专题13.3 三角形的内角和外角（培优讲义）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦三角形内角与外角核心知识点，系统梳理内角定义、内角和定理（180°）及推论（直角三角形两锐角互余等），外角定义、性质（等于不相邻两内角和）及外角和（360°），构建从基础概念到定理证明，再到与平行线、角平分线、折叠等结合的9种递进式题型学习支架。 资料亮点在于设计探究式学习（如内角与外角关系探究）培养创新意识与推理能力，题型含例题与变式（如内角和定理证明的辅助线辨析），结合地摊折叠桌、空竹等生活实例引导用数学眼光观察现实，课后检测与复盘笔记助力学生查漏补缺，提升应用意识与实践能力。

简一数理 初中专题讲义 专题13.3 三角形的内角与外角 （新教材人教版） 4 5 6 7 8 9 10 11 11 13 15 20 定 义 示例剖析 三角形的内角： 三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角. ，，是的内角 三角形内角和定理： 三角形三个内角和等于. 如图，在中，． 三角形内角和定理的三个推论： ①推论1：直角三角形的两个锐角互余． ②推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③推论3：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角． 如：外角， ， ． ， ， ， 三角形的外角： 三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角. 如图，，，是的外角. 三角形的外角和： 每个顶点处取一个外角再相加，叫三角形的外角和． 三角形的外角和等于． 注意：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等.每个顶点处的两个外角是相等的． ∠1+∠2+∠3=360° 【题型1 三角形内角和定理的证明】 【例1】下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【变式1-2】在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（    ） ①如图1，过点C作； ②如图2，过上一点D分别作，； ③如图3，延长到点F，过点C作； ④如图4，过点C作于点D． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【变式1-3】如图，若，，则： ①； ②； ③平分； ④； ⑤； ⑥，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥ 【题型2 与平行线有关的三角形内角和问题】 【例2】如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，直线，，．若，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中，点F，E分别落在边，上，与交于点H，若，则的度数为（   ） A．40° B．35° C．30° D．20° 【变式2-3】如图，，E为上一点，，过点E作于点G，平分，且， 则下列结论中： ①； ②；③； ④平分；其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例3】如图，在中，，，是的平分线，于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，中，、分别是、的平分线，，则等于（     ）． A． B． C． D． 【变式3-2】如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在中，，，．则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型4 三角形折叠中的角度问题】 【例4】将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，点，分别在的边，上，将沿折叠，使点恰好落在边上处，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型5 三角形内角和定理的应用】 【例5】如图，在四边形中，，平分交边于点为延长线上一点，且，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型6 直角三角形的两个锐角互余】 【例6】如图，直线与相交于点，点在直线上，于点，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，长方形中，点是边上一点，连接，过点作交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，在中，是高，是角平分线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型7 两个锐角互余的三角形是直角三角形】 【例7】．下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】下列说法错误的是（    ） A．三角形的内角和等于 B．有两个角互余的三角形是直角三角形 C．若等腰三角形一边长为2，一边长为5，则它的周长为9或12 D．日常生活中，工程建筑常采用三角形的结构，因为三角形是具有稳定性的图形 【变式7-2】下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 【变式7-3】在下列条件：①；②；③；④中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【题型8 三角形的外角的定义】 【例8】将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 【变式8-3】如图，中，的平分线与外角的平分线交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 【题型9 三角形的外角的性质】 【例9】空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】停车场有如图1所示的地锁，图2为其示意图，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，在中，，的平分线，相交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】一副三角板按如图所示位置放置，已知，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【探究式学习】 1.探究与发现： (1)探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 已知：如图①，与分别为的两个外角，试探究与的数量关系； (2)探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 已知：如图②，在中，、分别平分和，试探究与的数量关系； (3)探究三：若将改为任意四边形ABCD呢？ 已知：如图③，在四边形中，、分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系． 2．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． 探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，通过分析发现，理由如下： ∵和分别是与的角平分线 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 探究2： (1)如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． 探究3： (2)如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由． 探究4： (3)如图4中，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…；和的平分线交于点，则 ． 【课后检测】 1．小明把一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 已知：如图，． 求证：． 证明：延长交于点， 则（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）． 又，得． 故（相等，两直线平行）． 则回答正确的是（     ） A．代表 B．代表同位角 C．代表 D．※代表 3．如图，在平行四边形中，连接，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．如图所示，摆放一副三角板（，，），其中，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．下列命题中是假命题的是（     ） A．算术平方根等于本身的数是和 B．同旁内角相等，两直线平行 C．位于第三象限内的点，横纵坐标都是负数 D．若三角形的两个角的度数和为，则这个三角形是直角三角形 6．如图，在中，点D在边上，点E在边上，．若，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 7．如图，，交于点，于点，若，则（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，平分，交于点，若，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 9．下面给出的四个三角形都有一部分被挡板遮挡，其中不能判断三角形类型的是（     ） A． B． C． D． 10．如图1，已知，要求出的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出度数的方案是（     ） A．只有甲、乙能求出 B．只有甲、丙能求出 C．只有乙、丙能求出 D．甲、乙、丙都能求出 11．如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么________． 12．如图所示，在中，点在延长线上，平分，平分，在射线上，平分，若，则_______；_______． 13．如图，妍妍在走廊上看到一个“安全出口”标志，她从中抽象出这样一个数学图形，其中，，若，，，则的度数为_________． 14．如图所示，，则的度数为__度． 15．如图，为的角平分线，交于点E，若，，则的度数为________． 16．如图，在中，，平分，交于点F． (1)若，，求的度数； (2)在（1）的条件下，判断与是否垂直，并说明理由； (3)直接写出当与满足怎样的数量关系时，． 17．如图，，，平分． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，求的度数． 18．已知，点，将线段平移至线段（说明：平移前后的线段是平行的），，其中点与点对应，点与点对应，是的算术平方根，正数满足． (1)直接写出、的坐标：（________），（________）； (2)如图，连接，在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，若，点为轴的负半轴上一动点，直接写出与之间的数量关系． 【复盘笔记】 第 2 页 共 45 页 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题13.3 三角形的内角与外角 （新教材人教版） 4 8 11 13 16 18 20 23 25 28 32 45 定 义 示例剖析 三角形的内角： 三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角. ，，是的内角 三角形内角和定理： 三角形三个内角和等于. 如图，在中，． 三角形内角和定理的三个推论： ①推论1：直角三角形的两个锐角互余． ②推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③推论3：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角． 如：外角， ， ． ， ， ， 三角形的外角： 三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角. 如图，，，是的外角. 三角形的外角和： 每个顶点处取一个外角再相加，叫三角形的外角和． 三角形的外角和等于． 注意：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等.每个顶点处的两个外角是相等的． ∠1+∠2+∠3=360° 【题型1 三角形内角和定理的证明】 【例1】下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 【变式1-1】在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 【详解】解：A、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，故A不符合题意； B、∵ ∴， ∵， ∴同A选项中的证明方法可得， ∴，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选；C． 【变式1-2】在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（    ） ①如图1，过点C作； ②如图2，过上一点D分别作，； ③如图3，延长到点F，过点C作； ④如图4，过点C作于点D． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】①∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意， ②∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故②符合题意， ③∵， ∴， ∵， ∴，故③符合题意， ④， ， 不能证明“三角形的内角和等于”故④不符合题意， 故选：A． 【变式1-3】如图，若，，则： ①； ②； ③平分； ④； ⑤； ⑥，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，根据平行线的性质和判定定理逐项分析判断①②⑤，结合三角形内角和定理可以判定⑥，结合题意和图形判断③④，即可进行解答． 【详解】①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， 故②正确； ∵， ∴， 故⑤正确， ∵在中，， 又∵，， ∴， 故⑥正确， ∵在中，无法确定， 又∵， ∴无法确定， ∴无法确定平分，故③错误， ∵在中，无法确定，且， ∴无法确定，故④错误； 故选：B． 【题型2 与平行线有关的三角形内角和问题】 【例2】如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义得到的度数，最后根据平行线的性质可得答案． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， ， ． 【变式2-1】如图，直线，，．若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作，利用平行线的判定和性质，求解即可； 【详解】解：过点B作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵，． ∴， ， ∴； 【变式2-2】将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中，点F，E分别落在边，上，与交于点H，若，则的度数为（   ） A．40° B．35° C．30° D．20° 【答案】D 【分析】根据直角三角尺的性质得出，利用平角定义求出的度数，进而求出的度数，最后根据平行线的性质即可得出的度数． 【详解】解：直角三角尺中，，， ， ，点、、在同一直线上， ， ， ， ． 【变式2-3】如图，，E为上一点，，过点E作于点G，平分，且， 则下列结论中： ①； ②；③； ④平分；其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线的性质及垂直定义可得，结合及平行线性质求出，进而判断①②；利用角平分线及三角形内角和定理求出，即可判断③；通过已证结论即可判断④． 【详解】解：，， ，即，故①正确； ， ， ， ， ， ，即，， ， ， ，故②正确； 平分， ， 在中，，故③正确； ∵，若平分，则需， 但根据已知条件不能推出，因此不能推出平分，结论④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个． 【题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例3】如图，在中，，，是的平分线，于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义可求出的度数，再根据三角形内角和定理和垂线的定义求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】如图，中，、分别是、的平分线，，则等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别是、的平分线， ∴，， ∴， ∴． 【变式3-2】如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， 又 ∵是的角平分线， ， ． 【变式3-3】如图，在中，，，．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义得出，最后代入计算即可． 【详解】解：在中，， ， ，， ，， ， ． 【题型4 三角形折叠中的角度问题】 【例4】将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用平行线性质和折叠性质证得，结合直角三角形两锐角互余构建方程求解． 【详解】解：设． ， ． 由折叠性质知，． ． ． ． ， ． 在中，， ，即， 解得． ，故C正确． ，故B错误．． ． ，故D错误． ，故A错误． 【变式4-1】如图，点，分别在的边，上，将沿折叠，使点恰好落在边上处，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可以求出，根据折叠的性质可以求出，利用三角形的内角和定理即可求出． 【详解】解：， ， 由折叠可知，， ， 在中， ． 【变式4-2】如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四边形内角和求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 【变式4-3】如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可知，根据三角形内角和定理可得，进而可得原三角形的的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知，则， ，，, 即， 解得． 【题型5 三角形内角和定理的应用】 【例5】如图，在四边形中，，平分交边于点为延长线上一点，且，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证及，利用平行线性质推导角的关系，逐项判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴，故A正确； ∵， ∴． ∵， ∴，故D正确； ∵，，且， ∴，故C正确； ∵，， ∴． 若， 则， 即，题目未限定此条件，故B不一定正确． 【变式5-1】随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据邻补角的性质得到，再利用两直线平行，内错角相等得到，结合三角形内角和求出，进而利用对顶角相等求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【变式5-2】一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角板的特点得出、，根据平行线的性质求出，结合平角定义和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， ， ． 【变式5-3】如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合三角形内角和性质得出，再根据四边形内角和为列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴． 【题型6 直角三角形的两个锐角互余】 【例6】如图，直线与相交于点，点在直线上，于点，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直的定义可知，根据直角三角形的两个锐角互余可以求出，根据两直线平行，同位角相等即可求出的度数． 【详解】解：， ， 在中，， ， ， ， ． 【变式6-1】将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， 根据三角板的度数可知：，， ． 【变式6-2】如图，长方形中，点是边上一点，连接，过点作交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用长方形的性质得出直角，结合垂直定义利用同角的余角相等求出，最后在直角三角形中求解． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，． 【变式6-3】如图，在中，是高，是角平分线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件是高, ，,得出,,又因为是角平分线,得出． 【详解】解： , 是角平分线 【题型7 两个锐角互余的三角形是直角三角形】 【例7】．下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定，解题的关键是求出三角形中有一个角是． 根据三角形的内角和定理，结合有一个角是的三角形时是直角三角形，进行判断即可． 【详解】解：三角形内角和为， A、，，故是直角三角形，此选项不符合题意； B、设，则，， ，无角，故不是直角三角形，此选项符合题意； C、设，则， ， ，故是直角三角形，此选项不符合题意； D、，又， ，即，，故是直角三角形，此选项不符合题意； 故选：B． 【变式7-1】下列说法错误的是（    ） A．三角形的内角和等于 B．有两个角互余的三角形是直角三角形 C．若等腰三角形一边长为2，一边长为5，则它的周长为9或12 D．日常生活中，工程建筑常采用三角形的结构，因为三角形是具有稳定性的图形 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理，直角三角形的判定，等腰三角形的定义，三角形的三边关系以及三角形的稳定性，根据相关知识点，逐一进行判断即可. 【详解】解：A、三角形的内角和等于，正确，不符合题意； B、有两个角互余的三角形是直角三角形，正确，不符合题意； C、若等腰三角形一边长为2，一边长为5，当腰长为2时，，不能构成三角形， 当腰长为5时，，能构成三角形，则周长为，原说法错误，符合题意； D、日常生活中，工程建筑常采用三角形的结构，因为三角形是具有稳定性的图形，正确，不符合题意； 故选C. 【变式7-2】下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各条件进行分析判断即可． 【详解】解：∵ 在中，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中， ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， ∴不能判定为直角三角形． ∴ 能判定的条件是． 故选：A． 【变式7-3】在下列条件：①；②；③；④中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的定义，三角形内角和定理等知识点，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 根据直角三角形的判定和三角形内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：①不能确定为直角三角形，故①不符合题意； ②∵，， ∴，，， ∴为直角三角形，故②符合题意； ③设， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴是直角三角形，故③符合题意； ④设， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴不是直角三角形，故④符合题意； 综上，正确的有②③共2个． 故选D． 【题型8 三角形的外角的定义】 【例8】将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角尺可知，，结合，解答即可； 【详解】 解：如图，由三角尺可知，， ∴， ∴， ∴． 【变式8-1】如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角平分线的定义求得的度数，利用邻补角的定义求得的度数，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴． 【变式8-2】如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 【答案】A 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出，根据对顶角相等得到，再利用三角形外角性质求出，最后根据角平分线定义计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， 平分， ． 【变式8-3】如图，中，的平分线与外角的平分线交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质、角平分线的定义，利用角平分线性质和外角性质推导角之间的数量关系即可． 【详解】解：的平分线与外角的平分线交于点， ，， 是的外角， ，即， 又是的外角， ， ， ，即， ． 【题型9 三角形的外角的性质】 【例9】空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线性质和三角形的外角性质计算即可． 【详解】解：延长交于点，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式9-1】停车场有如图1所示的地锁，图2为其示意图，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形外角定理以及邻补角定义进行求解． 【详解】解：如图2所示， ， 根据三角形外角定理可得， ． 【变式9-2】如图，在中，，的平分线，相交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，，然后可得，进而根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴在中，由三角形内角和可得， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式9-3】一副三角板按如图所示位置放置，已知，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【探究式学习】 1.探究与发现： (1)探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 已知：如图①，与分别为的两个外角，试探究与的数量关系； (2)探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 已知：如图②，在中，、分别平分和，试探究与的数量关系； (3)探究三：若将改为任意四边形ABCD呢？ 已知：如图③，在四边形中，、分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理； 探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再根据三角形内角和定理整理即可得解； 探究二：根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解； 探究三：延长、交于点，根据前面两问的结论可得，，即可得到． ． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：、分别平分和， ，， ． （3）解：延长、交于点， 由探究一结论可得， 由探究二结论可得， ∴． 2．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． 探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，通过分析发现，理由如下： ∵和分别是与的角平分线 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 探究2： (1)如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． 探究3： (2)如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由． 探究4： (3)如图4中，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…；和的平分线交于点，则 ． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵和分别是与外角的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴． (2)解：，理由如下： ∵和分别是外角与外角的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）先得出，，则，再根据即可得； （2）先得出，，则，再得出，然后根据三角形的内角和定理求解即可； （3）同（1）的方法分别求出，，，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：同（1）可知，， ， ， 归纳类推得：（为正整数）， ∴， ∵， ∴． 【课后检测】 1．小明把一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设分别交、于点H，点Q，先根据三角形的内角和定理和对顶角相等得到，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，设分别交、于点H，点Q， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 已知：如图，． 求证：． 证明：延长交于点， 则（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）． 又，得． 故（相等，两直线平行）． 则回答正确的是（     ） A．代表 B．代表同位角 C．代表 D．※代表 【答案】C 【分析】根据三角形的外角性质、平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：延长交于F， 则， 又，得， 故（内错角相等，两直线平行）． 代表，代表，代表，代表内错角， 选项说法正确，符合题意． 3．如图，在平行四边形中，连接，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴． 4．如图所示，摆放一副三角板（，，），其中，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由平行线性质及三角形的内角和求得，再利用三角形内角和定理求出，最后根据邻补角互补算出∠α的度数． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．下列命题中是假命题的是（     ） A．算术平方根等于本身的数是和 B．同旁内角相等，两直线平行 C．位于第三象限内的点，横纵坐标都是负数 D．若三角形的两个角的度数和为，则这个三角形是直角三角形 【答案】B 【分析】根据算术平方根的性质，平行线的判定定理，平面直角坐标系象限点的特征，直角三角形定义等知识，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A、算术平方根等于本身的数是和，本选项命题是真命题； B、同旁内角互补时两直线平行，相等不能推出两直线平行，本选项命题是假命题； C、位于第三象限内的点，横纵坐标都是负数，本选项命题是真命题； D、三角形两个角的度数和为，则第三个角的度数为，这个三角形是直角三角形，本选项命题是真命题． 6．如图，在中，点D在边上，点E在边上，．若，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 7．如图，，交于点，于点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 8．如图，在中，平分，交于点，若，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质可得，再由角平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 9．下面给出的四个三角形都有一部分被挡板遮挡，其中不能判断三角形类型的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型，故本选项不合题意； B、露出的角是直角，因此是直角三角形，故本选项不合题意； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型，故本选项符合题意； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形，故本选项不合题意． 10．如图1，已知，要求出的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出度数的方案是（     ） A．只有甲、乙能求出 B．只有甲、丙能求出 C．只有乙、丙能求出 D．甲、乙、丙都能求出 【答案】D 【分析】甲利用三角形外角定理，乙利用平行线的性质和三角形内角和定理，丙利用三角形内角和定理分别求证即可解答． 【详解】解：甲：是的外角， ， 是的外角， ， ； 乙：， ， ，， ，， ； 丙：在中，， 在中，， ． 综上所述，甲、乙、丙都能求出． 11．如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么________． 【答案】43 【分析】由折叠的性质得出，再由三角形内角和定理得出． 【详解】解：由折叠的性质可知：， ∵， ∴． 12．如图所示，在中，点在延长线上，平分，平分，在射线上，平分，若，则_______；_______． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义、平角的定义、三角形内角和定理． 根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和定理求出，最后根据三角形内角和定理求出的度数；根据角平分线的定义得到，，继而得到，再利用平角的定义得到，进而根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∵点在延长线上， ∴， ∴， ∴， ∵，在射线上， ∴， ∴． 13．如图，妍妍在走廊上看到一个“安全出口”标志，她从中抽象出这样一个数学图形，其中，，若，，，则的度数为_________． 【答案】/80度 【分析】由得，再由三角形内角和为可得，由，得，即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴． 14．如图所示，，则的度数为__度． 【答案】250 【分析】设交于点G，交于点K，交于点H，根据三角形内角和定理以及邻补角的性质可得，，再由，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点G，交于点K，交于点H， ∵， ∴， 同理， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 15．如图，为的角平分线，交于点E，若，，则的度数为________． 【答案】36 【分析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 16．如图，在中，，平分，交于点F． (1)若，，求的度数； (2)在（1）的条件下，判断与是否垂直，并说明理由； (3)直接写出当与满足怎样的数量关系时，． 【答案】(1) (2)与不垂直，理由如下： 由（1）知：， 平分， ， ， 与不垂直． (3)当时， 【分析】（1）利用三角形内角和求出的度数，两直线平行，同位角相等,即可求出的度数； （2）判断与是否垂直，看是否为，根据（1）的答案以及角平分线的定义求出的度数，利用三角形内角和求的度数； （3）逆向思维，假设，可以用和代替，过程同第二问，代入即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）略 （3）当时，，理由如下： ∵， ， ， ， 平分， ， 在中，， ， ． 17．如图，，，平分． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： ， ， 又, , ． (2) 【分析】（1）根据平行线的性质和判定可以证明结论； （2）结合角平分线的定义，垂直的定义，平行线的性质进行求解． 【详解】（1）解：，理由略． （2）解：，， ，， 平分， ， ， ， ， 又, ， ， ， 在中，， ． 18．已知，点，将线段平移至线段（说明：平移前后的线段是平行的），，其中点与点对应，点与点对应，是的算术平方根，正数满足． (1)直接写出、的坐标：（________），（________）； (2)如图，连接，在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，若，点为轴的负半轴上一动点，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)存在，点的坐标为或 (3)当点在轴的负半轴上且在点上方（含与点重合）时，；当点在轴的负半轴上且在点下方时， 【分析】（1）根据算术平方根和平方根的定义，进行解答即可； （2）先根据三角形的面积公式，得出，再设点的坐标为，进一步得出，最后解方程即可； （3）根据题意，需要分情况讨论，先延长交轴于点，当点在轴的负半轴上且在点上方（含与点重合）时，利用平行线的性质和直角三角形两锐角互余，得出，再利用外角的性质和平角的定义，即可得出；当点在轴的负半轴上且在点下方时，同理可得． 【详解】（1）解：是的算术平方根， ， ． 正数满足， ， （负值已舍去）， ． （2）解：存在， ，， ，， ． 设点的坐标为，则． ， ，即， 解得，， 在轴上存在一点，使得，点的坐标为或． （3）解：如图，延长交轴于点，当点在轴的负半轴上且在点上方（含与点重合）时， ， ． ， ， ； 如图，延长交轴于点，当点在轴的负半轴上且在点下方时， ， ． ， ， ． 综上，当点在轴的负半轴上且在点上方（含与点重合）时，；当点在轴的负半轴上且在点下方时，． 【复盘笔记】 第 2 页 共 45 页 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $