第1-2章阶段题型特训：解答题-2026-2027学年北师大版 数学九年级上册

第1-2章阶段题型特训：解答题-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024） 题型汇总 题型：菱形的性质与判定 题型：矩形的性质与判定 题型： 题型：认识一元二次方程 题型：一元二次方程的解法 题型：一元二次方程的根与系数的关系 题型：一元二次方程的应用 跟踪特训 题型：菱形的性质与判定 1．（2026•宜春校级模拟）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，CF⊥AD，垂足为F．求证：DF＝DE． 2．（2026•渠县校级开学）如图，在▱ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为E．延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，FD，且EF交CD于点G． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若BE＝EF，EC＝2，求△DCF的面积． 3．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长． 4．（2026•偏关县一模）如图，在△ABC中，O是AC的中点，过点O作BC的平行线，分别交∠ACB，∠ACD的平分线于点E，F．连接AE，AF，CE，CF，判断四边形AECF的形状，并说明理由． 题型：矩形的性质与判定 5．（2026春•莒县期末）如图，△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC于点F，点G在DE的延长线上，且DG＝FC． （1）求证：四边形DFCG是矩形； （2）若∠B＝45°，DF＝6，DG＝10，求AC的长． 6．（2026春•番禺区校级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OF⊥CD于F，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E，连接OE，AB＝4，BC＝6． （1）求证：BD＝BE； （2）求OF的长； （3）求OE的长． 7．（2025秋•汉中期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形ADFE是矩形； （2）连接OF，若AD＝8，EC＝6，∠BAE＝30°，求OF的长度． 8．（2026•商河县二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F．求证：OE＝OF． 题型： 9．（2026•宁德二模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，AE＝CF．求证：BE＝BF． 10．（2026•浙江一模）如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF⊥DG于F． （1）求证：△AED≌△DFC； （2）求证：AE＝FC+EF． 11．（2026•临县二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝45°，分别过点C，D作AD，BC的垂线，分别交AD和BC的延长线于点E，F．求证：四边形CEDF是正方形． 12．（2026•诸暨市二模）【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下风筝状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上． 【数学理解】 （1）该风筝状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ADE≌△CDE的证明过程． （2）若裁剪过程中满足DE＝DA，求“筝尾”∠AEC的度数． 题型：认识一元二次方程 13．（2026春•裕安区校级月考）关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0， （1）当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程； （2）当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程． 14．（2021秋•同步）把下列一元二次方程化成一般形式： （1）（3x﹣2）2﹣3x＝x（x+4）； （2）（2t﹣3）（t+2）＝4t﹣5． 15．（2025秋•泗县月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“智慧方程”． （1）试判断一元二次方程3x2+4x+1＝0是否为“智慧方程”． （2）已知关于x的一元二次方程5x2+bx+c＝0是“智慧方程”，且b是这个方程的一个根，求b的值． 16．（2025秋•信都区月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a+2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为美丽方程． （1）判断方程2x2﹣x﹣4＝0是否为美丽方程，并说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0是美丽方程，求a的值． 题型：一元二次方程的解法 17．（2026•达川区校级开学）解下列方程： （1）x（x+5）＝24； （2）2（x﹣1）2﹣8＝0； （3）（y+3）（1﹣3y）＝1+2y2． 18．（2026•市南区校级开学）解方程： （1）（x+1）2﹣4＝0（直接开平方法）； （2）x2﹣2x﹣8＝0（配方法）； （3）2x2﹣3x﹣1＝0（公式法）； （4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）（因式分解法）． 19．（2026•滨城区校级开学）解方程．其中（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解． （1）x2+8x﹣2＝0（配方法）； （2）2x2﹣3x﹣4＝0（公式法）； （3）4（x﹣1）2＝（x+2）2； （4）（x﹣5）2+4x＝20． 20．（2026秋•小店区校级月考）阅读下面的材料：解方程x4﹣7x2+12＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，则x4＝y2． ∴原方程可化为y2﹣7y+12＝0． ∴a＝1，b＝﹣7，c＝12． ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×12＝1＞0． ∴． 解得y1＝3，y2＝4． 当y＝3时，． 当y＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：（x2+x）2﹣8（x2+x）+12＝0． （2）已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10＝0，试求a2+b2的值． 题型：一元二次方程的根与系数的关系 21．（2026秋•桥东区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2＝0有两个不相等的实数根，请解答下列问题： （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根之积为k，求k的值． 22．（2026•萨尔图区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+2k＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2﹣3x1x2＝17，求k的值． 23．（2026春•永寿县校级期末）已知：关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围． （2）若x1，x2是方程（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0的两个实数根，问：是否存在实数k，使其满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由． 24．（2026秋•同步）问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x，把代入已知方程，得1＝0． 化简，得y2+2y﹣4＝0，故所求方程为y2+2y﹣4＝0． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用上面提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程x2+2x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为　 　 ； （2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，利用“换根法”求一个一元二次方程，使它的根分别是﹣1，﹣6； （3）已知关于x的一元二次方程（m2+4）x2+（4m+8）x+4＝0（0≤m≤15）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 题型：一元二次方程的应用 25．（2026秋•金安区校级月考）突如其来的新冠疫情影响了某商场经济效益，在复工复产时对某商品价格进行了调整，每件的售价比进价多8元．8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件． （1）该商品的售价和进价分别是多少元？ （2）在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2160元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？ 26．（2026•东昌府区校级开学）2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪CP”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套40元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套58元的价格出售．经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3月份的销售量为400套． （1）求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率． （2）从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为4800元？ 27．（2026春•牟平区期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为42m），其他的边用总长73m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽AB为xm． （1）求车棚的长BC；（用含x的代数式表示） （2）若矩形车棚ABCD的面积为450m2，求车棚的长和宽； （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为525m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 28．（2026秋•同步）某地为推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售率．其中，一批成本为30元/千克的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于50元/千克销售．经调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为w元． （1）请分别求出y关于x，w关于x的函数表达式． （2）销售单价定为多少时，每天的销售利润为800元？ （3）销售该农产品每天获得的利润能否达到1300元？若能，求出此时的单价；若不能，请说明理由． 参考答案与试题解析 一．解答题（共28小题） 1．（2026•宜春校级模拟）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，CF⊥AD，垂足为F．求证：DF＝DE． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD， ∵AE⊥CD，CF⊥AD， ∴∠AED＝∠CFD＝90°． ∵∠D＝∠D， ∴△AED≌△CFD（AAS）， ∴DE＝DF． 2．（2026•渠县校级开学）如图，在▱ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为E．延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，FD，且EF交CD于点G． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若BE＝EF，EC＝2，求△DCF的面积． 【解答】（1）证明：∵E为对角线AC上的中点，且BE⊥AC， ∴BE垂直平分AC， ∴BA＝BC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：如图，作AH⊥BC于点H， ∵BE＝EF，CF＝CE＝2， ∴∠EBC＝∠CFE＝∠CEF， 设∠EBC＝∠CFE＝∠CEF＝α， ∴∠BCE＝∠CFE+∠CEF＝2α， ∵BE⊥AC， ∴∠EBC+∠BCE＝90°， ∴α+2α＝90°， 解得α＝30°， ∴∠BCE＝2×30°＝60°， 又∵AH⊥BC， ∴∠CAH＝30°， ∵E为对角线AC上的中点， ∴AC＝2CE＝4， ∴， 在直角三角形ACH中，由勾股定理得：， ∵▱ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴△DCF的CF边上高线的长度等于AH， ∴． 3．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵OE＝CD， ∴平行四边形OCED是矩形， ∴∠COD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝2，AC⊥BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝2， ∴OA＝OC＝1， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD， 由（1）可知，四边形OCED是矩形， ∴CE＝OD，∠OCE＝90°， ∴AE， 即AE的长为． 4．（2026•偏关县一模）如图，在△ABC中，O是AC的中点，过点O作BC的平行线，分别交∠ACB，∠ACD的平分线于点E，F．连接AE，AF，CE，CF，判断四边形AECF的形状，并说明理由． 【解答】解：四边形AECF是矩形．理由如下， ∵CE，CF分别是∠ACB和∠ACD的平分线， ∴∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF， ∵EF∥BD， ∴∠OFC＝∠FCD，∠OEC＝∠ECB， ∴∠OFC＝∠OCF，∠OEC＝∠OCE， ∴OE＝OC，OC＝OF． ∴OE＝OF， ∵O是AC的中点， ∴OC＝OA． ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC＝2OC，EF＝2OE， ∴AC＝EF． ∴四边形AECF是矩形． 5．（2026春•莒县期末）如图，△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC于点F，点G在DE的延长线上，且DG＝FC． （1）求证：四边形DFCG是矩形； （2）若∠B＝45°，DF＝6，DG＝10，求AC的长． 【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE是三角形ABC的中位线， ∴DE∥BC，， 又∵DG＝FC， ∴四边形DFCG是平行四边形， ∵DF⊥BC， ∴∠DFC＝90°， ∴四边形DFCG是矩形； （2）解：∵∠DFB＝90°，∠B＝45°， ∴∠BDF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠BDF＝∠B， ∴BF＝DF＝6， ∵四边形DFCG是矩形， ∴CF＝DG＝10，CG＝DF＝6，∠G＝90°， ∴BC＝BF+CF＝6+10＝16， ∴， ∴EG＝DG﹣DE＝10﹣8＝2， ∴， ∴． 6．（2026春•番禺区校级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OF⊥CD于F，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E，连接OE，AB＝4，BC＝6． （1）求证：BD＝BE； （2）求OF的长； （3）求OE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O， ∴OC＝OAAC，OD＝OBBD，且AC＝BD， ∴OC＝OD， ∵BE∥AC交DC的延长线于点E， ∴∠BED＝∠ACD， ∵∠BDE＝∠ACD， ∴∠BED＝∠BDE， ∴BD＝BE． （2）解：∵OC＝OD，OF⊥CD于F， ∴FD＝FC， ∴O是BD的中点，F是CD的中点，BC＝6， ∴OFBC＝3， ∴OF的长为3． （3）解：∵∠BCD＝90°， ∴BC⊥DE， ∵BD＝BE，CD＝AB＝4， ∴CD＝CE＝4， ∵FD＝FCCD＝2， ∴EF＝CE+FC＝4+2＝6， ∵∠OFE＝90°，OF＝3， ∴OE3， ∴OE的长是3． 7．（2025秋•汉中期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形ADFE是矩形； （2）连接OF，若AD＝8，EC＝6，∠BAE＝30°，求OF的长度． 【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中， ∴AB∥DC且AB＝DC， ∴∠ABE＝∠DCF， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°， ∴AE∥DF， ∴四边形ADFE是矩形； （2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形， ∴EF＝AD＝8， ∵EC＝6， ∴BE＝CF＝2， ∴BF＝10， 在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，BE＝2， ∴AB＝2BE＝4， ∴DF＝AE2， 在Rt△BDF中， ∴BD4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∴OFBD＝2． 8．（2026•商河县二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F．求证：OE＝OF． 【解答】证明：四边形ABCD是矩形， ∴OAAC，BOBD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F， ∴∠AEO＝∠BFO＝90°． 在△AEO和△BFO中， ， ∴△AEO≌△BFO（AAS）． ∴OE＝OF． 9．（2026•宁德二模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，AE＝CF．求证：BE＝BF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠A＝∠C＝90°， 在△BAE和△BCF中， ， ∴△BAE≌△BCF（SAS）， ∴BE＝BF． 10．（2026•浙江一模）如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF⊥DG于F． （1）求证：△AED≌△DFC； （2）求证：AE＝FC+EF． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝90°， ∴∠ADE+∠CDF＝90°， ∵AE⊥DG，CF⊥DG， ∴∠AED＝∠DFC＝90°， ∴∠DAE+∠ADE＝90°， ∴∠DAE＝∠CDF， 在△AEE和△DFC中， ， ∴△AED≌△DFC（AAS）； （2）∵△AED≌△DFC， ∴AE＝DF，ED＝FC， ∵DF＝ED+EF＝FC+EF． ∴AE＝FC+EF． 11．（2026•临县二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝45°，分别过点C，D作AD，BC的垂线，分别交AD和BC的延长线于点E，F．求证：四边形CEDF是正方形． 【解答】证明：∵CE⊥AD，DF⊥BC， ∴∠CED＝∠F＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ECF+∠CED＝180°， ∴∠ECF＝90°， ∴四边形CEDF是矩形． ∵∠ADC＝45°， ∴∠ECD＝90°﹣45°＝45°， ∴∠ADC＝∠ECD， ∴DE＝CE ∴矩形CEDF是正方形． 12．（2026•诸暨市二模）【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下风筝状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上． 【数学理解】 （1）该风筝状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ADE≌△CDE的证明过程． （2）若裁剪过程中满足DE＝DA，求“筝尾”∠AEC的度数． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝45°， 在△ADE和△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE（SAS）； （2）解：在△ADE中，DE＝DA， ∴∠DEA＝∠DAE， 又∵∠DEA+∠DAE+∠ADE＝180°， ∴2∠DEA+45°＝180°， ∴∠DEA＝67.5°， 由（1）可知：△ADE≌△CDE， ∴∠DEA＝∠DEC＝67.5°， ∴∠AEC＝∠DEA+∠DEC＝135°， 即“筝尾”∠AEC的度数为135°． 13．（2026春•裕安区校级月考）关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0， （1）当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程； （2）当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程． 【解答】解：（1）∵关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元二次方程， ∴k2﹣1≠0， ∴k≠±1， 所以k≠±1时关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元二次方程； （2）关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元一次方程， ∴k2﹣1＝0且k﹣1≠0， ∴k＝﹣1， ∴k＝﹣1时关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元一次方程． 14．（2021秋•同步）把下列一元二次方程化成一般形式： （1）（3x﹣2）2﹣3x＝x（x+4）； （2）（2t﹣3）（t+2）＝4t﹣5． 【解答】解：（1）（3x﹣2）2﹣3x＝x（x+4）， 去括号：9x2﹣12x+4﹣3x＝x2+4x， 移项：9x2﹣x2﹣12x﹣4x+4﹣3x＝0， 合并同类项8x2﹣19x+4＝0， （2）（2t﹣3）（t+2）＝4t﹣5， 去括号：2t2+4t﹣3t﹣6＝4t﹣5， 移项：2t2+t﹣4t﹣1＝0， 合并同类项2t2﹣3t﹣1＝0． 15．（2025秋•泗县月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“智慧方程”． （1）试判断一元二次方程3x2+4x+1＝0是否为“智慧方程”． （2）已知关于x的一元二次方程5x2+bx+c＝0是“智慧方程”，且b是这个方程的一个根，求b的值． 【解答】解：（1）∵a＝3，b＝4，c＝1， ∴a﹣b+c＝3﹣4+1＝0， ∴一元二次方程3x2+4x+1＝0是“智慧方程”； （2）由条件可知5﹣b+c＝0， ∴c＝b﹣5， ∵b是这个方程的一个根， ∴5b2+b2+c＝0，b2﹣4×5c≥0， ∴6b2+b﹣5＝0，b2≥20c， 关于b的一元二次方程6b2+b﹣5＝0因式分解得，（6b﹣5）（b+1）＝0， 解得， 当时，，则，符合题意； 当b＝﹣1时，c＝b﹣5＝﹣1﹣5＝﹣6，则b2＝1，20c＝20×（﹣6）＝﹣120，符合题意； ∴b的值为或﹣1． 16．（2025秋•信都区月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a+2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为美丽方程． （1）判断方程2x2﹣x﹣4＝0是否为美丽方程，并说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0是美丽方程，求a的值． 【解答】解：（1）是，理由如下： ∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣4， ∴3a+2b+c＝3×2+2×（﹣1）+（﹣4）＝0， ∴这个一元二次方程为美丽方程； （2）3a+2×（﹣2）+1＝0， 解得a＝1． 17．（2026•达川区校级开学）解下列方程： （1）x（x+5）＝24； （2）2（x﹣1）2﹣8＝0； （3）（y+3）（1﹣3y）＝1+2y2． 【解答】解：（1）原方程整理得：x2+5x﹣24＝0， ∴（x﹣3）（x+8）＝0， ∴x﹣3＝0或x+8＝0 解得x1＝3，x2＝﹣8； （2）原方程移项得2（x﹣1）2＝8， ∴（x﹣1）2＝4， 解得x1＝3，x2＝﹣1； （3）原方程整理得5y2+8y﹣2＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝82﹣4×5×（﹣2）＝104＞0， ∴， ∴，． 18．（2026•市南区校级开学）解方程： （1）（x+1）2﹣4＝0（直接开平方法）； （2）x2﹣2x﹣8＝0（配方法）； （3）2x2﹣3x﹣1＝0（公式法）； （4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）（因式分解法）． 【解答】解：（1）原方程移项可得： （x+1）2＝4， ∴x+1＝±2， 解得x1＝1，x2＝﹣3； （2）原方程移项可得： x2﹣2x＝8， x2﹣2x+1＝8+1， ∴（x﹣1）2＝9， ∴x﹣1＝±3， 解得x1＝4，x2＝﹣2； （3）∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0， ∴， 解得； （4）原方程移项可得： 3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0， （x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]＝0， 整理得（x﹣2）（2x﹣6）＝0，即x﹣2＝0或2x﹣6＝0， 解得x1＝2，x2＝3． 19．（2026•滨城区校级开学）解方程．其中（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解． （1）x2+8x﹣2＝0（配方法）； （2）2x2﹣3x﹣4＝0（公式法）； （3）4（x﹣1）2＝（x+2）2； （4）（x﹣5）2+4x＝20． 【解答】解：（1）x2+8x﹣2＝0， x2+8x＝2 x2+8x+42＝2+16，即（x+4）2＝18． ， 解得，； （2）2x2﹣3x﹣4＝0， ∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣4，b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41， ∴， 解得，； （3）4（x﹣1）2＝（x+2）2， （2x﹣2）2＝（x+2）2 2x﹣2＝x+2或2x﹣2＝﹣x﹣2， 解得x1＝0，x2＝4； （4）（x﹣5）2+4x＝20， （x﹣5）2+4x﹣20＝0， （x﹣5）2+4（x﹣5）＝0， （x﹣5）（x﹣1）＝0， x﹣5＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝1，x2＝5． 20．（2026秋•小店区校级月考）阅读下面的材料：解方程x4﹣7x2+12＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，则x4＝y2． ∴原方程可化为y2﹣7y+12＝0． ∴a＝1，b＝﹣7，c＝12． ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×12＝1＞0． ∴． 解得y1＝3，y2＝4． 当y＝3时，． 当y＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：（x2+x）2﹣8（x2+x）+12＝0． （2）已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10＝0，试求a2+b2的值． 【解答】解：（1）设y＝x2+x，则y2﹣8y+12＝0， 解得y1＝2，y2＝6， 当x2+x＝2时，即x2+x﹣2＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝1； 当x2+x＝6时，即x2+x﹣6＝0， 解得x3＝2，x4＝﹣3； ∴原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1，x3＝2，x4＝﹣3； （2）设x＝a2+b2（x≥0），则x2﹣3x﹣10＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣2（舍去）， ∴a2+b2＝5． 21．（2026秋•桥东区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2＝0有两个不相等的实数根，请解答下列问题： （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根之积为k，求k的值． 【解答】解：（1）由条件可知：Δ＝[2（k+1）]2﹣4（k2﹣2）＞0， 整理，得8k+12＞0， 解得； （2）设方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2＝0的两根为x1、x2，则， 根据题意可得k2﹣2＝k， 整理，得k2﹣k﹣2＝0， 解得k＝﹣1或k＝2，均符合， ∴k的值为﹣1或2． 22．（2026•萨尔图区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+2k＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2﹣3x1x2＝17，求k的值． 【解答】（1）证明：在一元二次方程x2+（k+4）x+2k＝0中，a＝1，b＝k+4，c＝2k， ∴根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝（k+4）2﹣4×1×2k＝k2+8k+16﹣8k＝k2+16， ∵无论k取何实数，k2≥0， ∴k2+16≥16＞0，即Δ＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）∵x1、x2是方程x2+（k+4）x+2k＝0的两根， ∴由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（k+4），x1•x2＝2k， 将上述两式代入x1+x2﹣3x1x2＝17得：﹣（k+4）﹣3•2k＝17， 整理得：﹣7k＝21， 解得k＝﹣3． 23．（2026春•永寿县校级期末）已知：关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围． （2）若x1，x2是方程（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0的两个实数根，问：是否存在实数k，使其满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）当k﹣1＝0即k＝1时，方程为﹣2x+3＝0， x，即方程有实数根； 当k﹣1≠0时，Δ＝（﹣2k）2﹣4•（k﹣1）•（k+2）≥0时，方程有实数根， 即k≤2， 综合上述：k的取值范围是k≤2； （2）存在， ∵x1，x2是方程（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0的两个实数根， ∴（k﹣1）x12﹣2kx1+k+2＝0①， x1+x2，x1•x2， ∴x2x1， ∵（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2， ∴（k﹣1）x12+2k（x1）+k+2＝4•， ∴（k﹣1）x122kx1+k+2＝4•， 即：（k﹣1）x12﹣2kx1+k+24•②， 把①代入②得：4•， 整理得k2﹣k﹣2＝0， 解得k＝2或k＝﹣1， 经检验k＝2和k＝﹣1都是方程4•的解， 故存在实数k，使其满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2，k的值为2或﹣1． 24．（2026秋•同步）问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x，把代入已知方程，得1＝0． 化简，得y2+2y﹣4＝0，故所求方程为y2+2y﹣4＝0． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用上面提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程x2+2x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为y2﹣2y﹣1＝0　 ； （2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，利用“换根法”求一个一元二次方程，使它的根分别是﹣1，﹣6； （3）已知关于x的一元二次方程（m2+4）x2+（4m+8）x+4＝0（0≤m≤15）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 【解答】解：（1）设所求方程的根为y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y． 把x＝﹣y代入已知方程得：y2﹣2y﹣1＝0， 故所求方程为y2﹣2y﹣1＝0． 故答案为：y2﹣2y﹣1＝0； （2）设所求方程的根为y，由题意可知y＝x﹣4， 所以x＝y+4， ∵方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别为3，﹣2， ∴1，6， ∴b＝﹣a，c＝﹣6a， ∴ax2﹣ax﹣6a＝0， 把x＝y+4代入已知方程得：a（y+4）2﹣a（y+4）﹣6a＝0， ∴ay2+7ay+6a＝0； （3）设所求方程的根为y，由题意可知y， ∴x， 将x代入（m2+4）x2+（4m+8）x+4＝0中， ∴（m2+4）（）2+（4m+8）（）+4＝0， ∴4y2+（4m+8）y+（m2+4）＝0， ∴y1•y2＝1， ∵两个根是整数， ∴m＝2，4，6，8，10，12，14， ∵Δ＝（4m+8）2﹣16（m2+4）＝64m， ∴8也是整数， ∴m＝4， ∴y2+6y+5＝0． 25．（2026秋•金安区校级月考）突如其来的新冠疫情影响了某商场经济效益，在复工复产时对某商品价格进行了调整，每件的售价比进价多8元．8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件． （1）该商品的售价和进价分别是多少元？ （2）在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2160元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？ 【解答】解：（1）设该商品的售价是x元/件，则进价是（x﹣8）元/件， 根据题意得：8（x﹣8）＝6x， 解得：x＝32， ∴x﹣8＝32﹣8＝24（元/件）． 答：该商品的售价是32元/件，进价是24元/件； （2）设该商品应涨价y元，则每件的销售利润为（32+y﹣24）元，每天可售出（200﹣5y）件， 根据题意得：（32+y﹣24）（200﹣5y）＝2160， 整理得：y2﹣32y+112＝0， 解得：y1＝4，y2＝28， 又∵要销量尽可能大， ∴y＝4． 答：该商品应涨价4元． 26．（2026•东昌府区校级开学）2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪CP”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套40元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套58元的价格出售．经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3月份的销售量为400套． （1）求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率． （2）从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为4800元？ 【解答】解：（1）设该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：256（1+x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）． 答：该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为25%； （2）设该组合套装的售价为y元，则每套的销售利润为（y﹣40）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）套， 根据题意得：（y﹣40）（1560﹣20y）＝4800， 整理得：y2﹣118y+3360＝0， 解得：y1＝48，y2＝70（不符合题意，舍去）． 答：当该组合套装的售价为48元时，月销售利润为4800元． 27．（2026春•牟平区期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为42m），其他的边用总长73m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽AB为xm． （1）求车棚的长BC；（用含x的代数式表示） （2）若矩形车棚ABCD的面积为450m2，求车棚的长和宽； （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为525m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【解答】解：（1）∵不锈钢栅栏的总长为73m，左右两侧各开一个1m的出口，且车棚的宽AB为xm， ∴车棚的长BC为（73+2﹣3x）m； （2）根据题意得：（73+2﹣3x）x＝450， 整理得：x2﹣25x+150＝0， 解得：x1＝10，x2＝15， 当x＝10时，73+2﹣3x＝73+2﹣3×10＝45＞42，不符合题意，舍去； 当x＝15时，73+2﹣3x＝73+2﹣3×15＝30＜42，符合题意． 答：车棚的长为30m，宽为15m； （3）不能围成面积为525m2的自行车车棚，理由如下： 假设能围成面积为525m2的自行车车棚，设AB＝ym，则BC＝（73+2﹣3y）m， 根据题意得：（73+2﹣3y）y＝525， 整理得：y2﹣25y+175＝0， ∵Δ＝（﹣25）2﹣4×1×175＝﹣75＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立， 即不能围成面积为525m2的自行车车棚． 28．（2026秋•同步）某地为推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售率．其中，一批成本为30元/千克的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于50元/千克销售．经调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为w元． （1）请分别求出y关于x，w关于x的函数表达式． （2）销售单价定为多少时，每天的销售利润为800元？ （3）销售该农产品每天获得的利润能否达到1300元？若能，求出此时的单价；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）设该商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b， 把（30，100）、（40，80）代入y＝kx+b， ∴， ∴． ∴y＝﹣2x+160， ∵销售单价不低于成本价30元，且不高于50元/kg销售， ∴30≤x≤50， ∴每天的销售利润为w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250； （2）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800， 解得：x1＝40，x2＝70． ∵单价不低于成本价，且不高于50元销售， ∴x＝40． ∴销售单价定为40元/kg时，每天的销售利润为800元； （3）不能，理由如下： 由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝1300， 整理得：x2﹣110x+3050＝0， 则Δ＝（﹣110）2﹣4×1×3050＝﹣100＜0， ∴方程无解， ∴销售该商品每天获得的利润不能达到1300元． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $