第15章轴对称重难点精练卷-2026-2027学年人教版 数学八年级上册

**基本信息** 以轴对称性质为核心，通过分类讨论、对称变换等方法整合图形识别、等腰三角形判定及最短路径等考点，形成“概念-性质-应用”的逻辑链条，培养几何直观与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|单选1-3、7|轴对称图形识别、对称点坐标规律|从图形特征到坐标表示，构建轴对称概念体系| |性质应用|单选4-6、10，填空11-13|等腰三角形分类讨论、含30°直角三角形性质|以等腰三角形为载体，深化轴对称性质的推理应用| |综合探究|解答17-21|尺规作图、折叠变换、最短路径模型|通过作图与动态问题，实现轴对称知识的综合迁移与创新应用|

第15章轴对称重难点精练卷 一、单选题 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，直角坐标系中，点、，点P在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点P共有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 3．点关于y轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知在中，，，是边上的高，若，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，已知，用尺规作图的方法在边上确定一点，连接，能判断一定是等腰三角形的图形有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在中，，是边上的中线，平分．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．剪纸，作为源远流长的中国民间艺术瑰宝，深藏着图形变换的无穷奥秘与精妙技艺．如图是一张蕴含轴对称变换的蝴蝶剪纸，将其放到直角坐标系中，则点关于轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，点P是边上一动点，点D在边上，且，则当取最小值时，（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，点为边上的一点，连接，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点．已知的面积为12，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 10．如图，，内有一定点，且．在上有一动点，上有一动点．则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若等腰三角形的一个外角为，则这个三角形的底角的度数是______． 12．在平面直角坐标系中，点与关于轴对称，则_____． 13．在正五边形的外部，以为边作正六边形．，连接，则的度数为________． 14．如图，将长方形沿折叠，折叠后点落在点处，点恰好与点重合．已知，则的长为______． 15．如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则长为______． 16．如图所示，平分，，垂足为E，交的延长线于点F．若恰好平分，有以下结论：①是的高；②；③；④．其中正确的有______．（填序号） 三、解答题 17．如图，在中，，．    (1)尺规作图：作边的垂直平分线，分别交，于点，．（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，连接，求的度数． 18．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知的三个顶点分别为，，． (1)画出关于y轴对称的图形，并写出点、、的坐标； (2)在x轴上找到一点P，使点P到点B、点C距离之和最短，保留作图痕迹，并写出点P坐标． 19．如图，交于点，于点．    (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 20．起源于中国的折纸艺术，不仅具有艺术审美价值，还蕴含着数学运算和空间几何原理．图1是一朵用长方形纸条折成的牡丹花，折纸前两步的过程如下： 第一步，将长方形纸条沿折叠，点落在点的位置上，与交于点（如图2所示）； 第二步，将纸条沿折叠，点分别落在直线右侧的点的位置上，与相交于点（如图3所示）． (1)若，猜想的形状，并说明理由； (2)若，求证：为的中点． 21．在中，为延长线上一点，点E为线段的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则__________； (2)当时， ①如图2，连接，当时，求的长； ②如图3，直线与交于点F，满足为直线上一动点．当的值最大时，探索与之间的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B A B A A B C B 1．A 【详解】解：A、不是轴对称图形； B、是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、是轴对称图形． 2．B 【分析】根据等腰三角形的定义分三种情况求解判断即可． 【详解】解：∵为等腰三角形， ∴当时，此时点P为的垂直平分线和x轴的交点，有1个； 当时，以点A为圆心，为半径画弧，与x轴有两个交点，故此时点P有2个； 当时，以点B为圆心，为半径画弧，与x轴有两个交点，其中一个交点与A，B共线，围不成三角形，应舍去，故此时点P有1个； 综上所述，满足条件的点P共有4个． 3．B 【分析】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征，掌握关于y轴对称的点的坐标特征为纵坐标不变，横坐标互为相反数是解题的关键． 根据关于y轴对称的点的坐标特征求解即可． 【详解】解：∵关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数， 又∵已知点的坐标为， ∴该点关于y轴的对称点横坐标为，纵坐标为3，即对称点坐标为． 故选B． 4．A 【分析】本题考查直角三角形的性质，先根据直角三角形的两个锐角互余及余角性质求得，再根据直角三角形中， 30度角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 故选：A． 5．B 【分析】本题考查了基本作图、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识的性质和作图是解题的关键．根据作图意义解答即可． 【详解】解：①作图是的垂直平分线，点P是的中点，无法证明一定是等腰三角形，不符合题意； ②作图得到，一定是等腰三角形，符合题意； ③作图是的垂直平分线，则，一定是等腰三角形，符合题意； ④作图是是的平分线，不能判定一定是等腰三角形，不符合题意； 综上可知，能判断一定是等腰三角形的图形有②③， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的角平分线的定义，三角形的外角性质，根据是边上的中线，可得，平分，可得， ，进而根据平分，可得，再根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵在中，，是边上的中线，平分 ∴，平分， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴ 故选：A． 7．A 【分析】本题考查坐标与图形—轴对称变换，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求解即可． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是， 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了轴对称的性质，角平分线的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，利用转化的思想求解． 过点A作的对称点，连接，交于点，过点作，，垂足分别为，过点B作，垂足为点，则由对称可得，因为，那么当点三点共线时，取得最小值，此时点即为点的位置，再证明，即可求解． 【详解】解：过点A作的对称点，连接，交于点，过点作，，垂足分别为，过点B作，垂足为点， 由对称可得， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值，此时点即为点的位置， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴当取最小值时， 故选：B． 9．C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及三角形面积计算，解题的关键是证明，将转化为求解． 先证和，得，故；再由，，得，结合高为，求出，即． 【详解】解：，， ． ，, ， ． ， ． 在和中， （）， ． ，为等腰直角三角形， 边上的高也是边的中线，高的长度为， ． ， ． ， ， ． 故选：C． 10．B 【分析】本题考查了最短距离问题，关键是根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答．过点作、的对称点，连接分别交、于，连接，则，然后证明是等边三角形即可求解． 【详解】解：过点作、的对称点，连接分别交、于，连接， ∴， ∴， ∴此时的周长最短， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即：周长的最小值是：． 故选：B ． 11．或 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的定义． 根据三角形外角性质求出相邻内角，再分该内角为顶角或底角两种情况讨论底角度数即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为， ∴与这个外角相邻的内角是． ①当角是顶角时，底角度数为． ②当角是底角时，底角度数为． 综上所述，底角度数为或． 故答案为：或． 12．25 【分析】本题考查了两点关于轴对称的坐标的特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数即可． 【详解】解：点与关于轴对称， ，， 故答案为：． 13． /24度 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和公式及等腰三角形的判定与性质，先根据多边形的内角和公式算出每个正五边形和正六边形的内角，再得出的度数，再求证是等腰三角形，最后根据三角形的内角和求出的度数即可． 【详解】解：正五边形每个内角：， 且，， 正六边形每个内角：，且，， 由此可得，是等腰三角形． ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 14．2 【分析】本题考查折叠问题，含有角的直角三角形，等边三角形的判定和性质，熟知相关性质是解题的关键． 根据题意可得，再证明为等边三角形，即可得，则可得． 【详解】解：是长方形， ， 根据折叠可得， ， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 15．6 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系． 首先根据，，可证是等边三角形，连接交于点G，可证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，从而可得的长． 【详解】解：如图，连接交于点G， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴垂直平分， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：6． 16．①③④ 【分析】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据平行线的性质可得，进而得到是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到是的高；易证得，根据全等三角形的性质得到、，进而得到、，据此解答即可． 【详解】解：恰好平分 是等腰三角形 平分 、 是的高 故①正确； 在和中 、 、 故②错误，③④正确； 综上所述，正确的有①③④． 故答案为：①③④ 17．(1) 如图，即为所求；    (2) 【分析】本题主要考查了基本尺规作图—线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上作图步骤和性质． （1）利用线段垂直平分线的作法进行作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得出相等的线段，根据等边对等角得出，然后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，   垂直平分线段， ， ． ， ， ． 18．(1) 解：如图所示 ， 由图可得：，，； (2) 解：如图所示 ， 由图可得：； 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知轴对称的相关知识是解题的关键． （1）关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据轴对称知识和两点之间，线段最短，则点即为所求 【详解】（1）略 （2）略 19．(1) 证明：∵， ∴， 又∵，   ∴，   ∴， ∴为等腰三角形； (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质、直角三角形的性质，关键是灵活应用知识点解题； （1）根据平行加角平分线等于等腰三角形即可论证； （2）过点作于点，可得  ，进而利用直角三角形的性质求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点，    ∵，， ∴， 又∵，   ∴， 在中，， ∴， ∴由（1）得：. 20．(1) 解：为等边三角形． 理由：由折叠可知，， ，． 又， ， 为等边三角形； (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴F为的中点． 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，以及平行线的性质，掌握相关知识点是解题关键． （1）由折叠可知，，则，再根据平行线的性质，得到，，即可判断出的形状； （2）根据平行线的性质和等角对等边的性质，得到，，从而得到，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 21．(1) (2)①；② 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． （1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可； （2）①根据（1）中的方法得到，证明是等边三角形；则；②作点关于直线的对称点，连接．当点P在的延长线上时，的值最大，此时，证明和，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点E为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）①如图2中， ∵点E是线段的垂直平分线的交点， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； ②结论：． 理由：如图3中，作点关于直线的对称点，连接． 当点P在的延长线上时，的值最大，此时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $