函数与导数的方法体系（六）导数与不等式综合专项训练-2027届高三数学一轮复习

函数与导数的方法体系（六） 导数与不等式综合 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　用导数研究函数的单调性 ★ 导数研究单调性，靠的是一句话：在区间 上 ，则 在 上递增；，则 在 上递减。正负号决定升降，与导数绝对值的大小无关。 ★ 反过来用要小心： 在 上递增，只能推出 ，中间可以取到等号。例如 在 上递增，但 。所以由「递增」反求参数时，解的是不等式 。 ★ 求单调区间固定三步：先写定义域，再求导，最后解不等式。顺序不能颠倒 —— 含 的函数定义域是 ，含 的要挖掉 ，单调区间永远落在定义域里面。 ★ 含参讨论的入口，是把 整理成「因式分解」的样子。通分、提公因式、十字相乘，能分解就先分解；分解之后每个因子的符号各自判断，讨论就有了着落。分解不了再考虑换元或二次求导。 ★ 最常见的三种形态。一是 ，其中 ，这时只需要按 、、 分三种情形。例如 ，求导得 ，分母恒正，看分子即可。 ★ 二是 为二次式，这时要看两根是否落在定义域内、两根谁大谁小。例如 ，两根 与 的大小关系就是讨论的分界。 ★ 三是 里带 或 。 恒正，可以直接约掉； 的符号由 与 的大小决定。这类题先约掉恒正的因子，剩下的式子往往就简单了。 ★ 分界点从哪里找？令 解出的根，拿它和「定义域的端点」比：根在定义域外，这一支就整段同号；根在定义域内，它才把区间切成两段。把根的个数与位置列成表，讨论就完整了。 ★ 题目说「在区间 上单调递增」，等价于 在 上恒成立，而且「等号只允许在孤立点出现」。例如 在 上递增，就是 在 上恒成立，右边最大值在 处取到 ，所以 。 ★ 题目说「在区间上不单调」或「存在递减区间」，翻译过来是： 在这个区间上「变号」。变号的必要条件是有零点落在区间内部，所以先令 求根，再让根落进给定区间、并回代检验确实是变号点（而不是偶次重根处的假变号）。 ★ 当 的符号不好判断时，对 再求一次导。 说明 递增，于是只要找到 的一个零点，符号就定了。这叫二次求导，处理 里同时出现 与 的题特别顺手。 ★ 单调性最大的用处是「去函数符号」。 在区间上递增时， 与 等价；递减时不等号反向。去掉符号之前要先把 、 都凑进同一个单调区间，凑的工具是奇偶性与对称性。 ★ 含参讨论最容易丢分的地方是不完整：只讨论了 ，没写 ；或者两根相等那种临界情形被漏掉。动笔前先把参数的分界点全部列出来，再逐个写结论，最后回头数一遍分了几段。 ★ 写完单调区间要自查两件事：端点是否开的（单调区间一般不写成闭区间）；区间是否都在定义域内。含 的题里出现 的区间，一定是错的。 知识点二　极值、最值与零点 ★ 极值点处导数一定为零，但导数为零的点未必是极值点。 在 处导数为零，可函数在这里是递增的，没有极值。所以 只是必要条件，判定还得看导数的符号变化。 ★ 判定的办法是列表看导数的「符号走向」： 在 左右由正变负， 是极大值点；由负变正， 是极小值点；符号不变，就什么都不是。 ★ 求极值的四步：写定义域、求导、解 、列表判号后代回求值。最后一步别省 —— 题目问的是极值（一个数），不是极值点（一个横坐标）。两者差一个字，答案差一个数量级。 ★ 已知极值点反求参数：把 代进 解出参数，「一定要回代检验」。因为方程成立只是必要条件，代回去可能发现该点并非极值点，也可能发现函数在这一点根本没有定义。 ★ 闭区间 上求最值，只需要比较「所有极值点的函数值」与「两个端点的函数值」，取最大与最小。区间端点不是极值点，却常常是最值点，漏掉端点是比较大小的题里最典型的失误。 ★ 开区间上求最值，看的是单调性与两端趋势。例如 求导得 ，令它为零得 ，这个点左边递减、右边递增，所以极小值是 。 ★ 零点存在性定理：函数在 上连续，且 ，则 内至少有一个零点。它只保证「存在」，不保证「唯一」；要说明唯一，还得加上单调性。 ★ 零点个数问题，第一反应是「把方程改写成两个函数相等」。 难解，就写成 ，方程的解的个数等于两条曲线交点的个数。其中一条往往是直线或水平线，数起来最方便。 ★ 参数分离是数零点的标准手段：把方程整理成 的形式，于是「直线 与曲线 有几个交点」就是「原方程有几个零点」。接下来只需要画出 的草图：单调区间、极值、两端趋势。 ★ 三次函数的零点个数有现成判据。设它的极大值为 、极小值为 ： 且 时三个零点； 或 时两个零点；其余情形一个零点。画图一看便知，不必每次重新讨论。 ★ 例如 在 处取极大值。求导得 ，把 代入令其为零，得 或 。两个值都满足必要条件，只有分别列表判号才能定出真正符合条件的那个。 ★ 零点之和与零点之积，通常借助对称性。若 的图象关于直线 对称，两个零点 、 就满足 ；若两个零点处的函数值相等，又可以用极值点作中介建立联系。 ★ 讨论零点个数时，别忘了「定义域」。含 的函数只在 上有意义，画草图时左半平面是空白的；含 的要注意间断点两侧的趋势。把定义域画在图上，交点个数才不会数错。 ★ 极值与最值是两回事：极值是「局部」概念，只看邻域；最值是「整体」概念，看整个区间。一个函数可以有很多个极值，但最大值、最小值各只有一个（如果存在的话）。 知识点三　恒成立与存在性 ★ 恒成立问题的总口诀：「能分离就分离，不能分离就求最值」。「 对任意 都成立」等价于「 在 上的最小值大于等于 」。把这句话写下来，含量词的题就变成了一道普通的最值题。 ★ 四种常见说法的翻译。对任意 ，，即 ；存在 ，使 ，即 ；对任意 ，，即 ；存在 ，使 ，即 。「任意」配「最小」，「存在」配「最大」，记熟这一条就不会反。 ★ 什么时候可以直接分离参数？当含参的项能干净地移到一边、另一边只含 时。比如 分离不了（ 与 粘在一起），而 可以，因为 时 ，两边同除不变号。 ★ 分离参数时，同除的那个式子「符号必须确定」。若它可能为负，不等号方向要跟着变，这时就得按区间分情况，或者改用分类讨论法。同除一个含 的式子而不管它的正负，是这类题最常见的错误。 ★ 分离之后，问题变成求 在区间上的最值。求法还是老三样：求导、找极值点、比较端点。例如 在 上恒成立，只需求 的最大值，而 在 上递减，最大值在 处取到。 ★ 分离不了，就用「含参讨论」：直接研究 的单调性与最值，让最小值随参数变化，再解「最小值 」这个关于参数的不等式。这条路更麻烦，但适用范围广，尤其是参数与 以乘积、指数形式耦合时。 ★ 含参讨论的收尾技巧叫「必要性探路」：先取定义域里一个方便的点代入，得到一个关于参数的必要条件，把参数的取值范围缩到很小，再在这个小范围内证明充分性。这一步省掉大量讨论，是压轴题的常客。 ★ 例如 恒成立。先取 ：，得 。再证明 时确实恒成立 —— 在 上递减、 上递增，最小值 当且仅当 。两者取交，于是 。 ★ 存在性问题与恒成立问题常常成对出现。「对任意 ，存在 ，使 」，含义是 的最大值不超过 的最大值；「对任意 ，对任意 ，」，含义是 的最大值不超过 的最小值。两个量词管两个变量，逐个翻译成最值。 ★ 双变量问题里，两个变量分属两个函数时，分别求各自的最值即可；两个变量在同一个函数里时，往往要借助函数的单调性或对称性把它们联系起来。 ★ 不等式在区间上恒成立，还有一种处理方式：设 ，把「 恒成立」转化为「 的零点问题」。若 的最小值恰好为零，那么这一点的导数也为零，两个条件联立正好解出参数。 ★ 「恰有一解」「有且仅有一个」这类说法，要求的是「等号能取到」：存在性保证至少一个，唯一性保证至多一个。用最值法处理时，要把「」换成「」，这是与恒成立问题唯一的分寸差别。 ★ 恒成立题写完了要回头检查三件事：等号能不能取到（端点是否包含在区间内）；分离参数时有没有改变不等号方向；定义域有没有遗漏。这三处都过关，答案才站得住。 知识点四　不等式的证明与双变量 ★ 证明不等式的基本套路是「作差构造函数」。要证 ，就设 ，转而证明 的最小值大于等于零。一句话把证明题变回最值题。 ★ 作差之后求导，如果导数恒正或恒负，单调性一出来结论就跟着出来。如果导数也看不出符号，就二次求导，或者把 拆成两段分别放缩。实在不行再回到必要性探路，先定参数范围。 ★ 常用的切线放缩有两条，必须记牢：（当且仅当 时取等），（当且仅当 时取等）。它们分别来自 与 是这两条曲线在关键点处的切线。 ★ 由切线放缩还能派生出更顺手的形式：把 换成 得 ，把 换成 得 。放缩的方向要与不等式的方向一致，放过头反而证不出来。 ★ 放缩要「适可而止」。每一步放缩都放宽了不等式，放得太松就会出现「想证 ，结果只能得到 」的尴尬。遇到这种情况，回头检查哪一步放得太狠，或者改用保留更多信息的作差法。 ★ 例如证明 对 成立。移项作差得 ，求导得 。再求导知 在 上递增，且 ，于是 在 处取最小值 ，不等式成立。 ★ 双变量问题的核心是「消元」。两个变量 、 之间通常有一条关系式（比如 ，或者 ），用它把其中一个变量表示成另一个的函数，二元问题就变成一元问题。 ★ 极值点偏移是双变量问题里最典型的一类。设 、 是 的两个零点（或两个极值点），要证 （ 是极值点横坐标），标准的做法是构造 ，研究它的符号，从而比较 在极值点两侧的增减快慢。 ★ 极值点偏移的直观解释：若 的图象在极值点左边陡、右边缓，两个等值点就会偏向平缓的一侧，于是 与 的大小关系随之确定。作差构造的 就是把这个「陡缓」量化下来。 ★ 处理两个极值点的和或积，还有一个入口是「韦达定理」。若 化为一个二次方程，两根之和与两根之积可以直接写出来，要证的式子往往就是这两个对称量的组合。 ★ 例如 ， 有两个不同极值点 、。求导得 ，两根满足 、。两式相减消掉 ，把 放进 里继续放缩，就能得到 。 ★ 数列型不等式，是把连续情形离散化。通常先证出 在某个区间上成立，再把 取成一串特殊值（如 、、），逐项相加或相乘得到目标式。取什么值，由要证式子的结构决定。 ★ 证明不等式时不要急于求导。先看两边能不能同乘一个正数、能不能取对数把指数降下来、能不能用已知的常用不等式直接替换。这些变形做完再求导，计算量常常少一大半。 二、方法突破 方法一　含参函数的单调性讨论 导数题的第一问，十有八九是讨论单调性。它既是独立考点，也是后面求极值、证不等式的必经台阶 —— 单调性没讨论清楚，第二步就无从下手。所以这一节先把这个动作练到不出错。 ★ 固定动作五步：写定义域、求导、把导数整理成因式之积、找出所有令导数为零的根、按根与定义域的位置关系分段写结论。五步的顺序不能变，尤其是第一步 —— 含 的函数只有 这一半，越过定义域的讨论都是无效的。 ★ 求导之后先别急着讨论，先看能不能约掉恒正的因子。 恒正， 在 时恒正，约掉它们，剩下的式子往往就是一次或二次的，讨论的难度会低一个量级。 ★ 导数是分式时，分母的符号单独看，分子才是讨论的主角。例如 ，求导得 ，分母 在定义域内恒正，于是只要看 的符号，分界点就是 。 ★ 分界点的个数决定了讨论的段数。一个根：按根在定义域内、外分两种情形；两个根：还要比出两根的大小，两根相等的那种临界情形单独写一段。动笔前先把分界值全部列在草稿纸上，写完再回头数一遍。 ★ 二次型导数是高频形态。 可以分解成 ，两根是 与 ，于是按 、、 分成三段讨论，再叠加上 这个前提。 ★ 题目问的是「单调区间」，答案要写成区间。递增区间写在前面还是递减区间写在前面没有硬性要求，但同一题的写法要统一；区间端点一般写成开的，只有在明确要求闭区间或者涉及最值时才取闭。 ★ 遇到「在区间上单调」这类条件，翻译成导数的不等式。「在 上递减」即 在 上恒成立；「存在递减区间」则要求导数在区间内变号，这时要看导数有没有零点落在区间内部。 ★ 若函数解析式里有 这类复合结构，求导别漏掉内层的 ：。参数 一旦漏掉，后面的讨论会全盘错位。 ★ 写完单调性自查三件事：定义域写了没有？参数分成几段、每段都有结论吗？所有区间是不是都落在定义域里面？这三问都能答上来，第一问的分就稳了。 例题 例 1-1 【解答】已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围. 【解析】 先讨论单调性。 的定义域是 ，求导得 。 当 时， 而 ，所以 恒成立， 在 上单调递增，没有递减区间。 当 时，令 得 。 时 ，； 时 。所以 在 上递减，在 上递增。 再看恒成立。 时 ，把含 的项分离出来，两边同除以 ，得 记 （），问题化为求 的最小值。求导得 把分子记作 。它的符号不好直接判断，再求一次导：。 在 上 ，；在 上 。所以 在 处取到最小值，而这个最小值是 又 、，结合 先减后增，可知 在 上成立， 在 上成立。 于是 在 上递减、在 上递增，最小值为 所以 的取值范围是 。 第 1 步　把参数分离到一边 ◈ 时不等式两边同除以 ，得到 ，右边是一个不含参的函数。 第 2 步　对商求导，分子看不出来就二次求导 ◈ 的分子 里同时有 与 ，再求导得 ，符号一目了然。 第 3 步　由 的符号定出 的谷底 ◈ 在 处由负转正，所以 在 处取最小值 。 答　(1)当 时 在 上递增；当 时在 上递减、在 上递增　(2) 例 1-2 【解答】已知函数，（1）讨论的单调性．（2）若对任意都有恒成立，求a的取值范围． 【解析】 先看定义域： 的定义域是 。求导得 分母 在定义域内恒正，所以只需要看分子 的符号。 当 时，对一切 都有 ，所以 ， 在 上单调递增。 当 时，分界点是 ： 时 ， 时 ，所以 在 上递减、在 上递增。 再看恒成立。若 ，由上面知 在 上递增，而当 从右侧趋于 时 趋于负无穷、 取负值或零，所以 趋于负无穷，不可能恒有 。因此必有 。 此时 的最小值在 处取得： 由 得 ，即 。所以 的取值范围是 。 第 1 步　求导后看清谁是主角 ◈ ，分母恒正，分界点就是分子零点 。 第 2 步　用单调性排除一半参数 ◈ 时 递增但左端趋于负无穷，恒非负不可能成立，所以只需讨论 。 第 3 步　最小值非负解出参数 ◈ ，解得 。 答　(1)当 时 在 上递增；当 时在 上递减、在 上递增　(2) 例 1-3 【填空】已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______． 【解析】 在 上单调递增，翻译成导数就是 对一切 成立。 两边同乘 ，不等号方向不变，得 。记 ，，问题化为求 的最大值。 求导得 。当 时 、，所以 恒成立， 在 上单调递减。 于是 的最大值在左端点处取到： 所以 ，即 的取值范围是 。 第 1 步　把「递增」翻译成导数非负 ◈ 在 上恒成立。 第 2 步　分离参数 ◈ 同乘 得 ，右边不含参数，问题化为求它的最大值。 第 3 步　用单调性读出最大值 ◈ 在 上递减，最大值在 处取到 。 答　 例 1-4 【解答】已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）设函数，已知有两个极值点．①求的取值范围；②求证：． 【解析】 （1） 的定义域是 。求导并通分： 分母 ，两个因式的零点分别是 与 ，下面比较它们的大小。 当 时两根相等，， 在 上单调递增。 当 时 ： 在 上递增、在 上递减、在 上递增。 当 时 ： 在 上递增、在 上递减、在 上递增。 （2）①，求导得 有两个极值点，等价于方程 在 上有两个不相等实根。这要求抛物线开口向上即 ，判别式 即 ；此时对称轴 、常数项 ，两个正根自动得到保证。所以 的取值范围是 。 ②设两个极值点为 、，由韦达定理 把两个极值点代入 的解析式并相加： 其中 ，。代入化简得 要证它小于 ，只需证 。设 ，。 求导得 ，因为 ，所以 ， 在 上单调递减。 而 ，于是当 时 ，即 成立，所以 。 第 1 步　把导数的分子分解成两个一次因式 ◈ ，两根 与 谁大谁小，就是讨论的分界。 第 2 步　两个极值点的存在条件 ◈ 的分子是二次式，要求它在 上有两个不等实根，于是开口、判别式、对称轴三件事都要交代。 第 3 步　用韦达定理把双变量合成单变量 ◈ 与 都用 表示， 便只剩 一个变量，再构造关于 的函数即可。 答　(1)当 时在 上递增；当 时在 、 上递增，在 上递减；当 时在 、 上递增，在 上递减　(2)①　②见解析 练习 1-1. 【填空】函数的单调递减区间为______． 解析　答： 或 定义域是 。先把两个部分分别求导再合并： 分母 ，而 时 ，所以 恒成立， 的符号完全由 决定。 当 时 ，当 时 ，所以单调递减区间是 。 1-2. 【多选】已知函数，则（ ） A. 当时，函数的最小值为 B. 当时，函数的极大值点为 C. 存在实数使得函数在定义域上单调递增 D. 若恒成立，则实数的取值范围为 解析　答：AD 定义域是 ，求导得 。令 得 ，即 。 时 ， 时 ，所以 在 处取最小值 逐项判断。当 时最小值是 ，A 项成立。 当 时 ， 是 由负变正的分界点，所以 是极小值点而不是极大值点，B 项不成立。 要使 在定义域上递增，需要 对一切 成立，但 从右侧趋于 时 趋于负无穷，这个不等式不可能对一切 成立，C 项不成立。 恒成立等价于最小值 ，即 ，解得 ，D 项成立。 所以成立的选项是 A、D。 1-3. 【解答】已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，存在，使得，求a的取值范围. 解析　答：(1)见解析　(2) （1） 的定义域是 ，求导得 。 当 时，，所以 恒成立， 在 上单调递减，没有递增区间。 当 时，令 得 ，即 。 时 ， 时 ，所以 在 上递减、在 上递增。 （2）存在 使 ，等价于 在 上的最大值不小于 。下面按 时最小值点 的位置分情形。 因为 ，端点处的函数值分两部分看：，。 若 ，则 ，，而 ，此时 的最大值是 。由 得 ，由 得 ，两式都与 矛盾，无解。 若 ，则最小值点 落在 内，最小值是 ，此时 ，所以 ，最大值只能出现在端点。由 得 ，与 矛盾；由 且 ，只需 ，解得 。结合 ，得 。 若 ，则 ， 在 上单调递增，最大值是 ，也满足要求。 综上， 的取值范围是 。 1-4. 【解答】已知a，，，（1）当时，讨论的单调性；（2）设，若在上有极值，求b的取值范围并证明此极值小于b． 解析　答：(1)当时，　(2) （1）当 时 ，定义域是 。求导得 当 时，分子 对一切 成立，所以 在 上单调递减。 当 时，分界点是 ： 时 ， 时 ，所以 在 上递减、在 上递增。 （2），定义域是 ，求导得 。 令 ，两边同乘 得 。记 ， 当 ，所以 在 上单调递增。 在 上有极值，等价于方程 在 内有解，且该点两侧 变号。由 递增知解唯一，且 、，所以 。此时 小于该解时 ，；大于该解时 ，所以这个点是极小值点， 的取值范围是 。 设该极值点为 ，则 ，即 。极值等于 因为 ，要证 ，只需证 。设 ，，所以 在 上单调递减。 又 ，所以 ，于是 ，得证。 1-5. 【解答】已知函数，其中．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：． 解析　答：(1)当时，函数　(2)见解析 （1） 的定义域是 。求导并通分： 分母 ，两个因式的零点分别是 与 。因为 ，所以 ，下面比较它与 的大小。 当 时 ： 在 上递减、在 上递增、在 上递减。 当 时两根相等，， 在 上单调递减。 当 时 ： 在 上递减、在 上递增、在 上递减。 （2）当 时，。要证的不等式两边同乘 并移项，等价于 记 ，。求导得 因为 恒成立，所以 的符号由 决定。， 在 上单调递增。 由 （因为 ，即 ，等价于 ）以及 ，而由 取 得 ，所以 。 于是存在唯一的 使 ，即 。 在 上递减、在 上递增，最小值是 。 把 代入： 记 ，，所以 单调递减。由 得 所以 在 上恒成立，原不等式得证。 1-6. 【解答】已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若对任意和任意，都有，求实数的取值范围． 解析　答：(1)当时，　(2) （1） 的定义域是 。按商的求导法则并整理： 因为 、，所以 的符号由 决定。 当 时， 对一切 成立， 在 上单调递减。 当 时，分界点是 ： 时 ， 时 ，所以 在 上递减、在 上递增。 （2）条件对 、 是「任意」的，所以先把 固定、对 看，再把 放到最有利的位置。原式即 。 若 ，则 在 上递减， 趋于无穷时 趋于 或常数、 趋于无穷， 可以任意小，而 可以取到任意大的正数，条件不可能成立。所以 。 此时 的最小值是 于是对任意 都要有 。令 ，则 ，条件化为 即 对一切 成立。 设 ，： 时 ， 时 ，所以 在 处取最大值 。 因此只需 ，解得 ，即 的取值范围是 。 方法二　极值、最值与零点 单调性讨论完之后，紧接着就是求极值、最值与判断零点个数。这一节把三个问题串成一条线：极值是局部的最高最低点，最值是整个区间上的头名与末名，零点则是函数值与零的次数。 ★ 极值的判定看导数符号的走向，不看导数是否为负。 在 左侧为正、右侧为负， 就是极大值点；反之为极小值点；符号不变则不是极值点。列表是最稳妥的写法，一步都不省。 ★ 已知某点是极值点反求参数，先把该点代入 解出参数，再回代检验这个点是否真的变号。这一步不能省 —— 方程成立只是必要条件，解出的参数有可能让该点变成单调区间内部的普通点。 ★ 闭区间上的最值，候选点只有两类：区间内部的极值点，加上两个端点。把所有候选函数值算出来一比即可。端点常常就是最值点，漏掉端点是比较大小类问题里最常见的失误。 ★ 求参数范围时如果条件里出现「极点」「极值点」却没有给具体的函数值，别忘了极值点处导数等于零这个等式 —— 它就是唯一的方程来源。 ★ 零点个数问题的第一步是改写方程。把 整理成 ，于是问题变成直线 与曲线 有几个交点。接下来只要把 的单调区间、极值、两端趋势画出来。 ★ 画草图时要交代三件事：单调区间，极值点的位置与高度，以及区间两端函数的走向（趋于无穷还是趋于某个有限值）。这三件事齐了，水平线上下平移时交点的变化一目了然。 ★ 三次函数的零点个数可以直接背结论。极大值与极小值异号时三个零点，其中一个为零时两个零点，其余情形一个零点。这个结论只对三次函数成立，别用到别处。 ★ 若零点之和、零点之积要证，先找对称轴。图象关于直线 对称时，两个零点满足 ；没有现成对称轴，就用两个零点函数值相等这条线索，把它们与极值点联系起来。 ★ 求最值和讨论零点时，先问自己：这个区间是闭的还是开的？极值点全都落在区间里了吗？端点值算了没有？三个问题过一遍再落笔。 例题 例 2-1 【解答】已知函数在处有极大值.（1）求实数的值；（2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【解析】 （1），求导得 处取极大值，所以 ，即 ，解得 或 。这个条件只是必要条件，两个值都要回代检验。 当 时 ，在 上为负、在 时为正，导数在 两侧符号相反且左负右正， 是极小值点，不符合。 当 时 ，在 时为正、在 时为负，导数在 处由正变负， 是极大值点，符合题意。所以 。 （2）此时 。 有三个不同零点，就是直线 与曲线 有三个公共点。由 知， 在 上递增、在 上递减、在 上递增。 两个极值是 ，。当 趋于负无穷时 趋于负无穷，当 趋于正无穷时 趋于正无穷，所以曲线从左下往右上，中间先拱到 再落到 。 水平直线 要与这条曲线交三次，需要它夹在极小值与极大值之间，即 ，解得 。 第 1 步　必要条件先解出参数 ◈ 给出 ，解得 或 ，两个值都要保留。 第 2 步　回代检验哪一个是极大值点 ◈ 只有 时导数在 处由正变负，所以 才是所求。 第 3 步　零点个数化为水平线与曲线的交点 ◈ 即 ，数交点只需把 与极大值 、极小值 比大小。 答　(1)　(2) 例 2-2 【解答】已知函数，曲线在点处的切线与平行．（1）求的值；（2）求的极值． 【解析】 （1），定义域是 。按积的求导法则： 切线与直线 平行，说明两直线斜率相等，于是 。把 代入：，即 ，解得 。 （2）由（1）得 ，。令 得 ，即 ，这是唯一的驻点。 当 时 ，， 递减；当 时 ， 递增。所以 是极小值点，极小值为 函数没有极大值。 第 1 步　「平行」翻译成斜率相等 ◈ ，代入 即得 。 第 2 步　解 找驻点 ◈ 只有一个解 ，所以极值点至多一个。 第 3 步　由符号变化定出极小值 ◈ 驻点左侧导数为负、右侧为正，是极小值点，极小值 ，无极大值。 答　(1)　(2)极小值为 ，无极大值 例 2-3 【解答】已知在处取得极小值．（1）求在处的切线方程；（2）若，讨论零点的个数． 【解析】 （1）。「在 处取得极小值 」同时给出两个等式：，。由第二式得 ，代入第一式：，即 ，解得 ，从而 。 此时 ，，。切点处切线方程为 ，整理得 。 （2） 的零点个数，就是直线 与曲线 的公共点个数，而这条曲线的形状由两个极值决定。，所以在 上递增、在 上递减、在 上递增。 极大值 ，极小值 。当 趋于负无穷时 趋于负无穷，当 趋于正无穷时 趋于正无穷。于是按 落在哪个区间分类。 当 或 ，即 或 时，直线与曲线只有一个公共点； 当 或 ，即 或 时，直线恰好过极值点，有两个公共点； 当 ，即 时，有三个公共点。 第 1 步　「极值」一句话给出两个方程 ◈ 在 处取极小值 ，等价于 且 。 第 2 步　零点个数只看两个极值 ◈ 三次函数图象是一个「先升后降再升」的形状，水平线与它交几个点，完全由极大值、极小值决定。 第 3 步　按 与极值的大小关系分类 ◈ 夹在极小值与极大值之间时三个交点，恰好等于某个极值时两个，落在区间外时一个。 答　(1)　(2)当 或 时一个零点；当 或 时两个零点；当 时三个零点 例 2-4 【解答】已知函数.（1）当时，求函数的最值；（2）若函数有两个不同极值点，证明：. 【解析】 （1）当 时 ，定义域是 。求导得 。 时 ， 时 ，所以 在 处取最大值 ，没有最小值。 （2），定义域是 。求导得 有两个不同极值点 、，说明这两个点都是 的根，于是 ，。 两式相减得 ，两式相加得 。设 ，由相减的式子解出 。 于是 代入相加的式子得 要证 ，只需证 ，即 ，也就是 ，整理成 。 设 ，。求导得 所以 在 上单调递增，，即 成立，代回得 。 第 1 步　两个极值点给出两个等式 ◈ 、 都是 的根，于是 、，这两式是后面所有操作的起点。 第 2 步　作比消参数 ◈ 设 ，两式相减把 与 的乘积解出来，再代回相加的式子，参数 就消失了。 第 3 步　把目标化成一元不等式 ◈ 等价于 ，构造函数求导，导数恒正即可。 答　(1)最大值为 ，无最小值　(2)证明见解析 练习 2-1. 【解答】已知函数在处的切线与直线平行．（1）求的值：（2）求的极值． 解析　答：(1)　(2)极大值为，无极小值. （1），定义域是 。按积的求导法则： 在 处的切线与 平行，所以 。代入得 ，解得 。 （2）此时 ，。因为 ，所以 的符号由 决定。令 得 ，即 。 当 时 ，， 递增；当 时 ， 递减。所以 是极大值点，极大值为 函数没有极小值。 2-2. 【解答】已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值. 解析　答：(1)　(2). （1），定义域是 ，。，。切点处切线方程为 ，整理得 。 （2）把导数通分并分解： 分母在 上恒正，所以 在 上递增、在 上递减、在 上递增。闭区间上的最大值只能在极值点与端点处取到。 四个候选值是 逐个比较。由 （即 ）可以估出大小关系：；；。所以 比另外三个都大，最大值是 。 2-3. 【解答】已知函数（1）若，求函数在处的切线方程；（2）求证：当时，有且仅有一个零点. 解析　答：(1)　(2)见解析 （1）当 时 ，定义域是 。，，。所以切线是过 的水平线，方程为 。 （2），定义域是 ，分母恒正，讨论分子即可。 当 时， 的判别式 ，所以 恒成立（ 时只在 取等）， 在 上单调递增。当 从右侧趋于 时，若 则 趋于负无穷， 趋于负无穷；若 则 趋于 。两种情形下 在靠近原点处都取不到正值。 而 趋于正无穷时 趋于正无穷，又 单调递增，所以 内恰有一个零点。 当 时，方程 有两个根 与 ，其中 、。 在 上递增、在 上递减、在 上递增。 这两个根满足 ，把它代入 得 记右边为 ，。求导得 当 时 而 ，；当 时 而 ，。所以 在 上单调递减。 而 从右侧趋于 时 趋于 ， 趋于 ；。于是当 时 ，当 时 。 所以 且 。于是 时 都小于零（递增段的函数值小于 ，递减段的也小于 ），而 时 从负值递增到正无穷，恰好在 内穿过一次。 所以当 时， 有且仅有一个零点。 2-4. 【解答】已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）探究是否为的极大值点. 解析　答：(1)　(2)不是极大值点 （1）当 时 ，定义域是 。，，。所以切线是过 的水平线，方程为 。 （2）先求导。。 把 代入：。分两种情形说明 不可能是极大值点。 若 ，即 ，那么 处导数不为零，它根本不是极值点。 若 ，需要看二阶导数。求导得 把 即 代入： 二阶导数为正，说明 是极小值点。 两种情形下 都不是极大值点。 2-5. 【解答】已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若函数和的图象在公共点处的切线相同，证明：函数的图象在处的切线平行于轴． 解析　答：(1)见解析　(2)由题 （1），方括号内可分解为 所以 ，两个零点分别是 与 ，下面比较它们的大小。 当 时 ： 的增区间为 与 ，减区间为 。 当 时两根相等，， 在 上单调递增。 当 时 ： 的增区间为 与 ，减区间为 。 （2） 与 有公共点 ，把坐标代入得 。因为 ，两边约掉，得 两条曲线在这一点处的切线相同，说明切线斜率相等。对 求导： 而 的导数是 ，所以 约掉 得 。结合 ，得 。 斜率等于零的切线就是平行于 轴的直线，所以 的图象在 处的切线平行于 轴。 2-6. 【解答】已知函数（）.（1）若，求的极小值；（2）当时，求的单调递增区间；（3）当时，设的极大值为，求证：. 解析　答：(1)　(2)见解析　(3)当时　(2)见解析 （1）当 时 ，。 时 递减， 时 递增，所以极小值为 。 （2）对一般的 ，把导数分解： 当 时 。 在 时为负、在 时为正，于是把两个零点 与 排好顺序后判号： 时两个因式都为负，乘积为正； 时前者为正、后者为负，乘积为负； 时两个都为正，乘积为正。 所以单调递增区间是 和 。 （3）当 时 ，两个零点的大小关系反过来： 时两因式为负，乘积为正； 时一正一负，乘积为负； 时都为正，乘积为正。所以极大值点在 处， 记 ，则 ，。要证它不小于 ，只需证 。 设 ，，。 时 、，乘积为正， 递增； 时 、，乘积为负， 递减。所以 在 处取最大值 ，从而 ，即 。 当 时 ，由（2）的判号知极大值点在 处， 由 得 ，而 等价于 ，显然成立，所以这一情形下也有 。 方法三　恒成立与存在性 恒成立与存在性，说到底是量词与最值的对应。「任意」管的是所有的 ，所以要求函数的最值跨过那条线；「存在」只要一个 满足，所以只要求最值够得着那条线。把这句话吃透，一大类题就有了统一入口。 ★ 四种说法的翻译要背到条件反射。对任意 有 ，即 的最小值不小于 ；存在 使 ，即 的最大值不小于 。把「任意」与「最小」、「存在」与「最大」配成对，方向就不会搞反。 ★ 能分离参数就先分离。把含参的项单独挪到一边，另一边只剩下关于 的式子，问题立刻变成求一个不含参函数的最值。这是最省力的一条路，优先考虑。 ★ 分离时同除的那个式子必须符号确定。比如两边同除 ，就要先确认在所给区间上 恒正或者恒负；符号不定时，得按区间拆开讨论，或者干脆改用含参讨论法。不问符号就同除，是这类题最常见的错误。 ★ 分离不了就用含参讨论：直接对原函数求导，让最小值随参数变化，再解「最小值 」这个关于参数的不等式。这条路计算量大，但适用范围广，参数与 纠缠在一起时只能走这条。 ★ 含参讨论的收尾技巧是必要性探路。先在定义域里挑一个好算的点代进去，得到一个参数必须满足的必要条件，把参数范围压到很小的区间，再在这个区间里证明充分性。这一步能把讨论的段数从四五段压到一两段。 ★ 例： 恒成立。取 得 ，这是必要条件；再看 时 在 处取最小值 ，要求它非负，得 。两步合起来，答案就是 。 ★ 两个变量、两个量词的题，逐个翻译。「对任意 ，存在 ，使 」的含义是 的最大值不超过 的最大值；把「存在」换成「任意」，右边的对象就从最大值换成最小值。量词在前在后，结论完全不同。 ★ 「恰有一个解」「有且仅有一个」这类说法，比恒成立多了一层唯一性要求。用最值法处理时，把不等号换成等号，让等号恰好在最值点处取到，这样既保证了存在，也堵住了第二个解。 ★ 恒成立题收尾检查三条：等号能不能取到（区间是开的还是闭的）？分离参数时不等号方向变了没有？定义域有没有漏掉？三处都过关，答案才站得住。 例题 例 3-1 【解答】已知函数（1）求函数在处的切线方程；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； 【解析】 （1），。，，所以切线方程为 ，整理得 。 （2） 对 恒成立，把含 的项分离出来：两边同除以 得 记 ，，问题化为求它的最小值。求导得 时 ， 时 ，所以 在 处取最小值 ，从而 。 第 1 步　分离参数 ◈ 不等式两边同除以 ，把 单独放到一侧，右边是 。 第 2 步　求这个不含参函数的最小值 ◈ ，在 处由负变正。 第 3 步　最小值即参数的上界 ◈ ，所以 。 答　(1)　(2) 例 3-2 【解答】已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若恒成立，求a的取值范围. 【解析】 （1）当 时 ，定义域是 。，，。切线方程为 ，整理得 。 （2）设 ，要证 恒成立，就是 恒成立。先看 的情形：此时 ， 趋于正无穷时它趋于负无穷，不可能恒非负，所以 。 求导得 分子是开口向上的二次式且常数项为负，所以它在 内恰有一个正根，记作 。于是 在 上递减、在 上递增，最小值是 。 由 得 ，把它代入 ： 又从 出发，把 看成一个整体：，解得 或 。分两种情形。 若 ，则 。要求它非负，得 ，即 。此时 且 ，所以 ，解得 。 若 ，则 。要求它非负，得 ，即 。此时 且 ，所以 ，两边同乘 变号，得 ，即 。 所以 的取值范围是 。 第 1 步　把恒成立化为最值非负 ◈ 设 ，问题变成 恒成立，而 的分子是一个二次式。 第 2 步　用根满足的方程把最小值化简 ◈ 满足 ，解得 或 ，最小值表达式立刻变简单。 第 3 步　分两种符号情形解参数 ◈ 给出 的一支， 给出 的一支，两边分别解出 的范围。 答　(1)　(2) 例 3-3 【解答】已知函数，.（注：是自然对数的底数）（1）若无极值点，求实数的取值范围；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】 （1）。函数没有极值点，意味着 在 上不变号，也就是 恒成立或者 恒成立。 只有 才有可能让 恒非负。当 时 ，符合要求。 当 时，要求 对一切 成立。在 这一段， 而 ，不等式自动成立；在 这一段，两边同除 得 。 设 ，，： 时递减， 时递增，最小值是 。所以 ，即 。 于是 的取值范围是 。 （2）把不等式整理成含参和不含参各在一边： 时 。当 时两边都是 ，不等式成立；当 时两边同除 得 记右边为 ，问题化为求 在 上的最大值。把它拆开：。 求导并通分： 把分子分解：，所以分子 。 记 。，。当 时 ，所以 递减；而 ，于是 时 ， 递减。又 ，所以 时 。 于是分子的符号由 决定： 时分子为正， 递增； 时分子为负， 递减。所以 的最大值是 从而 。 第 1 步　「无极值点」翻译成导数不变号 ◈ 要么恒非负、要么恒非正，分 与 两段讨论即可定出 的范围。 第 2 步　分离参数后把商拆成四项 ◈ ，通分后分子恰好能提出因式 。 第 3 步　用一个辅助函数定符号 ◈ 在 上恒为负（两阶导数判单调），于是 在 处取最大值。 答　(1)　(2) 例 3-4 【解答】已知函数,.（1）当时，设曲线在处的切线为，求与曲线的公共点个数；（2）当时，若，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】 （1）当 时 ，定义域是 。，，。所以切线 的方程是 ，即 。 求公共点就是解方程 ，移项得 。设 ，，求导得 所以 在 上单调递增，而 ，于是方程只有 这一个解，公共点只有 个。 （2） 对任意 、 成立，等价于 在 上的最大值与最小值之差小于 。 ，分三种情形看 在 上的端点值与极值。 当 时， 上 ，， 递增。最大值 ，最小值 ，差为 显然成立，这一支全部满足。 当 时，， 递减，最大值 ，最小值 ，差为 。要求 ，即 ，与 矛盾，无解。 当 时， 在 上递减、在 上递增，最小值是 ，最大值是 与 中较大的那个。 若 ，则最大值是 ，条件化为 ，即 。设 ，，它在 上递增，最大值在 处取到 ，所以当 时不等式成立。 若 ，则最大值是 ，条件化为 ，即 。设 ， 当 ，所以 递减，，这一支也全部满足。 所以 的取值范围是 。 第 1 步　「任意两点的函数值之差」翻译成最大值减最小值 ◈ 的最大可能值就是 ，于是问题化为闭区间上求最值。 第 2 步　按极值点 的位置分三种情形 ◈ 的零点是 ：落在区间左侧、右侧、内部，各对应一支讨论。 第 3 步　每一支都把差化成只含 的函数 ◈ 两支都归结为判断 型函数的单调性，求导后符号一目了然。 答　(1) 个　(2) 练习 3-1. 【解答】已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若时，恒成立，求实数的值． 解析　答：(1)当时，　(2)1 （1），定义域是 。求导得 分母恒正。当 时 对一切 成立， 在 上单调递减。 当 时，分界点是 ： 时 ， 时 ，所以 在 上递减、在 上递增。 （2）由（1）， 时 的最小值是 恒成立条件即 ，移项整理得 。 设 ，。求导得 因为 、，所以 时 ， 时 ， 在 处取最大值 。 因此 恒成立，而条件要求 ，只能 ，即 。 3-2. 【解答】已知函数.（1）若，求的极值；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围. 解析　答：(1)极大值为，无极小值.　(2). （1）当 时 ， 。令 得 。 时 ，； 时 。所以 在 处取极大值 函数没有极小值。 （2）设 ，条件化为 对 恒成立。注意 ，所以 处函数值恰好为 ，它必须是最大值点。 求导得 ，。一阶导数为零说明要看二阶导数： 。若 ，则 在 附近递增， 时 ， 递增，于是 ，与恒成立矛盾。所以必须有 ，即 。 再说明这个条件足够。当 时，对 有 ，于是 所以 在 上递减，；进而 在 上递减，，恒成立条件满足。 所以 的取值范围是 。 3-3. 【解答】已知在处有极小值.（1）求的值；（2）设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）. 解析　答：(1)　(2). （1）。 处有极小值，所以 ，即 整理得 ，即 。 检验：此时 时 ， 时 ，导数在 处由负变正，确实是极小值点。 （2） 在 上恒成立，即 恒成立，所以 不小于 在这个区间上的最大值。由（1）的导数知， 在 上递增、在 上递减、在 上递增，最大值只能在 、 与左端点 处取到。 三个候选值分别是 按题目给出的 逐一代入比较：，，，所以最大值是 。 于是 。 3-4. 【解答】已知函数．（1）若直线与曲线相切，求的值；（2）讨论的单调性；（3）若在定义域内恒成立，求的取值范围． 解析　答：(1)　(2)见解析　(3) 因为 ，由 得 ，所以定义域是 。。 （1）直线 是水平线，与曲线相切时切点处导数为零，所以 ，得 。把切点代入函数：，这个值应等于 ，于是 ，解得 。 （2），分母在定义域内恒负，所以看分子的符号： 时 ，分子与分母同号，； 时 ，分子与分母异号，。所以 的递增区间是 ，递减区间是 。 （3）由（2）， 在 处取最大值 要求它在定义域内不超过零，即 ，解得 ，即 。结合前提 ，得 。 3-5. 【解答】已知函数.（1）是否存在实数，使得为函数的极小值点.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（2）若图象上总存在关于点对称的两点，求a的取值范围. 解析　答：(1)不存　(2). （1），定义域是 ，，。 若 是极值点，必须有 ，即 。代入检验：此时 导数在 上恒非正， 单调递减，在 两侧符号不变，所以 不是极值点。因此不存在这样的实数 。 （2）设图象上关于点 对称的两点为 与 ，其中 ，且两点都在定义域内，所以 。对称意味着横坐标之和为 、纵坐标之和为 ，于是要求 有解。 代入计算： 记 ，由 得 ，条件化为 ，即 设 ，。求导得 ，因为 时 ，所以 ， 单调递增。 又 趋于 时 趋于 ， 趋于 ；。所以 在 上的取值范围是 ，从而 。 3-6. 【解答】已知函数的一个极值点是．（1）讨论的单调性；（2）设，，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 解析　答：(1)当，函数　(2) ，按商的求导法则： 是极值点，所以 ，即 ，整理得 。于是 （1）分母恒正，所以 的符号与 一致，两个零点是 与 ，比较它们的大小。 当 时 ： 在 上递减、在 上递增、在 上递减。 当 时两根相等，， 在 上单调递减。 当 时 ： 在 上递减、在 上递增、在 上递减。 （2）因为 ，由（1）知 在 上递增、在 上递减，所以 最小值在端点处取：，。因为 而 ，所以 。 而 在 上单调递增，值域是 。条件「存在 、 使 」的含义是：两个值域的最近距离小于 。 记 （ 的右值域左端）与 （ 的最大值）。若 ，两个值域有公共部分，距离为零，条件成立。解 得 。 若 ，则 的最小值大于 的最大值，最近距离是 。要求它小于 ，即 ，也就是 ，解得 。结合 ，得 。 两种情况合起来， 的取值范围是 。 方法四　不等式的证明与双变量 证明不等式，最常见也最稳妥的入口是作差。要证左边不小于右边，就把右边的所有项移到左边，设成一个新函数，转而证明它的最小值非负。一句话把证明题变回最值题，这就是本节的主线。 ★ 作差之后的函数求导，如果导数恒正或者恒负，单调性一出来结论就跟着出来，这是最简单的情形。如果导数看不出符号，就对导数再求一次导，或者把函数拆成两段分别处理。 ★ 两条切线放缩必须记牢：，等号在 处取到；，等号在 处取到。它们分别来自两条曲线在关键点处的切线，是出题人设计放缩题的原始素材。 ★ 放缩的方向要与待证不等式一致，幅度要克制。放得太松会出现「想证 ，却只能得到 」的局面。遇到这种情况，回头看看哪一步放过了头，或者改用保留更多信息的作差法。 ★ 不等号两边都是正数时，可以取对数把指数降下来。 这类式子，取对数后就变成一次式与对数式的比较，求导讨论起来清爽得多。 ★ 双变量问题的核心是消元。两个变量之间通常藏着一条关系式 —— 可能是两个函数值相等，可能是两根之和之积已知。抓住这条关系，把一个变量用另一个表示出来，二元问题就降到一元。 ★ 极值点偏移是双变量里最典型的一类：已知 ，要比较 与极值点二倍的大小。标准做法是构造 ，研究它在 上的符号。 的符号直接反映了函数在极值点两侧的陡缓。 ★ 若两个极值点来自一个二次方程，两根之和与两根之积可以写成参数的形式，要证的式子往往就是这两个对称量的组合。这条路比构造函数短，优先试。 ★ 数列型不等式是把连续结论离散化。先证出某个函数不等式在区间上成立，再把自变量取成一串特殊值代入，逐项相加或者相乘凑出目标式。取哪些值，由要证的式子结构决定。 ★ 证明题的收尾不能只丢一句结论。要把取等条件说清楚：等号在哪个自变量处取到，这个自变量是否落在题目给定的区间里。取等条件交代不清，证明就是不完整的。 例题 例 4-1 【解答】已知函数（1）讨论的单调性；（2）设，证明：. 【解析】 （1） 的定义域是 。求导得 分母 ，符号由分子决定。当 时 恒成立， 在 上单调递减。 当 时分子是开口向上的二次式，零点为 ，所以 在 上递减、在 上递增。 （2）把两个解析式相加，二次项正好抵消： 记 ，，下面证明 。求导得 因为 ， 的符号由 决定。，所以 在 上递增。 又 （因为 ），，所以存在唯一的 使 ，即 ，也就是 。对它两边取对数，得 。 于是 在 上递减、在 上递增，最小值为 所以 恒成立，即 。 第 1 步　相加时把 消掉 ◈ 两个解析式的二次项互为相反数，相加只剩 ，证明与参数 无关。 第 2 步　求导后分离出一个单调函数 ◈ ，括号里的函数求导恒正，零点唯一。 第 3 步　用驻点满足的等式化简最小值 ◈ 驻点处 即 ，代入后最小值恰好为 。 答　(1)当 时 在 上递减；当 时在 上递减、在 上递增　(2)证明见解析 例 4-2 【解答】已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：，． 【解析】 （1），。，，所以切线是过 的水平线，方程为 。 （2）把要证的不等式拆成两段，各自用一条常用不等式。 先看右边：设 ，，，所以 在 上递减，，即 于是 。 再看左边：设 ，，， 时为负、 时为正，所以 在 处取最小值 ，即 于是 。 两段接起来：，当且仅当 时两处同时取等号，所以不等式成立。 第 1 步　把证明拆成两个独立的不等式 ◈ 目标等价于证 且 ，两段分别对应一条常用不等式。 第 2 步　右边用 ◈ 设 ，求导知它在 上递减。 第 3 步　左边用 ◈ 设 ，在 处取最小值 。 答　(1)　(2)证明见解析 例 4-3 【解答】已知函数（1）求的极值；（2）证明：. 【解析】 （1） 的定义域是 。按商的求导法则并整理： 分母 （在定义域内不为零），所以符号由 决定。零点 。 当 时 ，，；当 时 ，仍有 ；当 时 ，。所以 在 处取极小值 没有极大值。 （2）分两段证明。当 时 ，所以 ，而 恒成立，此时不等式显然成立。 当 时，由（1）知 在 上的最小值是 ，所以 两边同乘正数 （ 时 ）得 所以只要证明 ，即 。 两边同乘 ，等价于 。这是常用不等式的直接推论：由 （）取 ，得 。 于是 ，即 。 第 1 步　求导后把对数幂化简 ◈ ，定义域里 ，所以符号只由分子决定。 第 2 步　用极小值放缩 ◈ 由 的最小值得 ，整理成 。 第 3 步　归结为 ◈ 只需证 ，即 ，这是 的直接推论。 答　(1)极小值为 ，无极大值　(2)证明见解析 例 4-4 【解答】已知．（1）若在定义域上单调递增，求a的取值范围；（2）若有极大值m，求证： 【解析】 函数 的定义域是 。求导得 （1） 在定义域上单调递增，等价于 对一切 成立，即 。令 ，右边变成 求导得 ： 时递减， 时递增，最小值是 。所以 。 （2）由（1）知 时 不恒非负，函数才可能有极值。记 ，则 。因为 在 上递减、在 上递增，且最小值 ，所以方程 有两个根，其中一个 ，另一个大于 。 于是 在 上为正、在 上为负、在 上为正，所以 处取极大值。把 代入： 由 得 ，代入上式： 要证 ，只需证 ，也就是 ，即 ，即 。因为 ，所以 ，这个不等式成立。于是 。 第 1 步　换元把式子简化 ◈ 令 ， 就变成 ，参数与自变量分离开来。 第 2 步　用极大值点满足的等式消去参数 ◈ ，代入极大值表达式后 完全消失。 第 3 步　把目标化成完全平方式 ◈ ，再验证 即可。 答　(1)　(2)证明见解析 练习 4-1. 【解答】已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围；（3）求证：当时，. 解析　答：(1)当，　(2)；　(3)见解析　(2)取 （1）当 时 ，定义域是 。求导并通分： 分母在定义域内为正，两个零点是 与 。所以 在 上递增、在 上递减、在 上递增。 （2）设 ，条件即 对 成立。注意 ，所以 处必须是最小值点。 ，。再求导：，。若 ，则 在 附近递减， 时 ， 递减，于是 ，与条件矛盾。所以必须有 。 再说明这个条件足够。当 且 时，，所以 ，于是 所以 在 上递增，；进而 递增，，条件满足。 （3）由（2）取 ，得 ，即 。取 ，得 两边同乘 得 。对 逐项相加，右边 telescopes 相消： 等号只在 时成立，而本题中 使 ，所以每一步都是严格小于，不等式得证。 4-2. 【解答】已知函数．（1）当时，求在点处的切线方程；（2）当时，证明：对任意，都有；（3）证明：，. 解析　答：(1)　(2)对任意的　(3)见解析　(2)知 （1）当 时 ，。求导得 ，所以切线方程为 。 （2）把 写成 。要证 ，当 时显然成立；当 时两边同除 ，条件化为 ，所以只需证明右边不超过 ，即证 。 设 ，，。，用半角公式改写 ，以及 ，得 当 时 ，、，括号内 。 设 ，，所以 在 上递增，。于是 ， 递增，。 当 时，，所以 ，不等式也成立。所以 对一切 成立，从而 时 。 （3）由 对 成立，取 ，得 又由 ，即 （），得 对 逐项相加，右边相消： 而 （因为 ），所以 ，原不等式得证。 4-3. 【解答】已知函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求，的值；（2）讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0． 解析　答：(1)；　(2)见解析　(1)见解析　(1)>0g(0)<0 （1）。切线 即 ，过点 且斜率为 ，所以 ，得 ，即 。 又 ，，由切线斜率为 得 ，即 。所以 ，。 （2）此时 ，。设 ，，所以 在 上递减、在 上递增。 而 ，，。因为 在 上递增，所以它在 内有唯一的零点，记作 ，这也是 唯一的零点。 于是 在 上递减、在 上递增，最小值是 。由 得 ，代入： 因为 ，所以 ，。 又当 趋于负无穷时 趋于 而 趋于正无穷， 趋于正无穷；当 趋于正无穷时 也趋于正无穷。所以 的图象先由高处降到负值再升回正无穷，恰好与 轴相交两次，零点个数是 。 下面证明这两个零点之和为 。设 是 的零点，即 。两边同除 （注意 时左边为 、右边为 ，不是零点）得 ，取倒数得 ，两边同乘 得 。 而 ，即 ，所以 也是 的零点。 两个零点 、 互为相反数（ 不是零点，因为 ），所以 。 4-4. 【解答】已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）记的极小值为，证明：． 解析　答：(1)；　(2)当时，函数　(3)见解析　(2)知 （1）当 时 ，定义域是 。，，。所以切线是过 的水平线，方程为 。 （2），分母恒正，只看分子 。 当 时， 对一切 成立， 在 上单调递增。 当 时，分界点是 ： 时 递减， 时 递增。 （3）由（2），只有 时 才有极小值，极小值为 要证 ，即 。设 ，，，，所以 在 上单调递增。 而 ，所以 时 ， 递减； 时 ， 递增。于是 在 处取最小值 ，从而 ，即 。 4-5. 【解答】已知函数，其中．（1）若，求函数的单调区间；（2）当时，试判断的零点个数并证明． 解析　答：(1)见解析　(2)两个零点 函数 的定义域是 。 （1）当 时 。 在定义域内 、，所以 的符号由 决定： 时 ， 时 。所以单调递减区间是 ，单调递增区间是 。 （2）。令分子为零，得 。因为 ，所以 ，解得 。其中 不在定义域内，另一个 在定义域内。 于是 在 上递减、在 上递增，最小值是 。而 从右侧趋于 时， 趋于正无穷（），所以 趋于正无穷； 趋于正无穷时 趋于正无穷。因此只要 ，函数就恰有两个零点。 记 ，则 ，由 得 。代入最小值： 设 ，，，所以 在 上单调递减。 而 ，所以 时 ，于是 。 所以 在定义域内恰有两个零点。 4-6. 【解答】已知函数．（1）当，求的取值范围；（2）当时．（ⅰ）设，讨论函数在上的单调性；（ⅱ）证明：对任意的，有． 解析　答：(1)；　(2)（i）　(1)=f(n+1)-f　(1)-f(n)=f(n+1)-f(n) （1） 时 。当 时左边为 ，不等式成立；当 时两边同除 得 。 记 ，。求导得 当 时 、，所以 ， 单调递增。而 从右侧趋于 时 趋于 ，所以 对一切 成立，不等式 恒成立要求 。 （2）当 时 。 （ⅰ），所以 ，， 在 上单调递增。 （ⅱ）固定 ，设 ，。展开得 求导得 因为 且 ，所以 ，；又 。两项都为正，所以 ， 在 上单调递增。 于是对任意 有 ，而 所以 。又因为 ，所以 两式接起来得 ，即 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数与导数的方法体系（六） 导数与不等式综合 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　用导数研究函数的单调性 ★ 导数研究单调性，靠的是一句话：在区间 上 ，则 在 上递增；，则 在 上递减。正负号决定升降，与导数绝对值的大小无关。 ★ 反过来用要小心： 在 上递增，只能推出 ，中间可以取到等号。例如 在 上递增，但 。所以由「递增」反求参数时，解的是不等式 。 ★ 求单调区间固定三步：先写定义域，再求导，最后解不等式。顺序不能颠倒 —— 含 的函数定义域是 ，含 的要挖掉 ，单调区间永远落在定义域里面。 ★ 含参讨论的入口，是把 整理成「因式分解」的样子。通分、提公因式、十字相乘，能分解就先分解；分解之后每个因子的符号各自判断，讨论就有了着落。分解不了再考虑换元或二次求导。 ★ 最常见的三种形态。一是 ，其中 ，这时只需要按 、、 分三种情形。例如 ，求导得 ，分母恒正，看分子即可。 ★ 二是 为二次式，这时要看两根是否落在定义域内、两根谁大谁小。例如 ，两根 与 的大小关系就是讨论的分界。 ★ 三是 里带 或 。 恒正，可以直接约掉； 的符号由 与 的大小决定。这类题先约掉恒正的因子，剩下的式子往往就简单了。 ★ 分界点从哪里找？令 解出的根，拿它和「定义域的端点」比：根在定义域外，这一支就整段同号；根在定义域内，它才把区间切成两段。把根的个数与位置列成表，讨论就完整了。 ★ 题目说「在区间 上单调递增」，等价于 在 上恒成立，而且「等号只允许在孤立点出现」。例如 在 上递增，就是 在 上恒成立，右边最大值在 处取到 ，所以 。 ★ 题目说「在区间上不单调」或「存在递减区间」，翻译过来是： 在这个区间上「变号」。变号的必要条件是有零点落在区间内部，所以先令 求根，再让根落进给定区间、并回代检验确实是变号点（而不是偶次重根处的假变号）。 ★ 当 的符号不好判断时，对 再求一次导。 说明 递增，于是只要找到 的一个零点，符号就定了。这叫二次求导，处理 里同时出现 与 的题特别顺手。 ★ 单调性最大的用处是「去函数符号」。 在区间上递增时， 与 等价；递减时不等号反向。去掉符号之前要先把 、 都凑进同一个单调区间，凑的工具是奇偶性与对称性。 ★ 含参讨论最容易丢分的地方是不完整：只讨论了 ，没写 ；或者两根相等那种临界情形被漏掉。动笔前先把参数的分界点全部列出来，再逐个写结论，最后回头数一遍分了几段。 ★ 写完单调区间要自查两件事：端点是否开的（单调区间一般不写成闭区间）；区间是否都在定义域内。含 的题里出现 的区间，一定是错的。 知识点二　极值、最值与零点 ★ 极值点处导数一定为零，但导数为零的点未必是极值点。 在 处导数为零，可函数在这里是递增的，没有极值。所以 只是必要条件，判定还得看导数的符号变化。 ★ 判定的办法是列表看导数的「符号走向」： 在 左右由正变负， 是极大值点；由负变正， 是极小值点；符号不变，就什么都不是。 ★ 求极值的四步：写定义域、求导、解 、列表判号后代回求值。最后一步别省 —— 题目问的是极值（一个数），不是极值点（一个横坐标）。两者差一个字，答案差一个数量级。 ★ 已知极值点反求参数：把 代进 解出参数，「一定要回代检验」。因为方程成立只是必要条件，代回去可能发现该点并非极值点，也可能发现函数在这一点根本没有定义。 ★ 闭区间 上求最值，只需要比较「所有极值点的函数值」与「两个端点的函数值」，取最大与最小。区间端点不是极值点，却常常是最值点，漏掉端点是比较大小的题里最典型的失误。 ★ 开区间上求最值，看的是单调性与两端趋势。例如 求导得 ，令它为零得 ，这个点左边递减、右边递增，所以极小值是 。 ★ 零点存在性定理：函数在 上连续，且 ，则 内至少有一个零点。它只保证「存在」，不保证「唯一」；要说明唯一，还得加上单调性。 ★ 零点个数问题，第一反应是「把方程改写成两个函数相等」。 难解，就写成 ，方程的解的个数等于两条曲线交点的个数。其中一条往往是直线或水平线，数起来最方便。 ★ 参数分离是数零点的标准手段：把方程整理成 的形式，于是「直线 与曲线 有几个交点」就是「原方程有几个零点」。接下来只需要画出 的草图：单调区间、极值、两端趋势。 ★ 三次函数的零点个数有现成判据。设它的极大值为 、极小值为 ： 且 时三个零点； 或 时两个零点；其余情形一个零点。画图一看便知，不必每次重新讨论。 ★ 例如 在 处取极大值。求导得 ，把 代入令其为零，得 或 。两个值都满足必要条件，只有分别列表判号才能定出真正符合条件的那个。 ★ 零点之和与零点之积，通常借助对称性。若 的图象关于直线 对称，两个零点 、 就满足 ；若两个零点处的函数值相等，又可以用极值点作中介建立联系。 ★ 讨论零点个数时，别忘了「定义域」。含 的函数只在 上有意义，画草图时左半平面是空白的；含 的要注意间断点两侧的趋势。把定义域画在图上，交点个数才不会数错。 ★ 极值与最值是两回事：极值是「局部」概念，只看邻域；最值是「整体」概念，看整个区间。一个函数可以有很多个极值，但最大值、最小值各只有一个（如果存在的话）。 知识点三　恒成立与存在性 ★ 恒成立问题的总口诀：「能分离就分离，不能分离就求最值」。「 对任意 都成立」等价于「 在 上的最小值大于等于 」。把这句话写下来，含量词的题就变成了一道普通的最值题。 ★ 四种常见说法的翻译。对任意 ，，即 ；存在 ，使 ，即 ；对任意 ，，即 ；存在 ，使 ，即 。「任意」配「最小」，「存在」配「最大」，记熟这一条就不会反。 ★ 什么时候可以直接分离参数？当含参的项能干净地移到一边、另一边只含 时。比如 分离不了（ 与 粘在一起），而 可以，因为 时 ，两边同除不变号。 ★ 分离参数时，同除的那个式子「符号必须确定」。若它可能为负，不等号方向要跟着变，这时就得按区间分情况，或者改用分类讨论法。同除一个含 的式子而不管它的正负，是这类题最常见的错误。 ★ 分离之后，问题变成求 在区间上的最值。求法还是老三样：求导、找极值点、比较端点。例如 在 上恒成立，只需求 的最大值，而 在 上递减，最大值在 处取到。 ★ 分离不了，就用「含参讨论」：直接研究 的单调性与最值，让最小值随参数变化，再解「最小值 」这个关于参数的不等式。这条路更麻烦，但适用范围广，尤其是参数与 以乘积、指数形式耦合时。 ★ 含参讨论的收尾技巧叫「必要性探路」：先取定义域里一个方便的点代入，得到一个关于参数的必要条件，把参数的取值范围缩到很小，再在这个小范围内证明充分性。这一步省掉大量讨论，是压轴题的常客。 ★ 例如 恒成立。先取 ：，得 。再证明 时确实恒成立 —— 在 上递减、 上递增，最小值 当且仅当 。两者取交，于是 。 ★ 存在性问题与恒成立问题常常成对出现。「对任意 ，存在 ，使 」，含义是 的最大值不超过 的最大值；「对任意 ，对任意 ，」，含义是 的最大值不超过 的最小值。两个量词管两个变量，逐个翻译成最值。 ★ 双变量问题里，两个变量分属两个函数时，分别求各自的最值即可；两个变量在同一个函数里时，往往要借助函数的单调性或对称性把它们联系起来。 ★ 不等式在区间上恒成立，还有一种处理方式：设 ，把「 恒成立」转化为「 的零点问题」。若 的最小值恰好为零，那么这一点的导数也为零，两个条件联立正好解出参数。 ★ 「恰有一解」「有且仅有一个」这类说法，要求的是「等号能取到」：存在性保证至少一个，唯一性保证至多一个。用最值法处理时，要把「」换成「」，这是与恒成立问题唯一的分寸差别。 ★ 恒成立题写完了要回头检查三件事：等号能不能取到（端点是否包含在区间内）；分离参数时有没有改变不等号方向；定义域有没有遗漏。这三处都过关，答案才站得住。 知识点四　不等式的证明与双变量 ★ 证明不等式的基本套路是「作差构造函数」。要证 ，就设 ，转而证明 的最小值大于等于零。一句话把证明题变回最值题。 ★ 作差之后求导，如果导数恒正或恒负，单调性一出来结论就跟着出来。如果导数也看不出符号，就二次求导，或者把 拆成两段分别放缩。实在不行再回到必要性探路，先定参数范围。 ★ 常用的切线放缩有两条，必须记牢：（当且仅当 时取等），（当且仅当 时取等）。它们分别来自 与 是这两条曲线在关键点处的切线。 ★ 由切线放缩还能派生出更顺手的形式：把 换成 得 ，把 换成 得 。放缩的方向要与不等式的方向一致，放过头反而证不出来。 ★ 放缩要「适可而止」。每一步放缩都放宽了不等式，放得太松就会出现「想证 ，结果只能得到 」的尴尬。遇到这种情况，回头检查哪一步放得太狠，或者改用保留更多信息的作差法。 ★ 例如证明 对 成立。移项作差得 ，求导得 。再求导知 在 上递增，且 ，于是 在 处取最小值 ，不等式成立。 ★ 双变量问题的核心是「消元」。两个变量 、 之间通常有一条关系式（比如 ，或者 ），用它把其中一个变量表示成另一个的函数，二元问题就变成一元问题。 ★ 极值点偏移是双变量问题里最典型的一类。设 、 是 的两个零点（或两个极值点），要证 （ 是极值点横坐标），标准的做法是构造 ，研究它的符号，从而比较 在极值点两侧的增减快慢。 ★ 极值点偏移的直观解释：若 的图象在极值点左边陡、右边缓，两个等值点就会偏向平缓的一侧，于是 与 的大小关系随之确定。作差构造的 就是把这个「陡缓」量化下来。 ★ 处理两个极值点的和或积，还有一个入口是「韦达定理」。若 化为一个二次方程，两根之和与两根之积可以直接写出来，要证的式子往往就是这两个对称量的组合。 ★ 例如 ， 有两个不同极值点 、。求导得 ，两根满足 、。两式相减消掉 ，把 放进 里继续放缩，就能得到 。 ★ 数列型不等式，是把连续情形离散化。通常先证出 在某个区间上成立，再把 取成一串特殊值（如 、、），逐项相加或相乘得到目标式。取什么值，由要证式子的结构决定。 ★ 证明不等式时不要急于求导。先看两边能不能同乘一个正数、能不能取对数把指数降下来、能不能用已知的常用不等式直接替换。这些变形做完再求导，计算量常常少一大半。 二、方法突破 方法一　含参函数的单调性讨论 导数题的第一问，十有八九是讨论单调性。它既是独立考点，也是后面求极值、证不等式的必经台阶 —— 单调性没讨论清楚，第二步就无从下手。所以这一节先把这个动作练到不出错。 ★ 固定动作五步：写定义域、求导、把导数整理成因式之积、找出所有令导数为零的根、按根与定义域的位置关系分段写结论。五步的顺序不能变，尤其是第一步 —— 含 的函数只有 这一半，越过定义域的讨论都是无效的。 ★ 求导之后先别急着讨论，先看能不能约掉恒正的因子。 恒正， 在 时恒正，约掉它们，剩下的式子往往就是一次或二次的，讨论的难度会低一个量级。 ★ 导数是分式时，分母的符号单独看，分子才是讨论的主角。例如 ，求导得 ，分母 在定义域内恒正，于是只要看 的符号，分界点就是 。 ★ 分界点的个数决定了讨论的段数。一个根：按根在定义域内、外分两种情形；两个根：还要比出两根的大小，两根相等的那种临界情形单独写一段。动笔前先把分界值全部列在草稿纸上，写完再回头数一遍。 ★ 二次型导数是高频形态。 可以分解成 ，两根是 与 ，于是按 、、 分成三段讨论，再叠加上 这个前提。 ★ 题目问的是「单调区间」，答案要写成区间。递增区间写在前面还是递减区间写在前面没有硬性要求，但同一题的写法要统一；区间端点一般写成开的，只有在明确要求闭区间或者涉及最值时才取闭。 ★ 遇到「在区间上单调」这类条件，翻译成导数的不等式。「在 上递减」即 在 上恒成立；「存在递减区间」则要求导数在区间内变号，这时要看导数有没有零点落在区间内部。 ★ 若函数解析式里有 这类复合结构，求导别漏掉内层的 ：。参数 一旦漏掉，后面的讨论会全盘错位。 ★ 写完单调性自查三件事：定义域写了没有？参数分成几段、每段都有结论吗？所有区间是不是都落在定义域里面？这三问都能答上来，第一问的分就稳了。 例题 例 1-1 【解答】已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围. 【解析】 第 1 步　把参数分离到一边 ◈ 时不等式两边同除以 ，得到 ，右边是一个不含参的函数。 第 2 步　对商求导，分子看不出来就二次求导 ◈ 的分子 里同时有 与 ，再求导得 ，符号一目了然。 第 3 步　由 的符号定出 的谷底 ◈ 在 处由负转正，所以 在 处取最小值 。 答　(1)当 时 在 上递增；当 时在 上递减、在 上递增　(2) 例 1-2 【解答】已知函数，（1）讨论的单调性．（2）若对任意都有恒成立，求a的取值范围． 【解析】 第 1 步　求导后看清谁是主角 ◈ ，分母恒正，分界点就是分子零点 。 第 2 步　用单调性排除一半参数 ◈ 时 递增但左端趋于负无穷，恒非负不可能成立，所以只需讨论 。 第 3 步　最小值非负解出参数 ◈ ，解得 。 答　(1)当 时 在 上递增；当 时在 上递减、在 上递增　(2) 例 1-3 【填空】已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______． 【解析】 第 1 步　把「递增」翻译成导数非负 ◈ 在 上恒成立。 第 2 步　分离参数 ◈ 同乘 得 ，右边不含参数，问题化为求它的最大值。 第 3 步　用单调性读出最大值 ◈ 在 上递减，最大值在 处取到 。 答　 例 1-4 【解答】已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）设函数，已知有两个极值点．①求的取值范围；②求证：． 【解析】 第 1 步　把导数的分子分解成两个一次因式 ◈ ，两根 与 谁大谁小，就是讨论的分界。 第 2 步　两个极值点的存在条件 ◈ 的分子是二次式，要求它在 上有两个不等实根，于是开口、判别式、对称轴三件事都要交代。 第 3 步　用韦达定理把双变量合成单变量 ◈ 与 都用 表示， 便只剩 一个变量，再构造关于 的函数即可。 答　(1)当 时在 上递增；当 时在 、 上递增，在 上递减；当 时在 、 上递增，在 上递减　(2)①　②见解析 练习 1-1. 【填空】函数的单调递减区间为______． 1-2. 【多选】已知函数，则（ ） A. 当时，函数的最小值为 B. 当时，函数的极大值点为 C. 存在实数使得函数在定义域上单调递增 D. 若恒成立，则实数的取值范围为 1-3. 【解答】已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，存在，使得，求a的取值范围. 1-4. 【解答】已知a，，，（1）当时，讨论的单调性；（2）设，若在上有极值，求b的取值范围并证明此极值小于b． 1-5. 【解答】已知函数，其中．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：． 1-6. 【解答】已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若对任意和任意，都有，求实数的取值范围． 方法二　极值、最值与零点 单调性讨论完之后，紧接着就是求极值、最值与判断零点个数。这一节把三个问题串成一条线：极值是局部的最高最低点，最值是整个区间上的头名与末名，零点则是函数值与零的次数。 ★ 极值的判定看导数符号的走向，不看导数是否为负。 在 左侧为正、右侧为负， 就是极大值点；反之为极小值点；符号不变则不是极值点。列表是最稳妥的写法，一步都不省。 ★ 已知某点是极值点反求参数，先把该点代入 解出参数，再回代检验这个点是否真的变号。这一步不能省 —— 方程成立只是必要条件，解出的参数有可能让该点变成单调区间内部的普通点。 ★ 闭区间上的最值，候选点只有两类：区间内部的极值点，加上两个端点。把所有候选函数值算出来一比即可。端点常常就是最值点，漏掉端点是比较大小类问题里最常见的失误。 ★ 求参数范围时如果条件里出现「极点」「极值点」却没有给具体的函数值，别忘了极值点处导数等于零这个等式 —— 它就是唯一的方程来源。 ★ 零点个数问题的第一步是改写方程。把 整理成 ，于是问题变成直线 与曲线 有几个交点。接下来只要把 的单调区间、极值、两端趋势画出来。 ★ 画草图时要交代三件事：单调区间，极值点的位置与高度，以及区间两端函数的走向（趋于无穷还是趋于某个有限值）。这三件事齐了，水平线上下平移时交点的变化一目了然。 ★ 三次函数的零点个数可以直接背结论。极大值与极小值异号时三个零点，其中一个为零时两个零点，其余情形一个零点。这个结论只对三次函数成立，别用到别处。 ★ 若零点之和、零点之积要证，先找对称轴。图象关于直线 对称时，两个零点满足 ；没有现成对称轴，就用两个零点函数值相等这条线索，把它们与极值点联系起来。 ★ 求最值和讨论零点时，先问自己：这个区间是闭的还是开的？极值点全都落在区间里了吗？端点值算了没有？三个问题过一遍再落笔。 例题 例 2-1 【解答】已知函数在处有极大值.（1）求实数的值；（2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【解析】 第 1 步　必要条件先解出参数 ◈ 给出 ，解得 或 ，两个值都要保留。 第 2 步　回代检验哪一个是极大值点 ◈ 只有 时导数在 处由正变负，所以 才是所求。 第 3 步　零点个数化为水平线与曲线的交点 ◈ 即 ，数交点只需把 与极大值 、极小值 比大小。 答　(1)　(2) 例 2-2 【解答】已知函数，曲线在点处的切线与平行．（1）求的值；（2）求的极值． 【解析】 第 1 步　「平行」翻译成斜率相等 ◈ ，代入 即得 。 第 2 步　解 找驻点 ◈ 只有一个解 ，所以极值点至多一个。 第 3 步　由符号变化定出极小值 ◈ 驻点左侧导数为负、右侧为正，是极小值点，极小值 ，无极大值。 答　(1)　(2)极小值为 ，无极大值 例 2-3 【解答】已知在处取得极小值．（1）求在处的切线方程；（2）若，讨论零点的个数． 【解析】 第 1 步　「极值」一句话给出两个方程 ◈ 在 处取极小值 ，等价于 且 。 第 2 步　零点个数只看两个极值 ◈ 三次函数图象是一个「先升后降再升」的形状，水平线与它交几个点，完全由极大值、极小值决定。 第 3 步　按 与极值的大小关系分类 ◈ 夹在极小值与极大值之间时三个交点，恰好等于某个极值时两个，落在区间外时一个。 答　(1)　(2)当 或 时一个零点；当 或 时两个零点；当 时三个零点 例 2-4 【解答】已知函数.（1）当时，求函数的最值；（2）若函数有两个不同极值点，证明：. 【解析】 第 1 步　两个极值点给出两个等式 ◈ 、 都是 的根，于是 、，这两式是后面所有操作的起点。 第 2 步　作比消参数 ◈ 设 ，两式相减把 与 的乘积解出来，再代回相加的式子，参数 就消失了。 第 3 步　把目标化成一元不等式 ◈ 等价于 ，构造函数求导，导数恒正即可。 答　(1)最大值为 ，无最小值　(2)证明见解析 练习 2-1. 【解答】已知函数在处的切线与直线平行．（1）求的值：（2）求的极值． 2-2. 【解答】已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值. 2-3. 【解答】已知函数（1）若，求函数在处的切线方程；（2）求证：当时，有且仅有一个零点. 2-4. 【解答】已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）探究是否为的极大值点. 2-5. 【解答】已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若函数和的图象在公共点处的切线相同，证明：函数的图象在处的切线平行于轴． 2-6. 【解答】已知函数（）.（1）若，求的极小值；（2）当时，求的单调递增区间；（3）当时，设的极大值为，求证：. 方法三　恒成立与存在性 恒成立与存在性，说到底是量词与最值的对应。「任意」管的是所有的 ，所以要求函数的最值跨过那条线；「存在」只要一个 满足，所以只要求最值够得着那条线。把这句话吃透，一大类题就有了统一入口。 ★ 四种说法的翻译要背到条件反射。对任意 有 ，即 的最小值不小于 ；存在 使 ，即 的最大值不小于 。把「任意」与「最小」、「存在」与「最大」配成对，方向就不会搞反。 ★ 能分离参数就先分离。把含参的项单独挪到一边，另一边只剩下关于 的式子，问题立刻变成求一个不含参函数的最值。这是最省力的一条路，优先考虑。 ★ 分离时同除的那个式子必须符号确定。比如两边同除 ，就要先确认在所给区间上 恒正或者恒负；符号不定时，得按区间拆开讨论，或者干脆改用含参讨论法。不问符号就同除，是这类题最常见的错误。 ★ 分离不了就用含参讨论：直接对原函数求导，让最小值随参数变化，再解「最小值 」这个关于参数的不等式。这条路计算量大，但适用范围广，参数与 纠缠在一起时只能走这条。 ★ 含参讨论的收尾技巧是必要性探路。先在定义域里挑一个好算的点代进去，得到一个参数必须满足的必要条件，把参数范围压到很小的区间，再在这个区间里证明充分性。这一步能把讨论的段数从四五段压到一两段。 ★ 例： 恒成立。取 得 ，这是必要条件；再看 时 在 处取最小值 ，要求它非负，得 。两步合起来，答案就是 。 ★ 两个变量、两个量词的题，逐个翻译。「对任意 ，存在 ，使 」的含义是 的最大值不超过 的最大值；把「存在」换成「任意」，右边的对象就从最大值换成最小值。量词在前在后，结论完全不同。 ★ 「恰有一个解」「有且仅有一个」这类说法，比恒成立多了一层唯一性要求。用最值法处理时，把不等号换成等号，让等号恰好在最值点处取到，这样既保证了存在，也堵住了第二个解。 ★ 恒成立题收尾检查三条：等号能不能取到（区间是开的还是闭的）？分离参数时不等号方向变了没有？定义域有没有漏掉？三处都过关，答案才站得住。 例题 例 3-1 【解答】已知函数（1）求函数在处的切线方程；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； 【解析】 第 1 步　分离参数 ◈ 不等式两边同除以 ，把 单独放到一侧，右边是 。 第 2 步　求这个不含参函数的最小值 ◈ ，在 处由负变正。 第 3 步　最小值即参数的上界 ◈ ，所以 。 答　(1)　(2) 例 3-2 【解答】已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若恒成立，求a的取值范围. 【解析】 第 1 步　把恒成立化为最值非负 ◈ 设 ，问题变成 恒成立，而 的分子是一个二次式。 第 2 步　用根满足的方程把最小值化简 ◈ 满足 ，解得 或 ，最小值表达式立刻变简单。 第 3 步　分两种符号情形解参数 ◈ 给出 的一支， 给出 的一支，两边分别解出 的范围。 答　(1)　(2) 例 3-3 【解答】已知函数，.（注：是自然对数的底数）（1）若无极值点，求实数的取值范围；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】 第 1 步　「无极值点」翻译成导数不变号 ◈ 要么恒非负、要么恒非正，分 与 两段讨论即可定出 的范围。 第 2 步　分离参数后把商拆成四项 ◈ ，通分后分子恰好能提出因式 。 第 3 步　用一个辅助函数定符号 ◈ 在 上恒为负（两阶导数判单调），于是 在 处取最大值。 答　(1)　(2) 例 3-4 【解答】已知函数,.（1）当时，设曲线在处的切线为，求与曲线的公共点个数；（2）当时，若，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】 第 1 步　「任意两点的函数值之差」翻译成最大值减最小值 ◈ 的最大可能值就是 ，于是问题化为闭区间上求最值。 第 2 步　按极值点 的位置分三种情形 ◈ 的零点是 ：落在区间左侧、右侧、内部，各对应一支讨论。 第 3 步　每一支都把差化成只含 的函数 ◈ 两支都归结为判断 型函数的单调性，求导后符号一目了然。 答　(1) 个　(2) 练习 3-1. 【解答】已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若时，恒成立，求实数的值． 3-2. 【解答】已知函数.（1）若，求的极值；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围. 3-3. 【解答】已知在处有极小值.（1）求的值；（2）设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）. 3-4. 【解答】已知函数．（1）若直线与曲线相切，求的值；（2）讨论的单调性；（3）若在定义域内恒成立，求的取值范围． 3-5. 【解答】已知函数.（1）是否存在实数，使得为函数的极小值点.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（2）若图象上总存在关于点对称的两点，求a的取值范围. 3-6. 【解答】已知函数的一个极值点是．（1）讨论的单调性；（2）设，，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 方法四　不等式的证明与双变量 证明不等式，最常见也最稳妥的入口是作差。要证左边不小于右边，就把右边的所有项移到左边，设成一个新函数，转而证明它的最小值非负。一句话把证明题变回最值题，这就是本节的主线。 ★ 作差之后的函数求导，如果导数恒正或者恒负，单调性一出来结论就跟着出来，这是最简单的情形。如果导数看不出符号，就对导数再求一次导，或者把函数拆成两段分别处理。 ★ 两条切线放缩必须记牢：，等号在 处取到；，等号在 处取到。它们分别来自两条曲线在关键点处的切线，是出题人设计放缩题的原始素材。 ★ 放缩的方向要与待证不等式一致，幅度要克制。放得太松会出现「想证 ，却只能得到 」的局面。遇到这种情况，回头看看哪一步放过了头，或者改用保留更多信息的作差法。 ★ 不等号两边都是正数时，可以取对数把指数降下来。 这类式子，取对数后就变成一次式与对数式的比较，求导讨论起来清爽得多。 ★ 双变量问题的核心是消元。两个变量之间通常藏着一条关系式 —— 可能是两个函数值相等，可能是两根之和之积已知。抓住这条关系，把一个变量用另一个表示出来，二元问题就降到一元。 ★ 极值点偏移是双变量里最典型的一类：已知 ，要比较 与极值点二倍的大小。标准做法是构造 ，研究它在 上的符号。 的符号直接反映了函数在极值点两侧的陡缓。 ★ 若两个极值点来自一个二次方程，两根之和与两根之积可以写成参数的形式，要证的式子往往就是这两个对称量的组合。这条路比构造函数短，优先试。 ★ 数列型不等式是把连续结论离散化。先证出某个函数不等式在区间上成立，再把自变量取成一串特殊值代入，逐项相加或者相乘凑出目标式。取哪些值，由要证的式子结构决定。 ★ 证明题的收尾不能只丢一句结论。要把取等条件说清楚：等号在哪个自变量处取到，这个自变量是否落在题目给定的区间里。取等条件交代不清，证明就是不完整的。 例题 例 4-1 【解答】已知函数（1）讨论的单调性；（2）设，证明：. 【解析】 第 1 步　相加时把 消掉 ◈ 两个解析式的二次项互为相反数，相加只剩 ，证明与参数 无关。 第 2 步　求导后分离出一个单调函数 ◈ ，括号里的函数求导恒正，零点唯一。 第 3 步　用驻点满足的等式化简最小值 ◈ 驻点处 即 ，代入后最小值恰好为 。 答　(1)当 时 在 上递减；当 时在 上递减、在 上递增　(2)证明见解析 例 4-2 【解答】已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：，． 【解析】 第 1 步　把证明拆成两个独立的不等式 ◈ 目标等价于证 且 ，两段分别对应一条常用不等式。 第 2 步　右边用 ◈ 设 ，求导知它在 上递减。 第 3 步　左边用 ◈ 设 ，在 处取最小值 。 答　(1)　(2)证明见解析 例 4-3 【解答】已知函数（1）求的极值；（2）证明：. 【解析】 第 1 步　求导后把对数幂化简 ◈ ，定义域里 ，所以符号只由分子决定。 第 2 步　用极小值放缩 ◈ 由 的最小值得 ，整理成 。 第 3 步　归结为 ◈ 只需证 ，即 ，这是 的直接推论。 答　(1)极小值为 ，无极大值　(2)证明见解析 例 4-4 【解答】已知．（1）若在定义域上单调递增，求a的取值范围；（2）若有极大值m，求证： 【解析】 第 1 步　换元把式子简化 ◈ 令 ， 就变成 ，参数与自变量分离开来。 第 2 步　用极大值点满足的等式消去参数 ◈ ，代入极大值表达式后 完全消失。 第 3 步　把目标化成完全平方式 ◈ ，再验证 即可。 答　(1)　(2)证明见解析 练习 4-1. 【解答】已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围；（3）求证：当时，. 4-2. 【解答】已知函数．（1）当时，求在点处的切线方程；（2）当时，证明：对任意，都有；（3）证明：，. 4-3. 【解答】已知函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求，的值；（2）讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0． 4-4. 【解答】已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）记的极小值为，证明：． 4-5. 【解答】已知函数，其中．（1）若，求函数的单调区间；（2）当时，试判断的零点个数并证明． 4-6. 【解答】已知函数．（1）当，求的取值范围；（2）当时．（ⅰ）设，讨论函数在上的单调性；（ⅱ）证明：对任意的，有． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $