第1讲 三角形的概念及有关线段 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第1讲 三角形的概念及有关线段 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版八年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解三角形的定义与两种分类方式（按角、按边）。 · 掌握三角形三边关系定理，会判断三条线段能否构成三角形，求解边长取值范围。 · 认识三角形的中线、角平分线、高，理解各自定义与几何性质。 · 能利用中线等分面积、三边不等关系证明几何不等式。 · 识别“倍长三角形”“特征三角形”等新定义题型，掌握分类讨论解题思路。 · 能处理三角形综合计算，包括周长、角度、面积的简单综合问题。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 三角形概念与分类 典型例题（讲义第1题）：在△ABC中，若∠A＝89°，则△ABC是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 解析： ∠A=89°仅说明∠A是锐角，另外两个内角可以：①全为锐角（锐角三角形）；②一个90°（直角三角形）；③一个大于90°（钝角三角形）。答案选D。 · 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。 · 按角分类 2. 锐角三角形：三个内角都小于90°； 2. 直角三角形：有一个内角等于90°； 2. 钝角三角形：有一个内角大于90°。 · 按边分类 · 不等边三角形：三边长度互不相等； · 等腰三角形：至少两条边相等；等边三角形是特殊的等腰三角形。 · 图形计数：连接三角形各边中点，第n个图形三角形个数：。 ☆ 2. 三角形三边关系 典型例题（讲义第8题）：三角形两边长2和5，第三边为奇数，求周长。 解析： 设第三边为x，由三边关系 ，得。奇数可取。周长。 · 定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 · 简化判断：取较短两条线段之和，若大于最长线段，就可以构成三角形。 · 若两边为m、n（m>n），第三边x取值范围：。 · 新定义题型：倍长三角形（一边是另一边2倍）、特征三角形（特征边m，另一边2m），做完要回代检验三边关系。 · 三角形内一点P不等式证明： 。 · 化简含三角形边长的绝对值：利用两边之和大于第三边，判断绝对值内正负再去绝对值。 ☆ 3. 三角形的中线、角平分线、高 典型例题（讲义第21题）：AD是△ABC中线，△ABD周长28cm，AB比AC长6cm，求△ACD周长。 解析： AD是中线 。两三角形周长之差 。△ACD周长。 · 中线：顶点到对边中点的线段。性质：①把对边平分；②把三角形分成面积相等两部分。 · 角平分线：内角平分线交对边的线段。平分对应内角。 · 高：从顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点到垂足之间线段。 3. 锐角三角形三条高在内部；直角三角形两条高就是直角边；钝角三角形有两条高在三角形外部。 · 交点：三条中线交于重心；三条角平分线交于内心；三条高所在直线交于垂心。 · 中线周长差题型：公共边AD，BD=DC ⇒周长差等于AB与AC的差。 ☆知识总结表 概念 定义 核心注意事项 三角形按边分类 不等边、等腰（等边属于等腰） 等边不能和等腰并列作为独立大类 三边关系 等于时三点共线，不能构成三角形 中线 顶点到对边中点线段 等分边长，等分面积 角平分线 平分三角形内角的线段 是线段，不是射线 高 顶点向对边作垂线段 钝角三角形部分高在图形外面 核心考点 ·典型考点精讲 【考点1】三角形概念与分类（第15题） 1．（2025春•上海校级月考）在△ABC中，若∠A＝89°，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 2．（2025秋•扶绥县校级月考）下列分类正确的是（　　） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 3．（2026春•天府新区校级期中）现有4根木条、长度分别为（单位：cm）：2、3、5、6，从中取出三根连成一个三角形，则这三根木条的长度可以为________________ ．（任写一种即可） 4．（2023秋•宝山区期末）如图，在一张足够大的纸上画△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°，∠B＝53°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm．为了在这个三角形边上贴上装饰，用半径为1cm的圆形固体胶棒在△ABC外侧紧贴边移动一圈，那么胶棒涂过的面积为 __________ cm2．（结果保留π） 5．（2020秋•贺兰县期末）图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③． （1）图②有_____ 个三角形；图③有_____ 个三角形； （2）按上面的方法继续下去，第10个图有_______ 个三角形，第n个图形中有_________ 个三角形．（用含n的代数式表示） 【考点2】三角形三边关系应用（第617题） 6．（2025秋•辛集市期末）如图，为估计池塘岸边A，B两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝14m，OB＝9m，则点A，B间的距离不可能是（　　） A．5m B．10m C．15m D．20m 7．（2025秋•平城区校级期末）下列长度的线段能组成三角形的是（　　） A．3，4，8 B．3，4，7 C．3，3，5 D．7，7，15 8．（2025秋•徐闻县期末）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 9．（2026春•上海期中）已知三条线段的长分别为3cm、5cm、acm，若这三条线段首尾顺次连结能围成一个三角形，那么a的取值可以是（　　） A．2 B．6 C．8 D．9 10．（2026•长沙一模）一个三角形的三边长度分别为2、5和x，则x的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2025秋•南昌期末）若三角形的三边分别为5cm，8cm，（a﹣2）cm，则a的取值范围是___________ ． 12．（2025秋•邢台期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为 __________ ． 13．（2025秋•长沙校级期末）已知△ABC的三边长为a、b、c，其中a＝3、b＝5，则边长c的取值范围是 __________ ． 14．（2025春•闵行区期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为2m，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形ABC中，AC＝4，BC＝6，边AB是特征边，那么边AB的长为 _____ ． 15．（2025秋•金湾区期末）三角形的三边长分别为2，7，a，则a的取值范围是__________ ． 16．（2025春•徐汇区校级期中）如图，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC， 求证：（AB+AC+BC）＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC． 17．（2026春•西湖区校级期末）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为奇数，求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|． 【考点3】中线、角平分线、高的概念与计算（第1832题） 18．（2025秋•嵩明县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　） A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△BDE的高 19．（2024秋•醴陵市期末）如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（　　） A． B． C． D． 20．（2025春•崇明区期末）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 21．（2025秋•林芝市期末）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为28cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为（　　） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm 22．（2024•庐江县校级模拟）如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，则下列结论一定正确的是（　　） A．∠ABE＝∠FCB B．∠GAC＝∠GCA C．FG＝GC D．BF＝BH 23．（2026•龙岗区校级三模）如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 24．（2026•城关区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E，若AC＝12，BC＝16，则AE的长为 _______ ． 25．（2024秋•虹口区校级月考）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝6，则△ABC的周长为 _________________ ． 26．（2025秋•滨江区期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DF＝2DE，则AB是AC的_____ 倍． 27．（2025秋•盐都区期中）△ABC中，∠ABC＝135°，∠ACB＝30°，BD为△ABC的中线，则∠ADB＝ ________ °． 28．（2025秋•绥江县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E． （1）若∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数； （2）若AD是△ABE的中线，AB＝2cm，CE＝3cm，△ABD的周长比△ADC周长小5cm，求AC的长． 29．（2025秋•黔东南州期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝32°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝11，求AC的长． 30．（2024秋•平泉市期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝9，求AC的长． 31．（2025春•隆昌市校级期末）如图，AD和BF分别是△ABC的高和角平分线，AE是边BC的中线． （1）若△ABE的面积为6，则△ABC的面积为 _______ ； （2）若∠C＝70°，∠BAC＝60°，求∠DAC和∠AFB的度数． 32．（2024秋•吐鲁番市期末）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若BC﹣AB＝9，求△BCF与△BAF的周长之差． 随堂检测 · 精选练习 【练习 1】（2025秋•大足区期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm 【练习 2】（2025秋•广汉市校级期末）为贯彻“绿水青山就是金山银山”的理念，某地计划在三角形区域ABC内种植一片防护林．已知其中两边AB＝5km，AC＝3km，那么第三边BC的长度不可能是（　　） A．3km B．5km C．7km D．9km 【练习 3】（2026春•永新县期末）小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（　　） A．两条边相等 B．一个角为直角 C．有一个角45° D．两条直角边相等 【练习 4】（2025秋•巫山县期末）小亮有两根长度为5cm和9cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A．3cm B．4cm C．9cm D．16cm 【练习 5】（2025秋•合肥校级期末）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状； （2）化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 课后巩固 · 针对性练习 【作业 1】（2026春•沙坪坝区校级期中）已知△ABC的三边长分别是a，b，c，化简|a﹣b﹣c|+|a﹣b+c|的结果为（　　） A．2a﹣2b B．2b﹣2a C．2c D．﹣2c 【作业 2】（2025秋•三亚期末）如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，则AC的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【作业 3】（2026•鲁山县二模）已知一个三角形的两边长分别是2cm和5cm，则它的第三边长可以是（　　） A．2cm B．3cm C．6cm D．8cm 【作业 4】（2025秋•琼中县期末）如图，AD是△ABC的中线，若S△ABC＝2，则S△ACD＝_____ ． 【作业 5】（2026•宽城县一模）已知三角形三边长分别为3，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为_____ 个． 【作业 6】（2025秋•合川区期末）已知三角形的三边为a，b，c，满足a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，c为最长边且为偶数，则该三角形的周长为_____________ ． 【作业 7】（2024秋•澄城县期中）如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），连接CD交BE于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，求△BCD与△ACD的周长差； （2）若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度数． 【作业 8】（2025秋•靖边县期末）已知一个三角形的三边长为a，b，c，若a＝2，b＝5，求该三角形的周长C的取值范围． 【作业 9】（2025秋•凉州区期末）已知△ABC的三边长为a，b，c． （1）若a＝3，b＝5，求边长c的取值范围； （2）化简|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 【作业 10】（2025春•龙川县校级期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，AB＝9cm，AC＝6cm，则△ABD的周长比△ACD的周长大多少？ 【作业 11】（2026春•红谷滩区校级期末）如图，已知△ABC的周长为33，AD是BC边上的中线，． （1）当AC＝10时，求BD的长． （2）AC能否等于12？为什么？ （3）直接写出AC的取值范围． 【作业 12】（2025秋•子洲县期末）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，其中a＝2，b＝6，且c为偶数．求△ABC周长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 三角形的概念及有关线段 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版八年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解三角形的定义与两种分类方式（按角、按边）。 · 掌握三角形三边关系定理，会判断三条线段能否构成三角形，求解边长取值范围。 · 认识三角形的中线、角平分线、高，理解各自定义与几何性质。 · 能利用中线等分面积、三边不等关系证明几何不等式。 · 识别“倍长三角形”“特征三角形”等新定义题型，掌握分类讨论解题思路。 · 能处理三角形综合计算，包括周长、角度、面积的简单综合问题。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 三角形概念与分类 典型例题（讲义第1题）：在△ABC中，若∠A＝89°，则△ABC是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 解析： ∠A=89°仅说明∠A是锐角，另外两个内角可以：①全为锐角（锐角三角形）；②一个90°（直角三角形）；③一个大于90°（钝角三角形）。答案选D。 · 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。 · 按角分类 2. 锐角三角形：三个内角都小于90°； 2. 直角三角形：有一个内角等于90°； 2. 钝角三角形：有一个内角大于90°。 · 按边分类 · 不等边三角形：三边长度互不相等； · 等腰三角形：至少两条边相等；等边三角形是特殊的等腰三角形。 · 图形计数：连接三角形各边中点，第n个图形三角形个数：。 ☆ 2. 三角形三边关系 典型例题（讲义第8题）：三角形两边长2和5，第三边为奇数，求周长。 解析： 设第三边为x，由三边关系 ，得。奇数可取。周长。 · 定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 · 简化判断：取较短两条线段之和，若大于最长线段，就可以构成三角形。 · 若两边为m、n（m>n），第三边x取值范围：。 · 新定义题型：倍长三角形（一边是另一边2倍）、特征三角形（特征边m，另一边2m），做完要回代检验三边关系。 · 三角形内一点P不等式证明： 。 · 化简含三角形边长的绝对值：利用两边之和大于第三边，判断绝对值内正负再去绝对值。 ☆ 3. 三角形的中线、角平分线、高 典型例题（讲义第21题）：AD是△ABC中线，△ABD周长28cm，AB比AC长6cm，求△ACD周长。 解析： AD是中线 。两三角形周长之差 。△ACD周长。 · 中线：顶点到对边中点的线段。性质：①把对边平分；②把三角形分成面积相等两部分。 · 角平分线：内角平分线交对边的线段。平分对应内角。 · 高：从顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点到垂足之间线段。 3. 锐角三角形三条高在内部；直角三角形两条高就是直角边；钝角三角形有两条高在三角形外部。 · 交点：三条中线交于重心；三条角平分线交于内心；三条高所在直线交于垂心。 · 中线周长差题型：公共边AD，BD=DC ⇒周长差等于AB与AC的差。 ☆知识总结表 概念 定义 核心注意事项 三角形按边分类 不等边、等腰（等边属于等腰） 等边不能和等腰并列作为独立大类 三边关系 等于时三点共线，不能构成三角形 中线 顶点到对边中点线段 等分边长，等分面积 角平分线 平分三角形内角的线段 是线段，不是射线 高 顶点向对边作垂线段 钝角三角形部分高在图形外面 核心考点 ·典型考点精讲 【考点1】三角形概念与分类（第15题） 1．（2025春•上海校级月考）在△ABC中，若∠A＝89°，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【分析】根据三角形的概念解答即可． 【解答】解：∵∠ABC＝89°， 则∠ABC是锐角， ∴△ABC是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形，熟练掌握三角形的分类是解题的关键． 2．（2025秋•扶绥县校级月考）下列分类正确的是（　　） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 【分析】根据三角形的分类即可求解． 【解答】解：三角形可分为不等边三角形和等腰三角形． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．把三条边互不相等的三角形称为不等边三角形；把有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）． 3．（2026春•天府新区校级期中）现有4根木条、长度分别为（单位：cm）：2、3、5、6，从中取出三根连成一个三角形，则这三根木条的长度可以为　3cm，5cm，6cm ．（任写一种即可） 【分析】只要所取的三根钢条的长符合三角形三边关系定理即可． 【解答】解：答案不唯一：如3cm，5cm，6cm；验证：3+5＞6，能构成三角形，故此种取法符合题意． 故答案为：3cm，5cm，6cm． 【点评】本题主要考查三角形的三边关系，解答本题的关键是明确题意，利用三角形的三边关系解答． 4．（2023秋•宝山区期末）如图，在一张足够大的纸上画△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°，∠B＝53°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm．为了在这个三角形边上贴上装饰，用半径为1cm的圆形固体胶棒在△ABC外侧紧贴边移动一圈，那么胶棒涂过的面积为 　48+4π　 cm2．（结果保留π） 【分析】胶棒涂过的面积＝三个长方形的面积+3个圆弧的面积． 【解答】解：， ∠1＝360°﹣90°﹣90°﹣37°＝143°， ∠2＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°， ∠3＝360°﹣90°﹣90°﹣53°＝127°， 胶棒涂过的面积＝（2×6+2×8+2×10）+（）＝（48+4π）（cm2）， 故答案为：48+4π． 【点评】本题考查了半径为1cm的圆形在三角形外侧紧贴边移动一圈的面积，面积拆分计算是关键． 5．（2020秋•贺兰县期末）图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③． （1）图②有　5　 个三角形；图③有　9　 个三角形； （2）按上面的方法继续下去，第10个图有　37　 个三角形，第n个图形中有　4n﹣3　 个三角形．（用含n的代数式表示） 【分析】（1）首先根据所给的图形，正确数出三角形的个数； （2）根据（1）中数的过程中，就能够发现在前一个图的基础上依次多4个． 【解答】解：（1）由图得：图②有5三角形；图③有9个三角形； 故答案为：5，9； （2）∵发现每个图形都比起前一个图形依次多4个三角形， ∴第n个图形中有1+4（n﹣1）＝4n﹣3个三角形， 当n＝10时，4×10﹣3＝37， 故答案为：37，4n﹣3． 【点评】本题考查了图形变化类问题，此类题找规律的时候，主要应发现前后图形中的个数之间的联系． 【考点2】三角形三边关系应用（第617题） 6．（2025秋•辛集市期末）如图，为估计池塘岸边A，B两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝14m，OB＝9m，则点A，B间的距离不可能是（　　） A．5m B．10m C．15m D．20m 【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到5＜AB＜23，即可得到答案． 【解答】解：由三角形三边关系定理得：14﹣9＜AB＜14+9， ∴5＜AB＜23， ∴A，B间的距离不可能是5m． 故选：A． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是由三角形三边关系定理得到5＜AB＜23， 7．（2025秋•平城区校级期末）下列长度的线段能组成三角形的是（　　） A．3，4，8 B．3，4，7 C．3，3，5 D．7，7，15 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【解答】解：A、3+4＜8，不能组成三角形，故A不符合题意； B、3+4＝7，不能组成三角形，故B不符合题意； C、3+3＞5，能组成三角形，故C符合题意； D、7+7＜15，不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 8．（2025秋•徐闻县期末）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 【分析】根据三角形的三边关系求出第三边，然后计算即可． 【解答】解：设第三边的长为x， ∵三角形的两边长分别为2和5， ∴5﹣2＜x＜2+5，即3＜x＜7， ∵第三边长为奇数， ∴第三边长为5， ∴该三角形的周长为2+5+5＝12， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 9．（2026春•上海期中）已知三条线段的长分别为3cm、5cm、acm，若这三条线段首尾顺次连结能围成一个三角形，那么a的取值可以是（　　） A．2 B．6 C．8 D．9 【分析】根据三角形的三边关系确定a的取值范围即可求解． 【解答】解：依题意有5﹣3＜a＜5+3， 解得：2＜a＜8． 只有选项B在范围内． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的三边关系的知识，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 10．（2026•长沙一模）一个三角形的三边长度分别为2、5和x，则x的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由三角形三边关系定理得到3＜x＜7，即可得到答案． 【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣2＜x＜5十2， ∴3＜x＜7， ∴x的值可以是4． 故选：D． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 11．（2025秋•南昌期末）若三角形的三边分别为5cm，8cm，（a﹣2）cm，则a的取值范围是　5＜a＜15　 ． 【分析】根据三角形的三边关系列不等式组求解即可． 【解答】解：∵三角形的三边分别为5cm，8cm，（a﹣2）cm， ∴根据三角形三边关系得，8﹣5＜a﹣2＜8+5， 即a的取值范围为：5＜a＜15． 故答案为：5＜a＜15． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形中任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边成为解题的关键． 12．（2025秋•邢台期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为 　1.5或4　 ． 【分析】由△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2AC或AC＝2BC或AC＝2AB或BC＝2AB，分别求出AB，根据三角形的三边关系即可得答案． 【解答】解：设三角形ABC中，第三条边AB＝x，AC＝2，BC＝3， 等腰△ABC是“倍长三角形”， ①当AB＝2AC，即x＝4， ∴△ABC三边分别是2，3，4，符合题意， ②当AC＝2BC，即x＝6， ∴△ABC三边分别是2，3，6， ∵2+3＜6， ∴此时不能构成三角形，这种情况不存在； ③当AC＝2AB＝2，即x＝1， ∴1+2＝3， ∴此时不能构成三角形，这种情况不存在； ④当BC＝2AB＝3，即x＝1.5， ∴△ABC三边分别是1.5，2，3，符合题意， 综上所述，第三条边的长为是4或1.5， 故答案为：1.5或4． 【点评】本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是掌握三角形的三边关系和分类讨论思想方法的应用． 13．（2025秋•长沙校级期末）已知△ABC的三边长为a、b、c，其中a＝3、b＝5，则边长c的取值范围是 　2＜c＜8　 ． 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此即可得到答案． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：5﹣3＜c＜5+3， ∴2＜c＜8． 故答案为：2＜c＜8． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 14．（2025春•闵行区期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为2m，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形ABC中，AC＝4，BC＝6，边AB是特征边，那么边AB的长为 　3　 ． 【分析】分两种情况，①当AC＝2AB＝4时，②当BC＝2AB＝6时，分别求出AB的长，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【解答】解：分两种情况： ①当AC＝2AB＝4时，AB＝2， 此时，AC+AB＝BC，不能构成三角形，不符合题意，舍去； ②当BC＝2AB＝6时，AB＝3， 此时，AC+AB＞BC，能构成三角形，符合题意； 综上所述，边AB的长为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了三角形的三边关系以及新定义，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 15．（2025秋•金湾区期末）三角形的三边长分别为2，7，a，则a的取值范围是　5＜a＜9　 ． 【分析】根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围． 【解答】解：∵三角形的三边长分别为2、7、a， ∴a的取值范围是：7﹣2＜a＜7+2，即5＜a＜9． 故答案为：5＜a＜9． 【点评】此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的关键． 16．（2025春•徐汇区校级期中）如图，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC， 求证：（AB+AC+BC）＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC． 【分析】延长AP交BC于点D，由三角形三边关系定理得到AP+PB＜AC+BC，PB+PC＜AB+AC，PC+PA＜AB+BC，推出PA+PB+PC＜AB+BC+AC；由三角形三边关系定理得到PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PA+PC＞AC，推出PA+PB+PC（AB+BC+AC），即可证明问题． 【解答】证明：延长AP交BC于点D， 由三角形三边关系定理得到：AP+PD＜AC+CD，PB＜PD+BD， ∴AP+PD+PB＜AC+CD+PD+BD， ∴AP+PB＜AC+BC， 同理PB+PC＜AB+AC，PC+PA＜AB+BC， ∴2 （PA+PB+PC）＜2（AB+BC+AC）， ∴PA+PB+PC＜AB+BC+AC； 由三角形三边关系定理得到：PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PA+PC＞AC， ∴2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC， ∴PA+PB+PC（AB+BC+AC）， ∴（AB+BC+AC）＜PA+PB+PC＜AB+BC+AC． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是灵活应用三角形三边关系定理来解决问题． 17．（2026春•西湖区校级期末）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为奇数，求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|． 【分析】（1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到3＜c＜7，得到c＝5，即可求出△ABC的周长； （2）由三角形三边关系定理得到a﹣c+b＞0，b﹣c﹣a＜0，即可化简|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|． 【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7， ∵c为奇数， ∴c＝5， ∴△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+5＝12． （2）由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b， ∴a﹣c+b＞0，b﹣c﹣a＜0， ∴|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c| ＝a﹣c+b﹣[﹣（b﹣c﹣a）]﹣（a+b+c） ＝a﹣c+b+b﹣c﹣a﹣a﹣b﹣c ＝b﹣a﹣3c． 【点评】本题考查三角形三边关系，绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． 【考点3】中线、角平分线、高的概念与计算（第1832题） 18．（2025秋•嵩明县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　） A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△BDE的高 【分析】用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到∠2＝∠3，但没有办法得到∠1＝∠2，这样就很容易判断出C选项的错误；由于∠C＝90°，结合“从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高”即可判断出BC是否是△BDE的高，这样也能得出D选项的正误． 【解答】解：A、由图可知：BE是△ABD的中线，正确，不符合题意； B、由图可知：BD是△BCE的角平分线，正确，不符合题意； C、∵BD是△BCE的角平分线， ∴∠3＝∠2， ∵BE是中线， ∴∠1≠∠2， ∴∠1＝∠2＝∠3不正确，符合题意． D、由图可知： ∵∠C＝90° ∴BC是△ABE的高，正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 19．（2024秋•醴陵市期末）如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形高的定义判断即可． 【解答】解：过点B作AC的垂线，且垂足在直线AC上， 所以正确画出AC边上的高的是D选项， 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键． 20．（2025春•崇明区期末）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据平行公理、垂直的定义、三角形的角平分线、中线和高、两直线的位置关系、点到这条直线的距离的定义判断． 【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法错误； ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确； ③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线所在的直线都分别交于一点，故本小题说法错误； ④平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种种：平行和相交，故本小题说法错误； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离，故本小题说法错误； 则正确的有1个， 故选：A． 【点评】本题考查的是平行公理、垂直的定义、三角形的角平分线、中线和高、两直线的位置关系、点到这条直线的距离的定义，掌握相关的定义、性质是解题的关键． 21．（2025秋•林芝市期末）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为28cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为（　　） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm 【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再表示出△ABD和△ACD周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CDBC， ∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC， ∵△ABD的周长为28cm，AB比AC长6cm， ∴28﹣6＝22cm．即△ACD周长为22cm， 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形中线的角平分线、中线和高，把三角形的周长的差转化为已知两边的差是解题的关键． 22．（2024•庐江县校级模拟）如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，则下列结论一定正确的是（　　） A．∠ABE＝∠FCB B．∠GAC＝∠GCA C．FG＝GC D．BF＝BH 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念、直角三角形的性质、三角形中位线定理判断即可． 【解答】解：A、∵∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠EBC＝90°， ∵∠BEC＝90°， ∴∠ACB+∠EBC＝90°， ∴∠ABE＝∠ACB＞∠FCB，故本选项说法错误，不符合题意； B、当△ABC为等腰直角三角形时，AB≠AC， ∵AD是中线， ∴AD不是角平分线， ∴∠GAC≠∠GCA，故本选项说法错误，不符合题意； C、∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， 当FG＝GC时，DG是△CBF的中位线， 则GD∥BF，故本选项说法错误，不符合题意； D、∵∠ACF＝∠BCF，∠BFC＝90°﹣∠BCF，∠BHF＝∠EHC＝90°﹣∠ACF， ∴∠BFC＝∠BHF， ∴BF＝BH，故本选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的角平分线、中线和高的概念是解题的关键． 23．（2026•龙岗区校级三模）如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据AD为三角形的高，则AD⊥BC．所以∠ADB＝90°，然后对各选项进行判断． 【解答】解：选项D中的AD是△ABC的高， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：正确理解三角形的角平分线、中线和高的定义是解决问题的关键． 24．（2026•城关区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E，若AC＝12，BC＝16，则AE的长为 　10　 ． 【分析】首先根据勾股定理求得斜边AB的长度，然后结合等腰三角形的性质来求AE的长度． 【解答】解：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16， 由勾股定理知：， ∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E， ∴， 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形三线合一，解决本题的关键是掌握在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 25．（2024秋•虹口区校级月考）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝6，则△ABC的周长为 　10　 ． 【分析】过B作BG∥AC，交AE延长线于G，得到∠G＝∠CAE，由角平分线定义得到∠BAE＝∠CAE，因此∠G＝∠BAE，推出BG＝AB，判定△ADF∽△GBF，推出AD：BG＝DF：BF＝1：3，得到AD：AB＝1：3，而ADAC，得到AC：AB＝2：3，由△ACE∽△GBE，推出CE：BE＝AC：BG＝AC：AB＝2：3，于是得到AC+CE（AB+BE）＝4，即可求出△ABC的周长． 【解答】解：过B作BG∥AC，交AE延长线于G， ∴∠G＝∠CAE， ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE， ∴∠G＝∠BAE， ∴BG＝AB， ∵AD∥BG， ∴△ADF∽△GBF， ∴AD：BG＝DF：BF＝1：3， ∴AD：AB＝1：3， ∵D是AC中点， ∴ADAC， ∴AC：AB＝2：3， ∴ACAB， ∵AC∥BG， ∴△ACE∽△GBE， ∴CE：BE＝AC：BG＝AC：AB＝2：3， ∴CEBE， ∴AC+CE（AB+BE）64， ∴△ABC的周长＝AB+BE+AC+CE＝6410． 故答案为：10． 【点评】本题考查线相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的角平分线，关键是由平行线的性质，角平分线定义推出AB＝BG，由△ADF∽△GBF，推出AD：BG＝DF：BF，由△ACE∽△GBE，推出CE：BE＝AC：BG． 26．（2025秋•滨江区期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DF＝2DE，则AB是AC的　2　 倍． 【分析】根据三角形的中线的概念得到S△ABD＝S△ACD，再根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABD＝S△ACD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AB•DEAC•DF， ∵DF＝2DE， ∴AB＝2AC， ∴AB是AC的2倍， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是三角形的中线，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键． 27．（2025秋•盐都区期中）△ABC中，∠ABC＝135°，∠ACB＝30°，BD为△ABC的中线，则∠ADB＝ 　135　 °． 【分析】过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接DE，过点D作DPAB于点P，作AD的垂直平分线交AB于点H，垂足为F，先求出∠HDA＝∠A＝15°，则∠DHB＝30°，在Rt△HDP中，设DP＝a，则AH＝DH＝2a，HP，由此得AP，证明DP是△ACE的中位线得CD＝2DP＝2a，EP＝AP，证明△BCE是等腰直角三角形得BE＝CE＝2a，∠ECB＝45°，则EP＝BE+PB＝2a+PB＝2a+√3a，由此得PB＝2a＝BE，则∠BDE＝∠BED，根据直角三角形斜边中线性质得AD＝CD＝DE，进而得∠BDE＝∠BED＝∠A＝15°，再求出∠DEC＝∠DCE＝75°得∠CDE＝30°，继而得∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝45°，据此即可得出∠ADB的度数． 【解答】解：过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接DE，过点D作DPAB于点P，作AD的垂直平分线交AB于点H，垂足为F，如图所示： ∴∠DPH＝∠CEB＝90°，DP∥CE，AH＝DH， 在△ABC中，∠ABC＝135°，∠ACB＝30°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝15°， ∴∠HDA＝∠A＝15°， ∵∠DHB是△HAD的外角， ∴∠DHB＝∠HDA+∠A＝30°， ∴在Rt△HDP中，设DP＝a， ∴DH＝2a， ∴AH＝DH＝2a， 由勾股定理得：HP， ∴AP＝AH+HP， ∵BD为△ABC的中线， ∴点D是AC的中点， 又∵DP∥CE， ∴DP是△ACE的中位线， ∴CD＝2DP＝2a，EP＝AP， ∵∠ABC＝135°， ∴∠CBE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣135°＝45°， ∴△BCE是等腰直角三角形， ∴BE＝CE＝2a，∠ECB＝45°， ∴EP＝BE+PB＝2a+PB， ∵EP＝AP， ∵2a+PB， ∴PB＝2a＝BE， ∴∠BDE＝∠BED， ∵点D是AC的中点， ∴DE是Rt△ACE斜边AC上的中线， ∴AD＝CD＝DE， ∴∠BED＝∠A＝15°， ∴∠BDE＝∠BED＝∠A＝15°， ∵∠ACB＝30°， ∴∠DCE＝∠ACB+∠ECB＝30°+45°＝75°， ∴∠DEC＝∠DCE＝75°， 在△DEC中，∠CDE＝180°﹣（∠DEC+∠DCE）＝180°﹣（75°+75°）＝30°， ∴∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝15°+30°＝45°， ∴∠ADB＝180°﹣∠BDC＝135°． 故答案为：135°． 【点评】此题主要考查了三角形的中线，直角三角形的斜边中线的性质，三角形内角和定理，理解直角三角形的斜边中线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 28．（2025秋•绥江县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E． （1）若∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数； （2）若AD是△ABE的中线，AB＝2cm，CE＝3cm，△ABD的周长比△ADC周长小5cm，求AC的长． 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠BAD，根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAE，进而求出∠DAE； （2）根据三角形的中线的性质得到BD＝DE，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°， ∵∠B＝70°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE∠BAC＝40°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣20°＝20°； （2）∵AD是△ABE的中线， ∴BD＝DE， ∵CE＝3cm， ∴CD﹣DE＝CD﹣BD＝3cm， ∵△ABD的周长比△ADC周长小5cm， ∴（AC+CD+AD）﹣（AB+BD+AD）＝5cm， ∴AC+CD+AD﹣AB﹣BD﹣AD＝5cm， ∴AC﹣AB＝2cm， ∴AC＝4cm． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线、高，熟记三角形的角平分线、中线、高的定义是解题的关键． 29．（2025秋•黔东南州期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝32°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝11，求AC的长． 【分析】（1）由题意知∠4＝∠3＝∠1+∠2，根据∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4，计算求解即可； （2）由AD为△ABC的中线，可得BD＝CD，由△ABD的周长比△ACD的周长大3，可得AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝3，进而可得11﹣AC＝3，计算求解即可． 【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝32°， ∴∠3＝∠1+∠2＝32°+32°＝64°， ∴∠3＝∠4＝64°， ∴∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣64°﹣64°＝52°， ∴∠DAC的度数是52°； （2）∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵△ABD的周长比△ACD的周长大3， ∴AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝3，即AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝3， ∴AB﹣AC＝3，即11﹣AC＝3， 解得：AC＝8， 即AC的长为8． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高．熟练掌握相关知识是解题的关键． 30．（2024秋•平泉市期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝9，求AC的长． 【分析】（1）根据三角形外角的性质得到∠3＝∠4＝∠1+∠2＝70°，再根据三角形内角和定理即可得到答案； （2）根据三角形中线的定义得到BD＝CD，再由三角形周长公式结合已知条件推出AB﹣AC＝3，据此可得答案． 【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝35°， ∴∠3＝∠1+∠2＝70°， ∴∠3＝∠4＝70°， ∴∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝40°； （2）∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵△ABD的周长比△ACD的周长大3， ∴AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝3， ∴AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝3， ∴AB﹣AC＝3， ∵AB＝9， ∴AC＝6． 【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形中线的定义，根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角之和，三角形内角和为180度进行求解是解题的关键． 31．（2025春•隆昌市校级期末）如图，AD和BF分别是△ABC的高和角平分线，AE是边BC的中线． （1）若△ABE的面积为6，则△ABC的面积为 　12　 ； （2）若∠C＝70°，∠BAC＝60°，求∠DAC和∠AFB的度数． 【分析】（1）根据线段中点的定义得到BE＝CE，再根据三角形面积公式解答即可； （2）根据三角形的高的定义得到∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DAC，再根据角平分线的定义计算． 【解答】解：（1）∵AE是△ABC的边BC的中线， ∴BE＝CE， ∴S△ACE＝S△ABE＝6， ∴S△ABC＝12， 故答案为：12； （2）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝70°， ∴∠DAC＝90°﹣∠ADC＝90°﹣70°＝20°， ∵∠C＝70°，∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣70°﹣60°＝50°， ∵BF是△ABC的角平分线， ∴， ∴∠AFB＝∠CBF+∠C＝25°+70°＝95°． 【点评】本题考查的是三角形的高、角平分线和中线，熟记它们的定义是解题的关键． 32．（2024秋•吐鲁番市期末）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若BC﹣AB＝9，求△BCF与△BAF的周长之差． 【分析】（1）由直角三角形的性质求出∠ABD＝25°，由角平分线的定义得到∠BCE∠ACB＝25°，由三角形的外角性质得到∠AEC＝∠ABD+∠BCE＝50°； （2）由三角形的中线定义得到AF＝CF，因此△BCF与△BAF的周长之差＝BC﹣AB＝9． 【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣65°＝25°， ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠BCE∠ACB50°＝25°， ∴∠AEC＝∠ABD+∠BCE＝50°； （2）∵BF是△ABC的中线， ∴AF＝CF， ∴BC+BF+CF﹣（AB+AF+BF）＝BC﹣AB＝9， ∴△BCF与△BAF的周长之差为9． 【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，关键是掌握三角形的角平分线和中线的定义． 随堂检测 · 精选练习 【练习 1】（2025秋•大足区期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm 【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 【解答】解：A、3+4＜8，不能摆成三角形，本选项不符合题意； B、8+7＝15，不能摆成三角形，本选项不符合题意； C、5+5＜11，不能摆成三角形，本选项不符合题意； D、13+12＞20，能摆成三角形，本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 【练习 2】（2025秋•广汉市校级期末）为贯彻“绿水青山就是金山银山”的理念，某地计划在三角形区域ABC内种植一片防护林．已知其中两边AB＝5km，AC＝3km，那么第三边BC的长度不可能是（　　） A．3km B．5km C．7km D．9km 【分析】利用三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定BC的取值范围，据此逐项判断即可． 【解答】解：在△ABC中，AB＝5km，AC＝3km， 由AB+AC＞BC得：5+3＞BC，即BC＜8， 由AC+BC＞AB得：3+BC＞5，即BC＞2， 则BC的取值范围为2＜BC＜8， 选项A、B、C均满足2＜BC＜8，而D不满足2＜BC＜8，所以选项正确，不符合题意， 因此BC的长度不可能是9km，只有选项D错误，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 【练习 3】（2026春•永新县期末）小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（　　） A．两条边相等 B．一个角为直角 C．有一个角45° D．两条直角边相等 【分析】由等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形的定义，即可判断． 【解答】解：A、两边相等的三角形是等腰三角形，故A不符合题意； B、有一个角是直角的三角形是直角三角形，故B不符合题意； C、如果等腰三角形的顶角是45°，那么这样的等腰三角形不是直角三角形，故C符合题意； D、两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查直角三角形，等腰三角形，等腰直角三角形，关键是掌握是等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形的定义． 【练习 4】（2025秋•巫山县期末）小亮有两根长度为5cm和9cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A．3cm B．4cm C．9cm D．16cm 【分析】根据三角形三边关系得出第三边的取值范围，判断即可． 【解答】解：由三角形三边关系可知，第三边的取值范围为：9﹣5＜x＜9+5， 即：4＜x＜14， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解本题的关键． 【练习 5】（2025秋•合肥校级期末）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状； （2）化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 【分析】（1）根据三角形的三边关系结合第三边c为奇数，求出c的值进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系结合绝对值的意义，化简即可． 【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝2，b＝5， ∴5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7， 又∵c为奇数， ∴c＝5， ∴b＝c， ∴△ABC是等腰三角形； （2）∵a，b，c是△ABC的三边， ∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b， ∴|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|＝a+b﹣c﹣b﹣c+a﹣a+b﹣c＝a+b﹣3c． 【点评】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形的三边关系，是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 做题遇到三边关系题目，算出第三边范围后务必检验边界，等于边界不能构成三角形。 区分“高所在直线”和“高线段”：钝角三角形的两条高不在三角形内部，选择题易错。 新定义题型（倍长三角形等），分类讨论后每一种结果都要回代检验三边关系，排除无效解。 中线题型记住两个结论：等分面积；周长之差等于对应两条边的差，不要带上BD、CD。 绝对值化简题目，先写三边关系，标记每个括号正负，再去绝对值符号，不要跳步骤。 【作业 1】（2026春•沙坪坝区校级期中）已知△ABC的三边长分别是a，b，c，化简|a﹣b﹣c|+|a﹣b+c|的结果为（　　） A．2a﹣2b B．2b﹣2a C．2c D．﹣2c 【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．先判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值，最后合并即可． 【解答】解：根据三角形的三边关系得：a﹣b﹣c＜0，c+a﹣b＞0， ∴原式＝﹣（a﹣b﹣c）+（a﹣b+c）＝﹣a+b+c+a﹣b+c＝2c． 故选：C． 【点评】此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负． 【作业 2】（2025秋•三亚期末）如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，则AC的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【分析】根据CM是△ABC的中线可知AM＝BM，再由BC＝8cm，△BCM的周长比△ACM的周长大2cm即可得出结论． 【解答】解：∵CM是△ABC的中线，BC＝8cm， ∴AM＝BM， ∴△BCM的周长＝BC+BM+CM，△ACM的周长＝AC+AM+CM， ∵△BCM的周长比△ACM的周长大2cm， ∴BC+BM+CM﹣（AC+AM+CM）＝2，即BC﹣AC＝2， ∴8﹣AC＝2， 解得AC＝6（cm）． 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的中线，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解题的关键． 【作业 3】（2026•鲁山县二模）已知一个三角形的两边长分别是2cm和5cm，则它的第三边长可以是（　　） A．2cm B．3cm C．6cm D．8cm 【分析】根据已知两边长2cm和5cm，求出第三边的取值范围，再判断选项是否在该范围内． 【解答】解：∵三角形的两边长分别为2cm和5cm， ∴根据三角形的三边关系，第三边x需满足：5﹣2＜x＜5+2， 解得3＜x＜7． 综上所述，只有C在3和7之间，满足条件． 故选：C． 【点评】本题考查三角形的三边关系，关键掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【作业 4】（2025秋•琼中县期末）如图，AD是△ABC的中线，若S△ABC＝2，则S△ACD＝　1　 ． 【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC， ∵S△ABC＝2， ∴S△ACD＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查的是三角形的中线、三角形的面积计算，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键． 【作业 5】（2026•宽城县一模）已知三角形三边长分别为3，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为　5　 个． 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列式计算． 【解答】解：由题意得，13﹣3＜x＜13+3 ∴10＜x＜16， ∵x为正整数， ∴x＝11，12，13，14，15， ∴这样的三角形有5个， 故答案为：5． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，关键掌握三角形两边之和大于第三边． 【作业 6】（2025秋•合川区期末）已知三角形的三边为a，b，c，满足a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，c为最长边且为偶数，则该三角形的周长为　22或24或26　 ． 【分析】整理a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0得（a﹣6）2+（b﹣8）2＝0，故a＝6，b＝8，结合三角形三边关系得2＜c＜14，又因为c为最长边且为偶数，故c＝8或c＝10或c＝12，最后列式计算求出该三角形的周长，即可作答． 【解答】解：∵a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0， 则（a﹣6）2+（b﹣8）2＝0， 解得a＝6，b＝8， ∵三角形的三边为a，b，c，满足a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0， ∴8﹣6＜c＜6+8， ∴2＜c＜14， ∵c为最长边， ∴8≤c＜14， ∵c为偶数， 故c＝8或c＝10或c＝12， 则6+8+8＝22或6+8+10＝24或6+8+12＝26， 综上所述，该三角形的周长为22或24或26， 故答案为：22或24或26． 【点评】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【作业 7】（2024秋•澄城县期中）如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），连接CD交BE于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，求△BCD与△ACD的周长差； （2）若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度数． 【分析】（1）根据三角形周长计算公式可得到△BCD与△ACD的周长差为：BC﹣AC+BD﹣AD，再由三角形中线的定义得到AD＝BD，据此代值计算即可； （2）根据角平分线的定义得到∠ABE＝31°，由三角形高的定义得到∠CDB＝90°，根据三角形外角的性质可得答案． 【解答】解：（1）∵△BCD的周长为：BC+CD+BD，△ACD的周长为：AC+CD+AD， ∴△BCD与△ACD的周长差为：BC﹣AC+BD﹣AD， ∵CD是△ABC的中线， ∴AD＝BD． 又∵BC＝3，AC＝2， ∴BC﹣AC+BD﹣AD＝BC﹣AC＝3﹣2＝1，即△BCD与△ACD的周长差为1； （2）∵BE是∠ABC的平分线，∠ABC＝62°， ∴， ∵CD是△ABC的高， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°． 【点评】本题主要考查了三角形中线和高，熟记三角形中线的定义，三角形高的定义是解题的关键． 【作业 8】（2025秋•靖边县期末）已知一个三角形的三边长为a，b，c，若a＝2，b＝5，求该三角形的周长C的取值范围． 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得到第三边的取值范围，即可解答． 【解答】解：∵a，b，c分别是三角形的三边长，且a＝2，b＝5， ∴根据三角形的三边关系，三角形第三边长c的取值范围为5﹣2＜c＜5+2， 即3＜c＜7， ∴3+2+5＜C＜7+2+5，即周长C的取值范围为10＜C＜14． 【点评】本题主要考查了三角形三边关系，列代数式，熟练掌握三角形三边之间的关系定理是解答此题的关键． 【作业 9】（2025秋•凉州区期末）已知△ABC的三边长为a，b，c． （1）若a＝3，b＝5，求边长c的取值范围； （2）化简|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 【分析】（1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此即可得到答案； （2）由三角形三边关系定理得到a+b﹣c＞0，a﹣b+c＞0，即可化简|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：5﹣3＜c＜5+3， ∴2＜c＜8； （2）由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b， ∴a+b﹣c＞0，a﹣b+c＞0， ∴|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c| ＝a+b﹣c﹣（a﹣b+c） ＝a+b﹣c﹣a+b﹣c ＝2b﹣2c． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 【作业 10】（2025春•龙川县校级期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，AB＝9cm，AC＝6cm，则△ABD的周长比△ACD的周长大多少？ 【分析】（1）根据三角形外角的性质得到∠3＝∠4＝∠1+∠2＝70°，再根据三角形内角和定理即可得到答案； （2）根据三角形中线的定义得到BD＝CD，再由三角形周长公式结合已知条件推出AB﹣AC＝3，据此可得答案． 【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝35°， ∴∠3＝∠1+∠2＝70°， ∴∠3＝∠4＝70°， ∴∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝40°； （2）∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∴AB＝9cm，AC＝6cm， ∴AB﹣AC＝3， △ABD的周长减△ACD的周长＝AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD） ＝AB﹣AC ＝3（cm）， ∴△ABD的周长比△ACD的周长大3cm． 【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形中线的定义，根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角之和，三角形内角和为180度进行求解是解题的关键． 【作业 11】（2026春•红谷滩区校级期末）如图，已知△ABC的周长为33，AD是BC边上的中线，． （1）当AC＝10时，求BD的长． （2）AC能否等于12？为什么？ （3）直接写出AC的取值范围． 【分析】（1）先根据AC＝10，，算出AB＝15，再结合AD是BC边上的中线，进行计算，即可作答； （2）假设AC＝12，结合，得出AB＝18，再结合AD是BC边上的中线，进行计算，得BC＝3，运用三角形三边的关系进行分析，即可作答； （3）根据三角形的周长得，利用三角形三边的关系即可得到答案． 【解答】解：（1）∵AC＝10，， ∴， ∵△ABC的周长为33， ∴BC＝33﹣AB﹣AC＝33﹣15﹣10＝8， ∵AD是BC边上的中线， ∴； （2）AC不能等于12，理由如下： ∵， ∴当AC＝12时，， ∵△ABC的周长为33， ∴BC＝33﹣AC﹣AB＝33﹣12﹣18＝3， ∵12+3＝15＜18， ∴BC，AC，AB这三边不能构成三角形， ∴AC不能等于12； （3）∵， ∴， ∴， 当AB＞BC时，AB﹣BC＜AC＜AB+BC，即， 解得AC＜11； 当BC＞AB时，BC﹣AB＜AC＜BC+AB，即 解得， ∴． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 【作业 12】（2025秋•子洲县期末）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，其中a＝2，b＝6，且c为偶数．求△ABC周长． 【分析】先根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为偶数即可得出c的值，进而可得出结论． 【解答】解：∵△ABC的三条边长分别为a、b、c，其中a＝2，b＝6， ∴6﹣2＜c＜6+2，即4＜c＜8． ∵c是偶数， ∴c＝6， ∴2+6+6＝14，所以△ABC的周长为14． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，关键是三角形三边的熟练掌握． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $