15.3.2 等边三角形 教学设计 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦等边三角形的定义、性质、判定及含30°角直角三角形的性质，通过两个含30°角的三角尺拼摆导入，关联等腰三角形旧知，搭建从一般到特殊的知识支架。 以“画图测量—猜想—证明—归纳”为主线，如性质探究中让学生动手画图测量、折叠验证，培养几何直观与推理能力，含30°角直角三角形性质通过拼摆转化为等边三角形问题，发展创新意识，助力学生构建知识体系，提升教师教学效率。

15.3.2　等边三角形　教学设计 课题 15.3.2　等边三角形 学科 数学 年级 八年级 教材版本 人教版（2024） 课时 1课时 课型 新授课（探究课） 教学目标 1.了解等边三角形的定义，知道等边三角形是特殊的等腰三角形。 2.掌握等边三角形的性质与判定方法，能运用它们解决相关问题。 3.掌握“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，能解决简单的实际问题。 4.经历“画图测量—提出猜想—推理证明—归纳应用”的探究过程，体会类比、转化与分类讨论的思想，发展几何直观和推理能力。 教学重点 等边三角形的性质、判定方法及其运用；含30°角的直角三角形的性质及其应用。 教学难点 等边三角形判定方法的探究（“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的理解）；含30°角的直角三角形性质的证明与应用。 教学方法 动手操作、观察归纳、类比探究、讲练结合 教学准备 含30°角的三角尺、量角器、多媒体课件 课后练习 教科书P84～85练习1，2，习题5，10，11 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情境 导入新课 一、情境导入 师：把两个全等的含30°角的三角尺按图摆放（最短的直角边重合），观察拼成的图形。 问题1：你能判断出新组合的三角形是什么三角形吗？ 问题2：你能找到每个三角尺中最短的直角边与斜边之间的数量关系吗？ 追问（改编）：重合的这条边在两个三角形中分别是什么边？它把拼成的图形分成了怎样的两个三角形？ 生答：拼成的图形是等边三角形；每个三角尺中，最短的直角边等于斜边的一半。 教师顺势板书课题：15.3.2　等边三角形。 动手摆放两个含30°角的三角尺，观察拼成的图形；独立思考后小组交流，尝试回答问题1、问题2并说明理由。 从学生熟悉的三角尺拼摆入手创设操作情境，让学生在动手与观察中提出问题、形成猜想；既复习等腰（等边）三角形的边角关系，又为探究等边三角形的性质、判定及“30°角所对的直角边等于斜边的一半”作铺垫，激发探究欲望。 二、探究归纳 活动1 回顾 活动1　问题回顾 师：什么是等边三角形？它与我们学过的等腰三角形有什么关系？ 结合等腰三角形的定义，引导学生说出等边三角形的定义，并明确二者的关系。 生答：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它是一种特殊的等腰三角形，也叫正三角形。 追问（改编）：既然等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等腰三角形的性质它是否都具有？ 回顾等腰三角形的定义与性质，用自己的语言叙述等边三角形的定义；体会“特殊与一般”的关系，并对追问作出判断。 通过问题回顾唤醒旧知，从“等腰三角形”自然过渡到“等边三角形”，为后续探究提供知识生长点，渗透从一般到特殊的数学思想。 二、探究归纳 活动2 性质 活动2　探究等边三角形的性质 1.画一画、量一量：请同学们任意画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想。 2.想一想、推一推：你能否用已学的知识，通过推理说明你的猜想是正确的？ 生答：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C；又因为AB＝BC，所以∠C＝∠A，于是∠A＝∠B＝∠C。又由三角形内角和定理得∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°。 3.说一说：上面的条件与结论如何叙述？ 4.折一折：等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？通过折叠你还能发现等边三角形有哪些性质？能证明吗？ 归纳——等边三角形的性质： （1）等边三角形的三条边都相等； （2）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°； （3）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴； （4）由等腰三角形“三线合一”可以推出：等边三角形每条边上的中线、高与所对角的平分线互相重合。 符号表示：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA，∠A＝∠B＝∠C＝60°。 动手画图、测量、折叠，通过合情推理提出猜想；再尝试用“等边对等角”与三角形内角和定理进行演绎推理；小组交流后全班汇报，归纳等边三角形的性质。 让学生完整经历“画图测量—提出猜想—推理证明—归纳结论”的过程，体会合情推理与演绎推理相结合，发展几何直观与推理能力；通过“等边对等角”“三线合一”的迁移，突出等边三角形与等腰三角形的内在联系。 二、探究归纳 活动3 判定 活动3　探究等边三角形的判定 问题：（1）一个三角形满足什么条件就是等边三角形？（2）一个等腰三角形满足什么条件就是等边三角形？ 教师引导学生从“边”和“角”两个角度思考判定等边三角形需要满足的条件。 对一般三角形： （1）边：三边都相等的三角形是等边三角形； （2）角：三个角都相等的三角形是等边三角形。 对等腰三角形，分两种情况讨论： ［1］如果顶角是60°：根据三角形内角和定理，顶角是60°时，两个底角的和是180°－60°＝120°，再根据等腰三角形两底角相等，所以每个底角是120°÷2＝60°，三个内角都相等，由“等角对等边”得三边相等，即顶角为60°的等腰三角形是等边三角形。 ［2］如果底角是60°：同理可得另一个底角也是60°，顶角为180°－60°－60°＝60°，三个内角都相等，由“等角对等边”得三边相等，即底角为60°的等腰三角形也是等边三角形。 点拨：在等腰三角形中，不论60°角是底角还是顶角，这个等腰三角形都是等边三角形。 归纳——等边三角形常用的判定方法： 边：三边都相等的三角形是等边三角形； 角：三个角都相等的三角形是等边三角形； 边角：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 类比等腰三角形的判定，从“边”“角”两个角度提出猜想；在教师引导下分“顶角为60°”“底角为60°”两种情况推理验证，体会分类讨论；用自己的语言归纳等边三角形的三种判定方法。 采用“类比—猜想—验证—归纳”的方式探究判定，突出分类讨论与转化思想；强调“有一个角是60°的等腰三角形”中60°角的位置不限，防止学生以偏概全，培养思维的严谨性。 二、探究归纳 活动4 30°角 直角三角形 活动4　探究含30°角的直角三角形的性质 探究：用两个全等的含30°角的三角尺摆出了如下两个三角形。 师：图（1）是等边三角形吗？请从不同角度说明理由。 生答①：因为△ABD≌△ACD，所以AB＝AC；又Rt△ABD中∠BAD＝30°，∠ADB＝90°，所以∠ABD＝60°，由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”知图（1）是等边三角形。 生答②：图（1）中∠B＝∠C＝60°，∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝30°＋30°＝60°，所以∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，即△ABC是等边三角形。 师：由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？ 生答：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 师：仅凭实际操作得出的结论还需要证明，你能证明它吗？ 生答：在图（1）中，△ABC是等边三角形，所以AB＝BC＝AC；而∠ADB＝90°，即AD⊥BC。根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD＝DC＝BC，所以BD＝AB，即在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，它所对的直角边BD是斜边AB的一半。 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°。求证：BC＝AB。 分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD＝BC，连接AD。 证明：在△ABC中，因为∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，所以∠B＝60°。 延长BC至D，使CD＝BC，连接AD（如图②）。 因为∠ACB＝90°，所以∠ACD＝90°。 又因为AC＝AC，所以△ABC≌△ADC（SAS）。 所以AB＝AD（全等三角形的对应边相等）。 所以△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。 所以BC＝CD＝BD＝AB。 符号表示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30° ⇒ BC＝AB。 用两个含30°角的三角尺拼摆出图（1）（2），观察并说明图（1）是等边三角形的理由；提出“30°角所对的直角边与斜边关系”的猜想；在教师引导下通过添加辅助线（延长BC至D，使CD＝BC）完成定理的证明，并规范书写证明过程。 从操作感知走向演绎证明，让学生体会“实践—猜想—证明”的完整过程；通过“延长一倍”构造等边三角形，把30°角的问题转化为等边三角形的问题，渗透转化思想，突破难点。 三、应用举例 例1～例3 三、应用举例 例1　求证：三个角都相等的三角形是等边三角形。 已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C。求证：△ABC是等边三角形。 证明：因为∠A＝∠B，所以BC＝AC（等角对等边）。 又因为∠A＝∠C，所以BC＝AB（等角对等边）。 所以AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形。 点评：本例其实就是“三个角都相等”这一判定方法的证明，关键是把“角相等”转化为“边相等”。 例2　已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB，AC于D，E。求证：△ADE是等边三角形。 证明：因为△ABC是等边三角形（已知）， 所以∠A＝∠B＝∠C（等边三角形各角相等）。 因为DE∥BC， 所以∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）。 所以∠A＝∠ADE＝∠AED。 所以△ADE是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）。 点评：判定等边三角形时，可先在图中寻找“三个角相等”，注意用平行线的性质实现角的转化。 例3　如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得∠APB＝60°，AP＝BP＝200 m，他们便得出一个结论：A，B之间的距离不少于200 m。他们的结论对吗？ 分析：从实际问题中抽象出△APB，由已知条件∠APB＝60°且AP＝BP，结合本节课的探究结论知△APB为等边三角形。 解：在△APB中，因为AP＝BP，∠APB＝60°，所以∠PAB＝∠PBA＝（180°－∠APB）＝（180°－60°）＝60°。 于是∠PAB＝∠PBA＝∠APB，从而△APB为等边三角形。 所以AB＝AP＝200 m，即A，B之间的距离正好是200 m，兴趣小组的结论是正确的。 独立审题，先自己写出证明或解答过程，再与同桌互评；重点关注“等角对等边”“平行线的性质”“等边三角形的判定”的运用，规范书写每一步的推理依据。 通过“判定定理的证明—判定的几何应用—判定的实际应用”三类典型例题，巩固等边三角形的判定方法，训练由条件推断图形的推理能力，并让学生体会数学与实际的联系。 三、应用举例 例4～例5 例4　如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°，立柱BC，DE要多长？ 分析：观察图形可以发现，在Rt△AED与Rt△ACB中，因为∠A＝30°，所以DE＝AD，BC＝AB；又由D是AB的中点，所以AD＝AB。 解：因为DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，由定理知 BC＝AB，DE＝AD， 所以BC＝×7.4＝3.7（m）。又AD＝AB， 所以DE＝AD＝×3.7＝1.85（m）。 答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m。 例5　等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高。 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝2a，∠ABC＝∠ACB＝15°，CD是腰AB上的高。求CD的长。 分析：观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC＝2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC＝15°×2＝30°，根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可求出CD。 解：因为∠ABC＝∠ACB＝15°， 所以∠DAC＝∠ABC＋∠BCA＝30°。 所以CD＝AC＝a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）。 点评：当已知角不是30°时，常借助“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”把角转化为30°，再运用本课定理求线段长。 在教师引导下分析图形，找出含30°角的直角三角形，标出斜边与30°角所对的直角边；独立完成解答，交流解题思路，体会由外角把角转化为30°的技巧。 通过“屋架立柱”“求腰上的高”两个应用题，巩固含30°角的直角三角形的性质，训练“识别基本图形—确定斜边与30°角所对的直角边—代入计算”的解题路径，发展应用意识。 四、交流反思 归纳提升 四、交流反思 1.本节课我们探究了哪些内容？ 生答：等边三角形的定义、性质与判定方法，以及含30°角的直角三角形的性质。 2.我们经历了怎样的探究过程？ 生答：观察——归纳——猜想——证明；通过与等腰三角形类比，探究等边三角形的性质与判定。 3.你认为本节课有哪些容易出错的地方？（改编） 生答：①“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，前提是“等腰三角形”，一般的三角形只有一个角是60°时，不一定是等边三角形；②含30°角的直角三角形的性质，前提是“在直角三角形中”；③运用该性质求线段长时，要分清“30°角所对的直角边”与“斜边”，避免代错边。 教师强调：探究几何结论的一般路径是“观察—归纳—猜想—证明”，结论必须经过证明才能使用。 回顾本节课的学习内容与探究过程，用自己的语言归纳知识结构与思想方法；对照易错点进行自查，提出自己的疑问。 通过反思性小结，帮助学生梳理知识、提炼方法、澄清易错点，形成“定义—性质—判定—应用”的完整认知结构，养成反思与质疑的学习习惯。 五、检测反馈 当堂达标1 五、检测反馈（当堂达标） 1.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为（　　） A．25°　　B．60°　　C．85°　　D．95° 答案：D 简析：因为△ABC是等边三角形，所以∠C＝60°。因为∠ADB是△BDC的一个外角，所以∠ADB＝∠DBC＋∠C＝35°＋60°＝95°。 2.如图，AC＝BC＝10 cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　） A．3 cm　　B．4 cm　　C．5 cm　　D．6 cm 答案：C 简析：因为AC＝BC，所以∠A＝∠B＝15°，所以∠ACB＝150°，所以∠ACD＝30°。在Rt△ADC中，∠D＝90°，∠ACD＝30°，所以AD＝AC＝5（cm）。 3.如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是（　　） A．180°　　B．220°　　C．240°　　D．300° 答案：C 简析：等边三角形的每个内角都是60°，剪去一个角后，四边形的另外两个内角仍是60°，60°。由四边形的内角和为360°得∠α＋∠β＝360°－60°－60°＝240°。 4.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（　　） A．300a元　　B．150a元　　C．450a元　　D．225a元 答案：B 简析：由题图知AB＝20 m，AC＝30 m。过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D。因为∠BAC＝150°，所以∠BAD＝30°。在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，AB＝20 m，所以BD＝AB＝10（m）。所以S△ABC＝·AC·BD＝×30×10＝150（m²），故购买草皮至少需要150a元。 独立限时完成，规范书写解答过程；完成后同桌互评，对照答案及时订正，把出错的题目整理到纠错本上。 第1～4题分别从等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、图形变化中的角的计算、实际问题的转化等角度检测当堂学习效果，题目由易到难，既考查基础又考查灵活运用。 五、检测反馈 当堂达标2 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D在BC上，且AD⊥AC。若AD＝1，则BC的长为　　　　　　　　　。 答案：BC＝3 简析：因为AB＝AC，∠B＝30°，所以∠C＝30°，∠BAC＝120°。因为AD⊥AC，所以∠DAC＝90°，所以∠BAD＝120°－90°＝30°，所以∠BAD＝∠B，所以AD＝BD＝1。在Rt△ADC中，∠DAC＝90°，∠C＝30°，AD＝1，所以DC＝2AD＝2（DC是斜边）。所以BC＝BD＋DC＝1＋2＝3。 6.已知：如图，房屋的顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB＝AC，求顶架上∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数。 答案：∠B＝∠C＝40°，∠BAD＝∠CAD＝50° 简析：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C＝（180°－∠BAC）＝（180°－100°）＝40°。因为AD⊥BC且AB＝AC，由等腰三角形“三线合一”知AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝50°。 7.已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD。求证：DB＝DE。 证明：因为△ABC是等边三角形，BD是中线， 所以BD平分∠ABC，∠DBC＝∠ABC＝30°，∠ACB＝60°。 因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E。 又因为∠ACB＝∠CDE＋∠E＝60°，所以∠E＝30°。 所以∠DBC＝∠E，所以DB＝DE（等角对等边）。 8.如图，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论。 结论：△APQ是等边三角形。 证明：因为△ABC是等边三角形，所以AB＝AC，∠BAC＝60°。 又因为∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，所以△ABP≌△ACQ（SAS）。 所以AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ。 所以∠PAQ＝∠PAC＋∠CAQ＝∠PAC＋∠BAP＝∠BAC＝60°。 所以△APQ是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。 独立完成第5～8题：第5题的答案填在横线上；第6～8题写出必要的推理过程，其中第7、8题按“已知—求证—证明”的格式规范书写。完成后小组内互相批改，归纳共性问题。 第5～8题涉及性质的直接运用、三线合一、等边三角形与全等的综合，题号连续、层次分明，进一步巩固本课核心知识，提升推理与表达能力；第8题体现“全等—等腰—等边”的综合转化，为学有余力的学生提供思维空间。 六、布置作业 六、布置作业 必做：教科书P84～85练习1，2，习题5，10。 选做：教科书P85习题11。 教师提示：完成作业时先画图分析，明确图形中的等边三角形与含30°角的直角三角形，再规范书写推理过程，注意写清每一步的依据。 记录作业，明确必做与选做的要求；课后先复习本课例题的书写格式，再独立完成作业。 作业分层设置，既保证全体学生巩固本课核心知识，又为学有余力的学生提供发展空间；强调“先画图、后推理”的解题习惯，落实规范表达。 板书设计 15.3.2　等边三角形 一、等边三角形的性质 　（1）三条边都相等 　（2）三个内角都相等，且都等于60° 　（3）是轴对称图形，有三条对称轴 　（4）每条边上的中线、高与所对角的平分线 　　　互相重合（三线合一） 二、等边三角形的判定 　（1）三边都相等的三角形 　（2）三个角都相等的三角形 　（3）有一个角是60°的等腰三角形 三、含30°角的直角三角形的性质 　在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 　那么它所对的直角边等于斜边的一半 　符号：Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30° ⇒ BC＝AB 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $