解决集合、复数与常用逻辑用语问题的方法体系专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“知识点梳理-方法突破”双主线构建集合、常用逻辑用语、复数专项体系，提炼“问题转化-流程化解题”方法链，逻辑递进且突出易错点，培养数学思维与表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合|含3知识点+3方法+多例题|元素三问定位法、子集个数公式逆用、运算两步化简法|从概念（元素性质）到关系（子集）再到运算（交并补），层层递进| |常用逻辑用语|含2知识点+2方法+多例题|集合法判充要条件、量词命题最值转化法|从充分必要条件到量词命题，构建逻辑推理链条| |复数|含4知识点+3方法+多例题|标准形式化归法、模的几何意义转化法、实系数方程虚根成对|从概念（实虚部）到运算（四则）再到几何意义与方程，形成完整认知|

预备知识的方法体系 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　集合的概念与元素的三大性质 集合与元素的关系只有两种： 或 ，非此即彼。判断某个对象能否组成集合，看的是标准是否确定——「个子高的同学」「接近 的数」标准不确定，不能构成集合。 元素的三条性质：确定性、互异性、无序性。其中互异性是考试里唯一会被专门设坑的一条： 这类含参集合，求出参数后必须回代，舍去让元素重复的值。 常用数集及其包含关系： 含 ， 不含 ；无理数（如 、）在 之外、 之内。 四种表示方法：列举法（元素有限、规律明显）、描述法 、Venn 图（表达关系与运算）、区间（连续实数集， 一侧永远用开括号）。 ★ 看清代表元素是解集合题的第一步： 写描述法时「代表元素、取值范围、属性」三样缺一不可。 ⚠ 两个高频错点： 但 ；、、 是三个不同的对象（一个含元素的集合、一个空集、一个数）。 ★ 见到 ，先问三句话：代表元素是什么？元素满足什么条件？这个集合有多少个元素？这三问能解决大半个集合基础题。 知识点二　集合间的关系与子集个数 集合间的关系有四种：子集（）、真子集（）、集合相等（）、互不包含。判断关系时先看元素，再把「包含」翻译成不等式或直接逐项验证。 ⚠ 空集 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。含参的 问题，如果没排除 ，必须先讨论一次——这是本模块最高频的失分点。 ★ 子集个数公式：含 个元素的有限集合 ， 来由： 中每个元素在构造子集时都有「进」与「不进」两种独立选择，由分步乘法计数原理共 种；再去掉全部不选（对应 ）与全部选（对应 本身）两种情形。 ★ 四个命题互相等价，做题时按哪个方便用哪个： ★ 区间型集合的包含问题（如 ）：已经确定的元素必须在内，剩下的元素各自可选可不选。 ★ 含参 的处理顺序：先讨论 ，再讨论 （此时列不等式组，端点逐个检验能否取等）。 知识点三　集合的运算 三种基本运算： 补集一定要先明确全集 ，同一个集合在不同全集下的补集不一样。 ★ 德摩根律（正着算麻烦时，反转过来算）： 分配律在集合里同样成立：，。 ★ 两种画图工具，按集合的形态选：连续型（不等式、区间）用数轴，把每个集合画成一段，交找公共段、并找覆盖段、补找剩余段；离散型或抽象型（元素个数、Venn 图给关系）用 Venn 图。 ⚠ 数轴法的唯一难点是端点：开、闭区间在数轴上用空心圈与实心点区分，含参运算求出参数后，要把端点单独代回原条件检验一次。 含参的两类问题： （两段不相交，用「左段的右端 右段的左端」列式）与 或 （两段合起来盖满全集）。 ★ 集合运算题一律两步走：先把每个集合化简成最简形式（解不等式、求定义域、解方程），再画数轴或 Venn 图。跳过第一步直接算，是这类题最常见的错误来源。 知识点四　充分条件与必要条件 对命题「若 则 」： 为真时称 是 的充分条件、 是 的必要条件；两个方向都成立（）时称充要条件。四个档位——充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要。 ★ 集合法是本模块最好用的工具。设条件集 、结论集 ，则 前者说明 是 的充分条件（ 的范围更小），后者说明 是 的必要条件（ 的范围更大）。 口诀：谁的范围小，谁就是充分条件。「小范围推大范围」—— 更小意味着「凡是满足 的，必然满足 」。 三种判定方法，按题目形态选：① 定义法，双向各推一次，否定一个方向只需举一个反例；② 集合法，把两个条件各自的范围解出来比大小（含参求范围几乎都用它）；③ 等价转化法，用逆否命题、函数单调性、图象把条件化简单再比。 ⚠ 方向最容易搞反：说「 是 的充分条件」与说「 的充分条件是 」，两句的方向正好相反。答题时把「」写出来再判断，不要凭语感。 常用转化：；；（ 递增，无需限制正负）；而 需要 ，这一步常被漏掉。 ★ 见到「 是 的什么条件」，就把 、 各自的范围解出来，看谁能推出谁。范围解不出来的（如立体几何中的位置关系题），再退回定义法，一边找反例一边双向推。 知识点五　全称量词与存在量词 全称量词 （「任意」「所有」）与存在量词 （「存在」「有一个」）。含这两类量词的命题叫全称量词命题与存在量词命题。 ★ 否定的口诀：改量词、否结论—— 变 、 变 ，结论取反。 否定时只改量词和结论，条件（ 的范围 ）不动，「」的否定是「」而不是「」。 ★ 恒成立与能成立，都转成最值： 来由： 要压得住 的每一个函数值，也就是要压得住其中最大的那个；反过来，只要求存在一个 成立，那就只要求 够得上最小值。 判断真假：证明一个全称量词命题为真需要严格推理，而否定它只需举出一个反例；存在量词命题反过来，找到一个例子即可为真。 逻辑联结词： 一真即真（对应并集）， 一假即假（对应交集）， 真假互换（对应补集）。★ 逻辑版的德摩根律：，。 四种命题中，原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假。直接判断困难时，改判它的逆否命题。 ★ 见到「恒成立」「总有」「都满足」，先翻译成「 与最值比大小」；见到「存在」「至少有一个」，翻译成「够得着最值」。把量词题变成最值题，就没有新东西要学了。 知识点六　复数的概念与四则运算 复数 （， 为虚数单位，）， 叫实部， 叫虚部。⚠ 虚部是一个实数（），不含 ——这是本题型最高频的错点。 分类： 时为实数； 时为虚数； 且 时为纯虚数。⚠ 纯虚数必须同时满足两条，只写 会把 错收进来。 ★ 复数相等的充要条件： 且 。这是把复数方程化归成实数方程组的桥梁——只要题目说「实数 满足……」，就把实部、虚部拆成两个方程。 共轭与模的常用性质： 四则运算：加减按实部虚部分别合并；乘法按多项式展开、把 换成 ；除法的关键是分母实数化——分子分母同乘分母的共轭： ★ 速算结论（省一步化简）：；；；。 ★ 的幂以 为周期： 求高次幂就看指数除以 的余数；连续四项之和为 ，求和时先「四个一组」清零，再处理余项。 ★ 化简复数的固定顺序：能先算括号就先算，遇到分式立刻分母实数化，最后把结果写成 的标准形式再回答。问「虚部」「实部」「共轭」时，务必回到标准形式再读。 知识点七　复数的几何意义与最值 复数、点、向量三者一一对应： 复平面内的点 向量 。这是把复数问题几何化的入口。 ★ 两个模的几何翻译： 由此得到三条轨迹翻译（本模块最高频的考点）： 第三种要分类： 时是椭圆（两定点为焦点）， 时退化为线段， 时无轨迹。判别口诀：常数与焦距比大小。 ★ 三角不等式是求模的最值的主力工具： 其中「右边」在 、 同向时取等，「左边」在反向时取等。代进点与圆的位置关系，就是 、。 乘 的几何意义是绕原点逆时针旋转 ： 对应点 ， 对应点 ，正是逆时针转 的坐标公式。更一般地，复数乘法是「模相乘、辐角相加」。 对称关系也靠点来看： 与 关于实轴对称， 与 关于原点对称， 与 关于虚轴对称。 ★ 见到「」就把模翻译成距离，再看这些距离构成什么图形（圆、中垂线、椭圆），最后用几何方法求最值——比设 硬算快得多。 知识点八　复数方程与复数数列 实系数一元二次方程 （），判别式 ： 两个不等实根， 两个相等实根， 一对共轭虚根。 ★ 实系数方程的虚根必成共轭对出现： 是根，则 也是根。来由：对方程两边取共轭，利用 与实数的共轭是它本身，得到 也满足同一个方程。 ★ 韦达定理在复数域照样成立： 虚根情形下 、 互为共轭，所以 ——可以直接读出模长，不必把根解出来。 复系数方程（系数含 ）不适用共轭对结论，只能设 代入、按实部虚部拆成方程组。 ★ 复数数列的周期性主要来自 ：以 为周期循环，且连续四项之和为 。遇到含 的数列求和，先把「四个一组」的部分清零，再处理余项。 涉及 的最值，把每一项落到复平面上，用点与圆、点与定点的距离关系求解，不必逐项展开。 ★ 见到「 是方程的根」，先判断系数是实是复：实系数直接上「虚根成对 + 韦达」；复系数只能设 老实地拆方程组。 二、方法突破 方法一　集合的概念与元素性质 这一类题不涉及运算，考的是「读集合」：代表元素是什么、元素满足什么条件、有几个元素。 描述法 的三要素——代表元素、取值范围、属性——缺一不可，缺哪个都可能在化简时出错。 含参集合的作用点是互异性：求出参数后必须回代原集合，舍去使元素重复的值。只检验「符合条件」而不检验「会不会重复」，是本类题的第一失分点。 遇到「非空数集满足某性质，判断哪个结论成立」这类新定义题，先把性质用一两个具体元素试一遍（比如取 代入），把能确定的元素定下来，再往下推。 ★ 见到含参集合，先在草稿上把集合写开，再问一句「这几个元素会不会撞在一起」。 例题 例 1-1 【单选】已知集合，则A中元素的个数为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 【解析】 第 1 步　集合写的是 ，就是平面上的点集；「元素个数」要在约束下逐列枚举 ◈ 看到代表元素是 就立刻知道这是点集，题目问的是落在区域内的整点有几个。这一步不需要什么技巧，关键是枚举时把 的每一个取值都代进去算 的范围，不要凭感觉跳步。椭圆在 处 已被压成 一个点，这种端点的退化情形最容易被漏掉。 答　C 例 1-2 【多选】已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ） A. B. 将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集 C. 若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 D. 若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 【解析】 第 1 步　新定义题先按「最小元素」分类枚举，再用一一对应把未知个数归到已知的 上 ◈ 这道题的四个选项其实是四种手法：A 是直接枚举；B 是「整体加 」这个构造；C 是「去掉最大元、其余减 」的双射；D 则要先按「 含不含 」把 拆成两块，再凑出递推。考试时不必全推——枚举出 、验证 B，再对 C 举一个 的反例（），就足以定答案。 答　ABD 练习 1-1. 【多选】群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设G是一个非空集合，“•”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得对任意的，有，称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元．则称G关于“•”新构成一个群．则下列说法正确的有（ ） A. （为虚数单位）关于数的乘法构成群 B. 有理数集关于数的加法构成群 C. 关于数的除法构成群 D. 正实数集关于数的乘法构成群 1-2. 【多选】已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（ ）. A. . B. . C. 若，则. D. 若，则. 1-3. 【单选】对于非空集合，定义函数，，若存在，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 方法二　集合间的关系与子集个数 判断两个集合的关系，先看元素构成：能列举的直接比元素，含不等式的先化简再比区间端点。 子集个数类问题直接用公式：含 个元素的集合，子集 个、真子集 个、非空真子集 个。中间夹逼型（）先固定必选元素，再对可选元素计数。 公式要会倒着用：题目说「 有且只有 2 个子集」，等价于 恰有 个元素；说「 有 3 个真子集」，等价于 。这一句转换是整道题的入口。 含参 按固定顺序讨论：先 （此时参数使方程无解或区间左端大于右端），再 （列不等式组）。漏掉空集这一支是本类题最常见的错误。 ★ 只要题目里出现 且 带参数，第一句话就写「当 时」。 例题 例 2-1 【单选】已知集合，，有且只有2个子集，则实数（ ） A. B. C. 1 D. e 【解析】 第 1 步　「有且只有 2 个子集」 集合恰有 个元素；曲线与直线恰有一个交点 相切 ◈ 子集个数是 ，题目给的是子集个数，先把它换回元素个数，几何条件才落得到实处。再看「恰有一个交点」：严格凸的 与直线只能有 、、 个交点，中间那种情形只能相切，所以直接列「最小值等于 」即可，不必分类讨论。 答　C 练习 2-1. 【单选】已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（ ） A. B. C. D. 方法三　集合的运算 集合运算题一律两步走：先把每个集合化简成最简形式（解不等式、求定义域、解方程），再画图。 连续型集合（不等式、区间）画数轴：把每个集合标成一段，交找公共段、并找覆盖段、补找剩余段，端点用空心圈与实心点区分。离散型或抽象型集合（元素个数、给定关系）画 Venn 图。 含参的两类运算： 与 （或 ）。列完不等式组后，端点的取舍要单独代回检验。 正面算麻烦时用德摩根律反转：，。给出 这类「补集的交」，翻回原集合就是「都不属于」，等于 去掉 的部分。 ★ 化简完了再动手，别一边化简一边算——两个集合都化简干净之后，题意通常在图上就一目了然了。 例题 例 3-1 【多选】已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　 要翻成 ，再逐项比对元素归属 ◈ 补集方向最容易看反。判据是「谁大谁小」： 说明 是被包含的小集合，取补之后 就变成包含的大集合。翻译完再做题， 里一定有 、可能还有 中若干元素——「一定有什么」用来判对，「可能有什么」用来判错。 答　BC 练习 3-1. 【多选】已知全集，集合，且满足：，，则下列说法正确的为（ ） A. B. C. 集合可能是 D. 方法四　充要条件的判断 四种判定结果只有四档，判断前先把「 推出 」与「 推出 」两条方向写清楚，避免凭语感把方向搞反。 首选定集合法：把 、 各自的范围解出来，范围小的推出范围大的（小范围推大范围）。含参求充要条件范围，几乎都落在 的端点不等式上。 范围解不出来时（立体几何的位置关系、抽象函数性质），退回定义法：两个方向各推一次，否定一个方向只需举一个反例。再不行就用等价转化法，改判逆否命题，或把条件化到最简。 常见转化要记清边界： 对一切实数成立；而 隐含 ，这一步漏掉就会判错。分式条件 不能直接乘 ，要按 的正负分类，这是选择题里最常设的陷阱。 ★ 做选择题时，若判定方向不清，就先举反例找「推不出」的那一向——排除掉两个方向都推不出的选项，剩下的自然清楚。 例题 例 4-1 【单选】设，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　先看「能不能推出 」，再举反例否定反向 ◈ 判断充分不必要，就是查两个方向：正向必须恒成立，反向只要有一个反例就能否掉。A 项的陷阱是分式： 在 时等价于 ，方向正好反过来，这是这类题最常见的设坑方式。C 项则要注意别把充要条件当成充分不必要。 答　D 例 4-2 【单选】设关于x的方程有实数解，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 答　A 练习 4-1. 【单选】设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4-2. 【单选】已知复数，其中，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4-3. 【单选】“”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4-4. 【单选】已知复数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4-5. 【单选】已知复数，（，i为虚数单位），则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 方法五　全称量词与存在量词 两个动作：判断命题真假、把量词条件翻译成最值条件。 判断真假：全称量词命题为真需要严格证明，为假只需一个反例；存在量词命题为真只需一个实例。选择题里判定假命题，优先去找反例。 恒成立与能成立一律转最值：；。符号方向不要背，理解成「 要压住所有函数值，就得压住最大的那个」即可。 否定命题的口诀是改量词、否结论：量词对调、结论取反，而 的取值范围不动。 ★ 把「恒成立」「总有」「都存在」这些词直接划掉，改写成「 与最大值（或最小值）的不等式」，题目就变成最值题。 例题 例 5-1 【单选】已知命题p：，，命题q：，，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【解析】 第 1 步　全称命题找反例否定，存在命题找实例肯定 ◈ 带量词的命题判断真假，方向和证明题相反：全称命题想证真很难（要对每个 都成立），想证假只要一个反例；存在命题想证真只要找出一个，想证假才需要说明对一切都办不到。本题 用 一句话否掉， 用 一句话成立。难点在 的定义域——注意 、 取负数是允许的。 答　B 方法六　复数的概念与四则运算 化简复数的固定流程：能先算括号就先算，遇到分式立刻分母实数化（分子分母同乘分母的共轭），最后把结果整理成 的标准形式。 所有的「问什么」都要回到标准形式再读：问虚部就读 （是实数，不含 ），问实部就读 ，问共轭就把 取相反数，问模就算 。 分类讨论的两个坑：纯虚数要求 且 ；「 为实数」只要求 ，不限制 。 的幂以 为周期，求高次幂看指数除以 的余数；连续四项之和为 ，求和时先四个一组清零。 多选判断「下列等式是否恒成立」，最稳的办法是代特殊值：取 、 之类代进去，只要出现不相等就说明不恒成立。 ★ 只要题目里出现「虚部」「纯虚数」「共轭」，先把复数写成 并标出 、，再动笔算——直接对着分式读虚部是本类题的主要错误来源。 例题 例 6-1 【单选】已知复数均不为0，则下列等式不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　要找「不恒成立」的一项，代一组特殊值最快；其余三项则用 展开说明 ◈ 多选题里问「恒成立 / 不恒成立」，方向要分清：否定一项只需一个反例，肯定三项却需要一般性论证。C 项看似对称，其实 才等于 ；换成 与 这对，一般相差一个负号。 答　C 例 6-2 【多选】复数，满足，，则（ ）． A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　、 是 的两根，解出 后逐项验证 ◈ 给出和与积，第一反应就是它们是某个二次方程的根——韦达定理反过来用。另外 A 项用到的 是模的乘法性质，不用先解方程也能算出来。C 项容易错在「 所以 」——复数取模之后再加，与两复数先加再取模完全不是一回事。 答　ABD 练习 6-1. 【多选】已知为虚数单位，以下选项正确的是（ ） A. 若，则的充要条件是 B. 若复数满足，则 C. D. 若复数满足，则的最大值为6 6-2. 【多选】已知复数（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 6-3. 【多选】已知复数，互为共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 6-4. 【多选】已知复数满足，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. 满足：的复数对应的点所在区域的面积为 D. 对应的向量与轴正方向所在向量夹角的正切值为 6-5. 【多选】若复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足，则的最大值为 6-6. 【多选】已知复数，则（ ） A. 复数的模长为2 B. 复数在复平面内对应的点在第二象限 C. 复数是方程在复数集内的解 D. 若复数满足，则 方法七　复数的几何意义与轨迹 把复数的模翻译成距离，是这一类题的通用入口： 是到原点的距离， 是两点间距离。 由此三条常考轨迹： 是圆； 是中垂线； 要与焦距比大小——大于焦距是椭圆，等于焦距退化为线段，小于焦距无轨迹。 求模的最值，优先用三角不等式与几何位置关系：点在圆上时 、；不要一开始就设 硬算。 对称与旋转也靠点来看：共轭关于实轴对称，取负关于原点对称，乘 是逆时针旋转 。 ★ 只要式子里的「模」能和「两点距离」对上，就画图；画完图再做代数计算，通常比纯代数快一倍。 例题 例 7-1 【单选】已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　 是两点间距离，两个距离相等 垂直平分线 ◈ 只要看到 这种形式，就立刻翻译成「到两定点距离相等」，轨迹是两定点连线的垂直平分线。算的时候三步：中点坐标、原连线的斜率、取负倒数得垂线斜率。不必设 展开平方——那样会多出一堆可以自动消掉的项。 答　A 例 7-2 【多选】已知复数，（x,），则下列结论正确的是（ ） A. 方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆 B. 方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆 C. 方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线 D. 方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是直线 【解析】 第 1 步　距离之和与焦距比大小、距离之差要注意「是否带绝对值」 ◈ 动点到两定点距离的问题，全在比较「定值与焦距」的大小：两距离之和大于焦距是椭圆，等于焦距退化成线段，小于焦距无轨迹；两距离之差的绝对值小于焦距是双曲线。本题 B 项恰好等于焦距、C 项少了绝对值，两处都设在同一个知识点上——把判据写下来再逐条对，比凭印象判断稳。 答　AD 练习 7-1. 【多选】已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的最小值为3 C. 若，则 D. 若，则 7-2. 【多选】已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 方法八　复数方程与复数数列 含复数根的方程，先看系数是实系数还是复系数，两者走的路完全不同。 实系数方程的虚根一定成共轭对： 是根则 也是根。配合韦达定理 、，还能用 直接读出模长，不必解出根。 复系数方程没有共轭对结论，只能设 代入，按实部、虚部拆成方程组求解。 含 或 的数列，先算前几项找周期（通常为 ），再分组求和；涉及 的最值，落到复平面上用距离处理。 ★ 见到「方程的根」四个字，第一件事是看系数里有没有 ——有 就别用共轭对，老老实实设 。 例题 例 8-1 【单选】已知是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【解析】 第 1 步　实系数方程的虚根成共轭对，配合韦达定理求系数 ◈ 「虚根成对」是实系数方程独有的结论，判据就是看系数里有没有 。有了另一个根，两根之和、两根之积就都知道了，再对照韦达定理 直接读出系数，全程不需要解方程。求根积时用 最快。 答　D 例 8-2 【解答】已知 是由复数组成的数列，（ 为虚数单位），且 ，则（　　） A. B. C. D. 若 ，则 的最小值为 【解析】 第 1 步　 定出递推，算前两项就发现周期为 ◈ 含 的数列，第一步永远是把 的高次幂算成 或 ，这样 就退化成一个常数、递推式才变得可算。本题算到 就回到 ，周期 立刻显现。 答　BCD 练习 8-1. 【单选】已知是关于的方程的一个根，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8-2. 【解答】若 为虚数单位，则 ______。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 预备知识的方法体系 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　集合的概念与元素的三大性质 集合与元素的关系只有两种： 或 ，非此即彼。判断某个对象能否组成集合，看的是标准是否确定——「个子高的同学」「接近 的数」标准不确定，不能构成集合。 元素的三条性质：确定性、互异性、无序性。其中互异性是考试里唯一会被专门设坑的一条： 这类含参集合，求出参数后必须回代，舍去让元素重复的值。 常用数集及其包含关系： 含 ， 不含 ；无理数（如 、）在 之外、 之内。 四种表示方法：列举法（元素有限、规律明显）、描述法 、Venn 图（表达关系与运算）、区间（连续实数集， 一侧永远用开括号）。 ★ 看清代表元素是解集合题的第一步： 写描述法时「代表元素、取值范围、属性」三样缺一不可。 ⚠ 两个高频错点： 但 ；、、 是三个不同的对象（一个含元素的集合、一个空集、一个数）。 ★ 见到 ，先问三句话：代表元素是什么？元素满足什么条件？这个集合有多少个元素？这三问能解决大半个集合基础题。 知识点二　集合间的关系与子集个数 集合间的关系有四种：子集（）、真子集（）、集合相等（）、互不包含。判断关系时先看元素，再把「包含」翻译成不等式或直接逐项验证。 ⚠ 空集 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。含参的 问题，如果没排除 ，必须先讨论一次——这是本模块最高频的失分点。 ★ 子集个数公式：含 个元素的有限集合 ， 来由： 中每个元素在构造子集时都有「进」与「不进」两种独立选择，由分步乘法计数原理共 种；再去掉全部不选（对应 ）与全部选（对应 本身）两种情形。 ★ 四个命题互相等价，做题时按哪个方便用哪个： ★ 区间型集合的包含问题（如 ）：已经确定的元素必须在内，剩下的元素各自可选可不选。 ★ 含参 的处理顺序：先讨论 ，再讨论 （此时列不等式组，端点逐个检验能否取等）。 知识点三　集合的运算 三种基本运算： 补集一定要先明确全集 ，同一个集合在不同全集下的补集不一样。 ★ 德摩根律（正着算麻烦时，反转过来算）： 分配律在集合里同样成立：，。 ★ 两种画图工具，按集合的形态选：连续型（不等式、区间）用数轴，把每个集合画成一段，交找公共段、并找覆盖段、补找剩余段；离散型或抽象型（元素个数、Venn 图给关系）用 Venn 图。 ⚠ 数轴法的唯一难点是端点：开、闭区间在数轴上用空心圈与实心点区分，含参运算求出参数后，要把端点单独代回原条件检验一次。 含参的两类问题： （两段不相交，用「左段的右端 右段的左端」列式）与 或 （两段合起来盖满全集）。 ★ 集合运算题一律两步走：先把每个集合化简成最简形式（解不等式、求定义域、解方程），再画数轴或 Venn 图。跳过第一步直接算，是这类题最常见的错误来源。 知识点四　充分条件与必要条件 对命题「若 则 」： 为真时称 是 的充分条件、 是 的必要条件；两个方向都成立（）时称充要条件。四个档位——充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要。 ★ 集合法是本模块最好用的工具。设条件集 、结论集 ，则 前者说明 是 的充分条件（ 的范围更小），后者说明 是 的必要条件（ 的范围更大）。 口诀：谁的范围小，谁就是充分条件。「小范围推大范围」—— 更小意味着「凡是满足 的，必然满足 」。 三种判定方法，按题目形态选：① 定义法，双向各推一次，否定一个方向只需举一个反例；② 集合法，把两个条件各自的范围解出来比大小（含参求范围几乎都用它）；③ 等价转化法，用逆否命题、函数单调性、图象把条件化简单再比。 ⚠ 方向最容易搞反：说「 是 的充分条件」与说「 的充分条件是 」，两句的方向正好相反。答题时把「」写出来再判断，不要凭语感。 常用转化：；；（ 递增，无需限制正负）；而 需要 ，这一步常被漏掉。 ★ 见到「 是 的什么条件」，就把 、 各自的范围解出来，看谁能推出谁。范围解不出来的（如立体几何中的位置关系题），再退回定义法，一边找反例一边双向推。 知识点五　全称量词与存在量词 全称量词 （「任意」「所有」）与存在量词 （「存在」「有一个」）。含这两类量词的命题叫全称量词命题与存在量词命题。 ★ 否定的口诀：改量词、否结论—— 变 、 变 ，结论取反。 否定时只改量词和结论，条件（ 的范围 ）不动，「」的否定是「」而不是「」。 ★ 恒成立与能成立，都转成最值： 来由： 要压得住 的每一个函数值，也就是要压得住其中最大的那个；反过来，只要求存在一个 成立，那就只要求 够得上最小值。 判断真假：证明一个全称量词命题为真需要严格推理，而否定它只需举出一个反例；存在量词命题反过来，找到一个例子即可为真。 逻辑联结词： 一真即真（对应并集）， 一假即假（对应交集）， 真假互换（对应补集）。★ 逻辑版的德摩根律：，。 四种命题中，原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假。直接判断困难时，改判它的逆否命题。 ★ 见到「恒成立」「总有」「都满足」，先翻译成「 与最值比大小」；见到「存在」「至少有一个」，翻译成「够得着最值」。把量词题变成最值题，就没有新东西要学了。 知识点六　复数的概念与四则运算 复数 （， 为虚数单位，）， 叫实部， 叫虚部。⚠ 虚部是一个实数（），不含 ——这是本题型最高频的错点。 分类： 时为实数； 时为虚数； 且 时为纯虚数。⚠ 纯虚数必须同时满足两条，只写 会把 错收进来。 ★ 复数相等的充要条件： 且 。这是把复数方程化归成实数方程组的桥梁——只要题目说「实数 满足……」，就把实部、虚部拆成两个方程。 共轭与模的常用性质： 四则运算：加减按实部虚部分别合并；乘法按多项式展开、把 换成 ；除法的关键是分母实数化——分子分母同乘分母的共轭： ★ 速算结论（省一步化简）：；；；。 ★ 的幂以 为周期： 求高次幂就看指数除以 的余数；连续四项之和为 ，求和时先「四个一组」清零，再处理余项。 ★ 化简复数的固定顺序：能先算括号就先算，遇到分式立刻分母实数化，最后把结果写成 的标准形式再回答。问「虚部」「实部」「共轭」时，务必回到标准形式再读。 知识点七　复数的几何意义与最值 复数、点、向量三者一一对应： 复平面内的点 向量 。这是把复数问题几何化的入口。 ★ 两个模的几何翻译： 由此得到三条轨迹翻译（本模块最高频的考点）： 第三种要分类： 时是椭圆（两定点为焦点）， 时退化为线段， 时无轨迹。判别口诀：常数与焦距比大小。 ★ 三角不等式是求模的最值的主力工具： 其中「右边」在 、 同向时取等，「左边」在反向时取等。代进点与圆的位置关系，就是 、。 乘 的几何意义是绕原点逆时针旋转 ： 对应点 ， 对应点 ，正是逆时针转 的坐标公式。更一般地，复数乘法是「模相乘、辐角相加」。 对称关系也靠点来看： 与 关于实轴对称， 与 关于原点对称， 与 关于虚轴对称。 ★ 见到「」就把模翻译成距离，再看这些距离构成什么图形（圆、中垂线、椭圆），最后用几何方法求最值——比设 硬算快得多。 知识点八　复数方程与复数数列 实系数一元二次方程 （），判别式 ： 两个不等实根， 两个相等实根， 一对共轭虚根。 ★ 实系数方程的虚根必成共轭对出现： 是根，则 也是根。来由：对方程两边取共轭，利用 与实数的共轭是它本身，得到 也满足同一个方程。 ★ 韦达定理在复数域照样成立： 虚根情形下 、 互为共轭，所以 ——可以直接读出模长，不必把根解出来。 复系数方程（系数含 ）不适用共轭对结论，只能设 代入、按实部虚部拆成方程组。 ★ 复数数列的周期性主要来自 ：以 为周期循环，且连续四项之和为 。遇到含 的数列求和，先把「四个一组」的部分清零，再处理余项。 涉及 的最值，把每一项落到复平面上，用点与圆、点与定点的距离关系求解，不必逐项展开。 ★ 见到「 是方程的根」，先判断系数是实是复：实系数直接上「虚根成对 + 韦达」；复系数只能设 老实地拆方程组。 二、方法突破 方法一　集合的概念与元素性质 这一类题不涉及运算，考的是「读集合」：代表元素是什么、元素满足什么条件、有几个元素。 描述法 的三要素——代表元素、取值范围、属性——缺一不可，缺哪个都可能在化简时出错。 含参集合的作用点是互异性：求出参数后必须回代原集合，舍去使元素重复的值。只检验「符合条件」而不检验「会不会重复」，是本类题的第一失分点。 遇到「非空数集满足某性质，判断哪个结论成立」这类新定义题，先把性质用一两个具体元素试一遍（比如取 代入），把能确定的元素定下来，再往下推。 ★ 见到含参集合，先在草稿上把集合写开，再问一句「这几个元素会不会撞在一起」。 例题 例 1-1 【单选】已知集合，则A中元素的个数为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 【解析】 两个集合的代表元素都是 ，说明 是椭圆内（含边界）的整点集。数元素个数，就是数椭圆 内部有哪些整点。 先定 的范围。由 得 ，又 ，所以 只能取 。 固定 ，再定 的范围，逐个算： 把各列的个数加起来：。 选 C。 第 1 步　集合写的是 ，就是平面上的点集；「元素个数」要在约束下逐列枚举 ◈ 看到代表元素是 就立刻知道这是点集，题目问的是落在区域内的整点有几个。这一步不需要什么技巧，关键是枚举时把 的每一个取值都代进去算 的范围，不要凭感觉跳步。椭圆在 处 已被压成 一个点，这种端点的退化情形最容易被漏掉。 答　C 例 1-2 【多选】已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ） A. B. 将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集 C. 若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 D. 若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 【解析】 先验 A。直接数 阶完美集的个数。，按最小元素 分类： ：要求 ，只有 ，共 个； ： 含 ，还可以从 里选至多 个，得 ，共 个； ： 含 ， 恒成立，可选 ，共 个； ：只有 ，共 个。 合计 。A 正确。 再验 B。设 是 阶完美集，把它的元素全部加 ，得 。元素个数不变，最小元素变成 ，而 所以 仍是完美集，阶数升为 。B 正确。 接着看 C。设 是 阶完美集、 且 。把 中的 去掉、其余元素各减 ，得到 它有 个元素，且 。又因为 ，而 ，所以 即 是 阶完美集。反过来，任取 阶完美集 ，把它的元素各加 、再添上 ，得到的集合最小元为 ，元素个数为 ，恰好是 阶完美集。 两个方向都对上，说明这样的 与 阶完美集一一对应，个数应是 ，而不是 。取 试一试：，而 ，两者不符。C 错误。 最后看 D。先数 的 阶完美集总数。 阶完美集共 个，其中 的恰是 这 个，所以符合条件的共 个。再按 是否属于 拆开：属于的那些由 C 知有 个，所以不属于的（正是 D 的情形）有 个。剩下的只要算出递推式。把 按「 是否属于 」分类：不属于时 ，正是 阶完美集，有 个；属于且 的只有 一个；属于且 的由 C 有 个。于是 代回： 与 D 相符。D 正确。 选 ABD。 第 1 步　新定义题先按「最小元素」分类枚举，再用一一对应把未知个数归到已知的 上 ◈ 这道题的四个选项其实是四种手法：A 是直接枚举；B 是「整体加 」这个构造；C 是「去掉最大元、其余减 」的双射；D 则要先按「 含不含 」把 拆成两块，再凑出递推。考试时不必全推——枚举出 、验证 B，再对 C 举一个 的反例（），就足以定答案。 答　ABD 练习 1-1. 【多选】群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设G是一个非空集合，“•”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得对任意的，有，称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元．则称G关于“•”新构成一个群．则下列说法正确的有（ ） A. （为虚数单位）关于数的乘法构成群 B. 有理数集关于数的加法构成群 C. 关于数的除法构成群 D. 正实数集关于数的乘法构成群 解析　答：ABD 四个选项都要对照群的四条定义逐条检验：封闭、结合律、有单位元、每个元素有逆元。 A： 关于乘法。任意两个元素的积仍在 中（封闭）；乘法满足结合律；单位元是 ； 的逆元是 ， 的逆元是 ， 与 互为逆元。四条都满足，A 正确。 B：有理数集 关于加法。两有理数之和仍是有理数；加法满足结合律；单位元是 ； 的逆元是 。B 正确。 C： 关于除法。除法不满足封闭：取 、，而 它的整数部分为 、 的系数为 ，似乎也在 中；再取 与 ，则 ， 的系数是 ，不在 中。C 错误。 （ 关于除法连封闭性都不满足，更谈不上构成群。） D：正实数集 关于乘法。两正实数之积仍是正实数；乘法满足结合律；单位元是 ； 的逆元是 ，仍是正实数。D 正确。 选 ABD。 1-2. 【多选】已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（ ）. A. . B. . C. 若，则. D. 若，则. 解析　答：BC 是非空数集，先取一个元素 ，代入性质①（取 ）： 再由性质②取 ，得 ；继续用②，，，……依此类推，全体正整数都在 中。 有了全体正整数，再用①：对任意正整数 ，，所以 包含全体正有理数。 看 A。上面的推理只说明 含正有理数，没有逼出负数。取 （全体正有理数），它对除法与加法都封闭（两正有理数之和、之商仍是正有理数），满足两条性质，但 。A 错误。 看 B。由前面的推理 是正整数，已经在 中。B 正确。 看 C。任取 。先用①（取分子为 、分母为 不行，要取单位元）：由①取 已得 ；再对 与 用①，得 。于是 （最后一步用的仍是性质①，把 除以 。）C 正确。 看 D。仍取 ，令 、，则 。D 错误。 选 BC。 1-3. 【单选】对于非空集合，定义函数，，若存在，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析　答：B 先把条件 说清楚。两个函数值都只能取 或 ，和为 意味着两者都是 ，即 且 。所以题目等价于「」。 化简 。由 ，得 ，即 这是数轴上一段段长 的闭区间，与长度 的空隙交替排列。（）的长度是 。 等价于 整段落在某个空隙里，即存在整数 使 也就是 先看 ：，这是一段有效区间。 再看 ： 时左边 ，右边 ，左端大于右端，无解； 时两端都是负数，与 矛盾。 所以 当且仅当 ，所求 的范围是它的补集： 选 B。 方法二　集合间的关系与子集个数 判断两个集合的关系，先看元素构成：能列举的直接比元素，含不等式的先化简再比区间端点。 子集个数类问题直接用公式：含 个元素的集合，子集 个、真子集 个、非空真子集 个。中间夹逼型（）先固定必选元素，再对可选元素计数。 公式要会倒着用：题目说「 有且只有 2 个子集」，等价于 恰有 个元素；说「 有 3 个真子集」，等价于 。这一句转换是整道题的入口。 含参 按固定顺序讨论：先 （此时参数使方程无解或区间左端大于右端），再 （列不等式组）。漏掉空集这一支是本类题最常见的错误。 ★ 只要题目里出现 且 带参数，第一句话就写「当 时」。 例题 例 2-1 【单选】已知集合，，有且只有2个子集，则实数（ ） A. B. C. 1 D. e 【解析】 第一步把「子集个数」翻译成「元素个数」。含 个元素的集合有 个子集，所以「 有且只有 个子集」等价于 ，即两个集合的交集恰好只有一个元素。 两个集合的代表元素都是 ，都是点集： 是指数函数 上所有点， 是直线 上所有点。所以 就是曲线与直线的交点集，条件变成「只有 个交点」。 设 ，交点个数就是 的零点个数。求导得 令 得 。当 时 ， 递减；当 时 ， 递增。所以 在 处取到全局最小值 又因为 与 时 ，零点个数只能看最小值：最小值大于 时无零点，小于 时有两个零点，只有最小值等于 时恰好一个零点。 于是 ，得 。选 C。 第 1 步　「有且只有 2 个子集」 集合恰有 个元素；曲线与直线恰有一个交点 相切 ◈ 子集个数是 ，题目给的是子集个数，先把它换回元素个数，几何条件才落得到实处。再看「恰有一个交点」：严格凸的 与直线只能有 、、 个交点，中间那种情形只能相切，所以直接列「最小值等于 」即可，不必分类讨论。 答　C 练习 2-1. 【单选】已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（ ） A. B. C. D. 解析　答：C 同样是先把子集个数换回元素个数。含 个元素的集合有 个真子集，所以「 有 个真子集」等价于 即 。 再看两个集合。 是方程的解集： 要让 有两个元素， 的这两个元素都得落在 里。 是以 和 为端点的区间，逐个选项代入检验。 当 时，，而 ，此时 ，不合。 当 时，， 但 ，仍只有 个元素，不合。 当 时，，、，两个都在，，符合。 当 时，，但 ，不合。 选 C。 方法三　集合的运算 集合运算题一律两步走：先把每个集合化简成最简形式（解不等式、求定义域、解方程），再画图。 连续型集合（不等式、区间）画数轴：把每个集合标成一段，交找公共段、并找覆盖段、补找剩余段，端点用空心圈与实心点区分。离散型或抽象型集合（元素个数、给定关系）画 Venn 图。 含参的两类运算： 与 （或 ）。列完不等式组后，端点的取舍要单独代回检验。 正面算麻烦时用德摩根律反转：，。给出 这类「补集的交」，翻回原集合就是「都不属于」，等于 去掉 的部分。 ★ 化简完了再动手，别一边化简一边算——两个集合都化简干净之后，题意通常在图上就一目了然了。 例题 例 3-1 【多选】已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 先把 化简。由 得 ，所以 条件 说的是补集之间的包含关系，把它翻译回 ： 等价于 。而 所以 一定包含 ；至于 里的元素， 可以有也可以没有。 逐项判断。 A： 落在 中，而这一段整个属于 ，所以 。A 错误。 B： 落在 中，同理 。B 正确。 C：既然 ，自然有 。C 正确。 D： 是开区间，，所以 。D 错误。 选 BC。 第 1 步　 要翻成 ，再逐项比对元素归属 ◈ 补集方向最容易看反。判据是「谁大谁小」： 说明 是被包含的小集合，取补之后 就变成包含的大集合。翻译完再做题， 里一定有 、可能还有 中若干元素——「一定有什么」用来判对，「可能有什么」用来判错。 答　BC 练习 3-1. 【多选】已知全集，集合，且满足：，，则下列说法正确的为（ ） A. B. C. 集合可能是 D. 解析　答：BCD 给出的是两个补集的关系，先用德摩根律合并： 全集 ，所以 再加上已知的 ，两个式子合起来说明：、 同时在 和 中；、 都不在 中；剩下的 、 必须一个在 、一个在 中（也可能两个都被同一个集合拿走），共四种分法。 逐项判断。 A：，所以 。A 错误。 B：，而 在这个并集中。B 正确。 C：当 、 都被 拿走时 ，与题设的、 都相容，所以 确实可能是这个集合。C 正确。 D：由德摩根律， 与选项一致。D 正确。 选 BCD。 方法四　充要条件的判断 四种判定结果只有四档，判断前先把「 推出 」与「 推出 」两条方向写清楚，避免凭语感把方向搞反。 首选定集合法：把 、 各自的范围解出来，范围小的推出范围大的（小范围推大范围）。含参求充要条件范围，几乎都落在 的端点不等式上。 范围解不出来时（立体几何的位置关系、抽象函数性质），退回定义法：两个方向各推一次，否定一个方向只需举一个反例。再不行就用等价转化法，改判逆否命题，或把条件化到最简。 常见转化要记清边界： 对一切实数成立；而 隐含 ，这一步漏掉就会判错。分式条件 不能直接乘 ，要按 的正负分类，这是选择题里最常设的陷阱。 ★ 做选择题时，若判定方向不清，就先举反例找「推不出」的那一向——排除掉两个方向都推不出的选项，剩下的自然清楚。 例题 例 4-1 【单选】设，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【解析】 题目要的是「 的充分不必要条件」，也就是要找一个条件：它能推出 ，但 推不出它。逐项检验。 A： 等价于 ，它同时受分子 与分母 的正负控制。取 、，则 、， 成立，但 ，推不出 。A 错误。 B： 等价于 ，即 。取 、，条件成立但 。B 错误。 C： 等价于 ，即 。两边互相推出，这是充要条件，不是充分不必要条件。C 错误。 D： 等价于 ，由 当然有 ，所以它充分；反过来，取 ，此时 成立但 ，不必要。D 正确。 选 D。 第 1 步　先看「能不能推出 」，再举反例否定反向 ◈ 判断充分不必要，就是查两个方向：正向必须恒成立，反向只要有一个反例就能否掉。A 项的陷阱是分式： 在 时等价于 ，方向正好反过来，这是这类题最常见的设坑方式。C 项则要注意别把充要条件当成充分不必要。 答　D 例 4-2 【单选】设关于x的方程有实数解，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 先把 的范围解出来。 是振幅为 的正弦型函数： 当 取遍全体实数时， 取遍 ，所以这个函数的值域是 。 方程 有实数解，等价于 落在这个值域里，即 而 。 （ 整个落在 内）所以 能推出 ；反过来取 ，它满足 但不满足 ，所以 推不出 。 因此 是 的充分不必要条件。选 A。 答　A 练习 4-1. 【单选】设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析　答：C 先看充分性：假设存在集合 使 且 ，那么 所以 。充分性成立。 再看必要性：假设 ，取 。显然 成立；又因为 ， 中每个元素都不属于 ，即 。所以这样的 确实存在，取 即可。必要性成立。 两个方向都成立，是充要条件。选 C。 4-2. 【单选】已知复数，其中，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析　答：B 先把 整理成标准形式，再算它的模。分子分母同乘 ： 于是 条件 等价于 ，即 ，解得 现在看两个方向。由 当然有 或 ，所以 能推出 ，说明 是必要条件；反过来取 ，满足 但不满足 ，所以 推不出 ，说明它不是充分条件。 因此是必要不充分条件。选 B。 4-3. 【单选】“”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析　答：C 先把复数化简。分子分母同乘 ： 它是纯虚数，要求实部为 且虚部不为 ： 解得 （此时虚部为 ，符合）。 所以「」与「该复数为纯虚数」互相推出，是充要条件。选 C。 4-4. 【单选】已知复数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 解析　答：C 先把 化简。分母实数化，分子分母同乘 ： 于是 条件 等价于 ，即 现在看两个方向。由 能推出 或 ，所以 能推出 ，说明 是必要条件；反过来取 ，满足 但不满足 ，所以它不是充分条件。 因此是必要不充分条件。选 C。 4-5. 【单选】已知复数，（，i为虚数单位），则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析　答：C 条件 的几何含义是：两个复数对应的向量同向。（若把 、 看作向量， 是平行四边形的一条对角线，只有当两向量共线且方向相同时，对角线长才等于两条边的长度之和。） 所以这个条件等价于 且 。把 、 代入：要求 由 得 ，此时 ，符合。 也就是说，「」与「等式成立」互相推出。选 C。 （也可以直接算：，，两边相等化简后得到 ，同样得 。） 方法五　全称量词与存在量词 两个动作：判断命题真假、把量词条件翻译成最值条件。 判断真假：全称量词命题为真需要严格证明，为假只需一个反例；存在量词命题为真只需一个实例。选择题里判定假命题，优先去找反例。 恒成立与能成立一律转最值：；。符号方向不要背，理解成「 要压住所有函数值，就得压住最大的那个」即可。 否定命题的口诀是改量词、否结论：量词对调、结论取反，而 的取值范围不动。 ★ 把「恒成立」「总有」「都存在」这些词直接划掉，改写成「 与最大值（或最小值）的不等式」，题目就变成最值题。 例题 例 5-1 【单选】已知命题p：，，命题q：，，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【解析】 两个命题都带量词，判真假的办法各走一路：全称命题要否定只需一个反例，存在命题要成立只需一个实例。 先看 ：，。取 ，则 、，两边相等，不满足严格大于。所以 是假命题， 是真命题。 再看 ：，。取 ，此时 ， 不等式成立。所以 是真命题。 （这里要留意 、 可以取负数。若限定 ，由均值不等式 ，不等式恒不成立；一旦放开到全体实数、让 而 ，命题就成立了。） 于是 真、 真。选 B。 第 1 步　全称命题找反例否定，存在命题找实例肯定 ◈ 带量词的命题判断真假，方向和证明题相反：全称命题想证真很难（要对每个 都成立），想证假只要一个反例；存在命题想证真只要找出一个，想证假才需要说明对一切都办不到。本题 用 一句话否掉， 用 一句话成立。难点在 的定义域——注意 、 取负数是允许的。 答　B 方法六　复数的概念与四则运算 化简复数的固定流程：能先算括号就先算，遇到分式立刻分母实数化（分子分母同乘分母的共轭），最后把结果整理成 的标准形式。 所有的「问什么」都要回到标准形式再读：问虚部就读 （是实数，不含 ），问实部就读 ，问共轭就把 取相反数，问模就算 。 分类讨论的两个坑：纯虚数要求 且 ；「 为实数」只要求 ，不限制 。 的幂以 为周期，求高次幂看指数除以 的余数；连续四项之和为 ，求和时先四个一组清零。 多选判断「下列等式是否恒成立」，最稳的办法是代特殊值：取 、 之类代进去，只要出现不相等就说明不恒成立。 ★ 只要题目里出现「虚部」「纯虚数」「共轭」，先把复数写成 并标出 、，再动笔算——直接对着分式读虚部是本类题的主要错误来源。 例题 例 6-1 【单选】已知复数均不为0，则下列等式不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【解析】 题目问的是「不恒成立」的那一个，所以只要找出一个反例就能定案，其余三个要能说明对一切复数都成立。 A：共轭运算与减法可以交换顺序。设 、，则 而 ，与上式相同。A 恒成立。 B： 与它的共轭模相等，因为共轭只是把虚部取相反数，实部与虚部的平方和不变： B 恒成立。 C：取 、（两者都不为 ），则 两者不相等。C 不恒成立。 D：两边分别是 与它的共轭的模，而互为共轭的两个复数模相等，所以两边都等于 。D 恒成立。 选 C。 第 1 步　要找「不恒成立」的一项，代一组特殊值最快；其余三项则用 展开说明 ◈ 多选题里问「恒成立 / 不恒成立」，方向要分清：否定一项只需一个反例，肯定三项却需要一般性论证。C 项看似对称，其实 才等于 ；换成 与 这对，一般相差一个负号。 答　C 例 6-2 【多选】复数，满足，，则（ ）． A. B. C. D. 【解析】 已知 、，由韦达定理，、 是方程 的两个根。解出来： 不妨设 、，两者互为共轭。 （系数全为实数，虚根一定成对出现，这一点也用得上。） A：由模的乘法性质， A 正确。 B：，所以 。B 正确。 C：， 同样是 ，和为 。C 错误。 D：。D 正确。 选 ABD。 第 1 步　、 是 的两根，解出 后逐项验证 ◈ 给出和与积，第一反应就是它们是某个二次方程的根——韦达定理反过来用。另外 A 项用到的 是模的乘法性质，不用先解方程也能算出来。C 项容易错在「 所以 」——复数取模之后再加，与两复数先加再取模完全不是一回事。 答　ABD 练习 6-1. 【多选】已知为虚数单位，以下选项正确的是（ ） A. 若，则的充要条件是 B. 若复数满足，则 C. D. 若复数满足，则的最大值为6 解析　答：ACD A：两个复数相等，当且仅当实部与虚部分别相等，所以 等价于 、。A 正确。 B：由 得 。复数乘法满足「乘积为零则至少一个因子为零」，所以只能推出 或 。题目并没有说 ，取 时 、 可以任意，比如 、。B 错误。 C： 的幂以 为周期且连续四项之和为零： 而 ，前面 项恰好分成 组、每组为 ，只剩最后一项 C 正确。 D： 表示 到点 的距离。 在以原点为圆心、 为半径的圆上，该圆上的点到 的最大距离为 D 正确。 选 ACD。 6-2. 【多选】已知复数（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 解析　答：ABC 先把 化成标准形式： A：。A 正确。 B：直接算 ： 而 ，两者相等。B 正确。 C：由 B 的结果， C 正确。 D：由 得 、，所以 （最后一步用 C 的结论 。）而选项给的是 ，不相等。D 错误。 选 ABC。 6-3. 【多选】已知复数，互为共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：ABC 设 、（），逐项检验。 A： A 正确。 B： 而 ，两边相等。（这就是 。）B 正确。 C：，于是 两者相等。C 正确。 D： 一般不是实数。取 、，则 两者不相等。D 错误。 选 ABC。 6-4. 【多选】已知复数满足，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. 满足：的复数对应的点所在区域的面积为 D. 对应的向量与轴正方向所在向量夹角的正切值为 解析　答：AC 先解出 。右边先化简： 又 ，方程化为 ，两边同乘 的倒数（即同乘 ，因为 ）： A：实部为 。A 正确。 B：虚部是 前面的系数，为 ，不是 。B 错误。 C：。满足 的复数对应的点是以原点为圆心、 为半径的圆面，面积为 。C 正确。 D： 对应的点为 ，与 轴正方向夹角的正切值是纵坐标与横坐标之比 与选项给出的 不符。D 错误。 选 AC。 6-5. 【多选】若复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足，则的最大值为 解析　答：BCD 先把 化简。分母实数化，分子分母同乘 ： A：，与选项给的 不符。A 错误。 B：。B 正确。 C： 对应的点为 ，横坐标为正、纵坐标为负，在第四象限。C 正确。 D： 表示 在以原点为圆心、 为半径的圆上。 是 到点 的距离，该圆上的点到 的最大距离为 D 正确。 选 BCD。 6-6. 【多选】已知复数，则（ ） A. 复数的模长为2 B. 复数在复平面内对应的点在第二象限 C. 复数是方程在复数集内的解 D. 若复数满足，则 解析　答：ACD 已知 。 A：。A 正确。 B： 对应的点为 ，横坐标为正、纵坐标为负，在第四象限，不是第二象限。B 错误。 C：解方程 ： 取减号即为 ，所以 是该方程在复数集内的解。C 正确。 D： 表示 在以 为圆心、 为半径的圆上，求圆上点到原点的最大距离： D 正确。 选 ACD。 方法七　复数的几何意义与轨迹 把复数的模翻译成距离，是这一类题的通用入口： 是到原点的距离， 是两点间距离。 由此三条常考轨迹： 是圆； 是中垂线； 要与焦距比大小——大于焦距是椭圆，等于焦距退化为线段，小于焦距无轨迹。 求模的最值，优先用三角不等式与几何位置关系：点在圆上时 、；不要一开始就设 硬算。 对称与旋转也靠点来看：共轭关于实轴对称，取负关于原点对称，乘 是逆时针旋转 。 ★ 只要式子里的「模」能和「两点距离」对上，就画图；画完图再做代数计算，通常比纯代数快一倍。 例题 例 7-1 【单选】已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 把模翻译成距离。 对应点 ，于是 表示点 到 的距离； 表示点 到 的距离。 题目说这两个距离相等，所以点 的轨迹是线段 的垂直平分线。 求这条直线。 的中点坐标： 的斜率： 垂直平分线与 垂直，斜率为 ，且过点 ，所以 即 。选 A。 第 1 步　 是两点间距离，两个距离相等 垂直平分线 ◈ 只要看到 这种形式，就立刻翻译成「到两定点距离相等」，轨迹是两定点连线的垂直平分线。算的时候三步：中点坐标、原连线的斜率、取负倒数得垂线斜率。不必设 展开平方——那样会多出一堆可以自动消掉的项。 答　A 例 7-2 【多选】已知复数，（x,），则下列结论正确的是（ ） A. 方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆 B. 方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆 C. 方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线 D. 方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是直线 【解析】 已知 、。先把几个常见距离说清楚： 对应点 ， 对应点 。 A： 表示 到点 的距离恒为 ，这是以 为圆心、 为半径的圆。A 正确。 B： 是到两个定点距离之和为定值。两定点的距离（焦距）为 而距离之和恰好也等于 ，等于焦距，所以轨迹是连接两定点的线段（退化的椭圆），不是椭圆。B 错误。 C：，距离之差的绝对值 小于焦距 ，轨迹是双曲线，但这里给的是「差」而不是「差的绝对值」，符号固定为正，所以只能取到双曲线中靠近 的那一支，不是整条双曲线。C 错误。 D：先算 ，条件的左端化为 ，即 到点 的距离；右端 是 到点 的距离。两者相等，轨迹是这两点连线的垂直平分线，是一条直线。D 正确。 选 AD。 第 1 步　距离之和与焦距比大小、距离之差要注意「是否带绝对值」 ◈ 动点到两定点距离的问题，全在比较「定值与焦距」的大小：两距离之和大于焦距是椭圆，等于焦距退化成线段，小于焦距无轨迹；两距离之差的绝对值小于焦距是双曲线。本题 B 项恰好等于焦距、C 项少了绝对值，两处都设在同一个知识点上——把判据写下来再逐条对，比凭印象判断稳。 答　AD 练习 7-1. 【多选】已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的最小值为3 C. 若，则 D. 若，则 解析　答：AB 复平面内，复数 对应向量 ，复数的加、减就是向量的加、减，模就是向量的长度。 A： 时，以这两个向量为邻边的平行四边形是矩形，矩形的两条对角线长度相等，即 。A 正确。 （也可以直接算：两向量垂直时 。） B： 表示 在以原点为圆心、 为半径的圆上。 是 到点 的距离，原点与点 的距离为 ，所以圆上的点到 的最小距离为 B 正确。 C：两个向量和与差的垂直，等价于 只能推出 ，即两个复数的模相等，与 差得远（例如 、）。C 错误。 D：复数是不能比较大小的， 只说明模大，不构成 的依据。D 错误。 选 AB。 7-2. 【多选】已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 解析　答：ABC 表示 到点 与 的距离之和恒为 。两定点的距离为 ，小于 ，所以轨迹是以 为焦点、 的椭圆： 即 。 A： 是椭圆上的点到原点的距离。椭圆的长轴端点是 ，到原点距离最大为 ，所以 。A 正确。 B： 是椭圆上的点到右焦点 的距离。右焦点到右顶点 的距离是 ，这是椭圆上的点到右焦点的最小值，所以 。B 正确。 C：若 ，则 落在 轴上，椭圆与 轴的交点是 ，此时 。C 正确。 D：设 。由 要求 ，即 或 。当 时确实有 ；但当 时，代入椭圆方程得 ，即 ，此时 。D 错误。 选 ABC。 方法八　复数方程与复数数列 含复数根的方程，先看系数是实系数还是复系数，两者走的路完全不同。 实系数方程的虚根一定成共轭对： 是根则 也是根。配合韦达定理 、，还能用 直接读出模长，不必解出根。 复系数方程没有共轭对结论，只能设 代入，按实部、虚部拆成方程组求解。 含 或 的数列，先算前几项找周期（通常为 ），再分组求和；涉及 的最值，落到复平面上用距离处理。 ★ 见到「方程的根」四个字，第一件事是看系数里有没有 ——有 就别用共轭对，老老实实设 。 例题 例 8-1 【单选】已知是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【解析】 方程 的系数 、 都是实数，属于实系数方程，它的虚根一定成共轭对出现。已知一个根是 ，所以另一个根是 接下来用韦达定理，不必把根代回方程硬算。两根之和： 得 。两根之积： 得 。 所以 。选 D。 （根积这一步用的是共轭复数相乘等于模的平方：，这里 ，比展开乘法快。） 第 1 步　实系数方程的虚根成共轭对，配合韦达定理求系数 ◈ 「虚根成对」是实系数方程独有的结论，判据就是看系数里有没有 。有了另一个根，两根之和、两根之积就都知道了，再对照韦达定理 直接读出系数，全程不需要解方程。求根积时用 最快。 答　D 例 8-2 【解答】已知 是由复数组成的数列，（ 为虚数单位），且 ，则（　　） A. B. C. D. 若 ，则 的最小值为 【解析】 先算 的高次幂，定出递推式： 所以递推式变成 由 逐项算下去： 出现与前文相同的项，说明数列以 为周期：奇数项都是 ，偶数项都是 。于是 （ 是偶数）。 A： 与选项中的 不符。A 错误。 B：。B 正确。 C：求和的式子 两两成对，共 对，每对为 每对的模都是 ，且各对的模方向相同，所以总和的模为 C 正确。 D：、。条件 表示 在以 为圆心、半径 的圆上，求该圆上的点到 的最小距离。两圆心的距离为 所以最小距离为 。D 正确。 选 BCD。 第 1 步　 定出递推，算前两项就发现周期为 ◈ 含 的数列，第一步永远是把 的高次幂算成 或 ，这样 就退化成一个常数、递推式才变得可算。本题算到 就回到 ，周期 立刻显现。 答　BCD 练习 8-1. 【单选】已知是关于的方程的一个根，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 解析　答：D 方程 的系数 、，是实系数方程。已知一个根为 ，由虚根成共轭对，另一个根是 用韦达定理。两根之和： 得 。两根之积： 得 。 所以 选 D。 8-2. 【解答】若 为虚数单位，则 ______。 解析　答： 这是含 的求和，先把 的幂按周期 展开：、、、，之后循环。 四个一组算，每组的结果相同。第 到第 项： 第 到第 项同理（系数多 ，但 的幂重复）， 剩下第 、 两项，不够一组，单独算： 三部分相加： （也可以直接验算： 的幂按 项一组求和为 的规律，只对「系数相同」的情形成立；本题系数是 ，所以只能一组一组算。） 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $