基本不等式专项训练-2027届高三数学一轮复习

第1—10题　参考答案与解析 1.（“1”的代换·多目标） 答案：（1）；（2）；（3）。 解析： （1）由 作”1 的代换”： 等号当 ，即 ，结合 得 。 （2） 由 ，得 ，故原式 ，等号 。 （3），等号 。 2.（真实情境：水池造价最优化） 答案：（2），最低造价 ；（3） m，高 m，造价 元。 解析： （1）设底面边长为 ，由 得高 。池底面积 ，池壁面积 ，故 （2）用三元基本不等式： 等号当 ，即 最低造价 。 （3）：，（m）；高 （m）； （验证： ✓） 3.（含条件的分式最值） 答案：（1）；（2）；（3），。 解析： （1）由 ： （2） 等号当 ，即 ；结合 得 。 （3）由 得 ，即 。代入 ： 4.（换元型：配凑） 答案：（1）；（2）；（3）。 解析： （1）拆项配凑：，故 等号当 ，即 。 （2）， 等号 。 （3）令 ，则 ， 因 ，函数 在 上递增，故最小值为 时： 5.（判别式法与分式最值） 答案：（1）；（2）值域 ；（3）。 解析： （1） 时 ； 时 由 得 ，等号 。故最大值为 。 （2）。由 得 ，故 。 （判别式法：。 时 ； 时 ，得 ， ✓） （3）令 ，则 ，， 等号 ，即 。 6.（真实情境：日利润最大） 答案：（2）最大值 元；（3）售价 元，日销量 件。 解析： （1）每件利润 元，销量 件： （2）令 ，则 对应 ，，且 ： 由三元基本不等式作用于 （均为正）： 等号当 ，即 。 （导数法：， 时取最大 ✓） （3） 即 （元），日销量 （件），最大日利润 元。 7.（恒成立求参数） 答案：（1）；（2）；（3）。 解析： （1） 等号当 ，即 。 （2）恒成立即 对一切 成立，故 （3） 故 。 8.（双变量条件最值） 答案：（2）；（3）。 解析： （1），且 ，故 （2），由 得 ，故 的最小值为 。 等号当 ：由 得 （ 舍），即 。 （3），故 的最小值为 （同样在 处取到）。 9.（根式最值） 答案：（1）定义域 ，；（2）最大值 （）；（3）最小值 （ 或 ）。 解析： （1）由 、 得定义域 。令 ，，则 （2），故 。 等号当 ，即 ，。最大值 。 （3）（因 ），等号当 ，即 或 。 最小值 。 10.（三元最值） 答案：（1）；（2）；（3）。 解析： （1）由 作”1 的代换”并展开： 等号 。 （2）因 ，故 等号 。 （3）由 （即 ）： 等号 。 第11—20题　参考答案与解析 11.（结构不良题：条件选择） 答案：（2）选条件③，最小值为 ；（3），。 解析： （1） · 条件① ：，，值域为 ，无最小值（下确界 取不到）； · 条件② ：目标 恒等于 ，不存在”最值”问题； · 条件③ ：与目标 结构匹配，可用”1 的代换”。 （2）选条件③： （3）等号当 ，即 ，。 代入 ：， 12.（ 的多种目标） 答案：（1）；（2）；（3）。 解析： （1）用三元基本不等式作用于 ： 等号当 ，即 。 （2） （3）设 。 由 ： 设 ，（ 时 ）， 在 上递减，故最小值 13.（倒数结构与最值） 答案：（1）；（2）；（3）。 解析： 设 （因 ，）。 （1） 设 ，（）， 递减，最小值 （2），由 ，等号 。最小值 。 （3） 设 ，， 递减，最小值 14.（分式函数的最值） 答案：（1）；（2）；（3）。 解析： （1） 时 ： 等号 ，即 。 （2） 时 ，则 ，。 因 ，，故 等号 ，即 。 （3） 时拆成三项： 等号 ，即 ，。 15.（结构不良题：条件选择） 答案：（2）选②或③，最小值 ；（3）。 解析： （1） · ① ：和已固定为 ，不存在”求 最小值”；但可求 ； · ② ：由 ，可求最小值； · ③ ：即 ，，由 得 ，故 ，可求最小值。 （2）选条件②或③均可， 的最小值均为 。 ② 中等号 （）；③ 中等号 （ ✓）。 （3）条件①下 ，最大值 （）。 16.（新定义：平衡正数对） 答案：（2）；（3），。 解析： （1）由 得 ，即 ： 因 且 ，需 ，即 。 （2）由 ： 等号当 （此时 ✓）。最小值 。 （3）由 （ 代入）： 等号 。最小值 。 即平衡正数对满足 （几何上，点 在双曲线 上）。 17.（恒成立求参数范围） 答案： 。 解析： （1） 时， 有 ，不可能恒 ； 时不等式为 ，对一切 成立。 （2） 时，由基本不等式 等号 。故需 。 （3）（）。 结合（1）得 。 18.（含参最值讨论） 答案：（1） 时最小值为 （ 时无最小值）；（2） 时 ， 时 ， 时 ；（3） 时为 ， 时为 。 解析： （1）（）。 · ：， 递增； 时 （），无最小值； 时下确界 取不到，也无最小值； · ： 在 递减、 递增，最小值 。 （2）在 上，最小值点 是否落在区间： · （）： 不在区间内部， 在 上递增，最小值 ； · （）：最小值 ； · （）： 在 上递减，最小值 。 （3）：，最小值 ；：，最小值 。 19.（不等式证明·层层递进） 答案： 见解析。 解析： （1）展开并配对： （每对 ），等号 。 （2）由三元基本不等式： 等号 。 （3）注意到 。由（1）型结论（对正数 ）： 即 等号 ，即 。 20.（综合压轴：多目标最值） 答案：（1）；（2）；（3）。 解析： 设 （因 ）。 （1）设 ，（）， 递减，最小值 （2） 等号 ，即 ，得 。 （3） 故 ，等号 。最大值 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 基本不等式专项训练（20 题·压轴） 压轴难度 · 模拟安徽新高考Ⅰ卷命题风格 · 题号即难度序 · 数学符号规范公式排版 使用说明：本卷为新高考Ⅰ卷风格的基本不等式压轴训练，融入真实情境建模、结构不良题（条件多余或需选择）、新定义等新高考特色题型，核心技法包括：“1”的代换、齐次化、换元、判别式法、含参讨论、多元最值、恒成立求参。答案与解析见另册《参考答案与解析》。 第1—10题　压轴训练（一） 1.（“1”的代换·多目标）★★★★ 已知 ，，且 。 （1）求 的最小值； （2）求 的最小值； （3）求 的最小值。 2.（真实情境：水池造价最优化）★★★★ 某工程要建造一个容积为 （单位：）的无盖长方体蓄水池，底面为正方形。已知池底造价为 元/，池壁造价为 元/（）。 （1）设底面边长为 （m），把总造价 表示为 的函数（高用 表示）； （2）求使总造价最低的底面边长（用 表示）与最低造价； （3）若 ，，，求底面边长、高与最低总造价。 3.（含条件的分式最值）★★★★ 已知 ，，且 。 （1）求 的最小值； （2）求 的最小值； （3）求 取最小值时 的值。 4.（换元型：配凑）★★★★ （1）求 （）的最小值； （2）求 （）的最小值； （3）求 的最小值（注意换元后新元的取值范围）。 5.（判别式法与分式最值）★★★★★ （1）求 （）的最大值； （2）用判别式法求 的值域； （3）求 （）的最小值。 6.（真实情境：日利润最大）★★★★★ 某产品每件成本为 元，售价为 元（），每日销量为 件。 （1）写出日利润 （元）关于 的函数； （2）令 ，把 化为 ，并求日利润的最大值（提示：用三元基本不等式 或导数）； （3）求取最大值时的售价与日销量。 7.（恒成立求参数）★★★★ 已知 ，。 （1）求 的最小值； （2）若 对一切 恒成立，求 的最大值； （3）若 对一切 恒成立，求 的最大值。 8.（双变量条件最值）★★★★★ 已知正数 满足 。 （1）设 ，利用 建立关于 的不等式； （2）求 的最小值； （3）求 的最小值，并指出取等条件。 9.（根式最值）★★★★★ 求 的最大值与最小值。 （1）写出定义域，并设 、，求 ； （2）求 的最大值及取到时的 ； （3）求 的最小值及取到时的 。 10.（三元最值）★★★★★ 已知 ，且 。 （1）求 的最小值； （2）求 的最大值； （3）求 的最小值。 第11—20题　压轴训练（二） 11.（结构不良题：条件选择）★★★★★ 已知 ，，在下列三个条件中：① ；② ；③ 。 （1）分别分析三个条件能否用于求 的最小值； （2）选择恰当的条件，求 的最小值； （3）求取最小值时 的值。 12.（ 的多种目标）★★★★★ 已知 ，，且 。 （1）求 的最大值； （2）求 的最小值； （3）求 的最小值（提示：令 ）。 13.（倒数结构与最值）★★★★★ 已知 ，，且 。 （1）求 的最小值； （2）求 的最小值； （3）求 的最小值。 14.（分式函数的最值）★★★★ （1）求 （）的最小值； （2）求 （）的最大值； （3）求 （）的最小值（提示：拆成三个正项）。 15.（结构不良题：条件选择）★★★★★ 已知 ，，在下列三个条件中：① ；② ；③ 。 （1）分别讨论三个条件； （2）选择能求 最小值的条件，并求该最小值； （3）在条件①下，求 的最大值。 16.（新定义：平衡正数对）★★★★★ 定义： 若正数 满足 ，则称 为一个平衡正数对。 （1）证明：若 是平衡正数对，则 且 ； （2）求 的最小值； （3）求 的最小值，并求 的值。 17.（恒成立求参数范围）★★★★ 设 。若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围。 （1）讨论 的情形； （2） 时求 的最小值，并列出不等式； （3）求 的取值范围。 18.（含参最值讨论）★★★★★ 设 （），。 （1）求 在 上的最小值（按 分类）； （2）求 在区间 上的最小值（按 分类讨论，注意最小值点是否落在区间内）； （3）求（2）中 与 时的最小值。 19.（不等式证明·层层递进）★★★★★ 已知 。 （1）证明：（提示：展开后配对用基本不等式）； （2）证明：； （3）证明：。 20.（综合压轴：多目标最值）★★★★★ 已知 ，，且 。 （1）求 的最小值；（提示：令 ，注意 的取值范围） （2）求 的最小值； （3）求 的最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $