第2讲 三角形的内角和及外角 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第2讲 三角形的内角和及外角 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版八年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 1. 理解并掌握三角形内角和定理，能进行基础角度计算 1. 掌握三角形外角三条性质，区分相邻、不相邻内角 1. 熟练掌握折叠、角平分线、高线组合模型的角度推导 1. 会识别8字模型、内外角平分线半角模型并会推导 1. 掌握反证法基本步骤，读懂几何新定义题型 1. 能处理三分线、优美三角形、准互余三角形等创新题型 1. 具备综合探究压轴题的分类讨论、模型拆解能力 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.三角形内角和定理 任意三角形三个内角之和等于 。 在中：。 1. 推论1：直角三角形两锐角互余； 1. 推论2：已知两角，求第三个内角；已知角度比例，按份数求各角度。 典型例题（概念辨析）：三角形三个内角之比为3:4:5，判断该三角形是否为直角三角形。 解析：总份数=3+4+5=12，每一份：，三个内角分别为，没有90°，不是直角三角形。 答案：不是直角三角形。 ☆ 2.三角形外角及其性质 三角形的一边与另一边延长线组成的角叫做三角形外角。 1. 性质1：外角 = 与它不相邻的两个内角之和； 1. 性质2：外角大于任意一个不相邻的内角； 1. 性质3：三角形三个外角总和等于 。 ⚠易错点：外角不能加上相邻内角，做题要看清图形位置。 典型例题（概念辨析）：判断命题：“三角形的一个外角等于两个内角的和”是否正确。 解析：错误，缺少限定词“不相邻”，外角等于不相邻两个内角之和。 答案：错误。 ☆ 3.角平分线三大半角模型 1. 两内角平分线交于P： 1. 两外角平分线交于Q： 1. 一内一外角平分线交于E： 提示：选择填空可直接套用公式；解答大题必须写出推导过程，禁止直接默写公式。 典型例题（概念辨析）：△ABC两个外角平分线交于Q，∠A=64°，求∠BQC。 解析：代入两外角平分线模型：。 答案：。 ☆ 4.折叠变换角度模型 折叠前后，对应角度完全相等。 1. 向外翻折： 1. 向内翻折：利用平角建立等式求解； 1. 折叠+A落到边上：结合平行线性质求角度。 典型例题（概念辨析）：△ABC沿直线m翻折，B落到D，∠1−∠2=64°，求∠B。 解析：外折公式，，∠B=。 答案：。 ☆ 5.8字模型（对顶相交三角形） 线段AD、BC相交于O，则有：。 推导来源：对顶角相等，两组三角形内角和都是。常用于凹图形、零件角度计算，可作辅助线构造8字模型。 典型例题（概念辨析）：8字模型，∠A=57°，∠B=35°，∠C=60°，求∠D。 解析：，得∠D=。 答案：。 ☆ 6.高+角平分线组合模型 AE平分∠BAC，AD⊥BC，则： （∠C＞∠B）。 综合题型经常和直角互余、外角性质一起考察。 典型例题（概念辨析）：∠B=46°，∠C=70°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，求∠EAD。 解析：。 答案：。 ☆ 7.反证法证明几何命题 反证法三步： 1. 假设原命题结论不成立； 2. 从假设出发推理，得到和已知公理、定理矛盾； 3. 所以假设错误，原命题成立。 典型命题：求证三角形至少一个内角≤60°。 典型例题（概念辨析）：用反证法证明“三角形至少一个内角≤60°”，第一步假设写什么？ 解析：假设：三角形三个内角全部大于60°。 答案：三角形三个内角全部大于60°。 ☆ 8.几何新定义题型 1. 优美三角形：一个内角是另一个内角的3倍； 1. 准互余三角形：满足； 1. 奇妙互余三角形：满足； 1. 角三分线：把角三等分，区分邻AB三分线、邻BC三分线。 解题思路：读懂定义文字，翻译成角度等式，再结合内角和列方程求解，部分题目需要分类讨论。 典型例题（概念辨析）：准互余三角形∠A=110°，∠A与∠B为准互余角，求∠C。 解析：，。 答案：。 📚知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三角形内角和 适用于任意三角形 三角形外角 外角=不相邻两内角之和 ⚠不可包含相邻内角 两内角平分线交点 大题要写推导，不能直接默写 两外角平分线交点 和内角模型不要记混 一内一外角平分线 高频半角考点 8字模型 线段相交对顶三角形专用 折叠外折角度 区分向内、向外折叠 高+角平分线 ∠C＞∠B条件 反证法 假设结论不成立，推出矛盾 第一步假设不能写错 【考点1】三角形的内角和（第1‑18小题） 1．（2026春•宝安区校级同步）如图，已知△ABC，延长AB到点D，延长AC到点E，BQ平分∠DBC，CQ平分∠BCE，若∠A＝50°，则∠BQC的度数是（　　） A．26° B．34° C．36° D．65° 【分析】先利用三角形内角和求出两个内角之和，再推导出一组外角的和，结合角平分线得到∠QBC与∠QCB的和，最后在△BQC中求出∠BQC． 【解答】解：A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝150°， ∵∠DBC＝180°﹣∠ABC， ∠BCE＝180°﹣∠ACB， ∴∠DBC+∠BCE＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝250°， ∵BQ平分∠DBC，CQ平分∠BCE， ∴， ， ∴， ∠BQC＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）， ∴∠BQC＝180°﹣115°＝65°． 故选：D． 【点评】题目考查了三角形内角和定理，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 2．（2025秋•东川区期末）下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A+∠B＝∠C 【分析】根据三角形内角和定理及直角三角形的定义求解即可． 【解答】解：∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故A不符合题意； ∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C180°＝75°， ∴△ABC不是直角三角形， 故B符合题意； ∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故C不符合题意； ∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 【点评】此题考查了三角形内角和定理，熟记三角形内角和是180°是解题的关键． 3．（2025秋•柯桥区期末）如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1﹣∠2＝64°．则∠B的度数是（　　） A．26° B．28° C．30° D．32° 【分析】设直线m交AB于点F，DF交BC于点E，由翻折得∠D＝∠B，由∠1＝∠BEF+∠B，∠BEF＝∠2+∠D＝∠2+∠B，推导出∠1＝∠2+2∠B，而∠1﹣∠2＝64°，所以∠B＝32°，于是得到问题的答案． 【解答】解：设直线m交AB于点F，DF交BC于点E， ∵将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置， ∴∠D＝∠B， ∵∠1＝∠BEF+∠B，∠BEF＝∠2+∠D＝∠2+∠B， ∴∠1＝∠2+∠B+∠B＝∠2+2∠B， ∵∠1﹣∠2＝64°， ∴2∠B＝∠1﹣∠2＝64°， ∴∠B＝32°， 故选：D． 【点评】此题重点考查翻折变换的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 4．（2026春•市北区期末）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝30°，则∠2的度数为（　　） A．100° B．110° C．125° D．130° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据折叠的性质求出∠C′，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【解答】解：如图， ∵∠A＝65°，∠B＝75°，∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°， ∵将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处， ∴∠C′＝∠C＝40°， ∴∠3＝∠1+∠C′＝70°， ∴∠2＝∠C+∠3＝40°+70°＝110°， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是相关定理的熟练掌握． 5．（2026春•南昌期中）如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，若∠B＝55°，则∠BDF的度数为（　　） A．40° B．50° C．80° D．70° 【分析】根据DE∥BC得出∠ADE＝∠B＝55°，根据折叠可得∠EDF＝∠ADE＝55°，即可求解． 【解答】解：∵DE∥BC，∠B＝55°， ∴∠ADE＝∠B＝55°， ∵△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在BC边上的点F处， ∴∠EDF＝∠ADE＝55°， ∴∠BDF＝180°﹣∠ADE﹣∠EDF＝70°． 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，平行线的性质，熟知三角形内角和是180°是解题的关键． 6．（2025秋•翔安区期末）如图，在△ABC中，AD是高，BE是角平分线，AD，BE相交于点O，∠ABC＝50°，则∠AOB＝ 　115　 °． 【分析】在△ABD中根据三角形内角和定理求出∠BAD的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABO的度数，最后在△AOB中根据三角形内角和定理即可求出∠AOB的度数． 【解答】解：∵AD是高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°， ∵BE是角平分线， ∴∠ABO， 在△AOB中，∠AOB＝180°﹣∠ABO﹣∠BAD＝180°﹣25°﹣40°＝115°， 故答案为：115． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 7．（2025秋•海阳市期末）如图，点D是△ABC内一点，∠BDC＝148°，∠BCD＝∠ABD，则∠ABC 的度数为　32°　 ． 【分析】由三角形内角和定理求出∠BCD+∠CBD＝32°，而∠BCD＝∠ABD，即可得到∠ABC ＝32°． 【解答】解：∵∠BDC＝148°， ∴∠BCD+∠CBD＝180°﹣148°＝32°， ∵∠BCD＝∠ABD， ∴∠ABD+∠CBD＝32°， ∴∠ABC ＝32°． 故答案为：32°． 【点评】本题考查三角形内角和定理，关键是掌握三角形的内角和是180度． 8．（2026春•城关区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．若∠B＝46°，∠C＝70°，则∠EAD＝　12°　 ． 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，由角平分线的定义求出∠CAE的度数，再根据直角三角形的性质求出∠CAD的度数，进而可得出结论． 【解答】解：∵△ABC中，∠B＝46°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣46°﹣70°＝64°， ∵AE平分∠BAC， ∴（角平分线的定义）， ∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝32°﹣20°＝12°． 则∠EAD的度数为12°． 故答案为：12°． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的定义，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键． 9．（2025秋•安徽期末）在△ABC中，已知∠ABC＝64°，∠ACB＝56°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，则∠BHC的度数是　120°　 ． 【分析】根据高线的定义，得到∠BFC＝90°，∠BEC＝90°，三角形的内角和定理求出∠EBC，∠FCB的度数，再利用三角形的内角和定理求出∠BHC的度数即可． 【解答】解：∵BE是AC上的高，CF是AB上的高， ∴∠BFC＝90°，∠BEC＝90°， ∵∠ABC＝64°，∠ACB＝56°， ∴∠BCF＝90°﹣∠ABC＝26°，∠EBC＝90°﹣56°＝34°， ∴∠BHC＝180°﹣∠EBC﹣∠FCB＝180°﹣34°﹣26°＝120°； 故答案为：120°． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，关键是三角形内角和定理的熟练掌握． 10．（2025春•浦东新区校级期中）定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为100°，60°，20°的三角形是“优美三角形”．如图，点D在△ABC的边AB上，连接DC，∠BDC＞90°，作∠ADC的平分线，交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“优美三角形”，则∠B等于　36°　 ． 【分析】由∠EFC+∠DFE＝180°，且∠EFC+∠BDC＝180°，推导出∠DFE＝∠BDC，而∠DEF＝∠B，可证明∠EDC＝∠BCD，则DE∥BC，所以∠ADE＝∠B，由∠ADC的平分线交AC于点E，得∠EDC＝∠ADE，则∠BCD＝∠B，由△BCD是“优美三角形”，∠BDC＞90°，得∠BDC＝3∠B，根据三角形内角和定理得∠B+∠B+3∠B＝180°，求得∠B＝36°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠EFC+∠DFE＝180°，且∠EFC+∠BDC＝180°， ∴∠DFE＝∠BDC， ∵∠DEF＝∠B， ∴∠EDC＝180°﹣∠DFE﹣∠DEF＝180°﹣∠BDC﹣∠B＝∠BCD， ∴DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B， ∵∠ADC的平分线交AC于点E， ∴∠EDC＝∠ADE， ∴∠BCD＝∠B， ∵△BCD是“优美三角形”，∠BDC＞90° ∴∠BDC＝3∠B， ∵∠B+∠BCD+∠BDC＝180°， ∴∠B+∠B+3∠B＝180°， ∴∠B＝36°， 故答案为：36°． 【点评】此题重点考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，推导出∠BCD＝∠B是解题的关键． 11．（2026春•沈阳期中）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝96°，∠BPC＝　114°　 ． 【分析】根据角平分线定理和三角形内角和定理即可解答． 【解答】解：根据邻补角定义得：∠AEP＝180°﹣∠1，∠ADP＝180°﹣∠2， 根据折叠的性质得：∠AED∠AEP＝90°∠1，∠ADE∠ADP＝90°∠2， ∴∠AED+∠ADE＝180°（∠1+∠2）， ∵∠A+∠AED+∠ADE＝180°， ∴∠A+180°（∠1+∠2）＝180°， ∴∠A（∠1+∠2）， ∵∠1+∠2＝96°， ∴∠A＝48°， ∵∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，∠BPC＝90°， ∴∠A＝114°， 故答案为：114°． 【点评】此题主要考查了角平分线定义和三角形内角和定理，掌握定理是解题关键． 12．（2024秋•李沧区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CD，BE是角平分线，它们相交于点F，EG∥BC，CG⊥EG，垂足为G． （1）求∠BFD的度数； （2）求证：∠ADC＝∠GCD． 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠ABC+∠ACB＝90°，由角平分线定义得到∠FBC+∠FCB（∠ABC+∠ACB）＝45°，由三角形外角的性质得到∠BFD＝∠FBC+∠FCB＝45°； （2）由平行线的性质，垂直的定义推出∠BCG＝90°，根据直角三角形的性质及角的和差即可推出∠ADC＝∠DCG． 【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠A＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠FBC∠ABC，∠BCF∠ACB， ∴∠FBC+∠FCB（∠ABC+∠ACB）90°＝45°， ∴∠BFD＝∠FBC+∠FCB＝45°； （2）证明：∵EG∥BC，CG⊥EG， ∴CG⊥BC， ∴∠BCG＝90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵∠ADC+∠ACD＝∠DCG+∠BCD＝90°， ∴∠ADC＝∠DCG． 【点评】本题考查角平分线定义，平行线的性质，关键是由三角形外角的性质推出∠BFD＝∠FBC+∠FCB＝45°． 13．（2025春•金凤区校级期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE是∠CAB的角平分线，交BD于点E，∠AED＝60°，∠CBA＝40°，求∠C的度数． 【分析】先由垂线的定义得到∠ADE＝90°，再由三角形内角和定理得到∠DAE＝30°，则由角平分的定义可得∠CAB＝2∠CAE＝60°，据此由三角形内角和定理可得答案． 【解答】解：∵BD⊥AC， ∴∠ADE＝90°， ∵∠AED＝60°， ∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∵AE是∠CAB的角平分线， ∴∠CAB＝2∠CAE＝2×30°＝60°， ∵∠CBA＝40°， ∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝80°． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的熟练掌握． 14．（2026春•栖霞区期末）证明：三角形中至少有一个内角小于或等于60°． 已知：如图，∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角． 求证：∠A、∠B、∠C中至少有一个角小于或等于60°． 证明：假设　三角形中所有角都大于60°　 所以，　∠A+∠B+∠C＞180°　 ． 这与“　三角形的三内角和为180°　 ”矛盾． 所以，假设不成立，∠A、∠B、∠C中至少有一个角小于或等于60°． 【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立 【解答】证明：假设三角形中所有角都大于60°， ∴∠A+∠B+∠C＞180°， 这与三角形的三内角和为180°相矛盾． ∴假设不成立，∠A、∠B、∠C中至少有一个角小于或等于60°． 故答案为：三角形中所有角都大于60°；∠A+∠B+∠C＞180°；三角形的三内角和为180°． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键． 15．（2026春•盐城月考）如图，AD，BC相交于点O，连接AB，CD． （1）求证：∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）若∠A＝57°，∠B＝35°，∠C＝60°，求∠D的度数． 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠A+∠B＝180°﹣∠AOB，∠C+∠D＝180°﹣∠COD，再由对顶角相等，即可求证； （2）由（1）中的结论解答即可． 【解答】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB，∠C+∠D＝180°﹣∠COD， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D（等量代换）； （2）解：由（1）得：∠A+∠B＝∠C+∠D， ∵∠A＝57°，∠B＝35°，∠C＝60°， ∴57°+35°＝60°+∠D， ∴∠D＝32°， 则∠D的度数为32°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是相关定理的熟练掌握． 16．（2026春•呼和浩特期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠DEC+2∠ECD＝180°． （1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由． （2）若∠FGB＝∠EDC，且∠BFG＝100°，求∠ADC的度数． 【分析】（1）先说明∠ECD＝∠BCD，再说明∠EDC＝∠BCD，利用平行线的判定得结论； （2）利用平行线的性质求出∠BFG＝∠BDC，利用邻补角求出∠ADC即可． 【解答】解：（1）DE与BC平行． 理由：∵CD平分∠ACB， ∴∠ECD＝∠BCD∠ACB， 则2∠ECD＝2∠BCD＝∠ACB， ∵∠DEC+2∠ECD＝180°， ∴∠DEC+∠ACB＝180°， ∴DE∥BC． （2）∵∠FGB＝∠EDC， ∵DE∥BC． ∴∠EDC＝∠BCD， ∴∠FGB＝∠BCD， ∴FG∥CD， ∴∠BFG＝∠BDC＝100°， ∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝80°． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理、平行线的性质和判定，掌握平行线的性质、判定及三角形的内角和定理是解决本题的关键． 17．（2026春•青原区期末）定义：若三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”．例如：在△ABC中，∠B＝100°，∠C＝10°，∠B﹣∠C＝90°，则△ABC为“准互余三角形”，∠C与∠B为“准互余角”． （1）若△ABC为“准互余三角形”，∠A＝110°，∠A和∠B是“准互余角”，求∠C的度数； （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AD平分∠BAC，试说明△ABD是“准互余三角形”． 【分析】（1）由“准互余三角形”的定义得出∠B＝∠A﹣90°运算求解即可； （2）由角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，再由三角形的外角性质得到∠ADB＝∠DAC+∠C＝∠BAD+90°，即可求解． 【解答】解：（1）∵∠B和∠A是“准互余角”， ∴∠B＝110°﹣90°＝20°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣20°﹣110°＝50°； （2）∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵∠C＝90°， ∴∠BDA＝∠C+∠DAC＝∠DAB+90°， ∴∠BDA﹣∠DAB＝90°， ∴△ABD是“准互余三角形”． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 18．（2024秋•吴忠期末）【概念认识】 如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”其中，BD是“邻AB三分线”，BE“邻BC三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，则∠ABE＝　40　 °； （2）如图②，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB“三分线”和∠ACB邻AC“三分线”，且BP⊥CP，求∠A的度数； （3）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB“三分线”和∠ACB邻AC“三分线”，且∠BPC＝x°，求∠A的度数（用含x的式子表示）． 【分析】（1）根据三分线的定义和角的和差关系进行计算即可； （2）根据三角形的内角和定理结合新定义进行求解即可； （3）根据三角形的内角和定理结合新定义进行求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知， ∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝20°+20°＝40°． 故答案为：40； （2）由条件可知∠PBC+∠PCB＝90°． ∵BP，CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线， ∴， ∴， ∴∠ABC+∠ACB＝135°． ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣135°＝45°； （3）∵∠BPC＝x°． ∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣x°． ∵BP，CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握新定义是解题的关键． 【考点2】三角形的外角及其性质（第19‑37小题） 19．（2026春•淄博期末）两根木条A，B按如图所示的方式放在地面上，若∠1＝45°，∠2＝125°，则∠3＝（　　） A．120° B．110° C．100° D．90° 【分析】设∠2和∠3都是△PQR的外角，由∠2＝125°，求得∠PRQ＝180°﹣∠2＝55°，而∠1＝45°，则∠3＝∠PRQ+∠1＝100°，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，∵∠2和∠3都是△PQR的外角，∠2＝125°， ∴∠PRQ＝180°﹣∠2＝55°，∠3＝∠PRQ+∠1， ∵∠1＝45°， ∴∠3＝55°+45°＝100°， 故选：C． 【点评】此题重点考查邻补角的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 20．（2025春•宝山区校级期末）下列说法： ①同位角相等，两直线平行； ②两直线相交形成的四个角中有两对角相等，则这两条直线互相垂直； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④三角形的一个外角等于两个内角的和； ⑤已知同一平面内∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，则∠AOC＝100°． 正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由三角形的外角性质，平行公理，垂直的定义，平行线的判定方法，即可判断． 【解答】解：①同位角相等，两直线平行，正确，故①符合题意； ②两直线相交形成的四个角中，两对对顶角相等，但这两条直线不一定互相垂直，故②不符合题意； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③不符合题意； ④三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故④不符合题意； ⑤若射线OC在∠AOB外部，则∠AOC＝100°，若射线OC在∠AOB内部，则∠AOC＝40°，所以∠AOC＝100°或40°，故⑤不符合题意． ∴正确的个数为1个． 故选：A． 【点评】本题考查三角形的外角性质，平行线的判定，平行公理，垂线，角的计算，关键是掌握三角形的外角性质，平行公理，垂直的定义，平行线的判定方法． 21．（2024春•宿城区校级期中）下列说法中，正确的个数是（　　） ①三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点． ②任意三角形的外角和都是360°． ③三角形的一个外角大于任何一个内角． ④在△ABC中，当∠A＝2∠C，∠B＝3∠C时，这个三角形是直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由三角形的外角性质，三角形内角和定理，三角形的高的定义，即可判断． 【解答】解：①钝角三角形的高有2条在外部，故①不符合题意； ②任意三角形的外角和都是360°，正确，故②符合题意； ③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故③不符合题意； ④在△ABC中，当∠A＝2∠C，∠B＝3∠C时，∠A+∠B+∠C＝180°，求出∠C＝30°，得到∠B＝90°，这个三角形是直角三角形．故④符合题意． ∴正确的个数是2个． 故选：B． 【点评】本题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，三角形的高，掌握以上知识点是解题的关键． 22．（2025秋•思明区校级期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（　　） A．60° B．95° C．85° D．75° 【分析】由CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，得∠ACD＝2∠ACE＝120°，而∠B＝35°，则∠A＝∠ACD﹣∠B＝85°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线， ∴∠DCE＝∠ACE＝60°， ∴∠ACD＝2∠ACE＝120°， ∵∠ACD＝∠A+∠B，且∠B＝35°， ∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝85°， 故选：C． 【点评】此题重点考查角平分线的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出∠A＝∠ACD﹣∠B是解题的关键． 23．（2025秋•福清市期末）如图，∠B＝20°，∠A＝∠C＝40°，则∠CDE的度数为（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 【分析】由三角形的外角性质推出∠BEC＝∠B+∠A＝60°，由三角形的内角和定理即可求出∠CDE的度数．° 【解答】解：∵∠B＝20°，∠A＝40°， ∴∠BEC＝∠B+∠A＝60°， ∵∠C＝40°， ∴∠CDE＝180°﹣∠C﹣∠BEC＝80°． 故选：C． 【点评】本题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，关键是由三角形的外角性质得到∠BEC＝∠B+∠A． 24．（2023春•静安区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．经过一点一定有一条直线与已知直线平行 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 C．三角形的三条高交于一点 D．在三角形的三个外角中至少有两个钝角 【分析】根据平行线的性质，平行公理及推论，三角形外角的性质，三角形的角平分线、中线和高进行判断即可． 【解答】解：A、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项不符合题意； B、如果两条平行的直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补，故本选项不符合题意； C、三角形的三条高所在直线交于一点，故本选项不符合题意； D、因为三角形的内角中至少有两个锐角，所以三角形的三个外角中至少有两个钝角，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查平行线的性质，平行公理及推论，三角形外角的性质，三角形的角平分线、中线和高，正确理解题意是解题的关键． 25．（2023春•奉贤区期末）如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角的平分线，BD、CD交于点D，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BDC的度数是（　　） A． B． C．90+n° D．90﹣n° 【分析】利用三角形内角和定理可得∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，利用角平分线的定义可得∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，从而得到∠A﹣2（180°﹣∠BDC）＝﹣180°，化简即可求解． 【解答】解：∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线， ∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF， ∵∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝180°﹣2∠DBC，∠ACB＝180°﹣2∠DCB， ∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC， ∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°， ∴∠A﹣2（180°﹣∠BDC）＝﹣180°， ∴∠A+2∠BDC＝180°， ∴∠BDC＝90°∠A＝90°， 故选：B． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟记三角形的内角和定理，角平分线的定义． 26．（2024春•光明区月考）如图是速度滑冰运动员比赛时的瞬间，此时摆动的手臂和肩膀形成三角形，A、B和D在同一条直线上，∠B＝73°，∠DAC＝126°，则∠ACB的度数为（　　） A．73° B．53° C．107° D．54° 【分析】根据三角形的外角性质得出∠ACB即可． 【解答】解：∵∠B＝73°，∠DAC＝126°， ∴∠ACB＝∠DAC﹣∠B＝126°﹣73°＝53°， 故选：B． 【点评】此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答． 27．（2026春•玄武区期中）如图，某工人加工一个机器零件，∠E＝40°，∠F＝145°，∠D＝35°，∠A＝60°，则∠B＝　50　 °． 【分析】延长DF交CE于点H，由∠E＝40°，∠DFE＝145°，求得∠FHE＝∠DFE﹣∠E＝105°，则∠CHD＝180°﹣∠FHE＝75°，因为∠A+∠B＝∠BCD＝∠D+∠CHD，且∠D＝35°，∠A＝60°，所以∠B＝∠D+∠CHD﹣∠A＝50°，于是得到问题的答案． 【解答】解：延长DF交CE于点H， ∵∠DFE＝∠E+∠FHE，∠E＝40°，∠DFE＝145°， ∴∠FHE＝∠DFE﹣∠E＝105°， ∴∠CHD＝180°﹣∠FHE＝75°， ∵∠A+∠B＝∠BCD＝∠D+∠CHD，且∠D＝35°，∠A＝60°， ∴∠B＝∠D+∠CHD﹣∠A＝35°+75°﹣60°＝50°， 故答案为：50． 【点评】此题重点考查三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确地添加辅助线是解题的关键． 28．（2026•江门校级开学）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，若∠ABO+∠ACO＝65°，则∠E＝　25°　 ． 【分析】由三角形内角和定理求出∠A＝50°，由三角形的外角性质和角平分线的定义推出∠E∠A＝25°． 【解答】解：∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×65°＝130°， ∴∠A＝180°﹣130°＝50°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠DCE∠ACD， ∵∠DCE＝∠E+∠CBE， ∴∠ACD＝∠E+∠CBE， ∵∠ACD＝∠A+∠ABC， ∴（∠A+∠ABC）＝∠E+∠CBE， ∵∠ABC＝2∠CBE， ∴（∠A+2∠CBE）＝∠E+∠CBE， ∴∠E∠A50°＝25°． 故答案为：25°． 【点评】本题考查三角形的外角性质，角平分线的定义，关键是由三角形的外角性质推出∠E∠A． 29．（2025秋•安顺期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 　75°　 ． 【分析】求出∠ADB＝60°，得到∠CDA＝180°﹣60°＝120°，由三角形的外角性质即可求出∠α的度数． 【解答】解：∵∠ADB＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°， ∴∠CDA＝180°﹣60°＝120°， ∵∠B＝45°， ∴∠α＝∠ADC﹣∠B＝75°． 故答案为：75°． 【点评】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 30．（2026春•淮安区期末）将一副三角板按照如图方式摆放，则∠FBA的度数为 　15°　 ． 【分析】根据题意先得到∠EAD＝45°，再根据三角形的外角性质进行计算即可． 【解答】解：由题意可知∠EAD＝90°﹣45°＝45°， ∴根据三角形外角性质，∠FBA＝∠EAD﹣∠F＝45°﹣30°＝15°， 所以∠FBA的度数为15°． 故答案为：15°． 【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键． 31．（1）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝　122°　 ； （2）如图②，△ABC的内角∠ACB的平分线与外角∠ABD的平分线交于点E．∠A与∠BEC的数量关系为　　 ； （3）如图③，△ABC的外角∠CBM，∠BCN的平分线交于点Q，∠BQC与∠A的数量关系为　∠BQC　 ．若∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝　119　 °，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝　29　 °． 【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义； （2）由角平分线得出，．由三角形外角的性质知∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，根据∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB可得答案； （3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠QBC与∠QCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；结前述结论即可求得． 【解答】解：（1）∵PB、PC 分别平分∠ABC 和∠ACB， ∴，（角平分线的定义）， ∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB） ＝180° ＝180° ＝180° ＝180°﹣90° ＝90° ＝90° ＝122°， 故答案为：122°； （2）∵BE是∠ABD 的平分线，CE是∠ACB的平分线， ∴，， ∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角， ∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC， ∴（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB， 即， ∴； 故答案为：； （3）∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角， ∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC， ∵BQ，CQ分别是∠ABC 与∠ACB外角的平分线， ∴，， ∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°， ∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB ， ∴， 由（1）可知； 由（2）可知，； 故答案为：∠BQC，119，29． 【点评】本题考查了三角形的外角性质、内角和定理、角平分线的定义，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 32．（2024春•丹徒区期末）如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，延长FB和GC交于点H．设∠A＝α，∠H＝β，则α与β之间的数量关系为 　α+2β＝180°　 ． 【分析】根据角平分线定义设∠ABF＝∠DBF＝θ，∠ACG＝∠ECG＝φ，则∠ABD＝2θ，∠CBH＝∠DBF＝θ，∠ACE＝2φ，∠BCH＝∠ECG＝φ，∠ABC＝180°﹣2θ，∠ACB＝180°﹣2φ，在△ABC中由三角形内角和定理得α+180°﹣2θ+180°﹣2φ＝180°，即θ+φ＝90°+1/2α，在Rt△HBC中由三角形内角和定理得β+θ+φ＝180°，据此可得α与β之间的数量关系． 【解答】解：∵BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线， ∴设∠ABF＝∠DBF＝θ，∠ACG＝∠ECG＝φ， 则∠ABD＝2θ，∠CBH＝∠DBF＝θ，∠ACE＝2φ，∠BCH＝∠ECG＝φ， ∴∠ABC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣2θ，∠ACB＝180°﹣∠ACE＝180°﹣2φ， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴α+180°﹣2θ+180°﹣2φ＝180°， 整理得：θ+φ＝90°α， 在Rt△HBC中，∠H+∠CBH+∠BCH＝180°， ∴β+θ+φ＝180°， ∴β+90°α＝180°， 整理得：α+2β＝180°． ∴α与β之间的数量关系为α+2β＝180°． 故答案为：α+2β＝180°． 【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，理解角平分线定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键． 33．（2025秋•东莞市校级期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．若∠B＝42°，∠E＝26°，求∠BAC的度数． 【分析】首先，由三角形外角的性质可得∴∠ECD＝∠B+∠E＝68°，再根据角平分线的定义可知∠ACD＝136°，再利用三角形外角的性质∠BAC＝∠ACD﹣∠B，即可求得结果． 【解答】解：∵∠B＝42°，∠E＝26°， ∴∠ECD＝∠B+∠E＝68°． 由角平分线定义可知∠ACD＝2∠ECD＝2×68°＝136°． ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝136°﹣42°＝94°． 【点评】本题主要考查角的平分线以及三角形外角的性质．熟练掌握以上知识点是关键． 34．（2024春•普陀区期中）如图，已知AE平分∠DAB，∠B＝∠C，说明AE∥BC． 解：因为AE平分∠DAB（已知）， 所以∠DAB＝2∠DAE（角的平分线的意义）， 因为∠DAB＝∠B +∠C （三角形的一个外角等于与它 　不相邻　 的两个内角的和） 又因为∠B＝∠C（已知）， 所以∠DAB＝2∠C （等式性质）， （完成以下说理过程） 【分析】由角平分线的定义可得∠DAB＝2∠DAE，再由三角形的外角性质可得∠DAB＝2∠C，从而求得∠DAE＝∠C，即可判定AE∥BC． 【解答】解：∵AE平分∠DAB（已知）， ∴∠DAB＝2∠DAE（角的平分线的意义）， ∵∠DAB＝∠B+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 又∵∠B＝∠C（已知）， ∴∠DAB＝2∠C（等式性质）， ∴∠DAE＝∠C（等量代换）， ∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：B；C；不相邻；C． 【点评】本题主要考查三角形的外角性质，平行线的判定，解答的关键是结合图形分析清楚各角的关系． 35．（2025秋•夏邑县月考）下面是一道未完成习题，请你将证明过程补充完整． 已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AE是△ABC的外角∠CAD的平分线． 求证：AE∥BC．证明：∵∠CAD是△ABC的外角， ∴∠CAD＝∠B +　∠C ，（三角形外角的性质） ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝　　 ∠CAD，（填数量关系） ∵AE是∠CAD的平分线， ∴∠DAE＝　　 ∠CAD，（填数量关系） ∴∠B＝∠DAE， ∴AE∥BC．（　同位角　 相等，两直线平行） 【分析】根据平行线的判定，外角的性质，角平分线的定义求解即可． 【解答】证明：∵∠CAD是△ABC的外角， ∴∠CAD＝∠B+∠C，（三角形外角的性质）， ∵∠B＝∠C， ∴∠B， ∵AE是∠CAD的平分线， ∴∠DAE， ∴∠B＝∠DAE（等量代换）， ∴AE∥BC．（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：B，∠C；，；同位角． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 36．（2026春•石狮市期末）如图，D是△ABC的边BC上一点，连接AD，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°． （1）求∠BAD的大小； （2）若∠CAD：∠C＝2：3，试说明：AD平分∠BAC． 【分析】（1）由D是△ABC的边BC上一点，∠B＝∠BAD，得∠ADC＝2∠BAD＝80°，则∠BAD＝40°． （2）由∠ADC＝80°，求得∠CAD+∠C＝180°﹣∠ADC＝100°，由∠CAD：∠C＝2：3，得∠C∠CAD，则∠CAD∠CAD＝100°，求得∠CAD＝40°，则∠BAD＝∠CAD，所以AD平分∠BAC． 【解答】解：（1）∵D是△ABC的边BC上一点，∠B＝∠BAD， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠BAD， ∵∠ADC＝80°， ∴2∠BAD＝80°， ∴∠BAD＝40°， ∴∠BAD的度数是40°． （2）∵∠CAD+∠C+∠ADC＝180°，且∠ADC＝80°， ∴∠CAD+∠C＝180°﹣∠ADC＝180°﹣80°＝100°， ∵∠CAD：∠C＝2：3， ∴∠C∠CAD， ∴∠CAD∠CAD＝100°， ∴∠CAD＝40°， 由（1）得∠BAD＝40°， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴AD平分∠BAC． 【点评】此题重点考查三角形的内角和等于180°、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、角平分线的定义等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 37．（2026春•龙岗区期中）已知在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B． 【特例探究】（1）如图（a），AD⊥BC，垂足为D，若∠B＝35°，∠C＝65°，则∠DAE的度数为　15°　 ； 【一般推导】（2）如图（b），点P在线段AE上，过点P作PG⊥BC，垂足为G．请写出∠EPG与∠B，∠C之间的数量关系：　∠EPG∠C∠B ； 【拓展应用】（3）如图（c），在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EP，CP分别平分∠AEC和∠ACM，过点P作PG⊥BC交BC延长线于点G．若∠EAD＝∠CAD，∠CPG（∠B+∠CPE），求∠B的度数． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理及外角的性质进行计算即可； （2）根据三角形的内角和定理及外角的性质进行计算即可； （3）根据三角形的内角和定理及外角的性质进行计算即可． 【解答】解：（1）∵∠B＝35°，∠C＝65°， ∴∠BAC＝180°﹣35°﹣65°＝80°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE∠BAC＝40°． ∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝25°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣25°＝15°． 故答案为：15°； （2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C． ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE∠BAC＝90°∠B∠C， ∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠C＝180°﹣（90°∠B∠C）﹣∠C＝90°∠B∠C． ∵PG⊥BC， ∴∠EPG＝90°﹣∠AEC＝90°﹣（90°∠B∠C）∠C∠B． 故答案为：∠EPG∠C∠B； （3）由上述过程可知，∠EAD∠ACB∠B． ∵∠CAD＝90°﹣∠ACB且∠EAD＝∠CAD， ∴∠ACB∠B＝90°﹣∠ACB， 则∠ACB∠B+60°． ∵CP平分∠ACM， ∴∠PCG∠ACM（180°﹣∠ACB）＝90°∠ACB． ∵PG⊥BC， ∴∠CPG＝90°﹣∠PCG∠ACB． 又∵EP平分∠AEC， ∴∠PEC∠AEC． ∵∠EAC＝∠ACM﹣∠AEC，∠CPE＝∠PCG﹣∠PEC， ∴∠CPE（∠ACM﹣∠AEC）∠EAC． ∵∠EAC∠BAC＝90°∠B∠ACB， ∴∠CPE＝45°∠B∠ACB． ∵∠CPG（∠B+∠CPE）， ∴∠ACB（∠B+45°∠B∠ACB）， ∴∠B+60°）[∠B+45°∠B（∠B+60°）]， 解得∠B＝36°， ∴∠B的度数为36°． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理及外角的性质，熟知三角形的内角和定理及外角的性质是解题的关键． 【考点3】综合探究题（第38‑42小题） 38．（2025秋•松江区校级月考）已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A，B均不与点O重合． （1）如图1，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D． ①若∠BAO＝30°，则∠ADB＝　45　 °． ②在点A，B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠ADB的度数；若变化，请说明理由． （2）如图2，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的平分线AI，∠OAE的平分线AF与∠BOP的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请求出∠ABO的度数． 【分析】（1）①由垂直的定义得∠AOB＝90°，结合∠BAO＝30°，可得∠ABM＝∠AOB+∠BAO＝120°，根据角平分线的定义可得，，最后根据三角形的外角性质即可求解；②设∠BAO＝α，则∠ABM＝90°+α，根据角平分线的定义可得，，最后根据三角形的外角性质即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，，进而得到∠DAF＝∠DAP+∠OAF＝90°，推出∠D+∠F＝90°，根据三角形外角性质可推出∠OBA＝2∠D，然后分两种情况讨论：①当∠DAF＝3∠D时，②当∠F＝3∠D时． 【解答】解：（1）①∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O， ∴∠AOB＝90°， ∵∠BAO＝30°， ∴∠ABM＝∠AOB+∠BAO＝90°+30°＝120°， ∵AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM， ∴，， ∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝60°﹣15°＝45°， 故答案为：45； ②不变，∠ADB＝45°． ∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O， ∴∠BOA＝90°， ∵∠ABM是△ABO的外角，设∠BAO＝α， ∴∠ABM＝∠BAO+∠BOA＝90°+α， ∵AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM， ∴， ， ∴， ∴∠ADB的值不变，且∠ADB＝45°； （2）∵AI平分∠BAO，AF平分∠OAE，OD平分∠BOP， ∴，，， ∴， ∴在Rt△ADF中∠D+∠F＝90°， ∵∠DOP是△ADO的外角，∠BOP是△ABO的外角， ∴；∠OBA＝∠BOP﹣∠BAO， ∴，即∠OBA＝2∠D， ∵一个角是另一角的3倍， ∴由图可知，可分两种情况讨论： ①当∠DAF＝3∠D时， ∵∠DAF＝90°， ∴， ∴∠OBA＝2∠D＝60°； ②当∠F＝3∠D时， ∵∠D+∠F＝90°即4∠D＝90°， ∴∠D＝22.5°， ∴∠OBA＝2∠D＝45°； 综上所述，∠OBA等于60°或45°． 【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关的知识． 39．（2025春•茌平区期末）如图①所示，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则称BD、BE分别为∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”． （1）如图②，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝75°，若∠ABC的邻AB三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝　70　 °； （2）如图③，在△ABC中，BP是∠ABC的邻AB三分线，CP是∠ACB的邻AC三分线，若∠A＝45°，求∠BPC 的度数； （3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角（如图④），∠ABC的三分线与∠ACD的邻AC三分线交于点P，若∠A＝m°，∠ABC＝n°，直接写出∠BPC的度数． （用含m、n的代数式表示） 【分析】（1）求得∠ABD∠ABC＝25°，利用三角形外角的性质即可求得； （2）由题意可知∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，然后利用三角形内角和定理求得即可； （3）分两种情况，利用三角形外角的性质即可求解． 【解答】解：（1）已知∠ABC＝75°， ∵BD是∠ABC的邻AB三分线， ∴∠ABD∠ABC＝25°， ∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠A＝45°， ∴∠BDC＝45°+25°＝70°， 故答案为：70； （2）在△ABC中，根据三角形内角和定理， ∠ABC+∠ACB＝180°﹣45°＝135°， ∵BP是∠ABC的邻AB三分线，CP是∠ACB的邻AC三分线， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB（∠ABC+∠ACB）135°＝90°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣90°＝90°， （3）∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC＝m°+n°， 由于CP是∠ACD的邻AC三分线，有两种情况： 情况一：当BP是邻BC三分线时， ∠PBC∠ABC， ∠PCD∠ACD 根据三角形外角性质，∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC 情况二：当BP是邻AB三分线时， ∠PBC∠ABC， ∠PCD∠ACD， 根据三角形外角性质，∠BPC＝PCD﹣∠PCB， 综上，∠BPC的度数为 或． 【点评】本题以角的“三分线”为背景，对三角形内角和定理以及外角性质进行了深度考查，题目设置由浅入深．熟练掌握三角形内角以及外角性质是解题的关键． 40．（2025春•崇明区校级期末）综合与实践 （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，如果∠A＝70°，那么∠BPC＝　125°　 ． （2）如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试求出∠Q、∠A之间的数量关系　∠Q＝90°∠A ． （3）如图3，延长BP、QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求∠A的度数． 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC 即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC 与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在△BQE 中，由于∠Q＝90°∠A，求出∠E∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝4∠E＝90°；②∠EBQ＝4∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）∵∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝110°， ∵点P是∠ABC 和∠ACB的平分线的交点， ∴∠P＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣55°＝125°， 故答案为：125°； （2）∵外角∠MBC，∠NCB 的角平分线交于点Q， ∴∠CBQ+∠BCQ∠MBC∠BCN（∠MBC+∠BCN）（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）（180°+∠A）＝90°∠A， ∴∠Q＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A． 故答案为：∠Q＝90°∠A； （3）延长BC至F， ∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， ∴CE是△ABC 的外角∠ACF 的平分线， ∴∠ACF＝2∠ECF， ∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC， ∵∠ECF＝∠EBC+∠E， ∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E， 又∵∠ACF＝∠ABC+∠A， ∴∠A＝2∠E，即∠E∠A； ∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ∠ABC∠MBC（∠ABC+∠A∠ACB）＝90°． 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①∠EBQ＝4∠E＝90°，则∠E＝22.5°， ∴∠A＝2∠E＝45°； ②∠EBQ＝4∠Q＝90°，则∠Q＝22.5°，∠E＝67.5°， ∴∠A＝2∠E＝135°； ③∠Q＝4∠E，则5∠E＝90°， ∴∠E＝18°， ∴∠A＝2∠E＝36°； ④∠E＝4∠Q，则∠E＝72°， ∴∠A＝2∠E＝144°； 综上所述，∠A的度数是45°或135°或36°或144°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 41．（2026春•内江期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点E． （1）如图1，若∠A＝70°，求∠E的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，延长AB至点F，∠DBF的平分线与∠ACD平分线的反向延长线相交于点G，求∠G的度数； （3）如图3，若点P为BA的延长线上一动点（不与点A重合），连接PC，∠APC和∠ACP的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，∠Q与∠E是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据角平分线得出，，则，根据∠ACD﹣∠ABC＝70°，即可求解． （2）根据角平分线得出，，则∠EBG＝90°，结合（1）中∠E＝35°，即可求解． （3）根据角平分线得出，，则，结合∠BAC＝∠APC+∠ACP，，即可解答． 【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴，， ∴， ∵∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝70°， ∴． （2）∵BE平分∠ABC，BG平分∠DBF， ∴，， ∴， ∵由（1）知∠E＝35°， ∴∠G＝90°﹣∠E＝55°． （3）∠Q+∠E＝180°，理由如下： ∵PQ平分∠APC，CQ平分∠ACP， ∴，， ∴， ∵∠BAC＝∠APC+∠ACP， ∴， 由（1）可得：， ∴∠Q＝180°﹣∠E， ∴∠Q+∠E＝180°． 【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 42．（2025秋•福州校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是BC，AC上的点，连接DE，∠1＝∠2，∠BAD＝35°，求∠EDC的度数． 【分析】设∠EDC＝x°，∠B＝∠C＝y°，根据∠ADE＝∠AED＝（x+y）°，∠ADC＝∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解． 【解答】解：设∠EDC＝x°，∠B＝∠C＝y°， ∠1＝∠EDC+∠C＝（x+y）°， 又∵∠1＝∠2＝（x+y）， 则∠ADC＝∠2+∠EDC＝2x+y， 又∵∠ADC＝∠B+∠BAD， ∴2x+y＝y+35， 解得x＝17.5， ∴∠EDC的度数是17.5°． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的应用． 随堂检测 · 精选练习 【练习 1】（2025•同安区一模）如图，已知△ABC，点D在BC延长线上，∠A＝60°，∠ACD＝130°，则∠B＝ 　70°　 ． 【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算． 【解答】解：∵∠A＝60°，∠ACD＝130°， ∴∠B＝∠ACD﹣∠A＝70°． 故答案为：70°． 【点评】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 【练习 2】（2025秋•闽清县期末）下列四个条件： ①在△ABC中，∠A，∠B都是锐角； ②△ABC的三个内角的度数之比是1：2：3； ③在△ABC中，∠A﹣∠B＝∠C； ④△ABC的三个外角的度数之比是3：4：5． 其中能确定△ABC是直角三角形的是　②③④　 （只填序号）． 【分析】分别根据三角形外角的性质，三角形的内角和定理判断每个条件是否能确定△ABC为直角三角形即可得出答案． 【解答】解：①∵∠A，∠B都是锐角； ∴∠A+∠B不一定为90°， ∴△ABC不一定为直角三角形；不符合题意； ②∵△ABC的三个内角的度数之比是1：2：3， 设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x， ∴x+2x+3x＝180°， 解得x＝30°， ∴∠C＝3x＝90°， ∴△ABC为直角三角形，符合题意； ③∵∠A﹣∠B＝∠C， ∴∠A＝∠B+∠C， ∴2∠A＝180°， ∴∠A＝90°，符合题意； ④∵△ABC的三个外角的度数之比是3：4：5． 设∠A的外角为3x，则∠B的外角为4x，∠C的外角为5x， ∴∠A＝180°﹣3x，∠B＝180°﹣4x，∠C＝180°﹣5x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴（180°﹣3x）+（180°﹣4x）+（180°﹣5x）＝180°， 解得x＝30°， ∴该三角形的一个内角为∠A＝180°﹣3×30°＝90°， ∴△ABC为直角三角形，符合题意， 故答案为：②③④． 【点评】本题考查的是三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟知以上知识是解题的关键． 【练习 3】（2025秋•潮南区期中）如图，∠B＝20°，∠C＝31°，∠BPC＝123°，求∠A的度数． 【分析】连接AP并延长至点D，利用∠BPD＝∠BAP+∠B，∠CPD＝∠CAP+∠C，得∠BPC＝∠BAP+∠B+∠CAP+∠C＝123°，即∠BAC+∠B+∠C＝123°，代入∠B＝20°，∠C＝31°，即可求解． 【解答】解：如图，连接AP并延长至点D， ∵∠BPC＝∠BPD+∠CPD，∠BPD＝∠BAP+∠B，∠CPD＝∠CAP+∠C， ∴∠BPC＝∠BAP+∠B+∠CAP+∠C＝123°， ∴∠BAC+∠B+∠C＝123°， ∵∠B＝20°，∠C＝31°， ∴∠BAC＝123°﹣∠B﹣∠C＝123°﹣20°﹣31°＝72°，即∠A＝72°． 【点评】本题考查三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【练习 4】（2026春•镇海区校级期中）直线EF分别交平行线AB、CD于点E、F，∠AEF与∠CFE的平分线交于点P，P在EF左侧，过点P作EF的垂线PQ交EF于点Q，点K在射线QP上运动，满足∠QKF＝2∠KFP．若∠EPQ+∠QFK＝60°，则∠KFP＝　40°　 ． 【分析】结合已知条件，通过设未知数，建立方程求解．根据平行线的性质和角平分线的定义，求出∠EPF的度数． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝ 180°（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵EP平分∠AEF，FP平分∠CFE，根据角平分线的定义，可得∠PEF∠AEF，∠PFE∠CFE， ∴∠PEF+∠PFE（∠AEF+∠CFE）x180°＝90°． 在△PEF中，根据三角形内角和定理，可得∠EPF＝ 180°﹣（∠PEF+∠PFE）＝180°﹣90°＝90°， ∵PQ⊥EF， ∴∠PQE＝∠PQF＝90°， 设∠KFP＝x，则∠QKF＝2x， 在RT△QKF中， ∠QFK+∠QKF＝90°， ∴∠QFK＝90°﹣2x， ∵∠EPF＝90°，∠EQP＝90°， ∴∠EPQ+∠QPF＝90°，∠QPF+∠PFQ＝90°， ∴∠EPQ＝∠PFQ，而∠PFQ＝∠PFK+∠QFK＝x+（90°﹣2x）＝90°﹣x， ∵∠EPQ+∠QFK＝60°， ∴90°﹣x+（90°﹣2x）＝60°， 解得：x＝40°， 即∠KFP＝40°． 故答案为：40°． 【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题的关键在于利用平行线的性质和角平分线的定义． 课后巩固 · 针对性练习 复习建议 1. 三大半角模型（两内角、两外角、一内一外平分线），大题必须掌握推导，不可只背公式。 1. 折叠题型，草稿图画图标记相等角，区分向内、向外折叠，不要死记公式脱离图形。 1. 做几何角度计算题，把已知角度标注在草图上，优先判断选用内角和、外角或者8字模型。 1. 新定义题目圈画全部定义条件，转化成数学等式，算出结果检验角度是否符合题意。 1. 错题重点整理：外角误用相邻内角；反证法第一步假设写错；三分线混淆邻边，分类讨论漏解。 【作业 1】（2025秋•香洲区校级期中）在△ABC中，下列条件能确定△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A，∠B都是锐角 B．三个内角度数比为3：4：5 C．∠A﹣∠B＝90° D．三个外角度数比为3：4：5 【分析】根据选项中的要求，选项A、B、C均不能保证有一个角为90°，选项D通过外角比例可计算出有一个内角为90°，从而得到答案． 【解答】解：A、若∠A＝20°，∠B＝30°，显然∠A，∠B都是锐角，而∠C＝130°，则△ABC不是直角三角形，所以此选项错误，不符合题意； B、设三个内角度数分别为3x，4x，5x， 则3x+4x+5x＝12x＝180°， 解得x＝15°， 从而得到三个内角度数为45°，60°，75°，则△ABC不是直角三角形，所以此选项错误，不符合题意； C、∵∠A﹣∠B＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠B+∠C＝90°，若∠B＝∠C＝30°，可知∠A＝120°，则△ABC不是直角三角形，所以此选项错误，不符合题意； D、设三个外角度数分别为3x，4x，5x，则3x+4x+5x＝360°， 整理得，12x＝360°， 解得x＝30°， 从而得到三个外角度数为90°，120°，150°，可得对应内角为90°，60°，30°，则△ABC是直角三角形，所以此选项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质，熟记直角三角形相关判定是解决问题的关键． 【作业 2】（2025秋•薛城区期末）如图为可调节式露营椅的示意图．当各个角度调节至如图所示的位置时体验感最佳，则此时∠ABC的度数是（　　） A．125° B．126° C．127° D．128° 【分析】根据三角形的外角性质及三角形的内角和进行计算即可． 【解答】解：由题知， ∵∠D＝53°，∠E＝49°， ∴∠AOF＝∠DOE＝180°﹣（53°+49°）＝78°． ∵∠A＝35°， ∴∠AFC＝78°+35°＝113°， ∵∠C＝15°， ∴∠ABC＝113°+15°＝128°． 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理及三角形的外角性质，熟知三角形内角和定理及三角形的外角性质是解题的关键． 【作业 3】（2025秋•金安区校级期末）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，∠1+∠2＝100°，则∠A的度数是（　　） A．55° B．50° C．70° D．65° 【分析】由折叠的性质及平角等于180°，可求出∠ADE+∠AED的度数，再在△ADE中，利用三角形内角和定理，即可求出∠A的度数． 【解答】解：根据折叠的性质，可知：∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED， ∵∠1+∠FDE+∠ADE＝180°，∠2+∠FED+∠AED＝180°， ∴∠ADE+∠AED（180°﹣∠1+180°﹣∠2）[360°﹣（∠1+∠2）]（360°﹣100°）＝130°， ∴∠A＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣130°＝50°． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及翻折变换（折叠问题），熟练掌握三角形内角和定理和折叠的性质是解题的关键． 【作业 4】（2025秋•凉州区期末）将一副三角板按如图所示的方式放置．∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠D＝30°，F为DE与BC的交点．若∠DAB＝30°，则∠DFB＝　15°　 ． 【分析】设AB交DE于点H，由∠BHD＝∠DFB+∠B＝∠D+∠DAB，且∠B＝45°，∠D＝30°，∠DAB＝30°，得∠DFB+45°＝30°+30°，则∠DFB＝15°，于是得到问题的答案． 【解答】解：设AB交DE于点H， ∵∠BHD＝∠DFB+∠B，且∠BHD＝∠D+∠DAB， ∴∠DFB+∠B＝∠D+∠DAB， ∵∠B＝45°，∠D＝30°，∠DAB＝30°， ∴∠DFB+45°＝30°+30°， ∴∠DFB＝15°， 故答案为：15°． 【点评】此题重点考查三角形内角和定理及其推论，正确理解和应用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 【作业 5】（2025秋•宿松县期末）如图，∠BAC＝x°，∠B+∠C＝y°，则∠BOC的度数为x°+y°　 ．（用含x°，y°的式子表示） 【分析】由∠BOF＝∠BAO+∠B，∠COF＝∠CAO+∠C，且∠BAO+∠CAO＝∠BAC＝x°，∠B+∠C＝y°，得∠BOC＝∠BOF+∠COF＝∠BAO+∠B+∠CAO+∠C＝x°+y°，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，∵∠BOF＝∠BAO+∠B，∠COF＝∠CAO+∠C， ∴∠BOC＝∠BOF+∠COF＝∠BAO+∠B+∠CAO+∠C， ∵∠BAO+∠CAO＝∠BAC＝x°，∠B+∠C＝y°， ∴∠BOC＝x°+y°， 故答案为：x°+y°． 【点评】此题重点考查三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 【作业 6】（2026春•长安区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝60°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于点E，则∠DAE的度数为　20°　 ． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，根据AD平分∠BAC得出∠BDA的度数，再由AE⊥BC可知∠AEB＝90°，进而可得出∠CAE的度数，据此得出结论． 【解答】解：在△ABC中，∵∠ABC＝20°，∠ACB＝60°，∴∠BAC＝180°﹣20°﹣60°＝100°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD∠BAC100°＝50°，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝50°﹣30°＝20°．故答案为：20°． 【点评】本题主要考查垂线和三角形的内角和定理，解答的关键是利用角的和差关系． 【作业 7】（2025秋•张北县期末）拼装智能生产线时，所需一个零件的形状如图所示，按规定∠1＝20°，∠2比∠3大10°，则∠4的度数应该为　30　 °． 【分析】根据三角形的内角和定理得出∠1+∠2＝∠3+∠4即可解决问题． 【解答】解：如图所示， ∵∠1+∠2+∠5＝180°，∠3+∠4+∠6＝180°，且∠5＝∠6， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4， 则∠4＝∠1+∠2﹣∠3． ∵∠1＝20°，∠2比∠3大10°， ∴∠4＝20°+10°＝30°． 故答案为：30． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，熟知三角形的内角和定理是解题的关键． 【作业 8】（2024秋•达日县期末）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A＝70°，CE平分∠ACB交BD于点E，∠BEC＝115°，求∠ABC的度数． 【分析】先由三角形的外角定理得∠ACE＝∠BEC﹣∠BDC＝25°，再根据角平分线的定义得∠ACB＝50°，然后根据三角形的内角和定理可求出∠ABC的度数． 【解答】解：∵BD是AC边上的高， ∴∠BDC＝90°， ∵∠BEC＝∠BDC+∠ACE， ∴∠ACE＝∠BEC﹣∠BDC＝115°﹣90°＝25°， ∵CE平分∠ACB ∴∠ACB＝2∠ACE＝50°， ∵∠ABC＝180°﹣（∠A+∠ACB）＝180°﹣（70°+50°）＝60°． 【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高，角平分线，熟练掌握三角形的内角和定理，理解三角形的高，角平分线是解决问题的关键． 【作业 9】（2025春•徐汇区校级期中）如图，已知在△ABC中，∠A＝32°，BE平分∠ABC，ED⊥BC于点D，若∠DEB＝28°，求∠C的度数． 【分析】根据ED⊥BC可得∠DBE的度数，根据角平分线的性质求出∠CBA的度数，最后根据三角形内角和可求解． 【解答】解：∵ED⊥BC，∠DEB＝28°， ∴∠DBE＝180°﹣90°﹣28°＝62°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠DBE＝∠ABE＝62°， ∴∠C＝180°﹣62°﹣62°﹣32°＝24°． 【点评】本题主要考查了三角形内角和和角平分线的性质，掌握以上性质是解题的关键． 【作业 10】（2025春•浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE是∠CAB的角平分线，交BD于点E，∠AEB＝120°，∠CBA＝40°，求∠C的度数． 解：∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°（　垂线的定义　 ） ∵∠AEB＝120°，∠AEB＝∠ADB+∠DAE（　三角形的外角性质　 ）， ∴∠DAE＝　30°　 ， ∵AE是∠CAB的角平分线， ∴∠DAB＝2∠DAE ＝　60°　 ， ∵∠C+∠CAB+∠CBA＝180°（　三角形内角和定理　 ），∠CBA＝40°， ∴∠C＝　80°　 ． 【分析】由BD⊥AC，可得出∠ADB＝90°，利用三角形的外角性质，可求出∠DAE的度数，结合角平分线的定义，可求出∠DAB的度数，再利用三角形内角和定理，即可求出∠C的度数． 【解答】解：∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°（垂线的定义） ∵∠AEB＝120°，∠AEB＝∠ADB+∠DAE（三角形的外角性质）， ∴∠DAE＝30°， ∵AE是∠CAB的角平分线， ∴∠DAB＝2∠DAE＝60°， ∵∠C+∠CAB+∠CBA＝180°（三角形内角和定理），∠CBA＝40°， ∴∠C＝80°． 故答案为：垂线的定义，三角形的外角性质，30°，DAE，60°，三角形内角和定理，80°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、垂线以及三角形的外角性质，牢记“三角形内角和是180°”及“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 【作业 11】（2025春•浦东新区期中）已知：如图，D为△ABC的BC边上一点，DE⊥AC于点E，∠AGF＝∠ABC，且∠1+∠2＝180°，若∠3＝35°，求∠C的度数？ 【分析】运用同位角相等，两直线平行可得GF∥BC，有两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠3，根据同旁内角互补，两直线平行可得BF∥DE，根据垂直的性质可得∠BFC＝90°，由直角三角形两锐角互余即可求解． 【解答】解：∵∠AGF＝∠ABC， ∴GF∥BC， ∴∠1＝∠3， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠2+∠3＝180°， ∴BF∥DE， ∵DE⊥AC， ∴BF⊥AC， ∴∠BFC＝90°， 在Rt△BCF中，∠C＝90°﹣∠3＝90°﹣35°＝55°． 【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，直角三角形两锐角互余，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【作业 12】（2024春•嘉定区期末）阅读理解概念：如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”． 完成以下问题： （1）填空： ①若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝　15°　 ； ②若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝40°，则∠C＝　115°或130°　 ； （2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，请说明△ABD是“奇妙互余三角形”的理由． （3）在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝42°，点P是射线CB上的一点，且△ABP是“奇妙互余三角形”，请直接写出∠APC的度数． 【分析】（1）①根据“奇妙互余三角形”的定义，列出含有α，β的方程，求出α，β，从而求出∠B； ②根据“奇妙互余三角形”的定义，列出含有α，β的方程，求出α，β，从而求出∠B，再根据三角形内角和定理求出∠C即可； （2）根据直角三角形的性质证明∠ABC+∠A＝90°，再根据BD是△ABC的角平分线，证明∠ABC与∠ABD的数量关系，根据“奇妙互余三角形”的定义可得答案； （3）分两种情况讨论：当点P在线段BC上时和点P在线段CB的延长线上时，分别画出图形，根据“奇妙互余三角形”的定义求出答案即可． 【解答】解：（1）①∵△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°， ∴α，β只能是∠A和∠B， ∵2α+β＝90°，∠A＝60°， ∴2α+60°＝90°或2×60°+β＝90°， 解得：α＝15°，β＝﹣30（不合题意舍去）， ∴∠B＝15°， 故答案为：15°； ②∵△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°， ∴α，β只能是∠A和∠B， ∵2α+β＝90°，∠A＝40°， ∴2α+40°＝90°或2×40°+β＝90°， 解得：α＝25°，β＝10°（不合题意舍去）， ∴∠B＝25°或10°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝115°或130°， 故答案为：115°或130°； （2）△ABD是“奇妙互余三角形”的理由如下： ∵在△ABC中，∠C＝90°， ∴∠ABC+∠A＝90°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABC＝2∠ABD， ∴2∠ABD+∠A＝90°， ∴△ABD是“奇妙互余三角形”； （3）如图，当点P在线段BC上时，此时∠APB＞90°， ∵△ABP是“奇妙互余三角形”， ∴2∠BAP+∠ABP＝90°或∠BAP+2∠ABP＝90°， 即2∠BAP+42°＝90°或∠BAP+2×42°＝90°， 解得：∠BAP＝24°或6°， ∴∠APC＝∠BAP+∠ABP＝66°或48°； 当点P在线段CB的延长线上时，∠APB＜90°，如图所示： ， 此时∠ABC＝∠BAP+∠APC＝42°， ∵△ABP是“奇妙互余三角形”， ∴2∠BAP+∠APB＝90°或∠BAP+2∠APB＝90°， 解得：∠BAP＝48°或﹣6°（不合题意舍去）， ∴∠APC＝∠ABC﹣∠BAP＝﹣6°（不符合题意舍去）； 综上可知：∠APC的度数为66°或48°． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和互为余角的定义，解题关键是理解已知条件中的新定义和正确识别图形，理解角与角之间的关系． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 三角形的内角和及外角 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版八年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 1. 理解并掌握三角形内角和定理，能进行基础角度计算 1. 掌握三角形外角三条性质，区分相邻、不相邻内角 1. 熟练掌握折叠、角平分线、高线组合模型的角度推导 1. 会识别8字模型、内外角平分线半角模型并会推导 1. 掌握反证法基本步骤，读懂几何新定义题型 1. 能处理三分线、优美三角形、准互余三角形等创新题型 1. 具备综合探究压轴题的分类讨论、模型拆解能力 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.三角形内角和定理 任意三角形三个内角之和等于 。 在中：。 1. 推论1：直角三角形两锐角互余； 1. 推论2：已知两角，求第三个内角；已知角度比例，按份数求各角度。 典型例题（概念辨析）：三角形三个内角之比为3:4:5，判断该三角形是否为直角三角形。 解析：总份数=3+4+5=12，每一份：，三个内角分别为，没有90°，不是直角三角形。 答案：不是直角三角形。 ☆ 2.三角形外角及其性质 三角形的一边与另一边延长线组成的角叫做三角形外角。 1. 性质1：外角 = 与它不相邻的两个内角之和； 1. 性质2：外角大于任意一个不相邻的内角； 1. 性质3：三角形三个外角总和等于 。 ⚠易错点：外角不能加上相邻内角，做题要看清图形位置。 典型例题（概念辨析）：判断命题：“三角形的一个外角等于两个内角的和”是否正确。 解析：错误，缺少限定词“不相邻”，外角等于不相邻两个内角之和。 答案：错误。 ☆ 3.角平分线三大半角模型 1. 两内角平分线交于P： 1. 两外角平分线交于Q： 1. 一内一外角平分线交于E： 提示：选择填空可直接套用公式；解答大题必须写出推导过程，禁止直接默写公式。 典型例题（概念辨析）：△ABC两个外角平分线交于Q，∠A=64°，求∠BQC。 解析：代入两外角平分线模型：。 答案：。 ☆ 4.折叠变换角度模型 折叠前后，对应角度完全相等。 1. 向外翻折： 1. 向内翻折：利用平角建立等式求解； 1. 折叠+A落到边上：结合平行线性质求角度。 典型例题（概念辨析）：△ABC沿直线m翻折，B落到D，∠1−∠2=64°，求∠B。 解析：外折公式，，∠B=。 答案：。 ☆ 5.8字模型（对顶相交三角形） 线段AD、BC相交于O，则有：。 推导来源：对顶角相等，两组三角形内角和都是。常用于凹图形、零件角度计算，可作辅助线构造8字模型。 典型例题（概念辨析）：8字模型，∠A=57°，∠B=35°，∠C=60°，求∠D。 解析：，得∠D=。 答案：。 ☆ 6.高+角平分线组合模型 AE平分∠BAC，AD⊥BC，则： （∠C＞∠B）。 综合题型经常和直角互余、外角性质一起考察。 典型例题（概念辨析）：∠B=46°，∠C=70°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，求∠EAD。 解析：。 答案：。 ☆ 7.反证法证明几何命题 反证法三步： 1. 假设原命题结论不成立； 2. 从假设出发推理，得到和已知公理、定理矛盾； 3. 所以假设错误，原命题成立。 典型命题：求证三角形至少一个内角≤60°。 典型例题（概念辨析）：用反证法证明“三角形至少一个内角≤60°”，第一步假设写什么？ 解析：假设：三角形三个内角全部大于60°。 答案：三角形三个内角全部大于60°。 ☆ 8.几何新定义题型 1. 优美三角形：一个内角是另一个内角的3倍； 1. 准互余三角形：满足； 1. 奇妙互余三角形：满足； 1. 角三分线：把角三等分，区分邻AB三分线、邻BC三分线。 解题思路：读懂定义文字，翻译成角度等式，再结合内角和列方程求解，部分题目需要分类讨论。 典型例题（概念辨析）：准互余三角形∠A=110°，∠A与∠B为准互余角，求∠C。 解析：，。 答案：。 📚知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三角形内角和 适用于任意三角形 三角形外角 外角=不相邻两内角之和 ⚠不可包含相邻内角 两内角平分线交点 大题要写推导，不能直接默写 两外角平分线交点 和内角模型不要记混 一内一外角平分线 高频半角考点 8字模型 线段相交对顶三角形专用 折叠外折角度 区分向内、向外折叠 高+角平分线 ∠C＞∠B条件 反证法 假设结论不成立，推出矛盾 第一步假设不能写错 核心考点 ·典型考点精讲 【考点1】三角形的内角和（第1‑18小题） 1．（2026春•宝安区校级同步）如图，已知△ABC，延长AB到点D，延长AC到点E，BQ平分∠DBC，CQ平分∠BCE，若∠A＝50°，则∠BQC的度数是（　　） A．26° B．34° C．36° D．65° 2．（2025秋•东川区期末）下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A+∠B＝∠C 3．（2025秋•柯桥区期末）如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1﹣∠2＝64°．则∠B的度数是（　　） A．26° B．28° C．30° D．32° 4．（2026春•市北区期末）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝30°，则∠2的度数为（　　） A．100° B．110° C．125° D．130° 5．（2026春•南昌期中）如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，若∠B＝55°，则∠BDF的度数为（　　） A．40° B．50° C．80° D．70° 6．（2025秋•翔安区期末）如图，在△ABC中，AD是高，BE是角平分线，AD，BE相交于点O，∠ABC＝50°，则∠AOB＝ ________ °． 7．（2025秋•海阳市期末）如图，点D是△ABC内一点，∠BDC＝148°，∠BCD＝∠ABD，则∠ABC 的度数为________ ． 8．（2026春•城关区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．若∠B＝46°，∠C＝70°，则∠EAD＝________ ． 9．（2025秋•安徽期末）在△ABC中，已知∠ABC＝64°，∠ACB＝56°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，则∠BHC的度数是_________ ． 10．（2025春•浦东新区校级期中）定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为100°，60°，20°的三角形是“优美三角形”．如图，点D在△ABC的边AB上，连接DC，∠BDC＞90°，作∠ADC的平分线，交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“优美三角形”，则∠B等于________ ． 11．（2026春•沈阳期中）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝96°，∠BPC＝_________ ． 12．（2024秋•李沧区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CD，BE是角平分线，它们相交于点F，EG∥BC，CG⊥EG，垂足为G． （1）求∠BFD的度数； （2）求证：∠ADC＝∠GCD． 13．（2025春•金凤区校级期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE是∠CAB的角平分线，交BD于点E，∠AED＝60°，∠CBA＝40°，求∠C的度数． 14．（2026春•栖霞区期末）证明：三角形中至少有一个内角小于或等于60°． 已知：如图，∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角． 求证：∠A、∠B、∠C中至少有一个角小于或等于60°． 证明：假设__________________ 所以，__________________ ． 这与“__________________ ”矛盾． 所以，假设不成立，∠A、∠B、∠C中至少有一个角小于或等于60°． 15．（2026春•盐城月考）如图，AD，BC相交于点O，连接AB，CD． （1）求证：∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）若∠A＝57°，∠B＝35°，∠C＝60°，求∠D的度数． 16．（2026春•呼和浩特期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠DEC+2∠ECD＝180°． （1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由． （2）若∠FGB＝∠EDC，且∠BFG＝100°，求∠ADC的度数． 17．（2026春•青原区期末）定义：若三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”．例如：在△ABC中，∠B＝100°，∠C＝10°，∠B﹣∠C＝90°，则△ABC为“准互余三角形”，∠C与∠B为“准互余角”． （1）若△ABC为“准互余三角形”，∠A＝110°，∠A和∠B是“准互余角”，求∠C的度数； （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AD平分∠BAC，试说明△ABD是“准互余三角形”． 18．（2024秋•吴忠期末）【概念认识】 如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”其中，BD是“邻AB三分线”，BE“邻BC三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，则∠ABE＝_______ °； （2）如图②，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB“三分线”和∠ACB邻AC“三分线”，且BP⊥CP，求∠A的度数； （3）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB“三分线”和∠ACB邻AC“三分线”，且∠BPC＝x°，求∠A的度数（用含x的式子表示）． 【考点2】三角形的外角及其性质（第19‑37小题） 19．（2026春•淄博期末）两根木条A，B按如图所示的方式放在地面上，若∠1＝45°，∠2＝125°，则∠3＝（　　） A．120° B．110° C．100° D．90° 20．（2025春•宝山区校级期末）下列说法： ①同位角相等，两直线平行； ②两直线相交形成的四个角中有两对角相等，则这两条直线互相垂直； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④三角形的一个外角等于两个内角的和； ⑤已知同一平面内∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，则∠AOC＝100°． 正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（2024春•宿城区校级期中）下列说法中，正确的个数是（　　） ①三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点． ②任意三角形的外角和都是360°． ③三角形的一个外角大于任何一个内角． ④在△ABC中，当∠A＝2∠C，∠B＝3∠C时，这个三角形是直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 22．（2025秋•思明区校级期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（　　） A．60° B．95° C．85° D．75° 23．（2025秋•福清市期末）如图，∠B＝20°，∠A＝∠C＝40°，则∠CDE的度数为（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 24．（2023春•静安区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．经过一点一定有一条直线与已知直线平行 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 C．三角形的三条高交于一点 D．在三角形的三个外角中至少有两个钝角 25．（2023春•奉贤区期末）如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角的平分线，BD、CD交于点D，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BDC的度数是（　　） A． B． C．90+n° D．90﹣n° 26．（2024春•光明区月考）如图是速度滑冰运动员比赛时的瞬间，此时摆动的手臂和肩膀形成三角形，A、B和D在同一条直线上，∠B＝73°，∠DAC＝126°，则∠ACB的度数为（　　） A．73° B．53° C．107° D．54° 27．（2026春•玄武区期中）如图，某工人加工一个机器零件，∠E＝40°，∠F＝145°，∠D＝35°，∠A＝60°，则∠B＝_______ °． 28．（2026•江门校级开学）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，若∠ABO+∠ACO＝65°，则∠E＝________ ． 29．（2025秋•安顺期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 ________ ． 30．（2026春•淮安区期末）将一副三角板按照如图方式摆放，则∠FBA的度数为 ________ ． 31．（1）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝_________ ； （2）如图②，△ABC的内角∠ACB的平分线与外角∠ABD的平分线交于点E．∠A与∠BEC的数量关系为____________________ ； （3）如图③，△ABC的外角∠CBM，∠BCN的平分线交于点Q，∠BQC与∠A的数量关系为____________________ ．若∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝________ °，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝_______ °． 32．（2024春•丹徒区期末）如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，延长FB和GC交于点H．设∠A＝α，∠H＝β，则α与β之间的数量关系为 ______________ ． 33．（2025秋•东莞市校级期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．若∠B＝42°，∠E＝26°，求∠BAC的度数． 34．（2024春•普陀区期中）如图，已知AE平分∠DAB，∠B＝∠C，说明AE∥BC． 解：因为AE平分∠DAB（已知）， 所以∠DAB＝2∠DAE（角的平分线的意义）， 因为∠DAB＝∠_____ +∠_____ （三角形的一个外角等于与它 ________ 的两个内角的和） 又因为∠B＝∠C（已知）， 所以∠DAB＝2∠_____ （等式性质）， （完成以下说理过程） 35．（2025秋•夏邑县月考）下面是一道未完成习题，请你将证明过程补充完整． 已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AE是△ABC的外角∠CAD的平分线． 求证：AE∥BC．证明：∵∠CAD是△ABC的外角， ∴∠CAD＝∠_____ +_______ ，（三角形外角的性质） ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝__________________ ∠CAD，（填数量关系） ∵AE是∠CAD的平分线， ∴∠DAE＝__________________ ∠CAD，（填数量关系） ∴∠B＝∠DAE， ∴AE∥BC．（________ 相等，两直线平行） 36．（2026春•石狮市期末）如图，D是△ABC的边BC上一点，连接AD，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°． （1）求∠BAD的大小； （2）若∠CAD：∠C＝2：3，试说明：AD平分∠BAC． 37．（2026春•龙岗区期中）已知在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B． 【特例探究】（1）如图（a），AD⊥BC，垂足为D，若∠B＝35°，∠C＝65°，则∠DAE的度数为________ ； 【一般推导】（2）如图（b），点P在线段AE上，过点P作PG⊥BC，垂足为G．请写出∠EPG与∠B，∠C之间的数量关系：____________________ ； 【拓展应用】（3）如图（c），在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EP，CP分别平分∠AEC和∠ACM，过点P作PG⊥BC交BC延长线于点G．若∠EAD＝∠CAD，∠CPG（∠B+∠CPE），求∠B的度数． 【考点3】综合探究题（第38‑42小题） 38．（2025秋•松江区校级月考）已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A，B均不与点O重合． （1）如图1，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D． ①若∠BAO＝30°，则∠ADB＝_______ °． ②在点A，B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠ADB的度数；若变化，请说明理由． （2）如图2，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的平分线AI，∠OAE的平分线AF与∠BOP的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请求出∠ABO的度数． 39．（2025春•茌平区期末）如图①所示，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则称BD、BE分别为∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”． （1）如图②，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝75°，若∠ABC的邻AB三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝_______ °； （2）如图③，在△ABC中，BP是∠ABC的邻AB三分线，CP是∠ACB的邻AC三分线，若∠A＝45°，求∠BPC 的度数； （3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角（如图④），∠ABC的三分线与∠ACD的邻AC三分线交于点P，若∠A＝m°，∠ABC＝n°，直接写出∠BPC的度数． （用含m、n的代数式表示） 40．（2025春•崇明区校级期末）综合与实践 （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，如果∠A＝70°，那么∠BPC＝_________ ． （2）如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试求出∠Q、∠A之间的数量关系____________________ ． （3）如图3，延长BP、QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求∠A的度数． 41．（2026春•内江期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点E． （1）如图1，若∠A＝70°，求∠E的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，延长AB至点F，∠DBF的平分线与∠ACD平分线的反向延长线相交于点G，求∠G的度数； （3）如图3，若点P为BA的延长线上一动点（不与点A重合），连接PC，∠APC和∠ACP的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，∠Q与∠E是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由． 42．（2025秋•福州校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是BC，AC上的点，连接DE，∠1＝∠2，∠BAD＝35°，求∠EDC的度数． 随堂检测 · 精选练习 【练习 1】（2025•同安区一模）如图，已知△ABC，点D在BC延长线上，∠A＝60°，∠ACD＝130°，则∠B＝ ________ ． 【练习 2】（2025秋•闽清县期末）下列四个条件： ①在△ABC中，∠A，∠B都是锐角； ②△ABC的三个内角的度数之比是1：2：3； ③在△ABC中，∠A﹣∠B＝∠C； ④△ABC的三个外角的度数之比是3：4：5． 其中能确定△ABC是直角三角形的是________ （只填序号）． 【练习 3】（2025秋•潮南区期中）如图，∠B＝20°，∠C＝31°，∠BPC＝123°，求∠A的度数． 【练习 4】（2026春•镇海区校级期中）直线EF分别交平行线AB、CD于点E、F，∠AEF与∠CFE的平分线交于点P，P在EF左侧，过点P作EF的垂线PQ交EF于点Q，点K在射线QP上运动，满足∠QKF＝2∠KFP．若∠EPQ+∠QFK＝60°，则∠KFP＝________ ． 课后巩固 · 针对性练习 【作业 1】（2025秋•香洲区校级期中）在△ABC中，下列条件能确定△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A，∠B都是锐角 B．三个内角度数比为3：4：5 C．∠A﹣∠B＝90° D．三个外角度数比为3：4：5 【作业 2】（2025秋•薛城区期末）如图为可调节式露营椅的示意图．当各个角度调节至如图所示的位置时体验感最佳，则此时∠ABC的度数是（　　） A．125° B．126° C．127° D．128° 【作业 3】（2025秋•金安区校级期末）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，∠1+∠2＝100°，则∠A的度数是（　　） A．55° B．50° C．70° D．65° 【作业 4】（2025秋•凉州区期末）将一副三角板按如图所示的方式放置．∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠D＝30°，F为DE与BC的交点．若∠DAB＝30°，则∠DFB＝________ ． 【作业 5】（2025秋•宿松县期末）如图，∠BAC＝x°，∠B+∠C＝y°，则∠BOC的度数为__________ ．（用含x°，y°的式子表示） 【作业 6】（2026春•长安区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝60°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于点E，则∠DAE的度数为________ ． 【作业 7】（2025秋•张北县期末）拼装智能生产线时，所需一个零件的形状如图所示，按规定∠1＝20°，∠2比∠3大10°，则∠4的度数应该为_______ °． 【作业 8】（2024秋•达日县期末）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A＝70°，CE平分∠ACB交BD于点E，∠BEC＝115°，求∠ABC的度数． 【作业 9】（2025春•徐汇区校级期中）如图，已知在△ABC中，∠A＝32°，BE平分∠ABC，ED⊥BC于点D，若∠DEB＝28°，求∠C的度数． 【作业 10】（2025春•浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE是∠CAB的角平分线，交BD于点E，∠AEB＝120°，∠CBA＝40°，求∠C的度数． 解：∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°（__________ ） ∵∠AEB＝120°，∠AEB＝∠ADB+∠DAE（_____________ ）， ∴∠DAE＝________ ， ∵AE是∠CAB的角平分线， ∴∠DAB＝2∠________ ＝________ ， ∵∠C+∠CAB+∠CBA＝180°（_____________ ），∠CBA＝40°， ∴∠C＝________ ． 【作业 11】（2025春•浦东新区期中）已知：如图，D为△ABC的BC边上一点，DE⊥AC于点E，∠AGF＝∠ABC，且∠1+∠2＝180°，若∠3＝35°，求∠C的度数？ 【作业 12】（2024春•嘉定区期末）阅读理解概念：如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”． 完成以下问题： （1）填空： ①若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝________ ； ②若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝40°，则∠C＝______________ ； （2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，请说明△ABD是“奇妙互余三角形”的理由． （3）在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝42°，点P是射线CB上的一点，且△ABP是“奇妙互余三角形”，请直接写出∠APC的度数． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $