精品解析：湖南长沙市长雅中学等校2026-2027学年九年级上学期开学数学收心练习

九年级上学期入学考试数学试卷 注意：本练习共3道大题，25道小题，满分120分，时长120分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列选项中，是无理数的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的概念，根据无理数和有理数的定义逐一判断选项即可，用到的知识点为：无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称． 【详解】解：选项A，是分数，属于有理数， 选项B，是整数，属于有理数， 选项C，是无限不循环小数，是无理数， 选项D，，是整数，属于有理数． 2. 年月日，世界智能产业博览会在天津开幕，展览面积达平方米，创历年之最．将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A：根据积的乘方法则，可得，A运算正确； 选项B：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，B运算错误； 选项C：根据完全平方公式，，C运算错误； 选项D：根据二次根式性质，，D运算错误． 4. 如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图痕迹可知平分，利用平行线的性质求出的度数，进而求出，最后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中， 5. 已知点是第三象限内一点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用第三象限点横纵坐标均为负数的性质，列不等式求解即可得到a的取值范围. 【详解】解：∵第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，点在第三象限， ∴， 解得. 6. 已知一次函数的解析式为，下列说法正确的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 图象经过第二象限 C. 图象与轴交于点 D. 图象与轴交于点 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、对于一次函数，∵ ，∴ 随的增大而增大，该选项不符合题意； B、∵ ，，∴ 函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，该选项不符合题意； C、令，得，∴ 图象与轴交于点，该选项符合题意； D、令，得，解得，∴ 图象与轴交于点，该选项不符合题意； 故答案为C． 7. 已知一周的周一至周五，某同学的运动时间为34、28、40、36、32分钟，为了让一周7天内的平均活动时间恰好达到40分钟，该同学周六、周日应分别运动（ ）分钟． A. 50，50 B. 45，60 C. 50，60 D. 55，60 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数的定义，先求出7天需要的总运动时间，再减去前5天的总运动时间，得到周六周日的总运动时间，对比选项得到结果． 【详解】解：∵7天平均运动时间为40分钟， ∴7天总运动时间为分钟， ∵周一到周五的总运动时间为分钟， ∴周六和周日的总运动时间为分钟， 对比各选项，只有C选项中，符合题意． 8. 如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的斜边经过原点，连接．已知，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质得到，可证明，得到，则可证明，再根据点A的坐标即可得到答案． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵若点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 9. 杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”他所著《田亩比类乘除算法》（1275年）提出的这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步．”若设阔为步，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用；根据宽比长少12步，设阔为步，则长为步，利用矩形面积公式列方程. 【详解】解：由题意可得，长为步， ∴， 故选：A． 10. 如图①，在四边形 中，，，点P从点A出发，沿运动到点D．图②是点P运动时，的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（ ） A. 7 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，根据矩形的判定和性质得出相等的边，利用面积求出，假设未知数，利用勾股定理列出方程求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由图形可知， ∴， 设，则，， 由勾股定理， ∴， 解得， ∴， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，分式的分母不等于，列不等式求解即可得到实数的取值范围． 【详解】解：由题意得，， 解得，， ∴实数x的取值范围是． 12. 已知，如果，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据列出一元一次不等式，再依据解一元一次不等式的法则求解即可． 【详解】解：依题意，， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 13. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知等式拆分变形，整理后即可计算得到的值． 【详解】解：， ， 即， 移项得， 等号两边都除以2得． 故答案为． 14. 如图，在平面直角坐标系中，若直线，直线相交于点，则关于x的不等式的解集是_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：不等式的解集，即直线在下方部分图象对应的点的横坐标， 由图可知，在点C的左侧，直线在下方， ∴当时，． 15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设方程的两根分别为和，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解的值，再计算，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可． 【详解】解：设一元二次方程的两根分别为，． 根据根与系数的关系可得，． 整理得．变形得． 解得． 将代入得． 验证判别式：，符合题意． 16. 如图，在菱形中，点为边的中点，连接，．若，且，则菱形的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】设菱形的边长为，根据中点定义和已知条件表示出和；过点作交的延长线于点，过点作于点，证明，设，利用勾股定理分别表示出和，建立关于和的方程组，求解即可． 【详解】解：设菱形的边长为， 四边形是菱形， ，， 点为边的中点， ， ， ， 过点作交的延长线于点，过点作于点，如图， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设， 在中，， 在中，∵， ， ， ， 在中，∵， ， ， ∴， ∴， 将代入①得， 即， 解得（负值舍去）． 三．解答题（共9小题，17，18，19每题6分，20，21每题8分，22，23每题9分24，25每题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法，解答即可； （2）利用因式分解法，求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得， ． 19. 若关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算即可； （2）利用一元二次方程的根与系数关系，代入所给的等式即可求值． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ； 【小问2详解】 解：，，， ， 整理得， 解得或， ， ． 20. 某校为了解学生的体育健康知识掌握情况，进行相关测试．测试结束后，分别从七年级和八年级参加测试学生的成绩中随机抽取了20名学生的成绩（满分100分），并进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．抽取的七年级学生测试成绩（单位：分）：72，75，78，80，81，82，82，82，83，84，84，85，86，87，88，90，91，93，98，99； b．抽取的八年级学生测试成绩（单位：分）的频数分布直方图，如图所示（数据分为5组：，，，，）： c．抽取的八年级学生测试成绩在这一组的是：85，86，87，85，87，88； d．抽取的七、八年级学生成绩的平均数、中位数、第三四分位数、众数如下： 平均数 中位数 第三四分位数 众数 七年级 85 84 n p 八年级 85 m 91 85 根据以上的信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）表中________，________，________； （3）若七年级学生甲，八年级学生乙的成绩均为85分，则甲，乙两人在本年级中成绩更靠前的是________； （4）此次测试成绩在85分及以上为优秀，若该校七年级参加测试的有180人，八年级参加测试的有200人，估计七、八年级成绩优秀的共有多少人？ 【答案】（1）补全频数分布直方图如图 （2）86.5，89，82 （3）甲 （4）211人 【解析】 【分析】（1）根据频数分布直方图求出组的频数，画图即可； （2）根据中位数、众数、第三四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数的定义解答即可； （4）用样本估计总体的方法解答即可； 【小问1详解】 解：八年级共抽取20名学生，组的频数为：， 补全频数分布直方图见答案 【小问2详解】 解：八年级20个数据的中位数为第10、11个数据的平均数，前两组累计个数据，第10、11个数据都在组，该组排序后为，第10个是86，第11个是87，因此； 是七年级的第三四分位数：方法一：，第三四分位数为第15、16个数据的平均数，七年级排序后第15个是88，第16个是90，因此； 方法二：七年级共抽取20名学生，第三四分位数是从小到大排序之后，后10个数据的中位数，因此； 七年级成绩中82出现次数最多（3次），因此； 【小问3详解】 解：甲成绩85分大于七年级中位数84，说明甲成绩超过七年级一半以上学生，排名在本年级前半段； 乙成绩85分小于八年级中位数86.5，说明乙成绩低于八年级一半以上学生，排名在本年级后半段； 因此本年级中成绩更靠前的是甲； 【小问4详解】 解：抽取的20名七年级学生中，85分及以上有9人， 因此七年级优秀人数估计为：人； 抽取的20名八年级学生中，85分及以上有人， 因此八年级优秀人数估计为：人； 总优秀人数：人， 答：估计七、八年级成绩优秀的共有211人． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A，B两点的坐标． （2）求的面积． （3）若点C在直线上，且，求点C的坐标． 【答案】（1）； （2）1 （3）或. 【解析】 【分析】（1）分别令，求出两点的坐标即可； （2）直接利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）设出点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，；当时，； ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知：； ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 解：∵点C在直线上， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴或. 22. 安溪是我国知名铁观音茶叶主产区，制茶产业历史悠久，是全国重要的茶叶产销集散地．已知每千克甲种茶叶进价比每千克乙种茶叶进价少元，且元采购甲种茶叶的重量与元采购乙种茶叶的重量相同． （1）求甲、乙两种茶叶的进价； （2）某茶叶门店计划购进两种铁观音共千克，且甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的，若甲种茶叶按元/千克出售，乙种茶叶按元/千克出售，求商店销售完两种茶叶获得的最大利润为多少元？ 【答案】（1）每千克甲种茶叶的进价是元，每千克乙种茶叶的进价是元 （2）商店销售完两种茶叶获得的最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设每千克甲种茶叶的进价是元，则每千克乙种茶叶的进价是元，根据元采购甲款茶叶的重量与元采购乙款茶叶的重量相同列方程解决即可； （2）设购进千克甲种茶叶，则购进千克乙种茶叶，商店销售完两种茶叶获得的总利润为元，列出函数表达式，根据一次函数性质解决即可． 【小问1详解】 解：设每千克甲种茶叶的进价是元，则每千克乙种茶叶的进价是元， 根据题意得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）． 答：每千克甲种茶叶的进价是元，每千克乙种茶叶的进价是元； 【小问2详解】 解：设购进千克甲种茶叶，则购进千克乙种茶叶， 根据题意得， 解得， 设商店销售完两种茶叶获得的总利润为元，则， 即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为（元）． 答：商店销售完两种茶叶获得的最大利润为元． 23. 如图，平行四边形中，分别是、的平分线，且E、F分别在边上，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求平行线与间的距离． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵分别是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 即． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，再根据等角对等边得，即可得，，然后根据可得，接下来说明四边形是平行四边形，最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案； （2）连接，先说明是等边三角形，再根据菱形的性质可得．，然后根据勾股定理得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴． 在中，， 根据勾股定理，得， 所以平行线与之间的距离是． 24. 新定义：关于的一元二次方程与互为“长雅方程”． （1）根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“长雅方程”（在题后相应的括号中，是打“”，不是打“”）； ①与（ ） ②与（ ） ③与（ ） （2）若关于的一元二次方程：的两实数根为． ①求的值； ②记方程的“长雅方程”为方程是方程的一个实数根，求的值． （3）若关于的一元二次方程与它的“长雅方程”有且只有一个公共实数根，求的值． 【答案】（1）①②③ （2）① ② （3） 【解析】 【分析】（1）根据“长雅方程”的定义：若两个一元二次方程的一次项系数互为相反数，其余各项均相同，则这两个方程互为长雅方程，由此判断即可． （2）①两实数根相等情况下，根的判别式，利用求解后，将的值代入检验即可． ②将的值代入中，求解的根即可． （3）将原方程化简后，与原方程的“长雅方程”联立，消去二次项后求解，再分情况分析讨论． 【小问1详解】 ①两方程一次项系数互为相反数，常数项都为，二次项系数都为，但的值不确定，若则不满足条件，故打． ②两方程一次项系数互为相反数，二次项系数都为，常数项都为，符合定义，故打． ③两方程一次项系数互为相反数，二次项系数都为，常数项都为，符合定义，故打． 【小问2详解】 ①解：关于的一元二次方程的两实数根， ， 由于 ； 则， ， 解得，． 将代入原方程，得， 此时方程不成立，故舍去； 将代入原方程，得 ， 此时方程成立， 故的值为． ②解：将代入，得 ， 整理，得， 解得， 关于的一元二次方程的根 由题意，得：， 将代入，得 ， 整理，得， 解得， 用判别式验算，， 为的解， 则关于的一元二次方程的根 ． 【小问3详解】 解：对展开后化简， 得， 其“长雅方程”为， 设公共实数根为，需同时满足上述两个方程，可列方程组为 两式相减，得， 或． 当时，， 将代入原方程中， 解得； 此时原方程为，根为、， 原方程的“长雅方程”为，根为、， 此时满足有且只有一个公共实数根； 当时， 原方程为，无实数根， 此时不符题意，舍去； 综上所述，． 25. 已知直线l：（其中）． （1）直线l的图象一定经过点（ ） A． B． C． D． （2）已知第一象限内的三个点，，中恰有两点在直线l上． ①求直线l的解析式； ②设直线p：（其中），且直线l，p，x轴不能围成三角形，求出直线p的解析式； （3）设点，为直线l上的两点，点A为的中点，过点A作垂直直线，垂足为B，连接、，求证：． 【答案】（1）D （2）①；②或 （3） 证明：∵在直线l上， ∴， 整理得：； 同理可得： ， ∴为一元二次方程的两个根， ∴， ∵点A为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵过点A作垂直直线，垂足为B， ∴， ∴， ∵， 而， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由直线l：（其中），可得时，，从而可得答案； （2）①根据可推出在直线l上，据此即可求解；②根据“直线l，p，x轴不能围成三角形”可得，或直线和直线的交点在轴上，据此即可求解； （3）由点为直线l上的两点可得为一元二次方程的两个根；根据题意可分别求出的坐标；结合一元二次方程根与系数的关系可求得的长度，进一步求解即可求证． 【小问1详解】 解：∵直线l：（其中）， ∴当时，， ∴直线的图象一定经过点， 故选：D 【小问2详解】 解：①若在直线l上， 则：， 解得：（不符合题意） ∴在直线l上， ∴ 解得： ∴直线l的解析式为： ②∵直线l，p，x轴不能围成三角形， ∴或轴或直线和直线的交点在轴上， ∵不等于0， ∴或直线和直线的交点在轴上， 当时，则：， ∴直线p的解析式为：； 当直线和直线的交点在轴上时，令，解得， ∴直线和直线的交点坐标为， ∴，解得， ∴； 综上：直线p的解析式为：或； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了求解一次函数的解析式、一次函数的图象，一元二次方程根与系数的关系、勾股定理等知识点，尤其是第二问综合性较强，得出为一元二次方程的两个根是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期入学考试数学试卷 注意：本练习共3道大题，25道小题，满分120分，时长120分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列选项中，是无理数的是( ) A. B. C. D. 2. 年月日，世界智能产业博览会在天津开幕，展览面积达平方米，创历年之最．将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点是第三象限内一点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数的解析式为，下列说法正确的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 图象经过第二象限 C. 图象与轴交于点 D. 图象与轴交于点 7. 已知一周的周一至周五，某同学的运动时间为34、28、40、36、32分钟，为了让一周7天内的平均活动时间恰好达到40分钟，该同学周六、周日应分别运动（ ）分钟． A. 50，50 B. 45，60 C. 50，60 D. 55，60 8. 如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的斜边经过原点，连接．已知，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”他所著《田亩比类乘除算法》（1275年）提出的这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步．”若设阔为步，则可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在四边形 中，，，点P从点A出发，沿运动到点D．图②是点P运动时，的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（ ） A. 7 B. C. 8 D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 12. 已知，如果，则的取值范围是___________． 13. 已知，则的值为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，若直线，直线相交于点，则关于x的不等式的解集是_____________． 15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 16. 如图，在菱形中，点为边的中点，连接，．若，且，则菱形的边长为________． 三．解答题（共9小题，17，18，19每题6分，20，21每题8分，22，23每题9分24，25每题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 若关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 20. 某校为了解学生的体育健康知识掌握情况，进行相关测试．测试结束后，分别从七年级和八年级参加测试学生的成绩中随机抽取了20名学生的成绩（满分100分），并进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．抽取的七年级学生测试成绩（单位：分）：72，75，78，80，81，82，82，82，83，84，84，85，86，87，88，90，91，93，98，99； b．抽取的八年级学生测试成绩（单位：分）的频数分布直方图，如图所示（数据分为5组：，，，，）： c．抽取的八年级学生测试成绩在这一组的是：85，86，87，85，87，88； d．抽取的七、八年级学生成绩的平均数、中位数、第三四分位数、众数如下： 平均数 中位数 第三四分位数 众数 七年级 85 84 n p 八年级 85 m 91 85 根据以上的信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）表中________，________，________； （3）若七年级学生甲，八年级学生乙的成绩均为85分，则甲，乙两人在本年级中成绩更靠前的是________； （4）此次测试成绩在85分及以上为优秀，若该校七年级参加测试的有180人，八年级参加测试的有200人，估计七、八年级成绩优秀的共有多少人？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A，B两点的坐标． （2）求的面积． （3）若点C在直线上，且，求点C的坐标． 22. 安溪是我国知名铁观音茶叶主产区，制茶产业历史悠久，是全国重要的茶叶产销集散地．已知每千克甲种茶叶进价比每千克乙种茶叶进价少元，且元采购甲种茶叶的重量与元采购乙种茶叶的重量相同． （1）求甲、乙两种茶叶的进价； （2）某茶叶门店计划购进两种铁观音共千克，且甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的，若甲种茶叶按元/千克出售，乙种茶叶按元/千克出售，求商店销售完两种茶叶获得的最大利润为多少元？ 23. 如图，平行四边形中，分别是、的平分线，且E、F分别在边上，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求平行线与间的距离． 24. 新定义：关于的一元二次方程与互为“长雅方程”． （1）根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“长雅方程”（在题后相应的括号中，是打“”，不是打“”）； ①与（ ） ②与（ ） ③与（ ） （2）若关于的一元二次方程：的两实数根为． ①求的值； ②记方程的“长雅方程”为方程是方程的一个实数根，求的值． （3）若关于的一元二次方程与它的“长雅方程”有且只有一个公共实数根，求的值． 25. 已知直线l：（其中）． （1）直线l的图象一定经过点（ ） A． B． C． D． （2）已知第一象限内的三个点，，中恰有两点在直线l上． ①求直线l的解析式； ②设直线p：（其中），且直线l，p，x轴不能围成三角形，求出直线p的解析式； （3）设点，为直线l上的两点，点A为的中点，过点A作垂直直线，垂足为B，连接、，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $