考点01 一元二次方程（专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以“定义-解法-应用”为逻辑主线，系统整合14类题型，提炼“解法选择策略”“根与系数关系变形”等实用方法，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点梳理|3个核心考点|概念辨析（定义三要素）、解法步骤（直接开平方法等四法）、根与系数关系公式|从定义生成到解法推导，再到根的性质探究，形成完整知识链| |题型突破|14类典型题型|参数范围验证法、二分法估算、判别式参数计算、换元降次、销售/几何/传播问题模型构建|从基础计算（解方程）到综合应用（代数式求值、实际问题），梯度进阶训练|

考点01 一元二次方程 考点一：一元二次方程的定义 一般形式 概念 ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2的；③整式方程。 考点二：一元二次方程的解与解一元二次方程 一元二次方程的解 使方程成立的未知数 x 的值 估算一元二次方程的解 二分法：①估计x的大致范围；②缩小x的范围：取第①步的中间值 一元二次方程的解法 直接开平方法 形如x2＝p（p≥0）或（nx+m）2＝p（p≥0）： ①如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； ②如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 配方法 将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解： ①化一般式：；②二次项系数化1化为：x2+x＝； ③凑完全平方公式：x2+x+x＝（a≠0） ④配方：（） ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 公式法 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）如果有解，则其解为，步骤： （1）把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； （2）求出b2﹣4ac的值： ①若b2﹣4ac＜0，方程无实数根； ②若b2﹣4ac=0，方程有两个相等的实数根，把a、b、c的值代入公式，x1=x2=； ③若b2﹣4ac=0，方程有两个相等的实数根，把a、b、c的值代入公式，x1=、x2=； 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 因式分解法 通过因式分解化为两个一次因式的积为0的形式，步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 考点三：一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的两个实数根是x1、x2，两个实数根x1、x2的关系： ①x1+x2 = ；②x1·x2 = ． 题型一：根据一元二次方程的定义求参数范围 ·思路：先令指数含参的式子等于2，解出参数，再代回系数验证≠0。 ·难点： ①当指数是含参绝对值或多项式（如|m|+1=2）时，解出多个值，必须逐一回代； ②若系数本身含参（如m-1），解出后要排除使系数为0的值； 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 2．当_______时，关于x的方程是一元二次方程；当_____________时，关于x的方程是一元一次方程． 【答案】 且 【详解】解：∵关于的方程为当方程是一元二次方程， ∴， 解得； ∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 解得：且． 3．（2026·山东济宁·三模）关于x的方程如果是一元二次方程，则其解为________． 【答案】， 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， 且， 解得， 该一元二次方程为， 整理，得， ， ，． 题型二：估算一元二次方程的根 · 二分法连续逼近方程的根：若要求精确到0.1，就试到小数点后一位，保证区间两端值异号且区间长度≤0.1。 1．（26-27九年级上·全国·周测）根据表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（     ） x 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴二次函数的图象与轴的一个交点在之间， ∴关于的方程的一个解的取值范围是 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 3．（2026·山东聊城·模拟预测）根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表格找到的值在两个相邻处分别小于和大于，则方程的解就在这两个之间． 【详解】解： 由表格可知：当时，， 当时，， 方程的一个解的取值范围为． 4．（22-23九年级上·山东青岛·阶段检测）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由表格可知， 当时，，即， 当时，，即， ∴时，． 题型三：根据一元二次方程根的情况和判别式求参数 ·根据判别式求参数：先化一般形式 ax2+bx+c=0，精准找出a、b、c，计算 b2-4ac。 ①两个不等实根→b2-4ac>0；②两个相等实根→b2-4ac=0 ；③无实根→b2-4ac<0 。 ④若方程含参且未化简，必须先展开合并再找系数，否则b2-4ac算出来全是错的。 利用判别式求出参数范围后，需要再验证二次项系数≠0 1．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解k的取值范围． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 2．（25-26八年级下·北京·期末）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【详解】解：由题意，该方程为一元二次方程，得， ∵方程有实数根， ∴根的判别式满足， 解得， 因此的取值范围是且． 3.下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】计算各一元二次方程的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，逐一验证三个说法的正误即可． 【详解】解：①对于方程，，当时，，方程有两个相等的实数根，即有实数解，故①错误； ②对于方程，， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程都有两个不相等的实数根，故②正确； ③对于方程，由方程有两个不相等的实数根得，即，解得， 当时，方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，故错误，③错误； 综上，正确的说法有1个． 4．（25-26八年级下·北京延庆·期末）关于x的方程有实数根，且k为正整数，求k的值并求此时方程的解． 【答案】，此时方程的解为 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴根的判别式， 解得：， 又∵k为正整数， ∴， 将代入原方程，得， 整理得：， 解得：． 5．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； (2)整数的值为或或 【难度】0.45 【分析】（1）分为和两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为和两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值． 【详解】（1）略 （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 题型四：选择合适的方法解一元二次方程 · 方法：观察法优先。①缺一次项（ax2+c=0）用直接开平方；②二次项系数为1且一次项系数为偶数，用配方法最快；③容易十字相乘的，用因式分解法（最省事）；④以上都不行，果断上公式法 见到分数或小数，先化整再选法；十字相乘时别只盯常数项，注意拆一次项系数。 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程，将方程变形为，则的值为（   ） A．4 B．9 C．12 D．14 【答案】B 【详解】解： 原方程变形为： 提取二次项系数2： 对括号内的，加上一次项系数一半的平方，并保持等式平衡：即： 展开整理：移项得： 对比形式，得，， 故． 故答案为：B． 2．（25-26八年级下·山东淄博·期中）方程的较小实数根为_____． 【答案】/ 【详解】解：对方程两边直接开平方，得 ， 即或， 解得，， ， 方程的较小实数根为． 3．解方程：； 【答案】 【详解】解：， ， 或， ； 4．解下列方程： (1) ； (2)； (3)； 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：整理，得， ∴， ∴或 解得，； （2）解：移项，得， ∴， ∴， 解得，； （3）解：整理，得， ∵， ∴， ∴，． 5．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：， ， 或， 解得； （2）解：， ， ， ∴， ∴． 6．解方程： (1)（配方法） (2)． 【答案】(1)，；(2)， 【详解】（1）解：， 移项得：， 方程两边同时加上可得：， 配方可得：， 两边同时开平方得：， 解得：， 方程的解为，； （2）解：， 整理得：， 分解因式得：， 可得：或， 当时，可得：， 当时，可得：， 方程的解为，． 7．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，；(2)， 【详解】（1）解：， 移项，得：， 提取公因式，得：， ∴或， 解得：，； （2）解：， 根据平方根的性质，得：， ∴或， 解得：，． 8．（26-27九年级上·江苏泰州·开学考试）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：， 整理得：， 因式分解得：， 则或， 解得：． （2）解： ， ， ， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的根． 9．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【详解】（1）解： 或 解得 （2）解： 或 解得 （3）∵， 方程有两个不相等的实数根， 即 （4）解： 或 解得 10．解方程：． 【答案】 【详解】解： 去分母得： 去括号，移项得： ∴ ∴或， ∴，； 检验：当时，； 当时，， ∴分式方程的解为． 题型五：根据一元二次方程根的情况求代数式 ·代入根后进行化简，整体代入求代数式的值 · “有实数根” / “有两个实数根”→ 0（且 a ≠0）。 · “有实根”或未指明是二次方程： 必须分a=0（一次方程）和a ≠0（二次方程）讨论。 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）若a是方程的一个解，则的值是________． 【答案】 【分析】将代入方程得到关系式，整理得到的值，再将所求代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴把代入方程得， 整理得， 两边同除以得， ∴． 2．若关于x的一元二次方程有一个根为，则代数式的值是__________． 【答案】 【分析】根据是的一个根，将代入原方程得，再代入计算即可得答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴把代入方程得: ， 整理得 :， ∴ ． ∴代数式的值为． 3．（26-27九年级上·山东滨州·开学考试）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的表达式，再结合根与系数的关系：是一元二次方程的两个根，则，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ∵是一元二次方程的根， ∴， 整理得， ∵，是一元二次方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可得，， 将代入所求代数式得： 原式． 4．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）已知a是方程的一个根，则代数式的值是（     ） A．1 B．－1 C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据方程根的定义得到，将所求代数式化简降次后整体代入求值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， . 5．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）若是关于的方程的一个解，则代数式的值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】将方程的解代入方程得到，化简所求代数式后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 整理得， ∴ ． 题型六：整体思想与换元法解复杂方程 ·思路：在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． · 方法：发现式中有重复出现的部分，设其为 t。原方程变为关于t的简单方程，解出t后，再代回原式解出x。 ①换元后注意隐含范围（例如 t = x2 ＞ 0，t = ≠0），可用来排除不合题的t值，减少计算量。 ②解出t后忘了回代求x（以为t就是最终答案）； ③解出t值回代时忽略t的取值范围导致多写增根。 1．（2026九年级下·浙江杭州·专题练习）阅读材料：已知实数满足，求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即． 上面这种方法称为“换元法”．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数满足，则___________． (2)若，求的值． 【答案】(1)；(2)9 【难度】0.65 【分析】（1）设，则，解得：，得； （2）设，则，即，解得或，由，得，即可求解； 【详解】（1）解：， 设， 则原方程变为， 整理得， ∴， ∴，即． 故答案为：； （2）设， 则，即， 解得：或， 由，得， 即． 2．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）追本溯源：题（1）是北师大版初中数学九年级上册第57页复习题，请你完成解答，提炼方法后完成题（2）． (1)解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． (2)已知为的三边，若，请判断的形状，说明理由． 【答案】(1)，；(2)是直角三角形， 理由：是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，勾股定理的逆定理，解一元一次方程等，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解:设， 得， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； 所以原方程的解为：，； （2）略 3．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 【答案】， 【难度】0.75 【分析】本题考查一元二次方程的解法，平方根的性质，掌握换元法是解题关键． 通过换元法将四次方程转化为一元二次方程，求解后代回，根据平方根性质进行取舍即可得到原方程的实数解． 【详解】解：令，则原方程化为：， 解得，， 当时，，则该方程无实数解； 当时，，解得，． 综上，该方程的解为：，． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期中）为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为①解得． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为． 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法． 根据以上阅读理解，解答下列问题： (1)利用换元法解方程：； (2)若实数、满足，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设，将原方程转化为，然后利用因式分解法求出或，然后分别判断求解即可； （2）设，将转化为，然后求解判断即可． 【详解】（1）解： 设 ∴原方程可化为 或 解得或 当时， ∴ ∴ ∴方程无实数根； 当时， ∴ ∴ ∴或 解得，； （2）解：设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴或 解得（舍去）或 ∴． 题型七：根据根与系数的关系求代数式 ·三种代数式变形： ①； ②；③ ·二次式降次： 用根的定义降次再合并（案例：x1是一元二次方程x2+px+q=0的根，x12+2x1可换成=-px1-q+2x1） ·“拆补”法· 目标式是非对称结构时，可进行大胆“拆补”（案例：x12+x22+3x1x2=(和)2+积） 1．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）设，分别是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】 【详解】解：一元二次方程为， ，， 2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）若，是方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】根据根与系数的关系求出的值，再根据可得答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 3．（2026·湖北孝感·二模）一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．两实数根之积为1 D．两实数根之和为 【答案】C 【难度】0.85 【分析】先利用判别式判断根的存在情况，再计算两根之和与两根之积，即可判断选项正误． 【详解】解：对于一元二次方程 ，可得 ，，， 计算根的判别式： ， ∴方程有两个不相等的实数根，选项A，B错误； 根据一元二次方程根与系数的关系： 两根之和 ，∴选项D错误； 两根之积 ，∴选项C正确． 4．（2026·广西南宁·二模），是关于的一元二次方程两个根，则值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】直接利用一元二次方程的根与系数的关系，计算两根之积即可得到答案． 【详解】解：对于一元二次方程 ， 若方程两根为，则两根之积 ， ∵原方程为，可得， ∴ ． 5．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 【答案】 【难度】0.85 【分析】先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于方程可得 ， ∴． 6．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）已知是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次化简，再结合根与系数的关系计算求值． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，，， ，， ． 7．（22-23九年级上·湖南常德·期中）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程 的两个实数根分别为m，n， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且 ，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)或 【难度】0.51 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将、可以看作方程的两个根，即得出，从而可求出，即或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为， ． （2）解：∵一元二次方程的两个根分别为， ， ． （3）解：∵实数满足， ∴可以看作方程的两个根， ， ， 或， 当时，， 当时，， 综上可知，的值为或． 8．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】(1)若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】(2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】(3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 【答案】(1)，，；(2)有实数根，方程的解为，；(3) 【难度】0.52 【分析】（1）利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （2）设，则关于的方程可化为，再利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （3）设原方程两根为，得到，设关于的方程两根为，令，得到，进而进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两根，，，． ∴根据根与系数关系，得 ∴； （2）解：设，则关于的方程可化为， ∵方程两根为， ∴， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴该方程有实数根，根为，． （3）解：设原方程两根为， 由题意，得， 设关于的方程两根为，令， 变形得，则 两根之积： ∴两根之积为． 题型八：根据根与系数的关系求系数 ①优先用“积”求另一根（），若常数项含参复杂，再改用“和”求（）。求完后务必代入原方程检验。 ②若题目只给一个根是“2+”，另一根往往就是“2-”（有理化共轭），利用积为整数快速配对。 求出另一根后忘了看是否使原方程有意义（如分母不为0）。 1．（2026·浙江·模拟预测）在方程中，小金解得，则______． 【答案】 【难度】0.65 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， 解得. 2．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是___________ 【答案】 【分析】已知一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系即可求出另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系，得两根之和为：， ∵已知一个根为， ∴， 解得：． 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 【答案】 【难度】0.85 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：， ∵，， ∴， ∴这个一元二次方程是． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】；另一个根是0 【难度】0.85 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将代入方程求出，再根据根与系数的关系求另一个根． 【详解】解：将代入方程可得：， 解得：  ， ∴该方程为； 设方程的另一个根为，由根与系数的关系得，， 解得：； 综上所述，  ，另一个根为0． 题型九：转化思想与构造法求值 运用换元、倒数转化、因式分解等方法对代数式进行变形，运用代数推理解决问题 有括号嵌套，按运算优先级逐层拆解，先算内层，再算外层。 1.设、是方程的两个实数根，实数、满足：，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到两根之和、两根之积，构造恒等式，代入已知条件整体代换求值即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ，，， ． 2．（2022九年级上·上海奉贤·竞赛）使得的值为整数的无理数的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】C 【分析】设分式的值为整数k，整理得到关于x的方程，利用一元二次方程根的判别式确定k的所有可能整数值，再分别解方程，判断x是否为无理数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：∵， ∴分母恒不为0， 设，其中k为整数， 整理得 ， 当时，得 ， 解得，是有理数，不符合要求； 当时，方程为一元二次方程，若方程有实根，则判别式：， 即， 解得， ∵k为整数，且， ∴k的可取值为1，2，3， 当时，方程为， 解得，都是无理数，符合要求； 当时，方程为， 解得或，都是有理数，不符合要求； 当时，方程为， 解得或，都是有理数，不符合要求； 综上，符合条件的无理数共有2个． 3．（2026·山东威海·模拟预测）【材料】小明在做作业时，遇到了如下的问题，他是这样做的： 问题： 求的最小值（为实数） 解：设 则 化简得 由题意得，该方程有解． 得． (1)求的最小值．（为实数）； (2)求的最小值．（，为非零实数）． 【答案】(1)最小值为；(2)最小值为 【分析】（1）设，则，整理得，由题意得，该方程有解，分情况计算即可得出结果； （2）设（，且），则，原式可化为，令，则，由题意得，该方程有解，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 由题意得，该方程有解， 当，即时，方程变为， 解得，即此时是可以取到的， 当，即时，方程为一元二次方程，需满足， ∴， 解得， ∴综上所述，，即的最小值为； （2）解：， ∵，为非零实数，且分母不能为， ∴， 设（，且），则， 原式可化为， 令，则， ∴， 由题意得，该方程有解， 当，即时，方程变为， 解得，即此时是可以取到的， 当，即时，方程为一元二次方程，需满足， ∴， 解得， ∴综上所述，，即的最小值为． 题型十：一元二次方程的应用——降价销售问题 ·解题思路： 第1步：设未知数 —— 一般设涨价或降价为 x 元（或设售价为x元）。 第2步：用 x 表示“单件利润 ”： ①涨价时：单件利润 = 原利润 + x ；②降价时：单件利润 = 原利润 - x 第3步：用 x 表示“销量”：根据题目的“每涨/降m元，销量少/多多少件”来列： ①涨价时：销量 = 原销量 - ×减少的件数 ②降价时：销量 = 原销量 + ×增加的件数 第4步：列方程求解 ①代入总利润公式，解一元二次方程。 ②最后务必检验：价格变动后的销量不能为负，且若题目要求“让利顾客”或“尽快清仓”，要取降价更多（或涨价更少）的那个解。 ①准确写出涨跌之后的销量代数式。 ②销量变化关系式写反；没有结合售价限制条件取舍根。 1．（2026·黑龙江·三模）某零售商购进一批单价为16元的玩具，以每件20元的价格销售时，每月能卖360件；销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若每件涨价1元，则销售量就减少30件．为使每月获得1920元的利润，设每件需涨价x元，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总利润=每件利润×销售量”，分别表示出涨价后的每件利润和销售量，即可列出方程． 【详解】解：∵设每件涨价元， ∴涨价后每件售价为元，每件利润为元， ∵每件涨价1元，销售量就减少30件， ∴涨价元后，销售量为件， 结合总利润为1920元，可得方程． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）一款服装每件进价为70元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装每降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元． (1)每天销售量增加____________件，每件服装盈利_______________元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1600元？ 【答案】(1)；(2)降价30元 【难度】0.62 【分析】（1）根据每件降价1元，多售出2件，降价x元则销售量增加件，原每件盈利50元，降价后每件盈利元； （2）根据每件利润×销售量=总盈利列一元二次方程，求解后结合让利于顾客的条件选择较大的降价幅度． 【详解】（1）解：∵每件降价1元，多售出2件， ∴降价x元，则销售量增加件， ∵原每件进价为70元，销售价为120元， ∴原每件盈利50元， ∴降价x元，则每件服装盈利元． （2）解：由题意可知：每件服装的销售利润为元，平均每天的销售量为件，     则由题意得：，整理得：，     解得：． 又∵需要让利于顾客， ．    答：每件服装降价30元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1600元． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）暑假期间某文旅公司生产一种文创产品，按照控制成本降价促销的原则，使生产的文创产品能够及时售出．据市场调查：每个文创产品按元销售时，每天可销售个．若销售单价每降低元，则每天可多售出个．已知每个文创产品的成本为元，并要求销售单价不得低于元．问这种文创产品的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润元？ 【答案】这种文创产品的销售单价为元时，厂家每天可获利润元 【难度】0.65 【分析】设这种文创产品的销售单价为元时，厂家每天可获利润元，然后根据利润公式建立一元二次方程求解． 【详解】解：设这种文创产品的销售单价为元时，厂家每天可获利润元，根据题意得 解得，． ∵销售单价不得低于元， ． 答：这种文创产品的销售单价为元时，厂家每天可获利润元． 4．某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． (1)若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； (2)若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； (3)经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 【答案】(1)1600；；(2)每个A商品的售价为37元 (3)解：月获利不能达到9600元，理由： 设每个A商品的售价为x元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个A商品的售价为x元，根据每个A商品的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【详解】（1）解：∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降5元，每月能售出（个）A商品， 若售价下降x元()，每月能售出个A商品； （2）解：设每个A商品的售价为x元，由题意，得 ， 解得， 当时，（舍去）， 当时，（符合题意）， 答：每个A商品的售价为37元； （3）略 5．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利6元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少千克． (1)该商场要保证每天盈利元，又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ (2)若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)商场要保证每天盈利元，又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价6元 (2)若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价7元，能使商场获利最大，最大利润是元 【分析】（1）设每千克应涨价x元，由题意得，，进行计算即可得； （2）设这种水果每千克涨价x元时总利润为y则，即可得． 【详解】（1）解：设每千克应涨价x元，由题意得， （舍），， 即商场要保证每天盈利元，又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价6元． （2）解：设这种水果每千克涨价x元时总利润为y， 则 即若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价7元，能使商场获利最大，最大利润是元． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 【答案】(1)车道宽度符合标准；(2)每个车位月租金上涨25元 【分析】（1）通过平移计算车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积，再列方程求解即可； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，再根据“该区域停车场的月租金收入为10125元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：先将图形平移，如解图， 由题意，得， 或（不符合实际，舍去）， ， ∴车道宽度符合标准． （2）解：设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个， 由题意得． 解得， ∴每个车位月租金上涨25元． 题型十一：一元二次方程的应用——几何问题 ·矩形面积问题 ①平移法：把道路向边缘平移，拼成完整小矩形； ②列式：（长-路宽）（宽-路宽）=剩余面积。 ③十字道路同时减去两个宽度，不要重复多减。 ·应用一元二次方程和勾股定理解直角三角形 ①根据几何条件定位直角三角形； ②准确表示出直角三角形的三边数据（含未知数）； ③根据勾股定理列方程（一元二次方程）解决问题 1．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 【答案】 【难度】0.65 【分析】设切去正方形的边长为 ，根据矩形的长和宽分别减去 表示出底面的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，并根据实际意义检验根的合理性即可． 【详解】解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当 时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； (2)饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)①；②米； (2)解：不能，理由如下： 当饲养场面积为170平方米时，， 整理得， 判别式， 方程无实数根， 因此饲养场面积不能达到170平方米. 【难度】0.45 【分析】（1）①用总长加上两个门宽再减去2个的长，列出代数式即可；②根据矩形的面积公式列出方程进行求解即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程，利用判别式判断方程的根的情况，即可. 【详解】（1）解：①由题意，（米）； ②由题意，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故米； （2）略 3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，过点C作交于点D，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点D开始沿线段向点C以的速度移动，连接，．则P，Q两点同时出发______秒时，是等腰三角形． 【答案】或或6 【难度】0.4 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质求出的长，设运动时间为秒，用含的代数式表示和的长，在和中利用勾股定理表示出和，分，，三种情况列方程求解即可． 【详解】解：，，， ， 设，两点同时出发秒时，是等腰三角形， 由题意得：，，且， ∴在 中，， 点在上，为中点， ， ∴在中，， 分三种情况讨论：①当时，，即 ， 解得或， ， ； ②当时，，即， 解得， ， ∴； ③当时，，即， 解得或， ， ； 综上所述，的值为或或． 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）【新定义】如图．四边形是证明勾股定理时用到的一个图形．是和的边长，易知．这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明：由题意可知：， ， ， ∴关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． (3) 【难度】0.42 【分析】（1）直接根据“勾系一元二次方程”的定义写出方程即可； （2）利用勾股定理以及根的判别式进行证明即可； （3）先说明，再结合四边形的周长是可得，进而求得，可得；再利用完全平方公式求得，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由“勾系一元二次方程”的定义可知：是“勾系一元二次方程”． （2）略 （3）解：把代入中得：，即，    ∵四边形的周长是， ， ∴， ，解之得：，     ， ， ，即， ， ， ． 6．如图，平行四边形中，，，点以的速度从点 出发沿向点运动，同时点以的速度从点 出发沿向点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为． (1)求平行四边形的面积； (2)当的面积为平行四边形的面积的时，求的值； (3)求面积的最大值． 【答案】(1)；(2)的值为4或；(3) 【难度】0.4 【分析】（1）过点作于点，由直角三角形的性质得出平行四边形的高，然后利用平行四边形公式求解； （2）首先求出的面积为，分点在线段上，点在线段上，点在线段上，点在线段上和点在线段上，点在线段上，三种情况计算即可； （3）根据题意分三种情况讨论，结合（2）表示出的面积，然后分别求出最大值比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为：； （2）解：由（1）知，平行四边形的面积为， 当的面积为平行四边形的面积的时， ∴的面积为， 当点在线段上运动秒时，点在上运动秒时，， ，，过点F作于点H， 同（1）可得，， ∴， ∴（舍）或，不符合题意； 当点在线段上时，点在上，，如图， ∴，即， ∴； 当点在线段上，点在线段上，， 如图，过点作交的延长线于点I，交于点J， 根据题意得，，， ∵四边形为平行四边形，， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵ ∴ 整理得， 解得，（舍去） 综上所述，的值为4或； （3）解：设的面积为S， 当点在线段上运动秒时，点在上运动秒时，， 由（2）得， ∴当时，S取得最大值为； 当点在线段上时，点在上，， 由（2）得， ∵ ∴S随t的增大而增大 ∴当时，S取得最大值为； 当点在线段上，点在线段上，， 由（2）得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即， 综上所述，面积的最大值为． 题型十二：一元二次方程的应用——传播类问题 ·两类模型 ①传染病：全部感染者继续传播，公式a(1+x)n=b； ②树枝分叉：主干不再生长，列式1+x+x2=b；两轮传播直接展开列式。 ①分清“总人数”与“新增人数”，理解每一轮所有人都参与传播； ②把总人数当成新增人数；两类模型混用； 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据从人中选出2人的不同组合总数等于45种建立等式，再整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：设该班级参加的学生有人，从人中选2名志愿者的不同组合数为， 根据题意列方程得： 两边同乘2得： 移项化为一般形式得： 2．（23-24八年级上·上海·阶段检测）某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有_____人． 【答案】 【难度】0.65 【分析】设该小组共有人，每人向其余同学赠送一件礼物，可得每人赠送件礼物，根据总礼物数为件建立一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果． 【详解】解：设该小组有人，根据题意，得： ， 整理得， 因式分解得， 解得，， 因为人数为正整数，所以舍去， 即该小组有9人． 3．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 【答案】52人 【难度】0.65 【分析】设每轮传染中平均每人传染人，根据题意列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人，根据题意得， 解得（舍去）， 第一轮传染后患流感的人数共有（人）， 答：第一轮传染后患流感的人数共有52人． 4．（2026·西藏拉萨·模拟预测）列方程（组）解应用题 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛场，求参加此次比赛的球队数． 【答案】参加此次比赛的球队数是9队 【难度】0.65 【分析】设参加此次比赛的球队数为队，根据球赛问题模型列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设参加此次比赛的球队数为队，根据题意得 ， 化简，得， 解得，（舍去）， 答：参加此次比赛的球队数是9队． 5．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确；(2)10 【难度】0.65 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意得，整理并求解即可． 【详解】（1）解：     淇淇的说法正确，理由如下： 解得：，     ∵x取正整数， ∴，均不满足实际问题，舍去 所以淇淇的说法正确． （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 6．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召个人参加． 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有人参加了‘传递正能量志愿服务者’．” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有人．” (1)______的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； (2)丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确． 【答案】(1)甲和乙；(2)丙的说法不正确 【难度】0.65 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据每一个人每周能够号召个人参加列出代数式求解即可得； （2）根据题意建立方程，解方程，结合为正整数求解即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，第一周结束后，包括小颖在内有人参加了“传递正能量志愿服务者”， 第二周新参加“传递正能量志愿服务者”的有人， 所以甲和乙的说法都正确， 故答案为：甲和乙． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得或（舍去）， 又∵是正整数， ∴不符合题意， 所以丙的说法不正确． 题型十三：一元二次方程的应用——增长率问题 ·固定公式：①增长a(1+x)2=b；②下降a(1-x)2=b（a为基数，两次变化用平方） ·关键：找准基数，连续两年变化指数为2。 ①指数写错；②下降式写成加号；③求出增长率大于1没有舍弃。 1．（25-26八年级下·山东威海·期末）某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【详解】解：∵第二季度实现垃圾分类的社区个数为，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率为， ∴第三季度实现垃圾分类的社区个数为，第四季度实现垃圾分类的社区个数为， ∵到本年底全部285个社区都要实现垃圾分类， ∴三个季度实现垃圾分类的总个数为285， 可得方程， 因此正确选项为D． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设每亩产量的年平均增长率为， ∵两年前每亩产量为吨， ∴一年后产量为吨，两年后产量为吨， ∵现在每亩产量比旧技术多吨，即现在产量为吨， ∴根据题意可列方程． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）某工厂一月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，三月份的生产成本是289万元，假设每月生产成本的下降率相同．求每月生产成本的下降率． 【答案】每月生产成本的下降率为 【分析】设每月生产成本的下降率为，根据题意，得，解方程求解即可． 【详解】解：设每月生产成本的下降率为，根据题意，得， 故， 解得，（舍去）． 答：每月生产成本的下降率为． 题型十四：一元二次方程的应用——数字问题 ①两位数表示：10×十位数字+个位数字； ②设较小数位为x，根据和、积建立方程。 1．（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（     ） 豆包内容由AI生成 有没有这样一个数，先计算它的平方，然后加上它的3倍，运算结果与这个数的相反数减4相同． A． B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.65 【分析】设这个数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个数为， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴这个数是 ． 2．若两数的和是，两数的平方和是，则这两数为________． 【答案】和 【难度】0.65 【分析】设两数中一个数为，则另一个数为，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设两数中一个数为，则另一个数为， 根据题意得， 解得，， 当时，另一个数为； 当时，另一个数为； 所以这两个数为和． 3．（25-26八年级下·福建福州·期末）2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 【答案】9 【分析】设四个数中最小数为，则最大数为，再根据最小数与最大数的乘积为153列一元二次方程求解，最后选择符合实际的解即可． 【详解】解：设四个数中最小数为，则最大数为 由题意得：， 整理得：， ， 即， 解得：（舍）， 答：最小数为9． 4．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数，且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：，所以13和62是“幸福数对”． (1)请判断21与48是否是“幸福数对”，并说明理由； (2)有一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为x，另一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为．若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 【答案】(1) 解： 21与48是“幸福数对”． 理由： ，． ． 与48是“幸福数对”． (2)42和36 【分析】本题考查新定义的判断，运用方程解决问题，理解题意是解题的关键； （1）根据“幸福数对”的定义计算即可； （2）根据“幸福数对”的定义计算得，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，各数位上的数字均为0到9的整数，且十位数字不为0， 这两个两位数，分别为，． 将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到的新两位数为，． 这两个数为“幸福数对”， ． 化简，得． 解得 ，． 经检验，符合题意， ∴这两个两位数分别为42和36． 5．如果一个四位自然数，满足右边的数字总比左边的数字大，且满足百位数字与十位数字之和等于个位数字与千位数字之和，那么称这个四位数为“登高数”．例如：，满足，且，所以2345是“登高数”；，其中，所以2355不是“登高数”．则最大的四位“登高数”是__________；对于一个“登高数”，先交换其千位和个位数字，再交换十位和百位得到新数，规定：．当为整数时，则满足条件的的最大值与最小值的差为__________． 【答案】 6789 2178 【难度】0.35 【分析】根据“登高数”的定义可直接求得最大的四位“登高数”，再根据数位表示法表示出和，化简后根据为整数得到的值，再结合和列举所有符合条件的，即可求出最大值与最小值的差. 【详解】解：根据“登高数”定义，要得到最大的四位“登高数”，需满足，且， 当千位数，则，，，不存在符合条件的， 因此最大为，此时，取，，满足，且， 因此最大的四位“登高数”是； 设“登高数”，则， ∴ ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵为整数， ∴是的倍数， ， ∴， ∴，即， ∵，， ∴或或， 当时，符合条件的为； 当时，符合条件的为； 当时，符合条件的为； 当时，不存在符合条件的； ∴满足条件的中，最小值为，最大值为，差值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 一元二次方程 考点一：一元二次方程的定义 一般形式 概念 ①只含有 ；②未知数的最高次数是的；③整式方程。 考点二：一元二次方程的解与解一元二次方程 一元二次方程的解 使方程 成立的未知数 x 的值 估算一元二次方程的解 二分法：①估计x的大致范围；②缩小x的范围：取第①步的中间值 一元二次方程的解法 直接开平方法 形如 或（nx+m）2＝p（p≥0）： ①如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x ； ②如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么 ． 配方法 将一元二次方程配成 的形式，再利用 求解： ①化一般式： ；②二次项系数化1化为： ③凑完全平方公式：x2+x+x＝（a≠0） ④配方：（） ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过 来求出它的解，如果右边是一个负数，则 ． 公式法 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）如果有解，则其解为，步骤： （1）把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； （2）求出b2﹣4ac的值： ①若b2﹣4ac＜0，方程 ； ②若b2﹣4ac=0，方程有两个相等的实数根，把a、b、c的值代入公式，x1=x2= ； ③若b2﹣4ac=0，方程有两个相等的实数根，把a、b、c的值代入公式，x1= 、x2= ； 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 因式分解法 通过因式分解化为两个一次因式的积为0的形式，步骤： ①移项，使方程的右边 ；②将方程的左边分解为 ；③令每个因式 ，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 考点三：一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的两个实数根是x1、x2，两个实数根x1、x2的关系： ①x1+x2 = ；②x1·x2 = 题型一：根据一元二次方程的定义求参数范围 ·思路：先令指数含参的式子等于2，解出参数，再代回系数验证≠0。 ·难点：①当指数是含参绝对值或多项式（如|m|+1=2）时，解出多个值，必须逐一回代； ②若系数本身含参（如m-1），解出后要排除使系数为0的值； 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 2．当_______时，关于x的方程是一元二次方程；当_____________时，关于x的方程是一元一次方程． 3．（2026·山东济宁·三模）关于x的方程如果是一元二次方程，则其解为_______． 题型二：估算一元二次方程的根 二分法连续逼近方程的根：若要求精确到0.1，就试到小数点后一位，保证区间两端值异号且区间长度≤0.1。 1．（26-27九年级上·全国·周测）根据表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（     ） x 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 3．根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 4．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． 题型三：根据一元二次方程根的情况和判别式求参数 ·根据判别式求参数：先化一般形式 ax2+bx+c=0，精准找出a、b、c，计算 b2-4ac。 ①两个不等实根→b2-4ac>0；②两个相等实根→b2-4ac=0 ；③无实根→b2-4ac<0 。 ④若方程含参且未化简，必须先展开合并再找系数，否则b2-4ac算出来全是错的。 利用判别式求出参数范围后，需要再验证二次项系数≠0 1．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 2．（25-26八年级下·北京·期末）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围_____． 3.下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（25-26八年级下·北京延庆·期末）关于x的方程有实数根，且k为正整数，求k的值并求此时方程的解． 5．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 题型四：选择合适的方法解一元二次方程 · 方法：观察法优先。①缺一次项（ax2+c=0）用直接开平方；②二次项系数为1且一次项系数为偶数，用配方法最快；③容易十字相乘的，用因式分解法（最省事）；④以上都不行，果断上公式法 见到分数或小数，先化整再选法；十字相乘时别只盯常数项，注意拆一次项系数。 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程，将方程变形为，则的值为（   ） A．4 B．9 C．12 D．14 3．解方程：； 4．解下列方程： (1) ； (2)； (3)； 5．解方程： (1)； (2)． 6．解方程： (1)（配方法） (2)． 7．解方程 (1)； (2)． 8．解方程： (1)． (2)． 9．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．解方程：． 题型五：根据一元二次方程根的情况求代数式 ·代入根后进行化简，整体代入求代数式的值 · “有实数根” / “有两个实数根”→ 0（且 a ≠0）。 · “有实根”或未指明是二次方程： 必须分a=0（一次方程）和a ≠0（二次方程）讨论。 1．若a是方程的一个解，则的值是________． 2．若关于x的一元二次方程有一个根为，则代数式的值是_______． 3．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 4．已知a是方程的一个根，则代数式的值是（     ） A．1 B．－1 C．0 D．2 5．若是关于的方程的一个解，则代数式的值为（     ） A． B．1 C． D．2 题型六：整体思想与换元法解复杂方程 ·思路：在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． · 方法：发现式中有重复出现的部分，设其为 t。原方程变为关于t的简单方程，解出t后，再代回原式解出x。 ①换元后注意隐含范围（例如 t = x2 ＞ 0，t = ≠0），可用来排除不合题的t值，减少计算量。 ②解出t后忘了回代求x（以为t就是最终答案）； ③解出t值回代时忽略t的取值范围导致多写增根。 1．（2026九年级下·浙江杭州·专题练习）阅读材料：已知实数满足，求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即． 上面这种方法称为“换元法”．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数满足，则___________． (2)若，求的值． 2．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）追本溯源：题（1）是北师大版初中数学九年级上册第57页复习题，请你完成解答，提炼方法后完成题（2）． (1)解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． (2)已知为的三边，若，请判断的形状，说明理由． 3．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期中）为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为①解得． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为． 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法． 根据以上阅读理解，解答下列问题： (1)利用换元法解方程：； (2)若实数、满足，求的值． 题型七：根据根与系数的关系求代数式 ·三种代数式变形： ①； ②；③ ·二次式降次： 用根的定义降次再合并（案例：x1是一元二次方程x2+px+q=0的根，x12+2x1可换成=-px1-q+2x1） ·“拆补”法· 目标式是非对称结构时，可进行大胆“拆补”（案例：x12+x22+3x1x2=(和)2+积） 1．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）设，分别是一元二次方程的两个根，则_． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）若，是方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 3．（2026·湖北孝感·二模）一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．两实数根之积为1 D．两实数根之和为 4．（2026·广西南宁·二模），是关于的一元二次方程两个根，则值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 6．已知是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 7．阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程 的两个实数根分别为m，n， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且 ，求的值． 8．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】(1)若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】(2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】(3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 题型八：根据根与系数的关系求系数 ①优先用“积”求另一根（），若常数项含参复杂，再改用“和”求（）。求完后务必代入原方程检验。 ②若题目只给一个根是“2+”，另一根往往就是“2-”（有理化共轭），利用积为整数快速配对。 求出另一根后忘了看是否使原方程有意义（如分母不为0）。 1．（2026·浙江·模拟预测）在方程中，小金解得，则______． 2．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是___________ 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 4．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 题型九：转化思想与构造法求值 运用换元、倒数转化、因式分解等方法对代数式进行变形，运用代数推理解决问题 有括号嵌套，按运算优先级逐层拆解，先算内层，再算外层。 1.设、是方程的两个实数根，实数、满足：，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（2022九年级上·上海奉贤·竞赛）使得的值为整数的无理数的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 3．（2026·山东威海·模拟预测）【材料】小明在做作业时，遇到了如下的问题，他是这样做的： 问题： 求的最小值（为实数） 解：设 则 化简得 由题意得，该方程有解． 得． (1)求的最小值．（为实数）； (2)求的最小值．（，为非零实数）． 题型十：一元二次方程的应用——降价销售问题 ·解题思路： 第1步：设未知数 —— 一般设涨价或降价为 x 元（或设售价为x元）。 第2步：用 x 表示“ ”： ①涨价时：单件利润 = 原利润 + x ；②降价时：单件利润 = 第3步：用 x 表示“销量”：根据题目的“每涨/降m元，销量少/多多少件”来列： ①涨价时：销量 = 原销量 - ×减少的件数；②降价时：销量 = 原销量 + 第4步：列方程求解 ①代入总利润公式，解一元二次方程。 ②最后务必检验：价格变动后的销量不能为负，且若题目要求“让利顾客”或“尽快清仓”，要取降价更多（或涨价更少）的那个解。 ①准确写出涨跌之后的销量代数式。 ②销量变化关系式写反；没有结合售价限制条件取舍根。 1．某零售商购进一批单价为16元的玩具，以每件20元的价格销售时，每月能卖360件；销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若每件涨价1元，则销售量就减少30件．为使每月获得1920元的利润，设每件需涨价x元，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）一款服装每件进价为70元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装每降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元． (1)每天销售量增加____________件，每件服装盈利_______________元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1600元？ 3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）暑假期间某文旅公司生产一种文创产品，按照控制成本降价促销的原则，使生产的文创产品能够及时售出．据市场调查：每个文创产品按元销售时，每天可销售个．若销售单价每降低元，则每天可多售出个．已知每个文创产品的成本为元，并要求销售单价不得低于元．问这种文创产品的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润元？ 4．某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． (1)若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； (2)若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； (3)经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 5．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利6元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少千克． (1)该商场要保证每天盈利元，又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ (2)若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最大？最大利润是多少？ 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 题型十一：一元二次方程的应用——几何问题 ·矩形面积问题 ①平移法：把道路向边缘平移，拼成完整小矩形； ②列式：（长-路宽）（宽-路宽）=剩余面积。 ③十字道路同时减去两个宽度，不要重复多减。 ·应用一元二次方程和勾股定理解直角三角形 ①根据几何条件定位直角三角形； ②准确表示出直角三角形的三边数据（含未知数）； ③根据勾股定理列方程（一元二次方程）解决问题 1．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； (2)饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，过点C作交于点D，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点D开始沿线段向点C以的速度移动，连接，．则P，Q两点同时出发______秒时，是等腰三角形． 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）【新定义】如图．四边形是证明勾股定理时用到的一个图形．是和的边长，易知．这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积． 6．如图，平行四边形中，，，点以的速度从点 出发沿向点运动，同时点以的速度从点 出发沿向点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为． (1)求平行四边形的面积； (2)当的面积为平行四边形的面积的时，求的值； (3)求面积的最大值． 题型十二：一元二次方程的应用——传播类问题 ·两类模型 ①传染病：全部感染者继续传播，公式a(1+x)n=b； ②树枝分叉：主干不再生长，列式1+x+x2=b；两轮传播直接展开列式。 ①分清“总人数”与“新增人数”，理解每一轮所有人都参与传播； ②把总人数当成新增人数；两类模型混用； 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 2．（23-24八年级上·上海·阶段检测）某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有_____人． 3．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 4．（2026·西藏拉萨·模拟预测）列方程（组）解应用题 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛场，求参加此次比赛的球队数． 5．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 6．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召个人参加． 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有人参加了‘传递正能量志愿服务者’．” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有人．” (1)______的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； (2)丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确． 题型十三：一元二次方程的应用——增长率问题 ·固定公式：①增长a(1+x)2=b；②下降a(1-x)2=b（a为基数，两次变化用平方） ·关键：找准基数，连续两年变化指数为2。 ①指数写错；②下降式写成加号；③求出增长率大于1没有舍弃。 1．（25-26八年级下·山东威海·期末）某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）某工厂一月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，三月份的生产成本是289万元，假设每月生产成本的下降率相同．求每月生产成本的下降率． 题型十四：一元二次方程的应用——数字问题 ①两位数表示：10×十位数字+个位数字； ②设较小数位为x，根据和、积建立方程。 1．（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（     ） 豆包内容由AI生成 有没有这样一个数，先计算它的平方，然后加上它的3倍，运算结果与这个数的相反数减4相同． A． B． C． D．1 2．若两数的和是，两数的平方和是，则这两数为________． 3．（25-26八年级下·福建福州·期末）2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 4．已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数，且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：，所以13和62是“幸福数对”． (1)请判断21与48是否是“幸福数对”，并说明理由； (2)有一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为x，另一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为．若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 5．如果一个四位自然数，满足右边的数字总比左边的数字大，且满足百位数字与十位数字之和等于个位数字与千位数字之和，那么称这个四位数为“登高数”．例如：，满足，且，所以2345是“登高数”；，其中，所以2355不是“登高数”．则最大的四位“登高数”是__________；对于一个“登高数”，先交换其千位和个位数字，再交换十位和百位得到新数，规定：．当为整数时，则满足条件的的最大值与最小值的差为__________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $