第09讲 乘法公式（核心知识+6易错辨析+7典例精讲+课后作业）讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦乘法公式核心知识，系统梳理平方差公式、完全平方公式及添括号法则，从公式结构特征、适用范围到高频变形，构建“公式理解-结构辨析-灵活应用”的学习支架，衔接多项式乘法与整式运算进阶。 资料亮点在于6大易错点精准辨析（如完全平方漏2倍项）、7类典例分层精讲（含几何图形验证公式），通过“结构判断-公式套用-变形求值”培养抽象能力与推理意识，课中助力教师突破教学难点，课后作业与总结帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第09讲 乘法公式 （核心知识+6易错辨析+7典例精讲+课后作业） 【知识点01】平方差公式 公式： 文字叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 结构特征： 左边：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数； 右边：相同项的平方减去相反项的平方。 适用范围： 可以代表数、单项式、多项式。 例题： 【知识点02】完全平方公式 公式： 文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。 结构口诀：首平方，尾平方，积的2倍放中央，符号看前方。 适用范围： 可以代表数、单项式、多项式。 例题： 高频常用变形（考试必考）： 【知识点03】添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。 核心作用：将多项式整体看作公式中的或，实现复杂式子灵活套用乘法公式。 例题：，把当作整体，套用平方差公式计算。 易错点 错误写法 正确写法 错因分析 平方差漏加括号 单项式作底数忘记加括号，未对整体平方，仅对变量平方 完全平方漏2倍项 最经典易错点，遗漏公式核心的“积的2倍”项 混淆公式结构 混淆完全平方公式与平方差公式的结构，概念模糊 完全平方负号处理错误 平方运算结果恒为非负数，负数整体平方后符号为正 添括号符号错误 括号前为负号时，括号内所有项需统一变号，漏变号 强行套用公式 不满足公式结构，只能用多项式乘多项式计算 未判断式子结构，无相同项、相反项，不满足平方差公式适用条件 【题型一】运用平方差公式进行运算 【例1】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】运用平方差公式进行运算 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【例2】．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）下列各多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式的应用，根据平方差公式为逐项判断即可． 【详解】解：选项A：，相同项为，相反项为与，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算； 选项B：， 两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式形式，不能用平方差公式计算； 选项C：，相同项为，相反项为与，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算； 选项D：，相同项为，相反项为与，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算． 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】平方差公式的使用条件：两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数，符合该条件即可用平方差公式计算，据此判断各选项． 【详解】解：平方差公式的结构为， A选项：中，含的项为和，既不相同也不互为相反数，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算； B选项：，两项均互为相反数，无完全相同的项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算； C选项：，两项均互为相反数，无完全相同的项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算； D选项：，其中是完全相同的项，与互为相反数，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算． 【变式2】．（25-26八年级上·江西新余·期末）若，则的值为___________． 【答案】2 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式．根据进行计算即可． 【详解】解：， ， 又， ， 故答案为：2． 【变式3】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】运用平方差公式进行运算 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【题型二】平方差公式与几何图形 【例3】．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，．若阴影部分的面积为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形，根据阴影面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，再减去两个直角三角形的面积，由此可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵正方形与正方形的边长分别为，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【变式1】．（25-26八年级上·山东德州·期末）从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形（如图），然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示左图、右图的涂色部分的面积是正确解答的关键．用代数式分别表示左图、右图的涂色部分的面积即可． 【详解】解：左图，涂色部分的面积为， 将剩余的部分拼成右图的长为，宽为，因此面积为， 因此有：， 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，正方形，正方形的边长分别为、，点在边上，这两个正方形的面积之差为51，且，则的长为________． 【答案】 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查代数式计算与面积问题，根据题干信息得出，之间的关系是解题的关键． 设正方形，正方形的边长分别为，根据面积之差为51，可得，结合，可得，即可求解． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为， ∵两正方形面积之差为51， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：3 【变式3】．（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）如图，四边形与四边形都是正方形，设，． (1)观察图形，试用不同的方法表示图形中阴影部分的面积，你能获得相应的一个因式分解公式吗？请将这个公式写出来； (2)如果正方形的边长比正方形的边长多，它们的面积相差．试利用（1）中的公式，求、的值． 【答案】(1)；； (2) 【知识点】平方差公式与几何图形、加减消元法 【分析】本题考查了平方差公式在几何图形中的应用，解二元一次方程组，掌握平方差公式的性质以及应用是解题的关键． （1）用两种不同的方法表示图形中阴影部分的面积：延长交于点，通过和，可得； （2）根据题意可得，代入原式并联立方程即可求出a、b的值． 【详解】（1）解：①延长交于点， 则 ； ②， ∴； （2）解：根据题意可得， 由（1）知， 则，即， 联立得， 解得． 【题型三】运用完全平方公式进行运算 【例4】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】两个小题均利用完全平方和公式展开计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例5】．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】依据完全平方公式的结构特征，判断各选项能否转化为两个相同二项式相乘的形式． 【详解】解：与均符合平方差公式结构，不适用完全平方公式， A、B不符合题意； 的两个二项式各项系数均不对应相等，无法转化为相同二项式相乘的形式， C不符合题意； ，可运用完全平方公式计算， D符合题意． 【变式1】．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，边长为x 的正方形的边长增加4，用含x 的式子表示增加后的正方形的面积为_______． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】根据题意确定新正方形的边长，利用完全平方公式或图形面积和计算总面积，对比系数得出结果． 【详解】解：由题意可知，增加后的正方形边长为 ，则正方形的面积为 ， 根据完全平方公式可得： ， 对比可知，的系数为． 【变式2】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1). (2). (3). (4). 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式. 【题型四】通过对完全平方公式变形求值 【例5】．（2026·广东珠海·二模）若，，则的值为（    ） A．44 B．42 C．32 D．28 【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题利用完全平方公式变形求解，将所求转化为含已知和的形式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 【例6】．（25-26八年级上·河北·期末）已知，，则______． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】利用完全平方公式变形，将已知条件代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ， 把，代入得：． 【变式1】．（25-26八年级上·广西崇左·期末）已知正数满足，则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式求值，把两边同时平方，可得：，整理可得：． 【详解】解：， ， 可得：， ， ， 即． 故选：C． 【变式2】．（26-27八年级上·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】先把两边平方，再代入的值，计算即可得到的值． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）拓展探究： 材料：我们知道，，两式相减可得：，由此可得公式：． (1)已知，，求的值： (2)探究：已知，，求（用m 、n 表示）； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值． (1)利用完全平方公式可得：，，把等式两边分别相减即可求出的值； (2)利用完全平方公式可得：，根据，即可求出； (3)利用完全平方公式可得：，把代入即可求代数式的值． 【详解】（1）解：， ， 整理得：， ， ， 整理得：， 得：， 解得：； （2）解：， ， 整理得：， 又， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， 原式. 【题型五】完全平方公式在几何图形中的应用 【例7】．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，把一个边长为a的正方形相邻两边增加b得到一个新的大正方形，则通过新的大正方形的面积表示可以得到等式（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了用几何图形验证完全平方公式，解决本题的关键是用不同的方式表示正方形的面积． 【详解】解：大正方形的边长为， 大正方形的面积为， 大正方形是由两个边长分别为、的正方形和个长为宽为的矩形组成， 大正方形的面积还可以表示为， ． 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图1是一个长为、宽为（）的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．能反映拼接前后两个图形面积变化的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；根据题意直接得出两个图形的面积，然后问题可求解． 【详解】解：由图1可知：该图形面积为，由图2可知：该图形的面积为， ∴； 故选C． 【变式2】．（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用4张甲种纸片，1张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成无重叠、无缝隙一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为______． 【答案】/ 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】根据完全平方公式的特征进行计算，即可解答． 【详解】解：用4张甲种纸片、1张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成无重叠、无缝隙一个大正方形， 这个大正方形的面积， 拼成的大正方形的边长为：． 【变式3】．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）有两个正方形，，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，求正方形，的面积之和． 【答案】3 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】设正方形 A，B 的边长分别为，由几何图形得图甲中阴影部分为正方形，边长为，图乙中大正方形边长，根据图乙中阴影部分面积为，求出，再利用，利用整体代法入即可求解． 【详解】解：设正方形，的边长分别为，，则图甲中阴影部分面积为： 图乙中阴影部分面积为： ， 答：正方形，的面积之和为3． 【题型六】求完全平方式中的字母系数 【例8】．（25-26八年级上·四川泸州·期末）若是完全平方式，则m的值为（   ） A．12 B． C．9 D． 【答案】C 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】根据完全平方公式的结构特征求解，将给定二次三项式与完全平方公式对比即可得到m的值． 【详解】解：是完全平方式， 对于，可得，一次项满足， ∴常数项． 【例9】．（24-25八年级上·河南商丘·阶段检测）若是一个完全平方式，则m的值为________． 【答案】或13 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】先将代数式写成完全平方的形式，然后计算、比较即可解答． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得：或13． 【变式1】．（25-26八年级上·山东德州·期末）若多项式可用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键， 根据完全平方公式的结构对比对应项系数，即可求出a的值． 【详解】解：∵多项式可用完全平方公式进行因式分解， ∴， 展开得， ∴， 则． 【变式2】．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上： ； ； ； （2）观察以上三个多项式的系数，有，，，于是小明猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系： ①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系： ； ②解决问题：若多项式是一个完全平方式，求m的值． 【答案】（1），，；（2）①；② 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】此题考查了完全平方式，列代数式． （1）利用完全平方公式分解即可； （2）①观察各式的特征，得到，，之间的关系即可； ②根据①得出的三者之间的关系列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：（1）； ； ； 故答案为：，，； （2）①若多项式是完全平方式，则实数系数，，一定存在某种关系为； 故答案为：； ②∵多项式是一个完全平方式， ∴， 解得：． 【变式3】．课本原题：当k取何值时， 是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式： 的结构特征。因为， 是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． (1)请尝试用语言叙述完全平方公式的结构特征： ； (2)若 是完全平方式，则m的值为 ；若(n为常数) 是完全平方式，则n的值为 ； (3)已知 ，请求出b的值． 【答案】(1)左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同（答案不唯一，能描述清楚即可） (2)10或；16 (3) 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式： 的结构特征是解题关键； （1）根据完全平方公式结构特征用语言表述即可； （2）根据完全平方公式结构特征：求字母常数的值即可； （3）根据完全平方公式结构特征：求字母常数的值即可． 【详解】（1）解：完全平方公式：， 完全平方公式的结构特征：左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同， 故答案为：左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同；（答案不唯一，能描述清楚即可） （2）解： 是完全平方式， ， ， 解得：或； 是完全平方式， ， ， 故答案为：10或；16； （3）解：， ， ， ， ． 【题型七】整式的混合运算 【例10】．（25-26八年级上·全国·阶段检测）对于任意的整数n，能整除的数是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 【答案】C 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、整除等知识点，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先运用整式的混合运算法则化简，然后再判断整除即可解答． 【详解】解： ． 由于能被5整除，故C选项符合题意． 故选C． 【变式1】．（25-26八年级上·福建厦门·期末）计算： 【答案】 解： 【变式2】．（25-26八年级上·山东临沂·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：．其中，． 【答案】（1）；（2）， 【知识点】整式的混合运算 【分析】对于本题，重点掌握完全平方公式，平方差公式． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）先由完全平方公式和平方差公式计算中括号，再计算多项式除以单项式，最后代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时， 原式． 【变式3】．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的混合运算、多项式除以单项式 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算积的乘方和幂的乘方，再根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可； （2）原式根据完全平方公式和平方差公式展开括号后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1. 两大核心公式（必背） 平方差公式：，核心特征：同项平方减反项平方，适用于“一同一反”二项式相乘； 完全平方公式：，核心特征：首平方、尾平方，两倍乘积放中央，符号跟随原式符号。 2. 解题核心技巧 公式中的具有广泛性，可表示数字、单项式、多项式；遇到复杂整式运算，可通过添括号、整体换元的方式，将式子转化为标准公式结构，简化计算。 3. 高频考点 利用公式变形求值：已知、，求解、等代数式的值，是期中、期末必考题型。 4. 避坑核心要点 完全平方公式绝不遗漏中间项； 含系数、负号的底数，必须整体括号平方； 先判结构、再用公式，无对应结构坚决不用公式，常规展开计算。 5. 标准解题步骤 观察式子结构 → 判断适配公式 → 整体代入展开 → 合并同类项化简。 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）运用乘法公式计算时，下列变形中，最适合运用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添括号、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了利用平方差公式对整式进行变形，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式进行变形即可． 【详解】解： 故选：D． 2．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，其中相同项为，与互为相反数，符合平方差公式结构，可利用平方差公式简便计算； B、中无完全相同和互为相反数的项，只能用多项式乘多项式计算，不符合要求； C、，属于完全平方公式的应用，不能用平方差公式； D、，属于完全平方公式的应用，不能用平方差公式； 故选：A． 3．（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知，，则的值为（    ） A．31 B．25 C．19 D．15 【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式的运用． 由可得，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， 故选：C． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若多项式是一个多项式的平方，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方公式的逆用，掌握完全平方公式是解题关键． 将给定多项式与完全平方公式的结构对应，通过对比系数求出的值． 【详解】解：∵完全平方公式为， 已知多项式是某个多项式的平方，其结构与完全平方公式一致， ∴对应项可得，， ∴，代入得， ∴， ∴． 故选：． 5．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）一块边长为的正方形土地面积为，另一块长为、宽为的长方形土地的面积为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．与的大小不确定 【答案】A 【知识点】列代数式、多项式乘多项式与图形面积、整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了列代数式，多项式乘多项式与图形面积，运用完全平方公式进行运算，整式的混合运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 通过代数展开计算和，通过求差法比较大小． 【详解】解：∵，， ∴， 故， 故选：A． 6．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）若a，b为实数，且，，则x，y的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式加减的应用、运用完全平方公式进行运算 【分析】比较两个代数式的大小，采用作差法，结合完全平方公式配方，利用平方的非负性判断差的符号即可． 【详解】解： ∵a，b为实数， ∴ ， ， ∴ ，即 ， ∴ ． 7．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）将边长为的正方形剪去一个边长为的正方形（），如图1，将它剪去补成一个长方形如图2，从图1到图2可得到的公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式几何意义的理解、整式运算与几何图形结合等知识点，正确写出图1和图2剪完剩下的图形的面积是解题的关键． 先分别写出图1和图2剪完剩下的图形的面积，再根据两种情况的面积是相等得到等式即可解答． 【详解】解：如图1：将边长为的正方形剪去一个边长为的正方形（），剩下的图形的面积是； 如图2：将它剪去补成一个长方形如图2的面积为， 所以得到的公式是． 故选：C． 8．（25-26八年级上·全国·期末）有两个正方形、，现将放在的内部得图甲，将，重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形和两个正方形，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，平方差公式的应用，正确识图是解题的关键． 设正方形，正方形的边长分别为,,且，根据图形作答即可． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为,,且， 由甲得：， 由乙得：， ∴ ∴， 由丙得知：， 故选：A． 二、填空题 9．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）当时，代数式的值是____． 【答案】2047 【知识点】实数的混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查完全平方公式及实数的运算，熟练掌握完全平方公式及实数的运算是解题的关键；通过完全平方公式将代数式变形，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， 当时，， ∴原式； 故答案为2047． 10．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，有正方形A，B，将A，B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形甲与正方形乙．若甲、乙中阴影部分的面积分别12，30，则正方形B的面积为________． 【答案】3 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 设正方形A的边长为，正方形B的边长为，用代数式表示图甲、图乙中阴影的面积，整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：设正方形A的边长为，正方形B的边长为， 由题意得：图甲中阴影的面积为， ； 图乙中阴影的面积为， ， ， ， 正方形B的面积为， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，学校劳动课实践基地由两块边长分别为、的正方形秧田、，其中不能使用的面积为．用含、的代数式表示中能使用的面积 _________ ；若，，则比多出来的使用面积为 _______ ． 【答案】 【知识点】列代数式、已知式子的值，求代数式的值、整式加减的应用、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了列代数式，平方差公式，掌握图形面积的计算方法以及面积之间的和差关系是正确解答的前提． ①根据面积之间的关系，从边长为的正方形面积中，减去不能使用的面积即可； ②用代数式表示比多出的使用面积，再利用平方差公式进行分解因式，最后带入式子的值计算即可． 【详解】解：①中能使用的面积大正方形的面积不能使用的面积，即； ②比多出的使用面积为： ∵，， ∴原式 ， 故答案为：；． 12．（25-26八年级上·福建泉州·期末）对于任意的整数，如果，则称为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．例如：，则为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．已知“最简平方差”对应的“最佳分解数”分别为、，且，则的最小值为_____． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了新定义运算及平方差公式，关键是对定义的理解；根据定义可得关于的表达式，再结合得到的关系式，最后根据为整数，求出的最小值． 【详解】解：∵“最简平方差”对应“最佳分解数”， ∴； 同理， ∵， ∴，即， ∴， ∵、均为整数，且由， ∴ 当时，； 当时，； 因此的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 13．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式. 14．（26-27八年级上·江苏南京·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、整式的混合运算 【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，再合并同类项即可得出答案； （2）利用平方差公式，单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 　　　　． （2）解：原式 　　　　． 15．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【知识点】利用平方根解方程、运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【详解】（1）解：； （2）解：∵， 或． 16．如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． (1)观察图形可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式________________； (2)运用（1）中得到的公式，计算：． 【答案】(1) (2)1 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】（1）由图2、图1中的阴影部分面积相等，即可得出结果； （2）将转化为，再利用平方差计算即可． 【详解】（1）解：∵图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形， ∴图2、图1中的阴影部分面积相等， ∴． （2）解： ． 17．如图（单位：米），和谐广场有一块长为米、宽为米的长方形地，角上有两块边长为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化． (1)用含有，的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）． (2)若，，求出绿化的总面积． 【答案】(1)平方米． (2)13200平方米 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（1）先计算长方形地的面积，再计算两块小正方形空地的面积，最后用长方形地的面积减去两块小正方形空地的面积，通过多项式乘法和完全平方公式展开式子，合并同类项得到最简形式； （2）直接将值代入，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算，即可得到具体的绿化总面积． 【详解】（1）解：绿化的总面积 ， 即绿化的总面积为平方米． （2）解：当，时，（平方米）， 即绿化的总面积为13200平方米． 18．（25-26八年级上·福建泉州·期中）对于任意四个实数、、、，可以组成两个实数对与，我们规定：，例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）先根据新运算的定义可得，再根据完全平方公式可得，由此即可得； （2）先根据新运算的定义可得，则，再利用完全平方公式变形可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴． （2）解：由题意得： ， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 19．（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知关于x的代数式，代数式（a、b为常数）． (1)A是一个关于x的完全平方式，则a的值为______； (2)若，求的值； (3)若，对于任意实数x，都有，求的取值范围． 【答案】(1)0 (2) (3) 【知识点】实数的混合运算、运用完全平方公式进行运算、求完全平方式中的字母系数、不等式的性质 【分析】（1）根据完全平方式的特点可得，据此可得答案； （2）根据可推出，解方程求出a、b的值即可得到答案； （3）可求出，由对于任意实数x，都有，得到，据此求出b的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是一个完全平方式， ∴两平方项为，一次项为， ∴根据完全平方式的结构特征，有， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵代数式，代数式，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵代数式，代数式， ∴ ， ∵对于任意实数x，都有， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 乘法公式 （核心知识+6易错辨析+7典例精讲+课后作业） 【知识点01】平方差公式 公式： 文字叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 结构特征： 左边：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数； 右边：相同项的平方减去相反项的平方。 适用范围： 可以代表数、单项式、多项式。 例题： 【知识点02】完全平方公式 公式： 文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。 结构口诀：首平方，尾平方，积的2倍放中央，符号看前方。 适用范围： 可以代表数、单项式、多项式。 例题： 高频常用变形（考试必考）： 【知识点03】添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。 核心作用：将多项式整体看作公式中的或，实现复杂式子灵活套用乘法公式。 例题：，把当作整体，套用平方差公式计算。 易错点 错误写法 正确写法 错因分析 平方差漏加括号 单项式作底数忘记加括号，未对整体平方，仅对变量平方 完全平方漏2倍项 最经典易错点，遗漏公式核心的“积的2倍”项 混淆公式结构 混淆完全平方公式与平方差公式的结构，概念模糊 完全平方负号处理错误 平方运算结果恒为非负数，负数整体平方后符号为正 添括号符号错误 括号前为负号时，括号内所有项需统一变号，漏变号 强行套用公式 不满足公式结构，只能用多项式乘多项式计算 未判断式子结构，无相同项、相反项，不满足平方差公式适用条件 【题型一】运用平方差公式进行运算 【例1】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例2】．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）下列各多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江西新余·期末）若，则的值为___________． 【变式3】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型二】平方差公式与几何图形 【例3】．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，．若阴影部分的面积为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·山东德州·期末）从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形（如图），然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，正方形，正方形的边长分别为、，点在边上，这两个正方形的面积之差为51，且，则的长为________． 【变式3】．（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）如图，四边形与四边形都是正方形，设，． (1)观察图形，试用不同的方法表示图形中阴影部分的面积，你能获得相应的一个因式分解公式吗？请将这个公式写出来； (2)如果正方形的边长比正方形的边长多，它们的面积相差．试利用（1）中的公式，求、的值． 【题型三】运用完全平方公式进行运算 【例4】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【例5】．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，边长为x 的正方形的边长增加4，用含x 的式子表示增加后的正方形的面积为_______． 【变式2】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式3】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型四】通过对完全平方公式变形求值 【例5】．（2026·广东珠海·二模）若，，则的值为（    ） A．44 B．42 C．32 D．28 【例6】．（25-26八年级上·河北·期末）已知，，则______． 【变式1】．（25-26八年级上·广西崇左·期末）已知正数满足，则的值是(　　) A． B． C． D． 【变式2】．（26-27八年级上·全国·课后作业）已知，求的值． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）拓展探究： 材料：我们知道，，两式相减可得：，由此可得公式：． (1)已知，，求的值： (2)探究：已知，，求（用m 、n 表示）； (3)已知，求的值． 【题型五】完全平方公式在几何图形中的应用 【例7】．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，把一个边长为a的正方形相邻两边增加b得到一个新的大正方形，则通过新的大正方形的面积表示可以得到等式（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图1是一个长为、宽为（）的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．能反映拼接前后两个图形面积变化的式子是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用4张甲种纸片，1张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成无重叠、无缝隙一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为______． 【变式3】．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）有两个正方形，，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，求正方形，的面积之和． 【题型六】求完全平方式中的字母系数 【例8】．（25-26八年级上·四川泸州·期末）若是完全平方式，则m的值为（   ） A．12 B． C．9 D． 【例9】．（24-25八年级上·河南商丘·阶段检测）若是一个完全平方式，则m的值为________． 【变式1】．（25-26八年级上·山东德州·期末）若多项式可用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 【变式2】．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上： ； ； ； （2）观察以上三个多项式的系数，有，，，于是小明猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系： ①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系： ； ②解决问题：若多项式是一个完全平方式，求m的值． 【变式3】．课本原题：当k取何值时， 是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式： 的结构特征。因为， 是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． (1)请尝试用语言叙述完全平方公式的结构特征： ； (2)若 是完全平方式，则m的值为 ；若(n为常数) 是完全平方式，则n的值为 ； (3)已知 ，请求出b的值． 【题型七】整式的混合运算 【例10】．（25-26八年级上·全国·阶段检测）对于任意的整数n，能整除的数是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 【变式1】．（25-26八年级上·福建厦门·期末）计算： 【变式2】．（25-26八年级上·山东临沂·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：．其中，． 【变式3】．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）计算： (1)； (2)． 1. 两大核心公式（必背） 平方差公式：，核心特征：同项平方减反项平方，适用于“一同一反”二项式相乘； 完全平方公式：，核心特征：首平方、尾平方，两倍乘积放中央，符号跟随原式符号。 2. 解题核心技巧 公式中的具有广泛性，可表示数字、单项式、多项式；遇到复杂整式运算，可通过添括号、整体换元的方式，将式子转化为标准公式结构，简化计算。 3. 高频考点 利用公式变形求值：已知、，求解、等代数式的值，是期中、期末必考题型。 4. 避坑核心要点 完全平方公式绝不遗漏中间项； 含系数、负号的底数，必须整体括号平方； 先判结构、再用公式，无对应结构坚决不用公式，常规展开计算。 5. 标准解题步骤 观察式子结构 → 判断适配公式 → 整体代入展开 → 合并同类项化简。 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）运用乘法公式计算时，下列变形中，最适合运用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知，，则的值为（    ） A．31 B．25 C．19 D．15 4．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若多项式是一个多项式的平方，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）一块边长为的正方形土地面积为，另一块长为、宽为的长方形土地的面积为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．与的大小不确定 6．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）若a，b为实数，且，，则x，y的大小关系是（ ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）将边长为的正方形剪去一个边长为的正方形（），如图1，将它剪去补成一个长方形如图2，从图1到图2可得到的公式为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·全国·期末）有两个正方形、，现将放在的内部得图甲，将，重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形和两个正方形，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）当时，代数式的值是____． 10．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，有正方形A，B，将A，B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形甲与正方形乙．若甲、乙中阴影部分的面积分别12，30，则正方形B的面积为________． 11．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，学校劳动课实践基地由两块边长分别为、的正方形秧田、，其中不能使用的面积为．用含、的代数式表示中能使用的面积 _________ ；若，，则比多出来的使用面积为 _______ ． 12．（25-26八年级上·福建泉州·期末）对于任意的整数，如果，则称为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．例如：，则为的“最简平方差”，为的“最佳分解数”．已知“最简平方差”对应的“最佳分解数”分别为、，且，则的最小值为_____． 三、解答题 13．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 14．（26-27八年级上·江苏南京·开学考试）计算： (1)； (2)． 15．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 16．如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． (1)观察图形可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式________________； (2)运用（1）中得到的公式，计算：． 17．如图（单位：米），和谐广场有一块长为米、宽为米的长方形地，角上有两块边长为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化． (1)用含有，的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）． (2)若，，求出绿化的总面积． 18．（25-26八年级上·福建泉州·期中）对于任意四个实数、、、，可以组成两个实数对与，我们规定：，例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值． 19．（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知关于x的代数式，代数式（a、b为常数）． (1)A是一个关于x的完全平方式，则a的值为______； (2)若，求的值； (3)若，对于任意实数x，都有，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $