第03讲 全等三角形的性质与基础判定及作图（核心知识+9易错辨析+12典例精讲+课后作业）2026-2027学年人教版八年级数学上册秋期复习 + 期考讲义专项

本讲义聚焦全等三角形的性质与基础判定及作图核心知识点，系统梳理从全等形概念、对应元素、表示方法，到全等三角形性质（对应边、角相等及衍生元素相等），再到五大判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）及无效判定（SSA、AAA）的知识脉络，搭建完整学习支架。 该资料通过9个易错辨析（如对应顶点顺序、SAS与SSA混淆）、12个典例精讲（覆盖图形全等、性质应用等题型）及规范尺规作图指导，培养学生推理意识与几何直观。课中辅助教师突破教学难点，课后助力学生查漏补缺，提升解题严谨性与创新意识。

第03讲 全等三角形的性质与基础判定及作图 （核心知识+9易错辨析+12典例精讲+课后作业） 【知识点01】全等三角形相关概念 1. 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形，核心特征是形状、大小完全相同，与图形位置、摆放方向无关。 2. 全等三角形：能够完全重合的两个三角形，是全等形的特殊形式。 3. 对应元素 对应顶点：两个三角形重合时相互重合的顶点； 对应边：两个三角形重合时相互重合的边； 对应角：两个三角形重合时相互重合的角。 4. 表示方法 用符号“≌”表示全等，书写核心规则：对应顶点字母必须写在对应位置。 示例：△ABC≌△DEF，默认A对应D，B对应E，C对应F，可直接根据写法确定对应边角。 【知识点02】全等三角形的性质 1. 基础核心性质（必考） ① 全等三角形的对应边相等； ② 全等三角形的对应角相等。 2. 拓展衍生性质（常考填空、解答题） ① 全等三角形对应边上的中线相等； ② 全等三角形对应边上的高相等； ③ 全等三角形对应角的角平分线相等； ④ 全等三角形周长相等、面积相等。 重要误区：周长相等或面积相等的两个三角形，不一定全等。 【知识点03】全等三角形基础判定定理 五大有效判定定理，适用于所有普通三角形，是证明三角形全等的核心依据。 1. SSS（边边边） 文字定理：三边分别相等的两个三角形全等。 几何规范格式： 在△ABC和△DEF中 AB=DE，BC=EF，AC=DF ∴△ABC≌△DEF（SSS） 2. SAS（边角边） 文字定理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 核心关键点：相等的角必须是两组对应相等边中间的夹角，非夹角不成立。 几何规范格式： 在△ABC和△DEF中 AB=DE，∠B=∠E，BC=EF ∴△ABC≌△DEF（SAS） 3. ASA（角边角） 文字定理：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 核心关键点：相等的边是两个对应相等角中间夹住的公共边。 几何规范格式： 在△ABC和△DEF中 ∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F ∴△ABC≌△DEF（ASA） 4. AAS（角角边） 文字定理：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。 推导原理：根据三角形内角和为180°，可由ASA定理推导得出，属于间接判定方法。 几何规范格式： 在△ABC和△DEF中 ∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF ∴△ABC≌△DEF（AAS） 5.HL（斜边直角边） 适用范围 仅适用于直角三角形，普通三角形严禁使用HL判定全等，直角三角形简写为：。 完整文字表述 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 标准符号语言（考试规范书写） 在和中 原理补充 直角三角形自带一组直角相等（），HL本质是SSA在直角三角形中的特殊成立形式。普通三角形中SSA无法证明全等，但直角三角形中斜边+直角边的SSA组合可判定全等。 【知识点04】绝对不能判定全等的两种情况 1. SSA（两边及其中一边对角）：无法确定三角形的唯一形状和大小，不能判定全等； 2. AAA（三个角对应相等）：只能证明两个三角形形状相同（相似），边长可大可小，不能判定全等。 易错点1：全等书写对应顶点顺序混乱 错误表现：随意书写字母，如实际△ABC≌ △DEF，错写为△ABC ≌ △EDF。 严重危害：全等符号自带对应关系，字母错乱会直接导致对应边、对应角判断全部错误，整题失分。 正确规则：书写全等时，对应顶点必须一一对应；若题目仅文字描述“两个三角形全等”，无固定对应关系，需分类讨论。 易错点2：混淆SAS与SSA（最经典高频错误） 核心结论：SSA绝对不能判定三角形全等。 辨析区别：SAS是两边夹一角，角在两条已知边中间，可唯一确定三角形形状大小；SSA是两边及其中一边的对角，角不在两边中间，可画出一锐一钝两个不同三角形，无法判定全等。 例题警示：AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，属于SSA条件，无法证明全等。 易错点3：混淆ASA与AAS判定条件 区分关键：看已知边的位置 ASA：两角夹边，边在两个角中间； AAS：两角对边，边不夹在两角之间。 常见错误：只要看到两角一边就判定为ASA，忽略边的位置关系，非夹边只能用AAS判定。 易错点4：直角三角形判定误用、滥用HL HL仅适用于直角三角形，普通三角形严禁使用； 直角三角形并非只能用HL，SSS、SAS、ASA、AAS均可正常使用； 易错陷阱：仅写“两边相等”判定Rt△全等，未区分斜边和直角边，判定依据不成立。 易错点5：混淆全等与周长、面积的关系 核心逻辑：全等三角形可以推出周长相等、面积相等（正向成立）；周长、面积相等，不能推出三角形全等（反向不成立）。 反例：底4、高3的锐角三角形和底4、高3的钝角三角形，面积相等，但形状大小不同，不全等。 易错点6：遗漏图形隐含全等条件 做题高频隐藏等量关系，极易忽略： 公共边：两个三角形共用的边，天然对应相等； 公共角：两个三角形共用的角，天然对应相等； 对顶角：相交直线形成的对顶角相等。 多数题目仅给出两组显性条件，第三组条件均为隐含条件，遗漏则无法完成证明。 易错点7：自创无效判定定理（AAA、普通SSA） 绝对无效判定：AAA（三角对应相等）、SSA（两边及非夹角相等）。 反例：大小不同的两个等边三角形，三个角均为60°（AAA），角度相等但边长不同，仅相似不全等。 易错点8：尺规作图规范性错误 未保留作图圆弧痕迹，直接扣分； 作图过程中随意更改圆规半径，导致边长、角度不相等； 只画图不写作图结论，答题不完整； 无法用SSS全等原理解释作图依据。 易错点9：证明逻辑颠倒、依据缺失 正确逻辑：边角条件→ 判定定理→ 三角形全等→ 对应边角相等 常见错误：直接由角相等、边相等推出全等，未套用五大判定定理，无解题依据，逻辑不成立。 【题型一】图形的全等 【例1】．（25-26八年级上·广西防城港·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）下列新能源汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24八年级上·河北张家口·期中）如图，将标号为的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为的四个图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪个图形”的对应关系填空． A与_________对应；B与______对应；C与_______对应；D与_______对应． 【题型二】全等三角形的概念 【例2】．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．    【变式1】．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【变式3】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知．写出对应边、对应角． 【题型三】全等三角形的性质 【例3】．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，已知，若，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 【例4】．（23-24八年级上·重庆大足·期末）如图，，若，，则等于______． 【例5】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，点，，，依次在同一条直线上，，，求的长． 【变式1】．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）若如图所示的两个三角形全等，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为_________． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，已知， 的对应角为， 的对应角为，若，求的长． 【题型四】SSS判定三角形全等 【例6】．（22-23八年级上·新疆博尔塔拉·期末）如图，以 的顶点为圆心，以长为半径作弧；再以顶点 为圆心，以 长为半径作弧，两弧交于点 ；连结 ．由作法可得： 的根据是（     ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【例7】．（23-24八年级上·四川巴中·阶段检测）如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，相交于点．求证：． 【变式2】．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 【变式3】．（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 【题型五】SAS判定三角形全等 【例8】．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，，，，则能通过全等证明出，所用的依据是（    ） A． B． C． D． 【例9】．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，．将从点处沿虚线剪开，若，当线段BD的长度为__________时，剪下的两个三角形全等． 【例10】．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，，，求证：平分． 【变式1】．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点固定，测得，之间的距离即内径的长度．此方案依据的数学定理是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【变式2】．（22-23八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一直线上，连接，以下四个结论      ①；②； ③；④． 其中结论正确的是__________．（把正确结论的序号填在横线上）． 【变式3】．（22-23八年级上·全国·期末）如图，在和中，，连接，求证：． 【变式4】．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，E为上一点，，．求证： (1)； (2)． 【题型六】ASA(AAS)判定三角形全等 【例11】．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 【例12】．（23-24八年级上·上海·期中）如图，，，D为中点，，，垂足为点E，则________． 【例13】．（25-26八年级上·广东中山·阶段检测）如图，在中，，过点C作，垂足为E，延长至点F，使，过点F作，垂足为D．求证：． 【变式1】．（25-26八年级上·山东临沂·期末）王刚同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，小明不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，他要到玻璃店重新配成一块一样的，只需带③号碎片去的理由是：______． 【变式3】．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【题型七】HL判定三角形全等 【例14】．（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ）． A． B． C． D． 【例15】．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，已知，，则判定最直接的依据是________. 【例16】．（25-26八年级上·广东中山·期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，与交于点G，，，．求证：． 【变式1】．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，，，，一动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，为射线上一动点，随着点的运动而运动，且始终保持，当点（不与点重合）经过___________时，和全等． 【变式3】．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）墙面上贴有规格相同的正方形瓷砖，其示意图如下，正方形瓷砖与正方形瓷砖之间用三角形瓷砖和三角形瓷砖拼接，于点C，于点D，点B，C，E与点B，D，G分别在同一直线上．求证：． 【题型八】添加条件使三角形全等 【例17】．（25-26八年级上·四川广元·期末）如图，，，添加一个条件不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，点，在上，，，要添加的一个条件应不能使的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，，，要证明，还需要的条件是：_________． 【变式3】．（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图所示，点，在线段上，，，_____．求证：． 请在上面横线中添加一个使和全等的条件，并完成证明过程． 【题型九】灵活选用判定方法证全等 【例18】．（25-26八年级上·河南许昌·期中）下列条件中，不能满足两个直角三角形全等的是（    ） A．两直角边对应相等 B．斜边、一条直角边对应相等 C．一锐角、一条直角边对应相等 D．两锐角对应相等 【变式1】．（25-26八年级上·福建泉州·期末）小明同学要去玻璃店配一块完全一样的三角形玻璃，可以带哪块碎片去玻璃店（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【变式2】．（25-26八年级上·广东中山·阶段检测）如图，一块三角形玻璃破裂成I，II号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上___________号碎片．根据全等三角形的知识，这样选择的依据是___________． 【变式3】．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【题型十】尺规作一个角等于已知角 【例19】．（2025八年级上·全国·专题练习）尺规作角时，直尺的作用是（   ）． A．画弧线 B．量角度 C．画直线和连接点 D．测量长度 【变式1】．如图，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（   ） A．以点C为圆心，为半径的弧 B．以点C为圆心，为半径的弧 C．以点E为圆心，为半径的弧 D．以点E为圆心，为半径的弧 【变式2】．（2025八年级上·全国·专题练习）用尺规作，需要作_______次． 【变式3】．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，，M，N分别是上的点，小亮想在中画出与对应的线段，并说明．现在邀请你作为他的学习伙伴，请根据他的想法与思路完成作图（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）和填空． 解：以D为圆心，的长为半径作弧，交于点P；以点P为顶点，在右侧作___①___，交于点Q． ， ∴___②___（全等三角形对应角相等）． 在和中， （____③___）． （___④___）． 【题型十一】尺规作图——作三角形 【例20】．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为（   ） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，则为所作的三角形 A．①②③ B．①③② C．②①③ D．②③① 【例21】．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【例22】．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知线段a，直角和锐角，求作直角三角形，使，，． 【变式1】．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，已知线段a． b和，按要求尺规作图（不必写作法、保留作图痕迹）．    求作，使， ； 作图依据是__________． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作______； （2）如图③，在射线上截取______，在射线上截取______； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 【变式3】．（25-26八年级上·河北邢台·期中）按下列要求作三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： (1)如图1，已知线段a，b，c，求作，使得，，． (2)如图2，已知和线段d，e，求作，使得，，． 【题型十二】结合尺规作图的全等问题 【例23】．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式1】．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．    【变式2】．（22-23八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是______．    【变式3】．（25-26八年级上·天津河西·阶段检测）如图，方格纸上有一个，请你在方格纸内画出满足条件，，的，并判断与是否一定全等． 1. 知识核心两大板块 ① 全等性质：全等三角形对应边、对应角相等，衍生元素（中线、高、角平分线、周长、面积）全部相等； ② 全等判定：4个有效定理（SSS、SAS、ASA、AAS），2个无效判定（AAA、SSA）。 2. 通用解题思路 初中几何中，想要证明线段相等、角相等，最核心的方法：证明线段、角所在的两个三角形全等。解题优先观察图形隐含条件，简化推理过程。 3. 答题三大规范要求 ① 全等书写：顶点字母严格对应； ② 定理标注：全等结论必须附带判定依据； ③ 逻辑严谨：先有条件，再证全等，最后推导结论，因果不颠倒。 4. 专属记忆口诀 全等图形全重合，对应边角必相等； 三边相等SSS，两边夹角SAS； 两角夹边ASA，两角对边AAS； 三边三角不能行，边边角也判定不成。 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图是作的尺规作图，其中三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·河北邯郸·一模）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 7．（25-26八年级上·河南信阳·期末）根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是__________（填全等理由） 9．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，若，，，则的度数是______． 10．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 11．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，中，，，，点D是的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A运动，若两点在运动过程中和会出现全等的情况，则点Q的速度为________． 12．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，在四边形中，连接、，于点．若，则的长为___________． 三、解答题 13．（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在一条直线上，，，，，．求： (1)的长； (2)的度数． 14．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，点D是外一点，连接，已知，． (1)在内求作一点M，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 15．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两凳子之间(凳子与地面垂直)．已知，， (1)与全等吗？请说明理由． (2)求两条凳子的高度之和． 16．（22-23八年级上·全国·期末）如图，点E在BC上，，． (1)说明：； (2)若，求的度数． 17．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 18．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)连接交于点，求证：． 19．（25-26八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，， (1)求证：， (2)猜想的数量和位置关系，并说明理由． 20．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． (1)和全等吗？请说明理由． (2)若，试说明： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 全等三角形的性质与基础判定及作图 （核心知识+9易错辨析+12典例精讲+课后作业） 【知识点01】全等三角形相关概念 1. 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形，核心特征是形状、大小完全相同，与图形位置、摆放方向无关。 2. 全等三角形：能够完全重合的两个三角形，是全等形的特殊形式。 3. 对应元素 对应顶点：两个三角形重合时相互重合的顶点； 对应边：两个三角形重合时相互重合的边； 对应角：两个三角形重合时相互重合的角。 4. 表示方法 用符号“≌”表示全等，书写核心规则：对应顶点字母必须写在对应位置。 示例：△ABC≌△DEF，默认A对应D，B对应E，C对应F，可直接根据写法确定对应边角。 【知识点02】全等三角形的性质 1. 基础核心性质（必考） ① 全等三角形的对应边相等； ② 全等三角形的对应角相等。 2. 拓展衍生性质（常考填空、解答题） ① 全等三角形对应边上的中线相等； ② 全等三角形对应边上的高相等； ③ 全等三角形对应角的角平分线相等； ④ 全等三角形周长相等、面积相等。 重要误区：周长相等或面积相等的两个三角形，不一定全等。 【知识点03】全等三角形基础判定定理 五大有效判定定理，适用于所有普通三角形，是证明三角形全等的核心依据。 1. SSS（边边边） 文字定理：三边分别相等的两个三角形全等。 几何规范格式： 在△ABC和△DEF中 AB=DE，BC=EF，AC=DF ∴△ABC≌△DEF（SSS） 2. SAS（边角边） 文字定理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 核心关键点：相等的角必须是两组对应相等边中间的夹角，非夹角不成立。 几何规范格式： 在△ABC和△DEF中 AB=DE，∠B=∠E，BC=EF ∴△ABC≌△DEF（SAS） 3. ASA（角边角） 文字定理：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 核心关键点：相等的边是两个对应相等角中间夹住的公共边。 几何规范格式： 在△ABC和△DEF中 ∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F ∴△ABC≌△DEF（ASA） 4. AAS（角角边） 文字定理：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。 推导原理：根据三角形内角和为180°，可由ASA定理推导得出，属于间接判定方法。 几何规范格式： 在△ABC和△DEF中 ∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF ∴△ABC≌△DEF（AAS） 5.HL（斜边直角边） 适用范围 仅适用于直角三角形，普通三角形严禁使用HL判定全等，直角三角形简写为：。 完整文字表述 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 标准符号语言（考试规范书写） 在和中 原理补充 直角三角形自带一组直角相等（），HL本质是SSA在直角三角形中的特殊成立形式。普通三角形中SSA无法证明全等，但直角三角形中斜边+直角边的SSA组合可判定全等。 【知识点04】绝对不能判定全等的两种情况 1. SSA（两边及其中一边对角）：无法确定三角形的唯一形状和大小，不能判定全等； 2. AAA（三个角对应相等）：只能证明两个三角形形状相同（相似），边长可大可小，不能判定全等。 易错点1：全等书写对应顶点顺序混乱 错误表现：随意书写字母，如实际△ABC≌ △DEF，错写为△ABC ≌ △EDF。 严重危害：全等符号自带对应关系，字母错乱会直接导致对应边、对应角判断全部错误，整题失分。 正确规则：书写全等时，对应顶点必须一一对应；若题目仅文字描述“两个三角形全等”，无固定对应关系，需分类讨论。 易错点2：混淆SAS与SSA（最经典高频错误） 核心结论：SSA绝对不能判定三角形全等。 辨析区别：SAS是两边夹一角，角在两条已知边中间，可唯一确定三角形形状大小；SSA是两边及其中一边的对角，角不在两边中间，可画出一锐一钝两个不同三角形，无法判定全等。 例题警示：AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，属于SSA条件，无法证明全等。 易错点3：混淆ASA与AAS判定条件 区分关键：看已知边的位置 ASA：两角夹边，边在两个角中间； AAS：两角对边，边不夹在两角之间。 常见错误：只要看到两角一边就判定为ASA，忽略边的位置关系，非夹边只能用AAS判定。 易错点4：直角三角形判定误用、滥用HL HL仅适用于直角三角形，普通三角形严禁使用； 直角三角形并非只能用HL，SSS、SAS、ASA、AAS均可正常使用； 易错陷阱：仅写“两边相等”判定Rt△全等，未区分斜边和直角边，判定依据不成立。 易错点5：混淆全等与周长、面积的关系 核心逻辑：全等三角形可以推出周长相等、面积相等（正向成立）；周长、面积相等，不能推出三角形全等（反向不成立）。 反例：底4、高3的锐角三角形和底4、高3的钝角三角形，面积相等，但形状大小不同，不全等。 易错点6：遗漏图形隐含全等条件 做题高频隐藏等量关系，极易忽略： 公共边：两个三角形共用的边，天然对应相等； 公共角：两个三角形共用的角，天然对应相等； 对顶角：相交直线形成的对顶角相等。 多数题目仅给出两组显性条件，第三组条件均为隐含条件，遗漏则无法完成证明。 易错点7：自创无效判定定理（AAA、普通SSA） 绝对无效判定：AAA（三角对应相等）、SSA（两边及非夹角相等）。 反例：大小不同的两个等边三角形，三个角均为60°（AAA），角度相等但边长不同，仅相似不全等。 易错点8：尺规作图规范性错误 未保留作图圆弧痕迹，直接扣分； 作图过程中随意更改圆规半径，导致边长、角度不相等； 只画图不写作图结论，答题不完整； 无法用SSS全等原理解释作图依据。 易错点9：证明逻辑颠倒、依据缺失 正确逻辑：边角条件→ 判定定理→ 三角形全等→ 对应边角相等 常见错误：直接由角相等、边相等推出全等，未套用五大判定定理，无解题依据，逻辑不成立。 【题型一】图形的全等 【例1】．（25-26八年级上·广西防城港·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查了全等形的定义，关键是理解全等形需要形状和大小都完全相同，能够完全重合． 【详解】解：根据全等形的定义，能够完全重合的两个图形是全等形，即形状和大小都完全相同． 选项A中，一个是圆形，一个是方形，形状不同，不是全等形； 选项B中，一个是六边形，一个是五边形，形状不同，不是全等形； 选项C中，两个三角形大小不同，不是全等形； 选项D中，两个心形的形状和大小都完全相同，能够完全重合，是全等形； 故选：D． 【变式1】．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）下列新能源汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查的是全等图形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．根据能够完全重合的两个图形叫做全等图形对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意； B、组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意； C、组成图形的两个图形不全等，故本选项符合题意； D、组成图形的四个图形全等，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】．（23-24八年级上·河北张家口·期中）如图，将标号为的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为的四个图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪个图形”的对应关系填空． A与_________对应；B与______对应；C与_______对应；D与_______对应． 【答案】 M P Q N 【知识点】图形的全等 【分析】本题主要考查了全等形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等形，按照剪开前后各基本图形是重合的原则进行逐个验证、排查，熟练掌握全等形的识别是解决此题的关键． 【详解】由全等形的概念可知： A是三个三角形，与M对应； B是一个三角形和两个直角梯形，与P对应； C是一个三角形和两个四边形，与Q对应； D是两个三角形和一个四边形，与N对应 故答案为：M，P，Q，N． 【题型二】全等三角形的概念 【例2】．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．    【答案】对应边：与，与，与；对应角：与，与，与 【知识点】全等三角形的概念 【分析】根据全等三角形中能够互相重合的边是对应边，能够互相重合的角是对应角，再解答即可． 【详解】解：∵， ∴对应边：与，与，与；对应角：与，与，与． 【点睛】本题考查的是全等三角形的概念，掌握全等三角形的对应边与对应角的含义是解本题的关键． 【变式1】．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题考查了全等三角形的表示方法，根据对应点的字母写在对应的位置进行解答即可求解，掌握全等三角形的表示方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点和点是对应点，点和点是对应点， ∴的对应边是， 故选：． 【变式2】．（24-25八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可． 【详解】解：由得： ①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意； ③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意； 故正确的有②③， 故选：B． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知．写出对应边、对应角． 【答案】见解析 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题考查全等三角形的对应边与对应角．把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角．据此即可解答． 【详解】解：对应边：与，与，与； 对应角：与，与，与． 【题型三】全等三角形的性质 【例3】．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，已知，若，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的对应边相等即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴． 【例4】．（23-24八年级上·重庆大足·期末）如图，，若，，则等于______． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【例5】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，点，，，依次在同一条直线上，，，求的长． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，得到，进而得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式1】．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）若如图所示的两个三角形全等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的对应角相等，进行求解即可. 【详解】解：∵两个三角形全等，且的两条邻边分别为， ∴. 【变式2】．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为_________． 【答案】24 【知识点】全等三角形的性质 【分析】利用全等三角形的性质求出和的长可得结论． 【详解】解：， ，， ， ， ． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，已知， 的对应角为， 的对应角为，若，求的长． 【答案】1 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，可得，进而可得，结合即可求解． 【详解】解：， ， 即， ， ， ， 即， ． 【题型四】SSS判定三角形全等 【例6】．（22-23八年级上·新疆博尔塔拉·期末）如图，以 的顶点为圆心，以长为半径作弧；再以顶点 为圆心，以 长为半径作弧，两弧交于点 ；连结 ．由作法可得： 的根据是（     ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【详解】解：由题意可知， 又∵， ∴ ． 【例7】．（23-24八年级上·四川巴中·阶段检测）如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定，得到是解题的关键．由推出，再根据，，三边对应相等，即可求解． 【详解】，, ， ，， ． 故选：A． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，相交于点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查全等三角形判定及性质．根据题意可证明，继而利用全等性质即可得到本题答案． 【详解】证明：如图，连接， 在与中，， ， ． 【变式2】．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】（1）利用定理证明两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 【变式3】．（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【详解】证明：∵， ， ∴， 在和中， ∵ ∴． 【题型五】SAS判定三角形全等 【例8】．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，，，，则能通过全等证明出，所用的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】根据，可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ． 【例9】．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，．将从点处沿虚线剪开，若，当线段BD的长度为__________时，剪下的两个三角形全等． 【答案】2 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，当时，利用即可证明两个三角形全等． 【详解】解：如图所示，当时，， 则， ∴， 故答案为：2． 【例10】．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，，，求证：平分． 【答案】见解析 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键；由题意得，利用即可证明，得，即可得平分． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【变式1】．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点固定，测得，之间的距离即内径的长度．此方案依据的数学定理是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴在和中， ， ∴， ∴； ∴此方案依据的数学定理是边角边； 【变式2】．（22-23八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一直线上，连接，以下四个结论      ①；②； ③；④． 其中结论正确的是__________．（把正确结论的序号填在横线上）． 【答案】①③④ 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】由 ，利用等式的性质得到夹角相等，从而得出三角形 与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，进而得到 ，本选项不正确；再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；利用周角减去两个直角可得答案； 【详解】解： ， 即： 在 和 中 ，本选项正确； 为等腰直角三角形， ，本选项不正确； 即, ∴，本选项正确； ，本此选项正确； 故答案为：①③④． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 【变式3】．（22-23八年级上·全国·期末）如图，在和中，，连接，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】先证，再根据“”证明即可． 【详解】证明：∵，即， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式4】．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，E为上一点，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS）、全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）由可证明 （2）由（1）可得，即可得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ，，， ∴． （2）证明：如图， 由（1）知， 在和中， ，，， ． 【题型六】ASA(AAS)判定三角形全等 【例11】．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【详解】解：他带第③块碎片去是因为第③块保留了该三角形的两个角及其夹边，所以他利用了全等三角形的判定依据是． 【例12】．（23-24八年级上·上海·期中）如图，，，D为中点，，，垂足为点E，则________． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】证明，得到，然后结合D为中点求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，D为中点， ∴， ∴． 【例13】．（25-26八年级上·广东中山·阶段检测）如图，在中，，过点C作，垂足为E，延长至点F，使，过点F作，垂足为D．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余、全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．首先证明，，然后利用“”证明与全等即可． 【详解】证明：∵， ∴，； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式1】．（25-26八年级上·山东临沂·期末）王刚同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】由题意得，，，再证明可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 在和中， ， ； ∴， ，即两堵木墙之间的距离为． 【变式2】．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，小明不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，他要到玻璃店重新配成一块一样的，只需带③号碎片去的理由是：______． 【答案】两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 根据全等三角形的判定定理即可得． 【详解】解：第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据两角及其夹边分别相等的两个三角形全等来配一块一样的玻璃． 故答案为：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 【变式3】．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）利用可证； （2）根据全等三角形的性质可证，，根据可知． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中，， ； （2）解：， ，， ， ． 【题型七】HL判定三角形全等 【例14】．（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】首先根据直角边斜边判定，根据对应边相等得到，继而得到． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【例15】．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，已知，，则判定最直接的依据是________. 【答案】 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据题意可知和是直角三角形，根据全等判定定理，有一条斜边和直角边分别对应相等即可判定，继而选出本题答案． 【详解】解：∵，， ∴和均为直角三角形， ∴在和中， ， ∴． 故答案为：． 【例16】．（25-26八年级上·广东中山·期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，与交于点G，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】利用证明即可． 【详解】证明：∵ ∴ ∴ ∵， ∴． 【变式1】．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】根据直角三角形的全等判定解答即可． 【详解】解：补充，可得：， 在和中， ， ∴． 【点睛】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 【变式2】．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，，，，一动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，为射线上一动点，随着点的运动而运动，且始终保持，当点（不与点重合）经过___________时，和全等． 【答案】或或 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，分四种情况，分别利用全等三角形的性质求解即可，熟练掌握全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ①当E在线段上，时，， ，， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ，， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； ③当E在线段上，时，， 这时E在B点处，不合题意舍去； ④当E在上，时，， ，， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； 综上：当点（不与点重合）经过或或时，和全等， 故答案为：或或． 【变式3】．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）墙面上贴有规格相同的正方形瓷砖，其示意图如下，正方形瓷砖与正方形瓷砖之间用三角形瓷砖和三角形瓷砖拼接，于点C，于点D，点B，C，E与点B，D，G分别在同一直线上．求证：． 【答案】证明：根据题意可知， ∵，， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】根据题意易得，然后可得，进而问题可求证． 【详解】略 【题型八】添加条件使三角形全等 【例17】．（25-26八年级上·四川广元·期末）如图，，，添加一个条件不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有：．据此逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， A．添加条件，可根据证明，故不符合题意； B．添加条件，可根据证明，故不符合题意； C．添加条件，可根据证明，故不符合题意； D．添加条件，不能判定，故符合题意， 故选：D． 【变式1】．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，点，在上，，，要添加的一个条件应不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】先利用平行线的性质可得，然后根据全等三角形的判定方法逐一判断即可解答． 【详解】解：， ， A、，， ， ， 故A选项不符合题意； B、，，， ， 故B选项不符合题意； C、，， ， 满足，则和不一定全等， 故C选项符合题意； D、，，， ， 故D选项不符合题意． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，，，要证明，还需要的条件是：_________． 【答案】（或或或） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】根据全等三角形的判定定理添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴添加或可根据得到， 添加或可根据得到， 即还需要的条件是（或或或） 【变式3】．（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图所示，点，在线段上，，，_____．求证：． 请在上面横线中添加一个使和全等的条件，并完成证明过程． 【答案】 解：可添加，证明如下： ，点，在线段上， ， ， ，， ． 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的证明，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题关键；利用全等三角形的证明方法添加条件证明即可． 【详解】略 【题型九】灵活选用判定方法证全等 【例18】．（25-26八年级上·河南许昌·期中）下列条件中，不能满足两个直角三角形全等的是（    ） A．两直角边对应相等 B．斜边、一条直角边对应相等 C．一锐角、一条直角边对应相等 D．两锐角对应相等 【答案】D 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．结合全等三角形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：A选项：两直角边对应相等，且直角为两边夹角，符合判定定理，能判定两个直角三角形全等． B选项：斜边、一条直角边对应相等，符合判定定理，能判定两个直角三角形全等． C选项：一锐角、一条直角边对应相等，结合直角相等，符合或判定定理，能判定两个直角三角形全等． D选项：两锐角对应相等，无对应边相等的条件，不能判定两个直角三角形全等． 故选：D． 【变式1】．（25-26八年级上·福建泉州·期末）小明同学要去玻璃店配一块完全一样的三角形玻璃，可以带哪块碎片去玻璃店（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】A 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】此题考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握． 可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【详解】解：A、带①②去，符合判定，能得到一块完全一样的三角形玻璃； B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，不能得到一块完全一样的三角形玻璃； C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，不能得到一块完全一样的三角形玻璃； D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，不能得到一块完全一样的三角形玻璃． 故选：A． 【变式2】．（25-26八年级上·广东中山·阶段检测）如图，一块三角形玻璃破裂成I，II号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上___________号碎片．根据全等三角形的知识，这样选择的依据是___________． 【答案】 Ⅱ 角边角/ 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键． 根据三角形全等的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，带Ⅱ号碎片去可以利用“角边角”得到与原三角形全等的三角形． 故答案为：Ⅱ，角边角． 【变式3】．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①②③（答案不唯一） (3)见解析 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （2）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （3）先推导出，再根据证明即可． 【详解】（1）解：我准备用我们目前学的全等三角形判定中的判定定理来判断． 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：根据判定定理来判断，需要选条件①②③． 故答案为：①②③（答案不唯一）． （3）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 【题型十】尺规作一个角等于已知角 【例19】．（2025八年级上·全国·专题练习）尺规作角时，直尺的作用是（   ）． A．画弧线 B．量角度 C．画直线和连接点 D．测量长度 【答案】C 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查尺规作图． 尺规作图中，直尺无刻度，主要用于画直线和连接点． 【详解】解：∵ 尺规作图的直尺无刻度， ∴ 直尺只能用于画直线和连接点，不能画弧线（由圆规完成）、量角度或测量长度， ∴ 尺规作角时，直尺的作用是画直线和连接点． 故选：C． 【变式1】．如图，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（   ） A．以点C为圆心，为半径的弧 B．以点C为圆心，为半径的弧 C．以点E为圆心，为半径的弧 D．以点E为圆心，为半径的弧 【答案】D 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了尺规作图－作一个角等于已知角．根据尺规作图：作一个角等于已知角的方法步骤逐一判断即可得到答案． 【详解】解：根据作一个角等于已知角的方法步骤可知，是以点E为圆心，为半径的弧， 故选：D． 【变式2】．（2025八年级上·全国·专题练习）用尺规作，需要作_______次． 【答案】 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了尺规作图，尺规作角的和、差．要作一个角等于已知角的两倍，需通过两次作已知角来实现． 【详解】解：在尺规作图中，作时，首先以点为顶点作，然后以点为顶点，在的外部作，从而使，因此需要作次． 故答案为：2． 【变式3】．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，，M，N分别是上的点，小亮想在中画出与对应的线段，并说明．现在邀请你作为他的学习伙伴，请根据他的想法与思路完成作图（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）和填空． 解：以D为圆心，的长为半径作弧，交于点P；以点P为顶点，在右侧作___①___，交于点Q． ， ∴___②___（全等三角形对应角相等）． 在和中， （____③___）． （___④___）． 【答案】①；②；③；④全等三角形对应边相等 【知识点】全等三角形的性质、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是读懂题意，作合理的图形，根据题意作，由可推出，从而得证，再由全等三角形对应边相等，得到． 【详解】解：如图所示： 解：以D为圆心，的长为半径作弧，交于点P；以点P为顶点，在右侧作，交于点Q． ， ∴（全等三角形对应角相等）． 在和中， ． （全等三角形对应边相等）． 故答案为：①；②；③；④全等三角形对应边相等． 【题型十一】尺规作图——作三角形 【例20】．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为（   ） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，则为所作的三角形 A．①②③ B．①③② C．②①③ D．②③① 【答案】C 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】本题考查尺规作图—作三角形，根据尺规作三角形的步骤，进行判断即可． 【详解】解：由题意，作的步骤如下： 作直线，在上截取； 分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； 连接，则为所作的三角形； 故正确的顺序为②①③； 故选C． 【例21】．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【答案】B 【知识点】作线段(尺规作图)、尺规作图——作三角形 【分析】本题考查了尺规作图的顺序，根据已知的三角形的两边及其夹角，按照尺规作图的步骤来确定正确的作图顺序． 【详解】解：首先确定三角形的一条边，作线段，对应图①； 作一个角等于已知角α，以B点为顶点，作，对应图③； 在射线上截取线段，在已作的角的射线上，截取，对应图②； 连接，得到，对应图④， ∴正确作图顺序为：①③②④． 故选：B． 【例22】．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知线段a，直角和锐角，求作直角三角形，使，，． 【答案】见解析 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 先作出的余角，再作，在上截取，以B为顶点，为一边作，则即为所作． 【详解】解：如图：即为所作． 【变式1】．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，已知线段a． b和，按要求尺规作图（不必写作法、保留作图痕迹）．    求作，使， ； 作图依据是__________． 【答案】 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】本题主要考查了尺规作图—作三角形，根据一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应相等，并且两边的夹角也相等，那么这两个三角形全等，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得作图的依据是， 故答案为：． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作______； （2）如图③，在射线上截取______，在射线上截取______； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 【答案】 a c 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】本题考查的是尺规作图--按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段的要求完成填空即可． 【详解】解：（1）如图②，作； （2）如图③，在射线上截取，在射线上截取； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 故答案为：；a；c． 【变式3】．（25-26八年级上·河北邢台·期中）按下列要求作三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： (1)如图1，已知线段a，b，c，求作，使得，，． (2)如图2，已知和线段d，e，求作，使得，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】尺规作图——作三角形、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查尺规作图，掌握尺规作图的基本作图方法是解题的关键． （1）截取，以点C为圆心，a为半径作弧，以A为圆心，c为半径作弧，两弧交点为B； （2）先作，截取，，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，即所求． （2）解：如图2，即所求． 【题型十二】结合尺规作图的全等问题 【例23】．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【分析】以为圆心，长为半径画弧，与射线有1个交点，则可得到形状唯一确定的，否则不能得到形状唯一确定的．根据此观点进行解答便可．本题主要考查全等三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：①当，时，以为圆心，6为半径画弧，与射线有两个交点，则的形状不能唯一确定，故①错误； ②当，时，以为圆心，10为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故②正确； ③当，时，以为圆心，12为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故③正确； 故选：B． 【变式1】．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．    【答案】 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：如图所示：    使，则这样的格点三角形最多可以画7个， 故答案为：7 【变式2】．（22-23八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是______．    【答案】或 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【分析】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可． 【详解】解：过B作于D，    ∵点B到射线的距离为d， ∴， ①如图，    当C点和D点重合时，，此时是一个直角三角形； ②如图，    当时，此时C点的位置有两个，即有两个； ③如图，    当时，此时是一个三角形； 所以x的范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了考查全等三角形的判定，点到直线的距离等知识点，注意：能求出符合的所有情况是解此题的关键． 【变式3】．（25-26八年级上·天津河西·阶段检测）如图，方格纸上有一个，请你在方格纸内画出满足条件，，的，并判断与是否一定全等． 【答案】见解析 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定定理，根据题意画出不同的三角形再进行判断.判定全等三角形的方法有 (， ， ， ， ) 五种判定方法，但不能判定三角形全等． 【详解】解：如图所示，与 不一定全等． 1. 知识核心两大板块 ① 全等性质：全等三角形对应边、对应角相等，衍生元素（中线、高、角平分线、周长、面积）全部相等； ② 全等判定：4个有效定理（SSS、SAS、ASA、AAS），2个无效判定（AAA、SSA）。 2. 通用解题思路 初中几何中，想要证明线段相等、角相等，最核心的方法：证明线段、角所在的两个三角形全等。解题优先观察图形隐含条件，简化推理过程。 3. 答题三大规范要求 ① 全等书写：顶点字母严格对应； ② 定理标注：全等结论必须附带判定依据； ③ 逻辑严谨：先有条件，再证全等，最后推导结论，因果不颠倒。 4. 专属记忆口诀 全等图形全重合，对应边角必相等； 三边相等SSS，两边夹角SAS； 两角夹边ASA，两角对边AAS； 三边三角不能行，边边角也判定不成。 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两个图形的全等：能够完全重合的两个图形；根据此概念进行判断即可． 【详解】解：由题意知，选项A、C、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项B中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：B． 2．（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图是作的尺规作图，其中三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三边对应相等的两三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意知，，， ． 3．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 故选：B． 4．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据线段的关系得出，然后利用全等三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， A.添加，无法证明； B.添加， 又∵， ∴； C. 添加，无法证明； D. 添加，无法证明； 故选：B． 5．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形判定方法“”即可求解． 【详解】解：∵，， ∴用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是． 6．（2025·河北邯郸·一模）有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 【答案】D 【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等． 【详解】解：如图，方案一： ∵，，， ∴． 又∵，， ∴在与中， ， ∴， 即方案一正确； 方案二： 只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等， ∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等． 7．（25-26八年级上·河南信阳·期末）根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用三角形三边关系与全等三角形的判定方法，逐一分析各选项能否画出唯一三角形即可． 【详解】解：A选项中，不满足三角形三边关系“两边之和大于第三边”，∴不能构成三角形，故A不符合题意； B选项中，符合全等三角形判定定理，∴能画出唯一，故B符合题意； C选项中，属于的情况，无法确定唯一三角形，故C不符合题意； D选项中仅知道直角与斜边，可画出无数个直角三角形，∴不能确定唯一，故D不符合题意． 故选：B． 二、填空题 8．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是__________（填全等理由） 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法：、、、、（仅用于直角三角形全等的判定）．据此判断即可． 【详解】解：由作图知：，， 在和中， ， ∴， ∴判定的依据是． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，若，，，则的度数是______． 【答案】/100度 【详解】解：∵， ∴， ∴． 10．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 【答案】①③ 【分析】根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ①当时， 在和中， ， ∴； ②当时，不能判断； ③当时， 在和中， ， ∴； ④当，而，所以与不是对应角，所以不能判断． 综上所述，能使的条件有①③． 【点睛】注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 11．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，中，，，，点D是的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A运动，若两点在运动过程中和会出现全等的情况，则点Q的速度为________． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点，表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①是对应边，②与是对应边两种情况讨论即可． 【详解】解：，， ， 点D为的中点， ， 设点P、Q的运动时间为t，则，， ①当，时， ， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； ②当，时， ， ， ， 故点Q的运动速度为， 故答案为：或． 12．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，在四边形中，连接、，于点．若，则的长为___________． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，过点作，交延长线于点，先证明，再证明，利用列出等式求解即可． 【详解】解：过点作，交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 三、解答题 13．（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在一条直线上，，，，，．求： (1)的长； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用全等三角形的性质得出，再根据线段的和差关系得出，即可解答；（2）根据，利用全等三角形的性质得出，再利用外角的性质得出，即可解答． 【详解】（1）解：， ． ， 即， ． 答：的长为． （2）解：， ． ， ． 答：的度数为． 14．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，点D是外一点，连接，已知，． (1)在内求作一点M，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图： （1）以点A为圆心，的长为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，即可； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点M即为所求； （2）解：，， ． ． ， ． ． 15．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两凳子之间(凳子与地面垂直)．已知，， (1)与全等吗？请说明理由． (2)求两条凳子的高度之和． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，先证明，进而根据证明； （2）根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 由题意可得：，，，， 则， 在和中， ， ； （2）， ，， 则两条凳子的高度之和为：． 16．（22-23八年级上·全国·期末）如图，点E在BC上，，． (1)说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得出相等的角，利用证明三角形全等； （2）利用全等三角形的性质得出相等的角，然后利用三角形的外角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 17．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题关键是熟知全等三角形的判定定理，，，． （1）利用全等三角形的判定定理判定即可； （2）利用得到即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴； ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ； ∴，， ∴，即， 在与中， ， ； 综上，全等三角形有；；； （2）解： 证明：由（1）知， ∴． 18．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)连接交于点，求证：． 【答案】(1) 证明：∵点、、、在同一条直线上，， ∴， 又∵，． ∴， ∴， ∴ (2) 证明：∵连接交于点． ∴， ∵，． ∴， ∴， ∵ ∴，即：． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及线段的和差关系，熟练掌握全等三角形的判定定理及性质，并利用全等三角形的对应边、对应角相等进行推理论证是解题的关键。 （1）先由推出，再结合、证明，得到对应角相等，进而证明。 （2）利用（1）中得到的角相等和边相等，证明，得到，再通过线段的和差关系推出。 【详解】（1）略 （2）略 19．（25-26八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，， (1)求证：， (2)猜想的数量和位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，再利用即可证明； （2）证明，得到，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ （2）解：，理由如下； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，． 20．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． (1)和全等吗？请说明理由． (2)若，试说明： 【答案】(1)解：，理由如下： ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 又∵， ∴； (2)由（1）可得，， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即． 【分析】（1）根据可得，再根据E为的中点可得，即可通过判定两个三角形全等； （2）由（1）可得，，，再根据可以得到，利用可以得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的有关判定方法. 1 学科网（北京）股份有限公司 $