第1-2章阶段复习卷 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

· 第1-2章阶段复习卷 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一、选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，菱形的对角线相交于点，点在上，，，，则的长为（     ） A．9 B．10 C．13 D．15 3．一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 4．若一元二次方程的常数项是0，则的值是（　　） A．2或-2 B．2 C．-2 D．4 5．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．一种商品原价100元，经过两次降价后的售价是60元，设平均每次降价的百分率为 ，那么所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，，点是上一点，将沿折叠，点落在上的点处，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．一元二次方程 有两个相等的实数根，那么实数 的取值为（　　）． A． B． C． D． 9．把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（     ） A． B． C． D． （第9题图） （第10题图） 10． 如图，是边长为2的等边三角形，取边中点，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作．则（   ） A．4 B．2 C． D．1 二、填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 11．一元二次方程的解是______． 12．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 13．若是方程的一个实数根，则代数式的值为________． 14．如图，将含有的直角三角尺（）直角顶点A放到矩形的边上，若，则的度数是______． 15．设，是一元二次方程的两个根，则有，．已知，，且，则______． 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 16．解方程： (1) (2) 17．如图，在矩形中，点在边上，，求证：． 18．如图，中，． (1)尺规作图：作边上的中线，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若，求的长． 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 19．我市在开展“一盔一带”安全守护行动中，联合“爱心头盔”厂家在多个地点开展免费领取头盔活动，据统计，某领取点六月份发放“爱心头盔”100个，八月份发放144个，且从六月份到八月份月增长率相同． (1)求该领取点“爱心头盔”发放量的月增长率； (2)为解决暑期海边音乐节的电动车停放问题，计划将一个长为，宽为的矩形空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为a的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是，则道路宽a应为多少？ 20．如图，在菱形中，过点A作于点E，延长至，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 21．“山西是时间的朋友，这片土地处处散发着时光的奇迹……”董宇辉在直播电商平台的山西专场中现场讲解山西的美食产品，深度介绍山西的文化古迹，传播三晋文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝．某商家抓住商机，以70元/盒的进价购入了一批礼盒装的保健醋口服液，在销售过程中发现，当售价为110元盒时，一天可售出20盒，且该礼盒的单价每降低1元，其销量可增加2盒． (1)若该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为______盒； (2)在（1）的条件下，若商家销售该礼盒每天想要获利1200元，则为尽快减少库存，该礼盒的售价应定为多少？ 五、解答题（三）（第 22 题 13 分，第 22 题 14 分） 22．若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则_____ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 23. 综合与实践． 如图1，将两个全等的三角尺与三角尺如图摆放（与重合），其中，，． （1）如图2，固定三角尺不动，将三角尺沿方向平移至图2位置，分别连接，．则四边形的形状为______； （2）如图3，在图2的基础上，将三角尺沿方向继续平移，当四边形是菱形时，分别连接，． ①请判断此时四边形的形状，并说明理由； ②若，则四边形的周长为______． …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页（共4页） ◎ 第4页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C B C D C A B 11．， 12． 13． 14． 15．3 16．(1)， (2)， 【详解】（1）解： ， ， （2）解： 或， ，． 17．证明见解析 【分析】先根据矩形的性质得，再证明与全等，由此可证． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．(1)如图，线段即为所求； (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质、中线的作法、含的直角三角形的性质以及直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是掌握中线的作法，并熟练运用相关知识解决问题． （1）直接利用线段垂直平分线的尺规作图方法作出直线交于点即可得解； （2）利用含的直角三角形的性质求出，再利用直角三角形斜边上中线的性质得到的长； 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， 由（1）作图可知，为边上的中线． ∴． 19．(1)“爱心头盔”发放量的月增长率为． (2)道路宽a应为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设“爱心头盔”发放量的月增长率为，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）根据题意可得方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：设“爱心头盔”发放量的月增长率为， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：“爱心头盔”发放量的月增长率为． （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：道路宽a应为． 20．（1）证明：四边形是菱形， ∴，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，在矩形中，， ∴在直角中，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴矩形的面积． 21．(1) (2)90元/盒 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据销售利润单个的利率销售量列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为： 盒； （2）解：根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 要尽快减少库存， 取， 答：该礼盒的售价应定为90元/盒． 22. (1)， (2)①证明：∵关于的一元二次方程为 ， ∴，，， ∴根的判别式， 展开化简得， 配方得， ∵无论为任何实数，总有 ， ∴， 即， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②或 【分析】（1）直接根据题干给出的根与系数关系代入计算即可； （2）①通过计算根的判别式，证明判别式恒大于0即可得证；②先根据根与系数关系得到两根和与两根积关于的表达式，代入已知等式求解关于的一元二次方程即可得到的值.． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，可得，， 根据根与系数的关系得 ，； （2）①略 ②根据根与系数的关系，得 ， ∵， 代入得 ， 化简得 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得或． 23. 【答案】（1）平行四边形；（2）①菱形，理由见解析；② 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、平移综合题(几何变换)、全等三角形的性质、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）根据即可证得四边形是平行四边形； （2）①连接交BE于点O，根据可证得四边形是平行四边形，再根据四边形是菱形，得到，进一步得到，进而证得四边形是菱形；②根据四边形是菱形和∠ABC=30°，可求得BC，进而可求得 ，再根据四边形是菱形即可求得周长． 【详解】解：（1）四边形ABDE的形状为平行四边形，理由如下： ∵平移过程中， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）①四边形的形状是菱形． 理由如下： 如图，连接交BE于点O， ∵平移过程中， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②∵四边形是菱形， ∴AF=AC=1, ∵∠ABC=30°， ∴BC=2， ∴， ∵四边形是菱形， ∴AB=BD=DE=AE=， ∴四边形ABDE的周长为． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，解题的关键是综合运用相关知识解题． 答案第6页（共6页） 答案第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $