15.3.2 等边三角形-同步练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦等边三角形概念、性质与判定，通过基础辨析-性质应用-综合探究三层设计，实现从单一知识点到多模块融合的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一概念与性质辨析|选择1考查等边三角形定义，填空8直接应用等边三角形性质| |中档层|性质应用与简单推理|填空10开放条件设计，选择7结合垂直平分线性质推理| |综合层|综合探究与多知识点融合|解答20双问递进证明，融合全等与等边三角形判定，培养推理能力|

15.3.2 等边三角形 一、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法不正确的是(    ) A. 有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形 B. 有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形 C. 有两个角互余的三角形是直角三角形 D. 底和腰相等的等腰三角形是等边三角形 2.如图，某飞机在空中点处探测到它的正下方地平面上目标，此时飞行高度，从飞机上看地平面指挥台的俯角，则飞机与指挥台的距离为(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，，，，于点，是的中点，则的长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中的度数是(    ) A. B. C. D. 5.如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，是的中点，，，则的长是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 8.如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路为小路端点和一棵小树为小树位置测得的相关数据为：，，米，则          米． 9.小芳用三个全等的正边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠如图是所拼的这个平面图形的一部分，则           ． 10.如图，在四边形中，，点在线段上，若使成为等边三角形，可增加的一个条件是          ． 11.如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点若，则的长为          ． 12.如图，在中，，，平分，交于点若，则          ． 13.如图，在中，，点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点，若点刚好落在边上，，，则的长为          ． 三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 如图，点，分别是等边三角形边，上的点，且，与交于点求证：． 15.本小题分 如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线于点． 求的度数； 若，求的长． 16.本小题分 如图，在中，． 利用尺规作线段 的垂直平分线，垂足为，交 于点：   保留作图痕迹，不写作法； 若 的周长为，先化简，再求 的值． 17.本小题分 如图，是等边三角形，，分别交，的延长线于点，求证：是等边三角形． 18.本小题分 如图，沙漏是古代的一种计时装置，图是其部分示意图，已知是等边三角形，点，分别在，的延长线上，且求证：是等边三角形． 19.本小题分 如图，在中，，求证：． 20.本小题分 如图，是等边三角形，点，分别在边，上． 若，求证：是等边三角形 若，求证：是等边三角形． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：有两个角是锐角的三角形，第三个角可能是锐角，直角或钝角， 有两个角是锐角的三角形可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形；故A不正确，符合题意； 有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形，故B正确，不符合题意； 有两个角互余的三角形是直角三角形，故C正确，不符合题意； 底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，故D正确，不符合题意； 故选：． 根据直角三角形概念可判断，，由等腰三角形，等边三角形定义可判断，． 本题考查三角形及分类，掌握直角三角形，等腰三角形，等边三角形等概念是解题的关键． 2.【答案】  3.【答案】  【解析】解：，， ， 是的中点，， ， 为等边三角形， ， ， 故选：． 利用三角形的内角和定理可得，由直角三角形斜边的中线性质定理可得，利用等边三角形的性质可得结果． 本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握定理是解答此题的关键． 4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，可得，，又由在中，，，易证得是等边三角形，继而可得，即可求得答案． 【解答】 解：连接，，   的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，  ，， ，， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故选C． 8.【答案】  【解析】解：，， ， 是等边三角形， 米， 米． 故答案为：． 根据等边三角形的判定与性质即可求解． 本题考查了等边三角形的判定与性质，关键是得到是等边三角形． 9.【答案】  10.【答案】答案不唯一  【解析】要使成为等边三角形，可增加的一个条件是答案不唯一． ，． ，． ，， 为等边三角形故答案为答案不唯一． 11.【答案】  12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了对含度角的直角三角形的性质和角的平分线，求出的长是解此题的关键根据角平分线的定义求出，根据含度角的直角三角形性质求出即可得． 【解答】 解：，， ， 平分， ， ． 13.【答案】  14.【答案】证明：为等边三角形， ，， 在和中， ， ≌， ．  15.【答案】【小题】 解：是等边三角形，，， ，，，． 【小题】 ，，是等边三角形． ，，，． 16.【答案】解：如图所示，即为所求；   由题可得，，， 中，， 设，则， 中，， 解得， 的周长， ， 当时，．  【解析】本题主要考查了基本作图以及含度角的直角三角形的性质，解题时注意：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 根据作已知线段的垂直平分线的方法，即可得到线段的垂直平分线； 根据中，，，即可求得的值，最后化简，再求的值． 17.【答案】证明：是等边三角形 ， 是等边三角形  18.【答案】证明：是等边三角形， ． ． ， 是等边三角形．   19.【答案】证明如图，作斜边上的中线， 则直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． ，． 是等边三角形．   20.【答案】【小题】 解：是等边三角形，，又，，，，故是等边三角形。 【小题】 解：是等边三角形，，，又，，即，是有一个内角为的等腰三角形，故是等边三角形。   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $