应用的前后知识。 其亮点在于运用线段图直观呈现数量关系培养几何直观（数学眼光），分题型总结等量关系强化推理意识（数学思维），融入扫地机器人、火星冲日等真实情境题发展模型意识（数学语言）。采用合作探究与错题分析结合的教学方法，课堂小结结构化步骤与题型，助力学生理解应用，教师高效教学。

北师大版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月2日 5.3.3行程问题 第五章 一元一次方程 北师大版七年级上册数学5.3.3行程问题 一、本节核心知识点 1. 行程问题基础公式（万能核心） 所有行程问题都围绕一组公式变形： $$\boldsymbol{路程=速度\times时间}$$ $$s=vt$$ 变形公式： $$v=\frac{s}{t}$$（速度=路程÷时间） $$t=\frac{s}{v}$$（时间=路程÷速度） 2. 七年级必考三类行程题型 （1）相遇问题（相向而行） 题意：两人从两地面对面走，同时出发，最后相遇。 核心等量关系：甲路程 + 乙路程 = 总路程 同时出发：两人行走时间相等 公式：$$v_甲t + v_乙t = S_{总}$$ （2）追及问题（同向而行） 题意：两人同地/异地朝同一个方向走，快的追上慢的。 核心等量关系：快者路程 − 慢者路程 = 路程差 同时出发，时间相等，快的比慢的多走初始距离。 公式：$$v_快t - v_慢t = S_{差距}$$ （3）往返/变速行程问题 核心：总路程分段相加，总时间分段相加，根据题目不变量列方程（一般路程不变、总时间不变）。 3. 行程问题标准解题步骤 ① 审：判断是相遇还是追及，找准总路程、速度、路程差； ② 设：一般设时间为x 或 设速度为x； ③ 列：根据路程关系列方程； ④ 解：解方程，检验结果为正数； ⑤ 答：写清单位。 4. 经典必考例题 例题1（相遇问题） 甲乙两车从相距360km的两地相向而行，甲车速度60km/h，乙车速度40km/h，两车同时出发，几小时后相遇？ 解：设$$x$$小时后两车相遇。 甲路程+乙路程=总路程 $$60x+40x=360$$ $$100x=360$$ $$x=3.6$$ 答：3.6小时后两车相遇。 例题2（追及问题） 甲乙两人同地同向出发，甲每分钟走80m，乙每分钟走60m，乙先走5分钟，甲多久能追上乙？ 解：设甲$$x$$分钟后追上乙。 甲路程 − 乙路程 = 乙先走的路程 $$80x-60x=60\times5$$ $$20x=300$$ $$x=15$$ 答：甲15分钟后追上乙。 5. 高频易错点 ① 相遇、追及公式混淆，乱用加减； ② 不同时出发，忘记算提前走的路程； ③ 单位不统一（km/h 和 m/min 不换算）； ④ 只会套公式，不会分析路程差、总路程； ⑤ 求出时间后，忘记作答完整。 二、同步练习题 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 行程问题最基础的公式是（） A. 路程=速度÷时间 B. 路程=速度×时间 C. 时间=速度×路程 D. 速度=时间×路程 2. 两人相向而行相遇问题，等量关系是（） A. 路程相减 B. 路程相加等于总路程 C. 速度相等 D. 时间不等 3. 同向追及问题，等量关系是（） A. 快路程+慢路程=总路程 B. 快路程−慢路程=路程差 C. 速度不变 D. 时间不同 4. 速度60km/h，行走x小时，路程是（） A. $$60+x$$ B. $$60x$$ C. $$60\div x$$ D. $$x\div60$$ 5. 相遇问题中，同时出发的两人（）相等 A. 速度 B. 路程 C. 时间 D. 距离 6. 追及问题一定是（） A. 慢追快 B. 快追慢 C. 速度一样 D. 路程一样 二、填空题（每题4分，共24分） 1. 行程问题核心公式：$$s=$$________。 2. 相向相遇：甲路程+乙路程=________。 3. 同向追及：快路程−慢路程=________。 4. 速度、时间、路程三个量中，已知两个可以求________。 5. 同时出发相遇，两人的________相同。 6. 追及问题必须________的速度更大。 三、判断题（每题3分，共18分） 1. 相遇问题用路程相加列方程。（） 2. 追及问题用路程相减列方程。（） 3. $$路程=时间\div速度$$。（） 4. 同时出发相遇，时间相等。（） 5. 慢速度可以追上快速度。（） 6. 行程问题可以设时间为未知数。（） 四、应用题（每题17分，共34分） 1. 甲乙两地相距480千米，两车同时从两地相向开出，甲车每小时行55千米，乙车每小时行65千米，经过几小时两车相遇？ 2. 小明和小亮同向跑步，小明速度7m/s，小亮速度5m/s，小亮先跑10秒，几秒后小明追上小亮？ 三、参考答案 一、选择题 1.B 2.B 3.B 4.B 5.C 6.B 二、填空题 1.$$vt$$ 2. 总路程 3. 路程差 4. 第三个量 5. 行驶时间 6. 追及者 三、判断题 1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.× 6.√ 四、应用题 1. 解：设经过$$x$$小时两车相遇。 $$55x+65x=480$$ $$120x=480$$ $$x=4$$ 答：经过4小时两车相遇。 2. 解：设$$x$$秒后小明追上小亮。 小亮总时间：$$(x+10)$$秒 $$7x-5(x+10)=0$$ $$7x-5x-50=0$$ $$2x=50$$ $$x=25$$ 答：25秒后小明追上小亮。 能根据行程问题中的数量关系列出方程，加强模型观念. 借助行程问题，体会画图分析数量关系是一种有效方法. 经历运用方程解决行程问题的过程，感受数学与实际的联系，加强应用意识. 探究点　利用一元一次方程解决行程问题 1.追及问题 　小明每天早上要到距家1000m 的学校上学.一天，小明以80m/min的速度出发，出发后5min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书.于是，爸爸立即以180m/min的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他.爸爸追上小明用了多长时间？ 追上小明时，距离学校还有多远？ (1)问题中有哪些已知量和未知量？ 问题引入，合作探究 已知量：小明家与学校的距离、小明的速度、爸爸的速度、小明先出发的时间； 未知量：爸爸追小明所用的时间、爸爸追小明期间小明所走的路程、爸爸追小明的路程. (1)问题中有哪些已知量和未知量？ (2)分析追及的过程，用一个图直观表示问题中各个量之间的关系. 家 学校 小明先出发的路程 爸爸追小明的路程 爸爸追小明期间小明走的路程 小明先出发的路程＋爸爸追小明期间小明所走的路程＝爸爸追小明的路程 (3)根据题意列出方程 设爸爸追上小明用了x min.当爸爸追上小明时，两人所行路程相等，如图所示. x = 4. 80x + 80×5=180x 答：爸爸追上小明用了4min. 小明： 爸爸： 根据题意，得 80×5 180x 100x = 400 化简，得 80x 解得 追上小明时，距离学校还有多远？ 解： 180×4 = 720（m） 1000－720 = 280（m） 所以，追上小明时，距离学校还有 280 m. 1000m ？ 180×4 1. A，B两地相距600km，甲车以60km/h的速度从A 地驶向B地；2h后，乙车以100km/h的速度沿着相同 的道路从A地驶向B地.设乙车出发xh后追上甲车， 根据题意可列方程为(　A　) A. 60(x＋2)＝100x B. 60x＝100(x－2) C. 60x＋100(x－2)＝600 D. 60(x＋2)＋100x＝600 A 随堂练习 2. 甲、乙两人骑自行车同时从相距65km的两地相 向而行，2h后相遇.若乙每小时比甲少骑2.5km，则 乙每小时骑(　C　) A. 20km B. 17.5km C. 15km D. 12.5km C 随堂练习 3. 一个通讯员骑摩托车要在规定的时间内把文件送 到.他骑摩托车的速度是每小时行36km，结果早到 20min，若每小时行30km，就迟到12min.则规定时 间是 h. 3　 随堂练习 4. 某体育场的环形跑道长400m，甲、乙两人在跑道 上练习跑步，甲平均每分钟跑250m，乙平均每分钟 跑290m.现在两人同时同地同向出发，经过多长时 间两人才能再次相遇？ 解：设经过xmin后甲、乙两人再次相遇， 则甲跑的路程是250xm， 乙跑的路程是290xm. 由题意得290x－250x＝400， 解：设经过xmin后甲、乙两人再次相遇， 则甲跑的路程是250xm，乙跑的路程是290xm. 由题意得290x－250x＝400， 解得x＝10. 答：经过10min后两人再次相遇. 随堂练习 1. 《九章算术》被誉为人类科学史上应用 数学的“算经之首”，其中有一题为“今有甲发长安，五日至齐； 乙发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲乃发长安，问几何 日相逢？”其大意如下：甲从长安出发，用5天时间可到达齐 国；乙从齐国出发，用7天时间可到达长安.若乙先从齐国出 发2天，甲才从长安出发，问甲经过多少天与乙相遇？设甲 经过 天后与乙相遇，则下列方程正确的是( ) 考试考法 12 A. B. C. D. √ 返回 考试考法 13 2. 一艘轮船从一码头顺流而下，再逆流而上，计划 回到原 来出发的码头.若这艘轮船在静水中的速度是 ，水流速 度是，则这艘轮船最多顺水走( ) ，就必须返回. B A. 30 B. 22.5 C. 18 D. 16 【点拨】设这艘轮船最多顺水走 ，就必须返回，根据题 意，得 ， 解方程，得，所以这艘轮船最多顺水走 ，就 必须返回.故选B. 返回 考试考法 14 3. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题： “良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十 二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里， 慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？ 则快马追上慢马的天数是( ) D A. 5天 B. 10天 C. 15天 D. 20天 返回 考试考法 15 4. 小明、小亮分别在 的环形跑道上练习 跑步，他们的速度比是 ，两人同时由同一点背向出发， 后第一次相遇，小明的速度是____ . 3.5 返回 考试考法 16 5. 随着人们生活水平的提高，人工智能扫 地机器人成为上班族或现代家庭的常用家电用品.为了测试甲、 乙两个不同款式的扫地机器人的清扫速度，现安排甲、乙两 个扫地机器人分别从， 两地同时出发，沿同一条路线相向 匀速行驶清扫（路途中没有障碍物遮挡），已知出发后经过 3分钟两个扫地机器人相遇，相遇后再经过2分钟乙扫地机器 人到达地，， 两地相距45米. 考试考法 17 （1）甲、乙两个扫地机器人的速度分别是多少？ 【解】根据题意，得乙扫地机器人的速度为 （米/分）， 设甲扫地机器人的速度为米/分，则 ， 解得 ，因此，甲扫地机器人的速度为6米/分. 考试考法 18 （2）从， 两地同时出发后，经过多少时间后两个扫地机 器人相距6米？ 设经过 分钟后两个扫地机器人相距6米， 当两个扫地机器人相遇前相距6米时， ，解 得 ； 当两个扫地机器人相遇后相距6米时， ，解 得 . 综上，经过分钟或 分钟后两个扫地机器人相距6米. 返回 考试考法 19 （第6题） 6. 如图，已知正方形 的边长为4，甲、 乙两动点分别从正方形的顶点， 同时出发，沿正方形的边开始移动，甲沿 的方向移 动，乙沿 的方向移动，若乙的速度是甲的速度的3 A A. B. C. D. 倍，则它们第2 028次相遇时所在的边是 ( ) 返回 考试考法 20 （第7题） 7. 地球、火星的运行轨 道近似是同一平面内的以太阳为圆心的 两个同心圆，“火星冲日”是指火星、地 球和太阳近似在一条直线上且地球位于 火星与太阳之间的现象（如图所示）， 已知火星绕太阳运行一周的时间近似是 地球绕太阳运行一周时间的 倍（地球绕太阳运行一周需要 一年），上一次火星冲日的时间为2025年1月16日，那么与 下次火星冲日的时间最为接近的是( ) 考试考法 21 A. 2027年1月25日 B. 2027年2月25日 C. 2027年3月25日 D. 2027年4月25日 （第7题） √ 返回 考试考法 22 解决行程问题的基本步骤 问题的已知条件 画出线段图 找出等量关系 列方程并求解 回答 同向追及问题 同地不同时：甲路程=乙路程 同时不同地：甲路程+路程差=乙路程 相向相遇问题 甲路程+乙路程=总路程 课堂小结 $