第15章《 轴对称》单元自测卷 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 以基础巩固为核心，分层设计梯度清晰，通过概念理解、推理应用到综合探究的进阶路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|轴对称概念、性质、等腰三角形基础|直接应用概念（如判断轴对称图形）、基础计算（如对称点坐标）| |提升层|垂直平分线、旋转、综合证明|多知识点结合（如等腰三角形存在性）、推理应用（如角平分线与垂直平分线综合）| |拓展层|动态几何、翻折变换|分类讨论（如等腰三角形度数）、综合探究（如翻折与中点性质）|

第15章《轴对称》单元自测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分) 1.如图，由两个大小不同的等边三角形组成的图形中，能构成轴对称图形的是() 2.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AB上，且CD=BC=AD,则∠A的度数为 A.30° B.36° C.45° D.70° 3.如图，已知△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD=25°，△ABD经旋转后到达 △ACE的位置，那么旋转了() B D A.36° B.42° C.60° D.70° 4.景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC (如图2)，若AB=AC=26,AD⊥BC于点D,∠ABC=30°，则AD的长为( D 图1 图2 A.12 B.13 C.14 D.15 5.点P3,4关于x轴对称的点的坐标是() A.-3,4 B.-4,3 C.4,-3 D.3,-4 6.如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆CD与支杆BC,CD=BC且∠BCE=I20° 若CD的长度为60Cm,则此时B,D两点之间的距离为() E B A.40 cm B.50 cm C.60 cm D.70 cm 7.如图，在△ABC中，AB=AC,AE平分∠BAC,DE垂直平分AB,垂足为点D,连接CE, ∠B=50,则∠BCE的度数为() D A.10° B.15° C.20° D.25° 8.如图，在平面直角坐标系中，已知A0,4,B4,0,若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角 形，则满足条件的点C的个数是() A.8 B.7 C.4 D.3 9.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AM垂直平分BD,AD是边BC的中线，若BE⊥AD分 别交AD,AC于点F,点E,则∠AEF的度数为() E B M D A.50° B.60° C.70° D.80° 10.已知：如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,连接 CD'C,D,E三点在同一条直线上，连接BD'BE:以下四个结论：①BD=CE:② ∠ACE+∠ABD=450:③∠BAE+∠DAC=180;④BD⊥CE:其中正确的结论是() A.②③ B.①②③④ C.①③④ D.①②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 1山.看镜子里有一个数2☐旧”，这个数实际是 12.如图是地铁入口双翼闸机示意图.已知双翼边缘AC=BD=60Cm,与闸机侧立面夹角 ∠PCA=∠QDB=30,双翼展开时端点AB的间距为8am:当双翼收起时，可通过闸机的 物体最大宽度为 cm 13.如图，在△ABC中，AB=6,AC=8,∠ABC,∠ACB的平分线BD,CD交于点D.过点 D作EF‖BC,分别交AB:AC于点E?F,则AAEF的周长为 E B 14.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=72°，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交CA于点 1 队交CB于点水再分别以点从N为圆心，大于2W为半径作孤，两孤相交于点P作射线 C交1B于点则0 D 15.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=80°.D为三角形内一点，且∠DAB=∠DBA=10°，则 ∠ACD的度数为一· 16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点D、E、F分别是BC边、AB边、AC边 上的动点，连接DE、EF、DF,使△BDE≌△FDE,若△AEF是等腰三角形，那么∠BED 的度数为 E 三、解答题（本大题共9小题，满分72分) 17.(6分)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，CE平分∠ACB,且BE=CE, (1)过E作ED⊥BC垂足为D,求证：BD=CD (2)若BE=4,求AE的长. 18.(6分)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D,BF平分∠ABC, 交AD于E,交AC于F (1)求证：△AEF是等边三角形； (2)求证：BE=EF 19.(6分)如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD,作DE⊥AB交AB于点E, DF⊥AC交AC于点F,且AD平分∠BAC,连接EF, B (1)证明：AD垂直平分EF; (2)若△ABC面积为36，BC=12,DE=4,求△ABC的周长. 20.(8分)如图，在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的三个顶点 都在格点上.请回答下面的问题： 3 5-4-3-2-1Q 12345x 2 3 (1)在网格图中画出△ABC关于y轴的对称图形△ABC; (2)请直接写出点A,B,C的坐标： A B C'( 21.(8分)如图，点D是△ABC的边BC的中点，且恰好在∠A的平分线上，DE⊥AB, DF1AC,垂足分别为E,E: (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)若∠EDB=30°，EB=3,求AE的长. 22.(9分)如图，这是由五个大小相同的小正方块拼凑而成的. (1)该图是轴对称图形吗？如果是，请画出对称轴. (2)若移动一个小方块重新拼凑成一个新的轴对称图形，共有几种方法（相同方法算一种）？ 请你画出图形和对称轴. 23.(9分)已知△ABC中，∠BAC=C,点D在BC上，连接AD. E 图1 图2 图3 (1)设a=120°，AD平分∠BAC,点E在射线AD上，连接BE. ①如图1，若AB=BE,试说明BE‖AC; ②如图2，若∠EBC=60°，试说明AE=AB+AC; (2)如图3，若Q=90°，AB=AC,作点C关于射线AD的对称点C,连接BC并延长交射线AD 于点F,连接CF,若CF=3,△ACF的面积为7，求BF的长. 24.(10分)如图，在三角形ABC中，AB=AC,点B,C在x轴上. E B D B O MO Cx 图1 图2 (1)如图1，若A0,6,B-2,0,则点C的坐标是· (2)如图1，在(1)的条件下，在x轴上取一点D-6,0,过点D作DE⊥AC于点E,交y轴于 点F,连接OE,证明：OE平分∠CED. (3)如图2，将(1)中△ABC沿x轴向左平移，AC边与y轴交于一点P(P不同于A和C两点)， 过P作一直线PM与AB的延长线交于Q点，与x轴交于点M,且CP=BQ,在△ABC平移过程中， 点M的坐标是否发生变化？若不变，请求出点M的坐标，若变化，请说明理由. 25.(10分)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC>AC, 图1 图2 图3 (1)AE平分∠BAC,交BC于点E,点M为CA延长线上的一点. ①如图1，当点N为线段AB上一点时，连接MN,若MN‖AE,则△AMN是 三角形； ②如图2，当点N为线段AB的延长线上一点时，若ME=NE,求证：AN=2AC+AM; (2)如图3，在BC上取点D,使得CD=CA,连接AD,将△ACD沿CD翻折，点A的对应点为 A,取CD的中点F,连接AF,过点C作CP⊥AF:垂足为H,CP交AD于点P,连接PF, ①请补全图形； ②求证：AF=CP+PF 参考容案 一、选择题 1.A 解：B,C,D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁 的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形： A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相 重合，所以是轴对称图形： 故选：A. 2.B 解：.CD=BC=AD, ..∠A=∠ACD'∠BDC=∠B, .∠BDC=∠A+∠ACD' .∠BDC=∠B=2∠A .AB=AC' .∴.∠B=∠ACB=∠BDC, .'∠ACB=∠ACD+∠BCD,∠BDC=∠B=2∠A'∠A=∠ACD' .∴.∠ACD=∠BCD=∠A' .∴.∠ACB=2∠A .∠A+∠ABC+∠ACB=180, .∴.∠A+2∠A+2∠A=180°， ∴.∠A=36°· 3.C 解：，△ABC是等边三角形， ∴.∠BAC=60°， .'△ABD经旋转后到达△ACE的位置，AB旋转到AC, .旋转了60°. 4.B 解：AB=26,AD⊥BC,∠ABC=30°， .在Rt△ABD中，AD=AB=13. 5.D 解：·关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相等，纵坐标互为相反数， ∴.点P3,4关于x轴对称的点，横坐标为3，纵坐标为-4，即坐标为3，-4. 6.C 解：如图，连接BD, B .∵∠BCE=120°， ∴.∠BCD=180°-∠BCE=60°， ...CD=BC, .△BCD为等边三角形， ∴.BD=CD=60cm. 7.A 解：连接BE, .AB=AC,∠ABC=50, .∴.∠ACB=∠ABC=50,∠BAC=180°-50°-50°=80， :AE平分∠BAC ∴.∠BAE= <BAC=400, 1 :DE垂直平分AB, .'EA=EB' ∴∠ABE=∠BAE=40, :AB=ACAE平分∠BAC, .AE垂直平分BC, .∴.EB=EC, .∴.∠BCE=∠CBE .∠CBE=∠ABC-∠ABE=50°-40°=10， .∴.∠BCE=10° 8.C 解：A0,4,B4,0, ..OA=OB=4, 如图： (C4)B 以A为圆心，AB为半径画圆，交x轴于C3,得到以A为顶点的等腰△ABC3, 以B为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于C1,C2,得到以B为顶点的等腰△ABC1,△ABC2, 作AB的垂直平分线，交坐标原点于C4,得到以C4为顶点的等腰△ABC4, 综上所述，符合条件的一共有4个， 故选：C 9.B 解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC的中线， ..AD=BD=1BC. 2 .AM垂直平分BD, ∴.AB=AD. ∴△ABD是等边三角形， ∴∠BAD=60° .BE⊥AD .∠AFB=90°， 在△ABF中，∠ABF=90°-∠BAD=30°. 在△ABE中，∠AEF=180°-∠BAC-∠ABF=180°-90°-30°=60°， ∴.∠AEF的度数为60°. 10.C 解：，∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE, ,在△BAD和△CAE中， AB=AC BAD=∠CAE, AD-AE .△BAD≌△CAE SAS, ,BD=CE,故结论①正确； 已知条件无法证明∠ACE+∠ABD=45°，故结论②错误； .∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAE+∠DAC=360°-90°-90°=180°，故结论③正确； .△ABC为等腰直角三角形， ∴.∠ABC=∠ACB=45°， ∴.∠ABD+∠DBC=45°， ,△BAD≌△CAE, ∴.∠ABD=∠ACE, ∴.∠ACE+∠DBC=45°， ∴.∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，则BD⊥CE,故结论④正确. 综上所述，正确的结论是①③④. 故选：C. 二、填空题 11.8105 根据镜面对称的性质，镜面对称在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码 是8105.故答案为8105. 12.68 解：如图，过点A作AE⊥PC于点E,过点B作BF⊥QD于点F, D .'∠PCA=∠QDB=30°，AC=BD=60Cm, AF-AG=30cm,BF-RD-30cm, .双翼展开时端点A、B的间距为8cm, ∴.当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为30+8+30=68cm. 13.14 解：BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, .∴.∠ABD=∠DBC'∠ACD=∠DCB ..EF BC. ∴.∠EDB=∠DBC'∠FDC=∠DCB' ∴.∠ABD=∠EDB'∠ACD=∠FDC' ∴.EB=ED'FD=FC' .AB=6,AC=8? .△AEF的周长=AE+EF+AF =AE+ED+DF+AF =AE+EB+AF+FC =AB+AC =14 故答案为：14. 14.36° 【分析】利用等边对等角求出∠ACB=72°，再利用角平分线的定义求解. 【详解】解：AB=AC,∠B=72°， .∠ACB=∠B=72°， 根据尺规作图可得，CP平分∠ACB, .`.BD三∠4CB=36。■ 15.30° 解：如图，以AC为边在△ABC内作正△ACE,连接BE,DE, .'AC=AE,AC=AB,∠CAE=∠ACE=60°，∠BAC=80°， .∠BAE=20°，AB=AE, ∴.△ABE是等腰三角形， ∠DAB=∠DBA=10°， ∴.∠BAD=∠DAE=10°， ∴AD平分∠BAE, ∴AD为等腰△ABE的底边BE的中垂线，即DE=DB, ∠DAB=∠DBA=10°， ∴AD=BD, ..DE=AD AC=CE,CD=CD, ∴.△ADC≌△EDC SSS, .∠ACD=∠DCE, 1 ∠ACD=2∠ACE=30°， 故答案为：30°. 16.75°或52.5°或30° 解：∠C=90°，∠A=30°， ∴.∠B=60° 分三种情况：当FA=FE时， .∠FEA=∠A=30°， ∴.∠BEF=180°-∠FEA=150° .△BDE≌△FDE, ∠BED=∠FED号<BEF=75: B C(D) 当AF=AE时， :∠AEF=∠AFE=180°，∠A=75, 2 ∴.∠BEF=180°-∠AEF=105° .△BDE≌△FDE, ∠BED=∠兰= 2 ∠BEF=52.5°； DI- F 当EA=EF时， ∴.∠A=∠EFA=30, .∠AEF=180°-∠AFE-∠A=120°， ∴.∠BEF=180°-∠AEF=60°， .△BDE≌△FDE, ∠BED=∠g= ∠BEF=30°， 2 所以∠BED的度数为75°或52.5°或30°， B D E C) 三、解答题 17.(1) 证明：，BE=CE,ED⊥BC, ..BD=CD: (2).BE=CE, ∴∠B=∠BCE, .CE平分∠ACB, ∴∠BCE=∠ACE, ÷∠B=∠BCE=人ACE=号×180-∠A=号×180-∠90=30， 3 .BE=4, ∴.CE=4, AE-CE-2 18.(1) 证明：.∠BAC=90°，∠C=30°， .∴.∠ABC=90°-30°=60°， .AD⊥BC, .∴.∠BAD=90°-60°=30°， ∴.∠CAD=90°-30°=60， 又，BF平分∠ABC, ∴.∠ABF=∠CBF=30, ∴.∠AFB=∠C+∠CBF=60°， ∠AEF=∠BAD+∠ABF=60, ∴.∠CAD=∠AFB=∠AEF, △AEF是等边三角形. (2) 证明：，'△AEF是等边三角形 .∴.EF=AE,∠BED=∠AEF=60°， .:∠BAD=∠ABF=30, ∴.BE=AE ∴BE=EF 19.(1)证明：，DF⊥AC,DE⊥AB, .∠AED=∠AFD' :AD平分∠BAC, ∴.∠EAD=∠FAD' 在△AED和△AFD中， ∠AED=∠AFD ∠EAD=∠FAD AD=AD .△AED≌△AFD AAS∥ ∴DE=DF,AE=AF .点A和点D在EF的垂直平分线上， AD垂直平分EF: (2)解：由（1)得△ADE≌△ADF, ∴.∠AED=∠AFD=90,DE=DF, Ss版=AB-DE+号AC-DF=号DEAB+AC=36, .DE=4 .∴.AB+AC=18' .BC=12 △ABC的周长为30. 20.(1)解：如图所示△ABC即为所求： 5 4 3 B 2 -4-3-2-10 2345x 2 (2)解：由(1)得A'-1,1,B-4,2,C-3,4. 21.(1)证明：.AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.DE=DF :D是BC的中点， ∴.BD=CD' .DE⊥AB,DF⊥AC .∴.∠DEB=∠DFC=90°， 在Rt△BDE和Rt△CDF中 BD=CD DE=DF ∴.Rt△BDE≌Rt△CDF(HL' ∴.∠B=∠C ∴.AB=AC ·△ABC是等腰三角形. (2)解：.DE⊥AB, ∴.∠DEB=90, 在Rt△BDE中，∠EDB=30°，EB=3, .BD=2EB=6, ∠B=90°-∠EDB=60, 由(1)得AB=AC,又∠B=60°， △ABC是等边三角形， .AB=BC' :D为BC中点， .BC=2BD=12,即AB=12, .AB=AE+EB' .∴.AE=AB-EB=12-3=9· 22.(1) 该图是轴对称图形，对称轴如图所示： (2) 共有四种方法，如图所示： 周出4 23.(1)证明：①.'∠BAC=Q,a=120°，AD平分∠BAC, ∠BME=∠EAC-<BAC=60, AB=BE' .△ABE是等边三角形， ∴.∠E=60, .∠E=∠EAC .'BE ACi ②如图，在AE上取一点H,使AH=AB,连接BH, 图2 由(1)知∠BAE=60°， :△ABH是等边三角形， .∴.BH=BA=AH'∠BHA=60, .∴∠BHE=180°-∠BHA=120°=∠BAC, .'∠BDE=∠ADC'∠EBC=∠EAC=60 .∴.180°-∠BDE-∠EBC=180°-∠ADC-∠EAC, 即∠E=∠C, 在△BHE和△BAC中， ∠BHE=∠BAC ∠E=∠C BH=BA ∴.△BHE≌△BACAAS' ∴.HE=AC, ∴.AE=AH+HE=AB+AC (2)解：如图，连接AC,作AM⊥BF于点M,AN⊥FC交FC的延长线于点N, B M D 图3 :点c与C关于射线AD对称， :AC=AC,FC=FC=3,∠FAC=∠FAC=号∠CAC,SAc=SAac=7, .FGAM-FGAN-7, 2 AM=AN=2S△ACE=2×7-14 FC 3 3' AB=AC'AC=AC' .AC=AB' ,AM⊥BF, MC=MB,∠MAC=∠MAB=∠BAC, ∠MAC+2AC-=∠BAC+3∠CAC=BAC=号x90=45©， ·.△AMF是等腰直角三角形， .AM=MF=14 MC=MF-FC=14-3 3 3 MB=MC'= 3 BF=BM+MF=5+14_19 333 24.(1)解：AB=AC,AO⊥BC, ∴OB=OC, B-2,0, 0B=2, ∴.0C=2, ∴.点C的坐标是2,0， 故答案为：2,0； (2) 证明：如图1，连接OE,过O作OM LOE交DE于M, E 图1 ∴.∠MOE=∠AOC=90°， ∴.∠AOE=∠DOM, .DE⊥AC, .∠AEF=∠DOF=90°， .∠AFE=∠DFO, .∠OAC=∠ODF, D-6,0, ∴.OD=OA=6, △AOE≌△DOM ASA, ..OM=OE, .∠OME=∠OEM=45°， ∴.∠CE0=∠DE0=45°， ∴.OE平分∠CED (3)解：M点的坐标不发生变化，M-2,0,理由如下， 如图所示，过点P作PN‖AB交BC于点N, B型 C 图2 则∠1=∠Q,∠ABC=∠PNC, .∠ABC=∠ACB, ∴.∠PNC=∠PCB, ..PN=PC, .CP=BQ, .'PN=BQ, 在△QBM和△PNM中， ∠Q=∠1 ∠2=∠3， BQ=PN ∴.△QBM≌△PNMAAS, ∴.MN=BM, .PC=PN,PO⊥CN, ∴.ON=OC, BM+MN+ON +OC=BC. .OM=MN+ON=BC=2. .M-2,0, 即M点的坐标不发生变化. 25.(1)①解：AE平分∠BAC, ∴.∠CAE=∠EAB, MN‖AE ∴.∠CAE=∠AMN,∠EAB=∠ANM, ∴.∠AMN=∠ANM, ..AM=AN, .△AMN是等腰三角形. ②证明：如图，作EF⊥AB于F点， B .AE平分∠BAC,∠C=90°，EF⊥AB, ∴.EC=EF, 在Rt△ACE和Rt△AFE中， AE=AE EC=EF ∴.Rt△ACE≌Rt△AFE|HL, ..AC=AF, 在Rt△MEC和Rt△NEF中， ME=NE EC=EF ∴.Rt△MEC≌Rt△NEF HL, ∴.CM=FN, ..AN=AF+FN. ..AN=AC+CM=AC+AC+AM=2AC+AM. (2)①如图： ②证明：如图，过D点作DG⊥CB交CP的延长线于G点，则∠CDG=90°， .Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=CA, .∴∠CAD=∠CDA=45°， 根据翻折的性质可得∠ACD=90°，CD=CA,∠CAD=∠CDA=45°， ∴.∠ACD=∠CDG=90°， ∴.∠ACG+∠GCD=90°， AF⊥CP, ∴.∠AHC=90°， .∠ACG+∠CAF=90°， .∠CAF=∠GCD, 在△CAF和△DCG中， ∠ACD=∠CDG CA=CD ∠CAF=ㄥGCD .△CAF≌△DCGASA, ..A F=CG,CF=DG, F是CD的中点， ∴CF=FD, .FD=GD. ∠CDG=90°，∠CDA=45°， ∴.∠GDA=45°， .∠CDA=∠GDA, 又DP=DP, ∴.△FDP≌△GDP SAS, ∴.PF=PG, .CG=CP+PG, ∴.CG=CP+PF, .∴.AF=CP+PF.