第15章 轴对称 单元复习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

《轴对称》单元复习 知识要点 对点训练 知识点1轴对称及轴对称图形的相关知识 (1)如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 ，那么这个图形就叫作轴对称图形.这条直线叫作 .折叠后重合的点是对应点，叫作 . (2)把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称.这条直线叫作 .折叠后重合的点是对应点，叫作 . (3)无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴是任意一对对称点所连线段的 . (4)在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标 ，纵坐标 ；关于y轴对称的点的横坐标 ，纵坐标 . (5)方法指引：注意轴对称图形和轴对称的区别与联系. 1.(传统文化)(2026石家庄一模改编)围棋起源于中国，古代称为“弈”.如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形.(填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上) 2.如图,△ABC 与△DEF 关于直线l对称,若∠C=40°,∠B=80°,则∠F= . 3.如图,点D 为△ABC的边AC上一点,点 B,C关于DE对称,若AC=12,BD=8,则线段AD的长度为 . 4.(2026宝安开学)蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美，如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点M 的对应点为 M₁，若点 M 的坐标为(-2,-3),则点M₁的坐标为( ) A.(2,-3)B.(-3,2)C.(-2,3)D.(2,3) 知识点❷ 垂直平分线的性质及判定 (1)定义：经过线段的 且 于这条线段的直线，叫作线段的垂直平分线. (2)性质：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离 . 如图1,∵CA=CB,直线m⊥AB 于C，点P是直线m上的点， ∴ . (3)判定：与线段两个端点距离相等的点在线段的 上. 如图2,∵PA=PB, 直线m是线段AB 的垂直平分线， ∴ . 5.如图,在△ABC中,AB 和AC 的垂直平分线l₁与l₂相交于点 O，求证：点O 在边 BC的垂直平分线上. 学科网（北京）股份有限公司 知识点 3 等腰三角形的性质及判定 等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角 .(简写成“ ”) (2)等腰三角形底边上的 、 及顶角平分线重合.(简写成“ ”) 等腰三角形的判定 (3)有两边 的三角形叫作等腰三角形. (4)判定定理：有两个角 的三角形是等腰三角形.(简写成“ ”) 等边三角形的性质 (5) 的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形. (6)等边三角形的三个角都 ，并且每一个角都等于 . 等边三角形的判定 (7)由等边三角形的定义判定：三边都 的三角形是等边三角形. (8)三个角都 的三角形是等边三角形. (9)有一个角是 的等腰三角形是等边三角形. 含30°角的直角三角形的性质 (10)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于 6.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，∠α=60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm,3c m,则线段AB的长为 cm. 7.(2024 广州)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=6,D 为边 BC的中点,点 E,F 分别在边AB,AC上,AE=CF,则四边形AEDF 的面积为( ) A.18 C.9 8.如图,已知AB∥CD,AC 平分∠DAB.求证:△ADC 是等腰三角形. 知识点❹ 互逆命题与互逆定理 (1)如果两个命题的题设、结论正好相反，那么具有这种关系的两个命题叫作 命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的 命题. (2)如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作 ，其中一个定理叫作另一个定理的 . 9.下列命题的逆命题是真命题的是( ) A.如果a>b,那么 ac>bc B.如果a=b=0,那么 ab=0 C.如果a>b,那么 D.如果|a|=|b|,那么a=b 10.(2026 海口期末)下列定理中，没有逆定理的是( ) A.两直线平行，内错角相等 B.直角三角形两锐角互余 C.对顶角相等 D.同位角相等，两直线平行 学科网（北京）股份有限公司 11.【例1】(跨学科融合、数学文化)下列图形中，为轴对称图形的是( ) 20.(传统文化)端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，是轴对称图形的是( ) 12.【例2】如图,∠ABC=30°,ED 垂直平分线段BC 于点 D,连接 AC,EC,若∠A =45°,则∠ACE的度数是 . 小结：利用垂直平分线、三角形内外角的性质求解. 21.(2026 河南期末)如图,在△ABC中,以点 A 为圆心,AC的长为半径作弧，与 BC交于点E，分别以点 E，C为圆心，大于 EC的长为半径作弧，两弧相交于点P,作射线AP 交 BC 于点 D.若∠B =45°,∠ACD =2∠CAD,则∠BAC 的度数为 . 13.【例3】若点A(3,a)关于 x轴对称的点为B(b,4),则a+b的值是 . 22.(2026 武汉模拟改编)在平面直角坐标系中,点A(-2,m)和点 B(n,3)关于y轴对称,则 mn= . 小结：关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标相反. 14.【例4】如图,在△ABC 中,AB=AC,D,E是BC 上两点,∠BAD =∠DAE =∠EAC =36°,则等腰三角形有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 小结：求出各个角的度数可得答案. 23.如图,在△ABC中,AB=AC,则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是( ) A.①③④ B.①②③④ C.①②④ D.①③ 15.【例5】(2026 重庆期中)如图,在△ABC中, AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC 于点 D.若BC=2,则AD的长为 . 小结：利用等边对等角得到角相等，再利用等角对等边得到答案. 24.(2026宁夏模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB=( ) A.100° B.115° C.130° D.145° 16.【例6】如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是高,∠A =30°,AB =8,则BD的长为( ) A.1 B.2 C.2.5 D.3 小结：充分运用30°角所对直角边等于斜边的一半求解. 25.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A =30°,线段AB 的垂直平分线分别交AC,AB 于点 D,E,连接BD.若CD=1,则AD的长为 . 学科网（北京）股份有限公司 17.【例7】如图,在△ABC中,AC=4,BC=8,AB的垂直平分线交 BC 于点D，点E 是垂足，求△ACD 的周长. 小结：运用线段垂直平分线的性质定理求解. 26.(2026福建期末)如图,∠ACB =90°,DE垂直平分AB,∠CAE=∠EAB,求∠B 的度数. 18.【例8】如图,在 中， 的平分线交AC于点D，过点D作 交AB 于点 E. (1)求证: (2)若 求 的度数. 27.(广东中考节选)如图,在 Rt△ABC中,∠A ，作BC 的垂直平分线交AC于点 D，延长AC 至点 E,使 CE = AB. 若 AE =1,求△ABD的周长. 小结：角的平分线和平行线结合可得等腰三角形.. 19.【例9】如图，等边三角形纸片ABC 的周长为6，E，F 是边BC上的三等分点.分别过点 E，F沿着平行于 BA，CA的方向各剪一刀，求剪下的 的周长. 小结：灵活运用等边三角形的性质和判定定理. 28.(思维能力)如图， 为等边三角形， 是等边三角形吗?为什么? (2)求证: 《轴对称》单元复习 知识点1：(1)互相重合 对称轴 对称点 (2)重合 对称轴 对称点 (3)垂直平分线 (4)相等互为相反数互为相反数 相等 知识点2：(1)中点 垂直 (2)相等 PA=PB (3)垂直平分线 点 P 在直线m上 知识点3：(1)相等 等边对等角(2)中线 高 三线合一 (3)相等(4)相等 等角对等边(5)三边都相等 (6)相等 60° (7)相等(8)相等(9)60° (10)斜边的一半 知识点4：(1)互逆 逆 (2)互逆定理 逆定理 1. A或C 2.40°3.4 4. A 5.证明:连接AO,BO,CO, ∵l₁与l₂分别是AB,AC的垂直平分线, ∴AO=BO,CO=AO,∴OB=OC, ∴点O在边 BC的垂直平分线上. 6.2 7. C 8.证明:∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA, ∵AC平分∠DAB,∴∠BAC=∠DAC, ∴∠DAC=∠DCA,∴AD=CD,∴△ADC是等腰三角形. 9. D 10. C 11.【例1】D 12.【例2】75° 13.【例3】-1 14.【例4】D 15.【例5】2 16.【例6】B 17.【例7】解:∵AB的垂直平分线交 BC 于点 D, ∴DA=DB, ∵△ACD的周长=DA+DC+AC, ∴△ACD的周长=DB+DC+AC=BC+AC, 又AC=4,BC=8,∴△ACD的周长=8+4=12. 18.【例8】(1)证明:∵在△ABC中,∠ABC的平分线交AC于点D, ∴∠ABD=∠CBD, ∵DE∥BC,∴∠EDB=∠CBD, ∴∠EBD=∠EDB,∴BE=DE. (2)解:∵∠A=80°,∠C=40°,..∠ABC=60°, ∵∠ABC的平分线交AC于点 D, 由(1)知∠EDB=∠EBD,故∠BDE的度数为30°. 19.【例9】解:∵等边三角形ABC的周长为6,∴BC=2, ∵E,F是边BC上的三等分点,∴BC=3EF=2, ∵ED∥AB,FD∥AC, ∴∠DEF=∠B=60°,∠DFE=∠C=60°, ..∠DEF=∠DFE=∠EDF=60°,∴△DEF是等边三角形, 20. B 21.75° 22.6 23. A 24. B 25.2 26.解:∵DE垂直平分AB, ∴AE=BE,∴∠EAB=∠B, ∵∠CAE=∠EAB,∴∠CAB=2∠B, ∵∠C=90°,∴∠CAB+∠B=90°,∴∠B=30°. 27.解:如图,连接BD,∴BD=CD, ∵C△ABD=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC, ∵AB=CE,∴C△ABD=CE+AC=AE=1, 故△ABD的周长为1. 28.(1)解：△ABC是等边三角形.理由如下： ∵△DEF 是等边三角形,∴∠DEF=60°, ∴∠AEB=120°,∠1+∠ABE=60°. ∵∠1=∠2,∴∠2+∠ABE=60°,∴∠ABC=60°. 同理∠ACB=∠BAC=60°, ∴△ABC是等边三角形. (2)证明:由(1)可得∠AEB=∠CDA=120°,AB=CA, 又∵∠1=∠3,∴△ABE≌△CAD(AAS),∴BE=AD, ∵DF=ED,∴AE+DF=AE+ED=AD=BE. 学科网（北京）股份有限公司 $