精品解析：湖南邵阳市新邵县酿溪镇新航初级中学2026-2027学年九年级上学期入学测试数学试题卷

2026年九年级上学期入学测试数学试题卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各数，，，，，，中，无理数有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若a、b均为正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一次函数的图象上三个点的坐标分别为，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，点在延长线上且，平分，分别交、于点、．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如表是某班35位同学在实验操作中的得分情况： 得分（分） 5 6 7 8 9 10 人数（人） 2 3 5 ♥ ★ 7 已知这35位同学实验操作得分的中位数和众数都是9分，成绩得8分的超过6人，则成绩得9分的人数是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 8. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 9. 已知，，，则的值为（ ） A. 与值有关 B. 4 C. 8 D. 16 10. 若整数a使关于x的不等式组有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程 的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 因式分解：_________． 12. 如图，点，在数轴上表示的数分别为和7，将数轴翻折后使点，重合，折痕与数轴交于点，则点表示的数为___________． 13. 已知关于x的多项式的取值不含项，那么a的值是______． 14. 如图，中，，如果和分别垂直平分和，那么的度数为___________． 15. 如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为_____________． 16. 如图，正方形中，点为上的两个动点，连接平分．给出如下几个结论：①；②平分；③；④若为中点，，则．其中正确结论的序号为___________． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算：． 18. 如图，在中，在延长线上取一点P，连接交于点E，且 （1）求的值． （2）若的面积为9，求的面积． 19. 为提升居民的生活质量，某小区计划购买A，B两种型号室外健身器．已知A型室外健身器比B型室外健身器的单价少0.3万元，且用15万元购买A型室外健身器与用20万元购买B型室外健身器的数量相等． （1）A，B两种型号室外健身器的单价各是多少？ （2）某小区计划共购买25台A，B型室外健身器，购买总费用不超过26万元，且B型室外健身器的购买数量不少于A型室外健身器购买数量的．共有几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 20. 在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． （1）化简：__________． （2）观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． （3）利用分母有理化计算：． 21. 已知，是等边三角形，，且． （1）如图1，点E在内部，求证：是等边三角形； （2）如图2，点E在边上，若M为上的一点，且，求证：． 22. 科技创新，从“小”做起、某校举办校园科技节活动，为了解学生选择参与的科技活动项目的情况，随机抽取若干名学生进行问卷调查、所有问卷全部回收且有效，并对所得数据进行整理、部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 学生选择参与的科技活动项目调查问卷 你选择参与的科技活动项目是（ ）（单选题） A．小发明 B．小制作 C．小实验 D．小论文 学生选择参与的科技活动项目统计图 请根据上述信息，回答下列问题： （1）本次问卷调查中，参与调查的学生有____人； （2）在扇形统计图中，项目C对应的圆心角的度数为____； （3）请补全条形统计图； （4）若该校有名学生．选择参与“小论文”项目的学生可能会被推荐为科技活动宣传员，请估计该校可能会被推荐为科技活动宣传员的学生人数； （5）该学校准备给四个科技活动项目设置个奖励名额，请你根据统计结果，合理分配每个活动项目的奖励名额． 23. 定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”，例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”坐标为． （1）①一次函数图象的“亮点”在第________象限； ②一次函数图象的“亮点”坐标为________； （2）若一次函数图象的“亮点”为，求m，n的值； （3）若一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数的图象上没有“亮点”，点C在x轴上坐标为，点P在直线上，则的最小值为________． 24. 如图，已知正方形的边长为2，对角线、交于点，若为边上的一个点，与交于点，作，垂足为点，且交于点、交于点，连接． （1）如图1，若点为的中点，求的长． （2）如图2，若为的中点，连接，求证：平分． （3）如图3，若为边上的一个动点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级上学期入学测试数学试题卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各数，，，，，，中，无理数有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的概念，关键区分有限小数、无限循环小数（有理数）和无限不循环小数（无理数） 无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比，逐个判断各数的类型即可． 【详解】解：∵ 是有限小数， ∴ 是有理数； ∵ 是无理数， ∴ 是无理数； ∵ 是无限不循环小数， ∴ 是无理数； ∵ 是有限小数， ∴ 是有理数； ∵ 是无理数； ∵是分数， ∴ 是有理数； ∵ 是整数， ∴ 是有理数； ∴ 无理数共个； 故选：C． 2. 如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数轴的定义，绝对值运算，掌握数轴的定义是解题的关键．先根据a、b两点在数轴上的位置确定出其符号及大小，再进行解答即可． 【详解】解：由题可知：，且， ∴，，，． 故选：C． 3. 若a、b均为正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，将等式左边化简为，右边化简为，据此即可得到． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ， 故选 ：D． 4. 一次函数的图象上三个点的坐标分别为，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，一次函数，当时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小；由于一次函数的，因此函数值随的增大而减小，比较三个点的横坐标大小，即可确定纵坐标的大小关系. 【详解】解：∵的， ∴随的增大而减小， 三个点的横坐标分别为，，， ∵， ∴，即. 故选：D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作的垂线，垂足为M，分别求出及的长即可解决问题． 【详解】解：过点A作的垂线，垂足为M． ，， ，． 点的坐标是，点的坐标是， ． ． 点M的纵坐标为． 则点A的纵坐标为7． 在中， ． 则点A的横坐标为． 点A的坐标为． 6. 如图，在中，，，点在延长线上且，平分，分别交、于点、．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作于，先利用角平分线定理和勾股定理求解的长度，再由含的特殊直角三角形计算得到的长度． 【详解】如图，过作于，则， ， ，． 平分，，， ． ， ， ， ， ， ， ． ，， ． 7. 如表是某班35位同学在实验操作中的得分情况： 得分（分） 5 6 7 8 9 10 人数（人） 2 3 5 ♥ ★ 7 已知这35位同学实验操作得分的中位数和众数都是9分，成绩得8分的超过6人，则成绩得9分的人数是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数，设得8分的人数为x，9分的人数为y，则，且，再根据中位数和众数的定义逐一分析即可． 【详解】解：设得8分的人数为x，9分的人数为y， 则，且， ∴当时，，此时中位数为9分，众数为9分，符合题意； 当时，，此时中位数为8分，不符合题意； 当时，，此时中位数为8分，众数为8分和9分，不符合题意； 当时，，此时众数为8分，不符合题意； ∴成绩得9分的人数是11人， 故选：C． 8. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， 需满足被开方数， 解得． ∴符合． 故选：D． 9. 已知，，，则的值为（ ） A. 与值有关 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，将两个已知等式相减，利用平方差公式及的条件求出的值，再将所求式子转化为完全平方形式代入计算即可． 【详解】解：∵①，② ∴得 ∴ 又∵，即 ∴， ∴． 故选：D． 10. 若整数a使关于x的不等式组有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程 的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程的解的情况求参数，先解不等式组的两个不等式，再根据不等式组只有3个整数解得到，则，再解分式方程得到，根据，且，求出，且，由此确定整数a的值，最后求和即可． 【详解】解：解不等式组 ， 解得 该不等式组有且只有个整数解，即三个整数解为，，1， 解得． 解分式方程 得． ，且， ，，解得且． 综上，且． 为整数， 或，即满足条件的整数的值之和为． 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 12. 如图，点，在数轴上表示的数分别为和7，将数轴翻折后使点，重合，折痕与数轴交于点，则点表示的数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数轴相关的知识点，由题意可得点为点，的中点，由此计算即可得解，熟练掌握数轴的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵点，在数轴上表示的数分别为和7，将数轴翻折后使点，重合，折痕与数轴交于点， ∴点为点，的中点， ∴点表示的数为， 故答案为：． 13. 已知关于x的多项式的取值不含项，那么a的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查整式加减：不含某项问题，掌握去括号法则，合并同类项和不含某项即化简后，令其系数为0是解题的关键．先去括号、合并同类项，然后根据题意令的系数为0即可求出a的值． 【详解】解： 关于x的多项式的取值不含项， ， 解得：． 故答案为：． 14. 如图，中，，如果和分别垂直平分和，那么的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和性质，先运用三角形内角和性质得，结合和分别垂直平分和，则，即，结合角的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵和分别垂直平分和， ∴， ∴， 则 故答案为：． 15. 如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．根据黄金分割的概念和黄金比值计算即可． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 16. 如图，正方形中，点为上的两个动点，连接平分．给出如下几个结论：①；②平分；③；④若为中点，，则．其中正确结论的序号为___________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】过点作，垂足为，从而构造全等三角形，再结合角平分线的性质、全等三角形判定、勾股定理逐一验证四个结论正确性． 【详解】解：如下图所示，过点作，垂足为， 正方形中，，， ①平分， ． ， ． 在和中， ， ，． 在和中， ， ． 因此，故①正确； ②由①可知，， ， 平分，故②正确； ③由①可知，， ， ， ， 又， 代入得，即，故③正确； ④设，为中点，因此，则正方形边长． ，由①得， ， 在中由勾股定理得，， 代入得，展开化简得， 解得或（舍去），因此，故④错误． 综上：正确的结论为①②③． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 如图，在中，在延长线上取一点P，连接交于点E，且 （1）求的值． （2）若的面积为9，求的面积． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）根据平行四边形的性质证明，由此即可求解； （2）根据题意得到，证明，由相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：在平行四边形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴，即的面积为16． 19. 为提升居民的生活质量，某小区计划购买A，B两种型号室外健身器．已知A型室外健身器比B型室外健身器的单价少0.3万元，且用15万元购买A型室外健身器与用20万元购买B型室外健身器的数量相等． （1）A，B两种型号室外健身器的单价各是多少？ （2）某小区计划共购买25台A，B型室外健身器，购买总费用不超过26万元，且B型室外健身器的购买数量不少于A型室外健身器购买数量的．共有几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 【答案】（1）A型号室外健身器单价为0.9万元，B型号室外健身器单价为1.2万元 （2）共有3种购买方案，购买A型号室外健身器个，购买B型号室外健身器个，所需购买总费用最少 【解析】 【分析】（1）设A型号室外健身器单价为万元，则B型号室外健身器单价为万元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）设购买A型号室外健身器台，则购买B型号室外健身器台，根据题意列出一元一次不等式组，求解并结合为正整数得出或或，即共有3种购买方案，设小区购买室外健身器的总花费为万元，则，再由一次函数的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：设A型号室外健身器单价为万元，则B型号室外健身器单价为万元， 由题意得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴（万元）， ∴A型号室外健身器单价为0.9万元，B型号室外健身器单价为1.2万元； 【小问2详解】 解：设购买A型号室外健身器台，则购买B型号室外健身器台， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案：方案一，购买A型号室外健身器台，购买B型号室外健身器台；方案二，购买A型号室外健身器台，购买B型号室外健身器台；方案三，购买A型号室外健身器台，购买B型号室外健身器台； 设小区购买室外健身器的总花费为万元，则， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，取得最小值， ∴购买A型号室外健身器台，购买B型号室外健身器台，所需购买总费用最少． 20. 在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． （1）化简：__________． （2）观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． （3）利用分母有理化计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）模仿示例，分子分母同乘，利用平方差公式分母有理化； （2）观察示例规律，给的分子分母同乘​，化简得到式子； （3）先利用（2）的规律将每个分式分母有理化，得到相邻二次根式的差，合并后再与相乘计算结果 【小问1详解】 解：分子分母同乘： 原式 ． 【小问2详解】 解：分子分母同乘​： 原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，掌握利用平方差公式对​型分式分母有理化，及相邻二次根式差的合并规律是解题的关键． 21. 已知，是等边三角形，，且． （1）如图1，点E在内部，求证：是等边三角形； （2）如图2，点E在边上，若M为上的一点，且，求证：． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形. （2） 证明：由（1）得：，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴. 【解析】 【分析】（1）证明，可得，，进一步证明即可. （2）证明，可得，，再证明，可得，进一步证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练证明需要的三角形全等是解本题的关键. 22. 科技创新，从“小”做起、某校举办校园科技节活动，为了解学生选择参与的科技活动项目的情况，随机抽取若干名学生进行问卷调查、所有问卷全部回收且有效，并对所得数据进行整理、部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 学生选择参与的科技活动项目调查问卷 你选择参与的科技活动项目是（ ）（单选题） A．小发明 B．小制作 C．小实验 D．小论文 学生选择参与的科技活动项目统计图 请根据上述信息，回答下列问题： （1）本次问卷调查中，参与调查的学生有____人； （2）在扇形统计图中，项目C对应的圆心角的度数为____； （3）请补全条形统计图； （4）若该校有名学生．选择参与“小论文”项目的学生可能会被推荐为科技活动宣传员，请估计该校可能会被推荐为科技活动宣传员的学生人数； （5）该学校准备给四个科技活动项目设置个奖励名额，请你根据统计结果，合理分配每个活动项目的奖励名额． 【答案】（1）100 （2） （3） （4）该校可能会被推荐为科技活动宣传员的学生有180人 （5）小发明分配8个名额，小制作分配40个名额，小实验分配20个名额，小论文分配12个名额 【解析】 【分析】（1）联合条形统计图和扇形统计图进行求解即可； （2）由项目C占总人数的百分比即可求出其圆心角； （3）先求出项目A的人数，再进行补全即可； （4）根据样本估计总体，即可得出科技活动宣传员的学生人数； （5）根据样本中每个项目的所占百分比进行分配奖励名额即可． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知，选择B项目的学生有50人；由扇形统计图可知，B项目人数占总人数的， ∴总人数为（人）； 【小问2详解】 解：由条形统计图可知，选择C项目的学生有25人， ∴其圆心角度数为； 【小问3详解】 解：由题意得，A项目的人数为（人）； 【小问4详解】 解：由题意得，选择小论文的人数约为：（人）； 【小问5详解】 解：由题意得，按各项目参与人数占总人数的比例，分配80个奖励名额， ∴A项目的奖励名额为：（个）； B项目的奖励名额为：（个）； C项目的奖励名额为：（个）； D项目的奖励名额为：（个）， 答：小发明分配8个名额，小制作分配40个名额，小实验分配20个名额，小论文分配12个名额． 23. 定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”，例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”坐标为． （1）①一次函数图象的“亮点”在第________象限； ②一次函数图象的“亮点”坐标为________； （2）若一次函数图象的“亮点”为，求m，n的值； （3）若一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数的图象上没有“亮点”，点C在x轴上坐标为，点P在直线上，则的最小值为________． 【答案】（1）①三； ② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组求出“亮点”坐标，进而可得出亮点坐标所在象限；②联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组求出“亮点”坐标即可． （2）先求出一次函数图象的“亮点”坐标，然后再得出关于m，n的二元一次方程组，求解即可得出答案． （3）根据题意得出，求出点A，点B的坐标，进而得出，作点C关于直线对称的点，连接，，则，由垂直平分线的性质进一步得出，连接交直线与点P，此时，最后根据勾股定理即可得出． 【小问1详解】 解：①联立方程组得， 解得， 则一次函数图象的“亮点”坐标为． ∴一次函数图象的“亮点”坐标在第三象限． ②联立方程组得， 解得， 则一次函数图象的“亮点”坐标为． 【小问2详解】 解：联立方程得， 解得： ， ∵一次函数图象的“亮点”为， ∴， 解得：． 【小问3详解】 解：∵一次函数的图象上没有“亮点”， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， 令，则，，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 作点C关于直线对称的点，连接，， 则， ∴， ∴， 连接交直线于点P， 此时， ∴． 24. 如图，已知正方形的边长为2，对角线、交于点，若为边上的一个点，与交于点，作，垂足为点，且交于点、交于点，连接． （1）如图1，若点为的中点，求的长． （2）如图2，若为的中点，连接，求证：平分． （3）如图3，若为边上的一个动点，求的最小值． 【答案】（1） （2）证明：如图，作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵为的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴平分． （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，，结合可证明，则，由勾股定理可得； （2）作于点，根据题意容易得到，，由勾股定理可得，由面积法可得，从而得到．容易证明，则，进而可证明是等腰直角三角形，则，因此平分； （3）取的中点，连接、，容易计算得，由直角三角形的性质可得，由可得，当、、三点共线时，取得最小值． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， 在中，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，点是斜边的中点， ∴， ∵， ∴，当、、三点共线时，取得最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $