15.3 等腰三角形（课外拓展提高）-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（人教版·新教材）江西专用

15.3等腰三角形 15.3.1等腰三角形 目第1课时等腰三角形的性质（建议用时：30分钟） 1.如图，l1∥L2,点A在直线1上，点B在直线5.如下图，在△ABC中，AF平分∠BAC,AC l2上，AB=BC,∠C=25°，∠1=60°，则∠2 的垂直平分线DE交BC于点E,交AC于 的度数是 点D,连接AE.若∠B=75°，∠FAE=15°， A.70° B.65 求∠C的度数. C.60° D.55° A 第1题图 第2题图 2.(教材变式)如图，AB=AC,AB的垂直平分 6.推理能力问题：如右图，在 线MN交AC于点D.若∠C=65°，则 △ABD中，BA=BD,在B4 BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA ∠DBC的度数是 A.25° B.20° =EC.若∠BAE=90°，∠B=45°，求∠DAC 的度数. C.30° D.15 答案：∠DAC=45°. 变式题(2025一2026赣州于都月考)如 思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B 图，在△ABC中，边AB,AC的垂直平分 =45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的 线分别交BC于点D,E.若∠BAC=128°， 度数会改变吗？请说明理由 则∠DAE的度数是 (2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45” 去掉，再将“∠BAE=90”改为“∠BAE= n”,其余条件不变，直接写出∠DAC的 度数. 变式题图 第3题图 3.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=80°， AD是中线，BE是角平分线，AD与BE交 于点O,则∠AOB的度数为 4.如图，在三角形纸片ABC中， AC=BC,把△ABC沿着AC翻 折，点B落在点D处，连接BD, 若∠BAC=35°，则∠CBD的度 第4题图 数是 44444 上册课外拓展提高 111 冒第2课时等腰三角形的判定（建议用时：30分钟） 1.由下列尺规作图可得△ABC为等腰三角 (2)若CE=EF,∠BAC=80°，求∠B的 形，且AB=BC的是 度数 A.①② B.②③C.①③D.②④ 2.如图，∠B=∠C=36°，∠ADE=∠AED= 72°，则图中的等腰三角形有 6.（2025一2026上饶鄱 A.3个 阳期中)如右图，在 B.4个 D △ABC中，AB=AC C.5个 B 第2题图 =2,∠B=∠C=40°， D.6个 点D在线段BC上运动（点D不与点B,C 3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是 重合)，连接AD作∠ADE=40°，DE交线段 (2,0),点B的坐标是(0,3)，则以AB为腰， AC于点E. 另一个顶点在坐标轴上的等腰三角形有 (1)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE? 个 请说明理由， B (2)当∠BAD等于多少度时，△ADE是等 腰三角形？请说明理由 A -2-1012 2 第3题图 第4题图 4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,BD⊥ AD于点D,过点D作DE∥AC,交AB于 点E. (1)若AE=4,则DE的长为 (2)若AB=10,则DE的长为 5.如下图，在△ABC中，AD平分∠BAC,过 线段CD上一点E作EG∥AD,交AC于点 F,交BA的延长线于点G. (1)求证：△AFG是等腰三角形 11511 112 八年级数学RJ版 15.3.2等边三角形 目第1课时等边三角形的性质与判定（建议用时：30分钟） 1.下列条件中，不能说明△ABC为等边三角6.已知△ABC为等边三角形. 形的是 ( (1)如图①，DE∥BC,DE分别交AB,AC于 A.∠A=∠B=60° 点D,E.求证：△ADE为等边三角形.针对 B.∠B+∠C=120° 此题，课本给出了如下的证明方法： C.∠B=60°，AB=AC 证明：，△ABC为等边三角形， D.∠A=60°，AB=AC ∴.∠A=∠B=∠C. 2.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°， .DE∥BC. BC=6.把△ADC沿直线AD折叠，点C落 ∴.∠ADE=∠B,∠AED=∠C ∴∠A=∠ADE=∠AED. 在点C处，连接BC',则BC的长是() △ADE为等边三角形. A.1 B.2 C.3 D.4 请你用另一种方法证明此题， (2)如图②，△ABC,△ADE仍是等边三角 形，连接CE且点D,E,C在同一条直线上， 连接BD.求证：BD=CE. 第2题图 第3题图 3.如图，△ABC是等边三角形，在△ACD中， AC=CD,∠ACD=90°，连接BD交AC于 点E,则∠ADB的度数为 图 图② 4.（教材变式)如图，一艘轮船由c A 海平面上A地出发向南偏西 50°的方向行驶40 n mile到达 B B地，再由B地向北偏西10°的 第4题图 方向行驶40 n mile到达C地，则A,C两地 相距 5.（2025一2026新余渝水区检 测)如右图，等边三角形ABC 中，BD是中线，延长BC至点 E使得CE=2BC,作DF⊥BE于点F. 求证：BF=EF. 44444 上册课外拓展提高 113 目第2课时含30°角的直角三角形的性质（建议用时：30分钟） 1.如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰 当杆AB与水平面夹角0为30°时，测得BC 角形，记为等腰三角形ABC.若AB=AC =8dm,此时点B到AD的距离为 26cm,D是边BC的中点，∠ABC=30°，则 AD的长为 A.11 cm B.12 cm C.13 cm D.14 cm 图① 图② 第6题图 第1题图 第2题图 7.新定义题定义：在等边三角形ABC中，D 2.(教材变式)如图，在Rt△ABC中，∠ACB= E,F分别是边AB,BC,CA上的动点，若 90°，∠A=30°，CD是斜边AB上的高，BD △DEF与△ABC形状相同，即△DEF也是 =2,那么AB的长为 等边三角形，则称△DEF是△ABC的子三 A.5 B.6 C.8 D.12 角形 3.（2025安徽改编)如图，在△ABC中，∠A= 已知：如下图，△ABC是等边三角形，D,E, 120°，AB=AC,边AC的中点为D,边BC F分别是边AB,BC,CA上的动点，且AD 上的点E满足ED⊥AC.若DE=√3，则BC =BE=CF 的长是 ( 求证：△DEF是△ABC的子三角形. A.6√3 B.6 C.43 D.8 证明：，△ABC是等边三角形， .AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°. D .AD=BE=CF,.'.AF=BD=CE, 60 B E F (1)请根据上述证明思路，补全剩余证明 第3题图 第5题图 过程 4.在△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm, (2)若FE⊥BC,AB=12,求CE的长. CD⊥AB交BA的延长线于点D,则CD的 长度是 cm. 5.如图，已知∠ABC=60°，D是射线BA上一 点，E,F是射线BC上的点.已知BD=6, EF=2,DE=DF,则BE的长为 6.跨物理学科如图①，杆AB可以绕转轴A 点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固 定一个小定滑轮C,细绳通过定滑轮与杆的 另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢 向上拉起.图②是其示意图，已知AB=AC, 114 八年级数学RJ版15.3等腰三角形 15.3.1等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1.A 2.D【解析】：AB=AC,∴.∠ABC=∠C=65°， ∴.∠A=50°. MN垂直平分AB,AD=BD, .∠ABD=∠A=50°， .∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°. 变式题76°【解析】，∠BAC=128°， ∴.∠B+∠C=180°-128°=52°. AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E, ∴.DA=DB,EA=EC, ∴.∠DAB=∠B,∠EAC=∠C, ∴.∠DAB+∠EAC=∠B+∠C=52°， ∴.∠DAE=∠BAC-∠DAB-∠EAC=128°-52 =76°. 3.115° 4.20°【解析】AC=BC,∠BAC=35°，∴.∠ABC= ∠BAC=35°.由折叠的性质可得∠CAD=∠BAC 35°，AB=AD,∴.∠BAD=∠CAD+∠BAC=70°， 1 ∠ABD=2(180°-∠BAD)=55,.∠CBD= ∠ABD-∠ABC=20° 5.解：DE是AC的垂直平分线，.EA=EC, .∠EAC=∠C ∠FAE=15°， .∠FAC=∠EAC+15°=∠C+15°. AF平分∠BAC, ∴.∠BAC=2∠FAC=2∠C+30. :∠B+∠BAC+∠C=180°， .75°+2∠C+30°+∠C=180°，解得∠C=25. 6.解：(1)∠DAC的度数不会改变.理由如下： EA=EC,∴.∠CAE=∠C. BA=BD,∴.∠BAD=∠BDA ∠BAE=90°，∠B=90°-∠AED=90°-2∠C, ∴∠BAD=号(180-∠B)=2[180-(90- 2∠C)]=45°+∠C, .∠DAE=90°-∠BAD=90°-(45°+∠C)=45 -∠C, ∴.∠DAC=∠DAE+∠CAE=∠DAE+∠C=45. (2)∠DAC的度数为n、【解折12设∠B=m, 则∠BAD=名(180-m)=90-2m,∠AEB 1 180°-n°-m°， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=m-90+2m 1 ·EA=EC,.∠CAE三2∠AEB=90°-，n° 1 m, ∠DAC=∠DAE+∠CAE=°-90+2m+90 第2课时等腰三角形的判定 1.C2.D 3.6【解析】以点A为圆心，AB的长为半径的圆与坐标 轴有4个交点，其中1个交点为B,故此时以AB为 腰，另一个顶点在坐标轴上的等腰三角形有3个；以点 B为圆心，AB的长为半径的圆与坐标轴有4个交点， 其中1个交点为A,故此时以AB为腰，另一个顶点在 坐标轴上的等腰三角形也有3个，故以AB为腰，另一 个顶点在坐标轴上的等腰三角形有6个. 4.(1)4(2)5【解析】(1)：AD平分∠BAC, ∴.∠EAD=∠CAD. :DE∥AC,∴∠EDA=∠CAD,∠EAD=∠EDA, ..DE=AE=4. (2).BD⊥AD, ∴.∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA. 由(1)可知，∠EAD=∠EDA, ∴∠EBD=∠BDE,DE=BE. DE-AE.DE-AB-7X10-5. 5.解：(1)证明：AD平分∠BAC,∴.∠BAD=∠CAD. .EG∥AD, ∴∠BAD=∠G,∠CAD=∠AFG, ∴∠G=∠AFG,.AF=AG, ∴△AFG是等腰三角形. (2),CE=EF,∠CFE=∠C ∠AFG=∠CFE,∠AFG=∠CAD, .∠C=∠CAD. ,∠BAC=80°，AD平分∠BAC,∴.∠C=∠CAD =40°， ∴.∠B=180°-∠BAC-∠C=60°. 6.解：(1)当DC等于2时，△ABD≌△DCE.理由如下： N∠ADC=∠B+∠BAD,∠B=∠C=∠ADE =40°， ∴.∠ADC=∠ADE+∠BAD. 又'∠ADC=∠ADE+∠CDE, 上册详解详析 37 .∠BAD=∠CDE .AB=DC=2. ∴.△ABD≌△DCE(ASA). 故当DC等于2时，△ABD≌△DCE. (2)①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40° :∠AED>∠C, 此种情况不成立； ②当DA=DE时，∠DAE=∠DEA=2(180°-40) =70° :∠BAC=180°-40°-40°=100°， .∠BAD=100°-70°=30°： ③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°， .∠BAD=100°-40°=60°. 综上所述，当∠BAD等于30°或60时，△ADE是等腰 三角形. 15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 1.B 2.C【解析】，△ADC沿直线AD折叠，AD是△ABC 的中线，∴.∠CDA=∠ADC=60°，DC'=DC=BD= 2BC=3,∠C'DB=60°，△BC'D是等边三角形， ∴.BC'=BD=3. 3.30°【解析】：△ABC是等边三角形，∴BC=AC, ∠BCA=60. :AC=CD,∠ACD=90°， ∴.∠ADC=45°，BC=CD, ∴△BCD是等腰三角形， ∴∠Bnc=3×180-∠BcD)=7×180-90 60)=15°. ∠ADB=∠ADC-∠BDC=45°-15°=30°. 4.40 n mile【解析】如图，连接AC. :∠ABC=10°+50°=60°，BC=AB= 40 n mile,∴.△ABC是等边三角形， .∴.AC=BC=40 n mile. 5.证明：，△ABC为等边三角形，BD是中线， ·∠ABC=∠DCB=60°，DC=2AC=2BC, ∠DBC=3∠ABC=30 又cE-8c. :.DC=CE, .∠E=∠CDE..∠DCB=∠E+∠CDE=60°， .∠E=30°=∠DBC, .DB=DE. DF⊥BE, .BF=EF. 138 八年级数学RJ版 6.证明：(1)，△ABC为等边三角形， ,∴.∠B=∠C=∠A=60° ,DE∥BC,∴.∠ADE=∠B,∠AED=∠C, .∠ADE=∠AED AD=AE,∴△ADE为等腰三角形. 又：∠A=60°， .△ADE为等边三角形. (2)'△ABC,△ADE是等边三角形， ∴AB=AC,AD=AE,∠DAE=∠BAC=60°. 又：∠DAB=∠DAE-∠BAE,∠EAC=∠BAC -∠BAE, ∴.∠DAB=∠EAC. (AD-AE. 在△DAB和△EAC中，∠DAB=∠EAC, AB=AC, .△DAB≌△EAC(SAS), ∴.BD=CE. 第2课时含30°角的直角三角形的性质 1.C 2.C【解析】：∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2AB. CD⊥AB,.∠CDB=90 :∠B=90°-∠A=60°，∠BCD=90°-∠B=30°， ∴BD=2BC.∴BD=AB. BD=2,∴.AB=8. 3.A【解析】如图，连接AE.AB= AC,∠B=∠C=180°-120 个D 2 E 30°.，AD=DC,ED⊥AC,.AE=EC,.∠1=∠C =30°，∴.∠BAE=∠BAC-∠1=120°-30°=90°. 在Rt△EDC中，∠C=30°， ∴.AE=EC=2DE=23. 在Rt△BAE中，∠B=30°， ∴.BE=2AE=4V3, '.BC=BE+EC=4W3+2√3=63. 4.1 5.2【解析】如图，过点D作DG⊥BC, 垂足为G. DE=DF,DG⊥BC, EG-2EF=1. 人60 E GF 在Rt△BDG中，，∠B=60°， ·∠BDG=30,BG=号 BD=3, ..BE=BG-EG=2. 6.4dm【解析】如图，过点B作BE⊥ AD,垂足为E, 由题意，得CA⊥AD, ∠DAC=90. ∠BAD=30°，.∠BAC=60°. .AB=AC. ∴.△ABC为等边三角形， ,∴.AB=BC=8dm. BE LAD.ZBAD-30B-AB-4dm. ..点B到AD的距离为4dm 7.解：(1)补全剩余证明过程如下： ∴.△DAF≌△EBD≌△FCE,∴.DF=ED=FE, ∴.△DEF是等边三角形， ∴.△DEF是△ABC的子三角形. (2),FE⊥BC,∠C=60°， .∠EFC=90°-∠C=90°-60°=30°. :∠BED+∠DEF=90°，∠EFC+∠C=90°，∠DEF =∠C=60°， .∴.∠BED=∠EFC=30°. :∠B=60°， ∴.在△BDE中，∠BDE=180°-∠B-∠BED=180° -60°-30°=90. 设BD=CE=x,则BE=2x. BC=AB=BE+CE=12,∴.3x=12,解得x=4, .CE的长为4. 第十六章整式的乘法 16.1幂的运算 16.1.1同底数幂的乘法 1.D2.C3.D 4.A【解析】，3=12,3'=6,3=72,12×6=72， .3·3=3,即3+y=3,x十y=之. 5.2x十1【解析】x=2"+1,.2m=x一1.2m+1=2 X2m,.2m+1=2(x-1).y=3+2m+1,∴y=3+2(x -1)=2x+1. 6.xy=之【解析】.23=2X2,2=2×2,2=2X2,…, ∴.任取三个连续的数，第三个数是前两个数的乘积， x,y,x满足的关系式是xy=之. 7.解：(1)：m☒n=2"X2", 由(2+x)⑧y=32,得22+r·2=22++=32=2: 由(2x十y)☒1=64，得22+·2=22++1=64=2， 5/2+x+y=5, x=2, 解得 2.x+y+1=6, y=1. 故x,y的值分别为2,1. (2),(a+b)“·(b+a)=(a+b)“·(a+b)=(a十 b)+6=(a+b)5,a+b=5.① 又：(a-b)+4·(a-b)-0=(a-b)“+8-0=(a-b)7, ∴.a十8-b=7,即a-b=-1.② 联立①②，得 ,a十b=5,解得 a=2, a-b=-1, b=3, ∴.a6=22×33=4×27=108. 8.解：(1)令S=2十22十23+…十2225，① 将等式两边同时乘2，得 2S=22+23+2+…+22026.② ②-①，得S=2226-2. (2)4+12+36+…+4×30=4×(1+3+32+…+ 30). 令S=4×(1+3+32十…+39)，① 将等式两边同时乘3，得 3S=4×(3+32+33+…+31).② ②-①，得2S=4×(31-1),∴.S=2×(31-1). 16.1.2幂的乘方与积的乘方 1.D2.C3.B4.C5.A6.B7.B 8.B【解析】，2=4+1=(22)+1=22+2,27=(33)y= 9”-”舒得 y=3, ∴.x-y=8-3=5. 9.4×10510.311.912.2813.8114.30 1543161.2 182【解折1原式=（兮广-（付）。”=可* (兮）广ay=4,3y+y=20x=2. 19.m3n-5mn8【解析】3=m,3"=n,.3r+w-5 X81r+2y=3rX3w-5×(3)r+2w=(3)3X(3)1-5 X3+8y=(3)3X(3)-5X(3)X(3)8=m3n -5m'n8. 20.解：(1)原式=m2·m+m8=2m. (2)原式=x12+3.x2+x12=5.x2. 211-日-ay吉a8 2原式-日×2-名×2-2-2-0 (2)(x2m)3十(y")3-x2m·y”·x4m·y2=(x3m)2 十y3m-(x3m)2·y3",x8m=4,y3”=5, ..原式=42+5-42×5=-59. 22.解：(1)x”=2,y"=3,.(x2y)2m=xm·y2m= (x")·(y")2=2×32=16×9=144. (2),2+3·3+3=6+8=62-4,.x十3=2x-4,解 得x=7. 23.解：(1)44100 (2)原式=(1×3)3+(2×3)3+(3×3)3+…+(10× 3)3 =13×33+23×33+33×33+…+102×3 =33×(13+23+33+…+103) =3×10×(10+1)72 2 =27×552 =81675. 24.解：(1)137 (2)12的末尾数字是2,12的末尾数字是4,12的 末尾数字是8,12的末尾数字是6,12的末尾数字是 2,… 上册详解详析 39△