专题1.3 用反比例函数解决问题（暑假预习讲义）（2大知识点+ 8大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版九年级数学上册

专题1.3 用反比例函数解决问题 【本节预习目标】 1.能从实际问题中抽象出反比例函数关系，建立反比例函数模型，正确确定函数解析式。 2.能结合反比例函数的图象与性质，分析实际问题中变量的变化规律，求解变量的取值范围。 3.掌握工程、行程、物理、经济、几何等常见类型的反比例函数应用，熟练解决相关实际问题。 4.能解决反比例函数与一次函数结合的分段实际问题，提升数形结合与数学建模能力。 5.能根据实际问题的限制条件进行方案设计与可行性判断，体会数学的应用价值。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 反比例函数基础 反比例函数的三种表达形式、图象与性质、的几何意义 以反比例函数的性质为工具，将实际问题转化为反比例函数模型，利用函数性质求解变量的取值与范围 一次函数实际应用 一次函数建模、分段函数、方案选择类问题解题思路 两类函数实际应用的核心都是“建模→求解→验证”；本节新增反比例+一次函数的分段综合应用，方法可迁移类比 常见数量关系 工程、行程、销售、几何图形的基本公式 当公式中的总量为定值时，两个变量即成反比例关系，是本节建模的核心依据 知识点1：反比例函数实际问题的建模 1.一般解题步骤 ①审题：提取题干中的常量与变量，明确两个变量之间的数量关系； ②建模：设出变量，根据等量关系列出等式，整理为（为常数，）的标准形式； ③求解：代入已知量，计算未知量或参数的值； ④验答：检验结果是否符合实际意义，写出最终答案。 2.自变量的取值范围 纯数学问题中自变量；实际问题中需结合具体情境限定： 长度、速度、时间、价格、数量等变量必须为正数； 受墙长、材料总量、价格上限等条件限制时，需进一步求出自变量的取值范围。 知识点2：常见反比例函数实际应用类型 1.工程与行程类 工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例； 路程一定时，行驶速度与行驶时间成反比例。 2.物理跨学科类 压力一定时，压强与受力面积成反比例； 电压一定时，电流与电阻成反比例； 杠杆平衡时，力与对应的力臂成反比例。 3.经济与生活类 总金额一定时，商品单价与购买数量成反比例； 总工作量一定时，人均工作量与参与人数成反比例。 4.几何图形类 图形面积一定时，对应的底与高、长与宽成反比例。 【基础巩固题型】 【题型1】实际问题中反比例函数关系式的建立 1.核心知识点 反比例函数的定义；常见数量关系；数学建模思想 2.解题方法技巧 ①从题干中提取“总量固定”的关键信息，确认两个变量成反比例关系； ②设出对应变量，根据基本数量关系列出等式，整理为的标准形式； ③结合实际意义标注自变量的取值范围，确保变量为正且符合现实逻辑。 【例题1】.（2026·广西南宁·三模）已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，当时，， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·河南信阳·期中）如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）与物距（蜡烛到小孔的距离）x（单位：）成反比例关系，当时，，则y关于x的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 利用待定系数法求出函数表达式即可； 【详解】解：由题意设：， 把时，，代入， 得； ∴关于的函数表达式为； 故选：C． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·广西梧州·期末）某校开放周筹备期间，小杨接到一项任务：将一批纪念徽章分发给志愿者．他们发现，每天分发的数量与分发天数成反比例关系．已知如果每天分发50枚，则恰好按计划天数完成；如果每天分发75枚，则可以提前2天完成．则每天分发数量y（枚）与分发天数x（天）之间的函数关系式为_________ 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意是解题关键． 由每天分发数量与分发天数成反比例，设总徽章数为，根据两种分发情况列出方程，求解计划天数和，再写出函数关系式． 【详解】解：设总徽章数为枚，计划天数为天． 根据反比例关系，有． 当时，，即； 当时，，即． 由，解得． 则． 因此y与x的函数关系式为 ． 故答案为 【变式题1-3】.（2026·内蒙古呼和浩特·一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”为：阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，则动力关于自变量动力臂的函数解析式为_____．      【答案】 【分析】根据“阻力阻力臂动力动力臂”列式求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为：． 【题型2】表格数据的反比例关系验证与求值 1.核心知识点 反比例关系的判定；待定系数法；代入求值 2.解题方法技巧 ①计算表格中每组对应变量的乘积，若乘积为定值，则可判定为反比例关系； ②选取一组数据计算比例系数，写出函数解析式，再用其他组数据验证； ③代入已知变量的值，求解对应的未知变量。 【例题2】.（2026·山西长治·三模）为了研究“电热水壶功率与烧开一壶水所需时间”的关系，物理小组在电压恒定的条件下，记录了5个不同功率的电热水壶烧开同样一壶水的实验数据，如下表： 功率x（千瓦） 0.8 1.0 1.6 2.0 2.5 时间y（分钟） 25 20 12.5 10 8 经分析，y与x满足某种函数关系，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断与的函数关系，可通过计算与的乘积，若乘积为定值，则与满足反比例函数关系，据此推导即可． 【详解】解：∵ ，，，，， 可得所有组满足， ∴y与x的函数关系式为． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：）的函数，下表记录了一组实验数据： V（单位：） 1 1.5 2 2.5 3 p（单位：kPa） 96 64 48 38.4 32 p与V之间的函数关系式可能是________． 【答案】 【分析】通过计算表格中对应变量的乘积，可判断与的函数关系． 【详解】解：根据表格中的对应数据计算得：，， 可得， 变形得． 【变式题2-2】.（2026·江苏扬州·中考真题）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【答案】(1) (2) (3)车辆的行驶速度应控制在不超过，即 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可； （2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可； （3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控制范围． 【详解】（1）略 （2）解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：； （3）解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得： ， 因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变： ， 解得， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即． 【变式题2-3】.（2026·山东临沂·二模）教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如下表： （分钟） 0 2 5 7 10 14 17 20 … 30 50 80 100 70 50 35 … 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)第一次加热的函数关系式为；第一次降温的函数关系式为； (3)解：同学们能喝到不超过的水，说明如下： 由题意得，8时45分时20分小时25分钟分钟， ∵饮水机一个完整工作（加热降温）的时间为分钟， ∴85分钟内完成的工作次数为， ∴经过3次完整工作后，剩余15分钟， 此时水温与第15分钟的水温相同， ∴， ∵， ∴同学们能喝到不超过的水． 【分析】（1）根据表格中每组的数值，在平面直角坐标系逐个标注对应坐标点即可； （2）升温阶段水温匀速上涨，选用一次函数，代入数据求解即可；降温时，选用反比例函数，代入数据求解即可； （3）先换算时间：分钟，单个工作时间长分钟，根据可得温度为15分钟时的温度，进而即可求解判断． 【详解】（1）略 （2）解：观察数据可得，加热时水温随时间均匀上升，符合一次函数关系， ∴设函数关系式为， 将、代入， 得， 解得， ∴第一次加热的函数关系式为， 观察降温数据可得，，，，，水温与时间的乘积几乎为定值，符合反比例函数关系， ∴设函数关系式为， 将代入得， 解得， 当水温回落至时，自动重启加热， ∴令，则 解得， ∴第一次降温的函数关系式为； （3）略 【题型3】实际问题的反比例函数图象识别 1.核心知识点 反比例函数的图象特征；自变量的实际取值范围 2.解题方法技巧 ①先根据题意列出函数关系式，确定函数类型为反比例函数； ②结合自变量的实际意义，确定自变量取值为正，对应图象为第一象限的一支曲线； ③根据函数的增减性和变化趋势，匹配对应的图象选项。 【例题3】.（2026·江苏南京·二模）向体积一定的水中加入质量为的糖，充分溶解后（体积的变化忽略不计）．含糖率等于糖的质量与总质量的比值，甜度系数等于单位体积的水中所含糖的质量．下列图像中，能大致反映、关于的关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设水的质量为M，水的体积为V，均为常数．根据题意分别列出S和关于m 的函数解析式，根据函数类型判断图像形状即可． 【详解】解：设水的质量为M，水的体积为V（M、V为常数且 ）， ∵甜度系数S等于单位体积的水中所含糖的质量， ∴， ∴S是m的正比例函数，图像应为过原点的直线，即选项A、B不符合题意； ∵含糖率R等于糖的质量与总质量的比值， ∴， ∴， ∵M为常数， ∴是m的反比例函数向上平移一个单位后的函数，图像应为曲线，且随m的增大而减小，即选项C不符合题意，选项D符合题意． 【变式题3-1】.（24-25九年级上·河北衡水·期中）矩形的面积为4．两邻边长分别为x，y，则y与x关系的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图像，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据矩形的面积求出y与x的函数关系式，根据关系式得到图像即可． 【详解】解：由题意可得：，且， ，， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选C． 【变式题3-2】.（24-25八年级上·上海崇明·期中）已知矩形的面积为5，它的长与宽之间的关系用图像大致可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象，理解反比例函数的图象是解答关键． 根据矩形的面积公式求出，利用矩形的长和宽都是正数来确定反比例函数图象． 【详解】解：矩形的面积为5， 它的长与宽之间的关系：， ， 它是反比例函数，则和不符合题意． 因为矩形的长和宽都是正数， 所以反比例函数的图象只能在第一象限，故符合题意． 故选：D． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江苏泰州·期末）某项工作，一个人单独完成需10天．若m个人共同完成需n天，每人每天完成的工作量相同，选取数对，在坐标系中进行描点，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据工作量相同，建立等式解答即可． 本题考查了反比例函数的意义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一个人完成需10天， ∴一人一天的工作量为， ∵m个人共同完成需n天， ∴一人一天的工作量为， ∵每人每天完成的工作量相同， ∴． ∴， ∴n是m的反比例函数， ∴选取数对，在坐标系中进行描点，则正确的是C． 故选：C． 【题型4】工程与行程类反比例应用 1.核心知识点 工作总量=工作效率×工作时间；路程=速度×时间；反比例关系 2.解题方法技巧 ①先确定固定不变的总量（工作总量、路程），明确两个相关变量； ②根据基本公式变形，得到反比例函数关系式； ③代入已知量求解未知量，计算前注意统一单位。 【例题4】.（2026·山西太原·二模）无人驾驶拖拉机匀速行驶时，发动机的输出功率保持恒定，牵引力（单位：）与速度（单位：）满足反比例函数关系．已知某无人驾驶拖拉机进行耕地作业，当匀速行驶速度为，牵引力．为保证耕地的效果，牵引力不能低于，则拖拉机速度（单位：）的最大值为_______． 【答案】 【分析】因为牵引力F和速度v是反比例函数关系，所以先设反比例函数的一般形式，其中k为常数且，把已知的、代入反比例函数表达式，求出k的值，确定F与v的函数解析式，因为要求，所以将代入已得到的函数解析式，求解对应的v值，结合反比例函数的增减性，得到v的最大值． 【详解】∵牵引力和速度是反比例函数关系， ∴设， 将，代入解析式，得， ∴函数关系式为， 当时，代入得， ∵， 解得， ∴拖拉机速度的最大值为． 【变式题4-1】.（2026·广东广州·三模）某天 ，小芳在家通过某打车软件打车前往火车站搭乘当天 的动车．记汽车的行驶时间为 （单位： ），行驶的平均速度为 （单位： ）， ．根据经验， ， 的对应值如表： … 20 30 40 50 60 … 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 (1)求平均速度 关于行驶时间 的函数解析式． (2)已知小芳从开始打车到上车用了 ，并且她想在动车出发前半小时到达火车站，若汽车的平均速度为 ，小芳能否在预定的时间内到达火车站？请说明理由． (3)若汽车到达火车站的行驶时间 满足 ，求平均速度 的范围． 【答案】(1)； (2)不能， ∵从 到 总时间为 ， ，提前到达需要的半小时为 ， ∴可用于行驶的时间为 ， 当 时，所需行驶时间 ， ， 小芳不能在预定的时间内到达火车站； (3) 【分析】（1）根据表格数据判断 与 满足反比例关系，用待定系数法求出函数解析式，再结合 的限制得到自变量 的取值范围； （2）先计算出小芳可用于行驶的总时间，再求出平均速度为 时所需的行驶时间，比较后判断是否能按时到达； （3）利用反比例函数的性质，当 在给定范围内时，计算得到对应 的取值范围． 【详解】（1）观察表格数据可知 与 的乘积为定值， ∴设，     将 ， 代入得 ， 由题知 ， ∴ ， 解得 ， ∴平均速度 关于行驶时间 的函数解析式为 ； （2）略； （3）， ∴当 时， 随 的增大而减小， ∵ ， ， 即 ． 【变式题4-2】.（2026·河南洛阳·三模）儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（）． (1)求t与x之间的函数关系式； (2)要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？ (3)已知一个进水管的注水速度为，则此游泳池的容积是多少？若要注入的水，需要同时打开6个进水管多长时间？ 【答案】(1) (2)12个 (3)此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时 【分析】（1）由图象知，t是x的反比例函数，当时，，设，进而求解即可； （2）将代入反比例函数关系式求解即可； （3）根据“打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水”及“一个进水管的注水速度为”可知此游泳池的容积；用注入量除以6个进水管的总效率即可． 【详解】（1）解：由图象知，t是x的反比例函数，当时，， 设， ， 解得：， ； （2）解：当时，， 解得． ∴需要同时打开12个进水管； （3）解：∵， ∴此游泳池的容积是． ． 答：此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·上海普陀·期末）随着低空物流的发展，城市配送无人机广泛投入使用．某物流公司购买了一批同一型号的物流无人机，用于开展一项新型配送业务．物流公司收到订单后，用满电电能的无人机从仓库出发运送货物至指定地点，以下为该型号物流无人机的相关资料． 资料1 无人机的相关数据如图所示    资料2 已知在规定载重范围内，忽略空气阻力等干扰因素，无人机匀速飞行的速度（单位：）可以看作其载重（单位：）的一次函数，下表为此无人机载重情况与相应飞行速度的部分数据． 载重（单位：） 0 2 4 6 8 10 飞行速度（单位：） 72 69.84 67.68 65.52 63.36 61.2 资料3 已知无人机飞行时功率恒定，每公里消耗电能（单位：）与其飞行速度（单位：）成反比例，当飞行速度为时，每公里消耗电能为． 根据上述资料，回答下列问题： (1)根据资料3，每公里消耗电能关于飞行速度的函数表达式为_______________； (2)根据资料1和2，飞行速度关于其载重的函数表达式为_______________，自变量m的取值范围是_______________； (3)该物流公司收到的一份订单，需要给距离仓库的某地配送重量为的货物，请结合以上资料，判断该无人机能否完成这份订单？（在电能耗尽前能送到指定地点即可完成订单，不考虑其它因素） 【答案】(1) (2)， (3)能完成订单 【分析】（1）设每公里消耗电能关于飞行速度的函数表达式为，再结合当飞行速度为时，每公里消耗电能为，计算即可得出结果； （2）设飞行速度关于其载重的函数表达式为，利用待定系数法计算即可得出结果； （3）求出飞行的总耗电量，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：设每公里消耗电能关于飞行速度的函数表达式为， ∵当飞行速度为时，每公里消耗电能为， ∴， ∴， ∴每公里消耗电能关于飞行速度的函数表达式为； （2）解：设飞行速度关于其载重的函数表达式为， 将和代入函数表达式得， 解得， ∴飞行速度关于其载重的函数表达式为， 由资料1知最大载重为，且载重， ∴自变量m的取值范围是； （3）解：当时，， 将代入得， 飞行的总耗电量：， ∵最大电能为，且， ∴能完成订单． 【培优提升题型】 【题型5】物理跨学科反比例应用 1.核心知识点 杠杆原理、欧姆定律、压强公式等物理规律；反比例函数建模 2.解题方法技巧 ①准确回忆对应物理公式，明确公式中的常量与变量； ②将物理公式变形，得到因变量关于自变量的反比例函数表达式； ③结合物理限制条件，求解变量的取值范围，结果需符合物理常识。 【例题5】.（2026·山东东营·模拟预测）在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关S后，移动滑动变阻器的滑片，电流I与电阻R成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点P的坐标为，则电源电压U为（提示：）________． 【答案】 【分析】根据题意可知电流与电阻满足反比例函数关系，已知函数图象经过点，将点的横纵坐标分别作为和的值代入公式，即可求出电源电压的值． 【详解】解：由题意可知，与的函数关系式为 函数图象经过点， ∴将点代入得： 电源电压为． 【变式题5-1】.（2026·贵州遵义·二模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为的容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)在（1）的条件下，实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； 【详解】（1）解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴， ∴． （2）解：已知且， ∵， ∴在第一象限内，随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． 【变式题5-2】.（2026·贵州安顺·二模）图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要________； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）由时间=温差÷升温速度，求出加热至时间； （2）由（1）得当时，，因为降温过程为反比例函数，所以将代入中，求出，最后写出解析式； （3）分升温、降温两段，分别算出两段水温不低于时对应的起止时间，整理得，最后求总时长． 【详解】（1）解：升温总温差：， 用时：； （2）由（1）得停止加热点坐标为， ∵降温时，水温是通电时间的反比例函数， ∴设降温过程中，即时，水温关于通电时间的函数表达式为， 把代入中得：， 解得：， ∴在水温下降的过程中，水温关于通电时间的函数表达式为； （3）在升温段，即时， ∵水温从升到时所用时间为， ∴当时，水温不低于， 在降温段，即时， ∵当时，， ∴当时，水温不低于， 综上所述：当时，水温不低于， ∴水温不低于的时长为． 【点睛】升温阶段和降温阶段共用分界点是解题关键，把“温度不低于”转化为函数取值范围，分段求解自变量取值,再计算时长，是函数应用题常用方法． 【变式题5-3】.（2026·安徽马鞍山·三模）综合与实践 【项目主题】探究智能物流分拣中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力 【实践小组】某校初中科技社团 智能分拣是现代物流核心作业环节，分拣效率指设备每秒处理包裹的数量（件）．某校初中科技社团开展实践活动，探究不同设备分拣效率、温度对效率的影响，用数学模型解决物流实际问题． 【项目准备】 ①．设备选取：3种智能分拣设备（桌面小型分拣机、皮带中型分拣机、交叉带大型分拣机），分别记为设备A、设备B、设备C； ②．任务设定：选取同一批包裹分拣任务，该任务的总包裹量固定，记为（单位：件）； ③．实验原理：在标准环境下，设备完成任务的时间（单位：）与分拣效率（单位：件）成反比例关系，（为定值，，）． ④．实验数据： 设备类型 标准分拣效率（件/s） 完成时间 设备A（小型分拣机） 5 100 设备B（中型分拣机） 10 设备C（大型分拣机） 20 25 【项目探究】 (1)根据实验原理，该分拣任务的总包裹量________，________； (2)在实际作业中，当时，设备的实际分拣效率、与环境温度（）满足一次函数关系：，，若将设备A和设备B组成联合分拣组同时处理该任务，总效率为两者实际效率之和．求当环境温度为时，该联合分拣组完成总包裹量所需的时间； (3)设备C的实际分拣效率与环境温度（）满足：，若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中环境温度为时联合分拣组的完成时间，求环境温度（）的取值范围． 【答案】(1)500；50 (2) (3) 【分析】（1）将设备A的数据代入求出M的值，进而将设备B的数据代入即可求出a的值； （2）将分别代入，，进而求出总效率，根据即可求出所需时间； （3）根据题意列不等式求解，结合作答即可． 【详解】（1）解：将设备A的数据代入得：，解得：； 进而将设备B的数据代入得：； （2）解：当时，，， 总效率（件）， 所需时间． 答：所需时间为； （3）解：由题意，得， 解不等式，得， 结合，得． 答：环境温度（）的取值范围是． 【题型6】经济生活类反比例应用 1.核心知识点 总价、单价、数量的关系；反比例建模；实际取值范围 2.解题方法技巧 ①从题干中提取总预算、总货款等固定总量，确定单价与数量等变量的反比例关系； ②设元列出反比例函数解析式； ③根据价格上限、数量限制等条件，求解对应的取值范围或具体数值。 【例题6】.（2026·江苏南京·二模）某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个． (1)求与的函数表达式； (2)若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 【答案】(1) (2) 5000个 【分析】（1）先根据题意设出函数形式，因为材料成本为常数，加工成本与x成反比例，所以可设，其中b为材料成本，k为反比例系数，将已知的两组x、y对应值代入所设函数，得到关于b和k的二元一次方程组，解方程组求出b和k的值，即可得到y与x的函数表达式． （2）把代入已求出的函数表达式，得到关于x的分式方程，解方程即可求出对应的生产数量． 【详解】（1）解：根据题意，加工成本与x成反比例，材料成本固定， 因此设函数表达式为： ，其中是单个的加工成本，是固定的材料成本． 将和分别代入得方程组： ， 两式相减消去得：，解得， 再代入得． 因此与的函数表达式为：； （2）解：把代入函数表达式： ， 整理得，解得． 答：应生产个双肩包． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·江西上饶·期末）某工厂生产的一种机器零件，其每个零件的生产成本（元）与生产数量（个）之间近似满足反比例函数关系． (1)已知生产100个零件时，每个零件的生产成本为50元，求关于的函数解析式； (2)若要将每个零件的生产成本控制在30元以内（不包含30元），那么至少需要生产多少个零件？ 【答案】(1) (2)167个 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意列出函数解析式； （2）根据反比例函数的性质解题即可． 【详解】（1）解：设关于的反比例函数解析式为， 当时，， 将其代入函数解析式可得， 关于的函数解析式为； （2）解：当时，代入可得， 解得， 时随的增大而减小，且要将生产成本控制在30元以内（不包含30元）， 需要大于， 又为零件的生产数量，应为正整数， 至少为167，故至少需要生产167个零件． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·上海·期中）双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 【答案】(1)100， (2)打6折促销，优惠100元 (3)当时，甲商场更优惠；当时，乙商场更优惠． 【分析】本题考查了反比例函数的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意、从题目中得出反比例函数的模型． （1）把代入中即可求得，然后根据始终为0.4可得与m的关系； （2）根据（1）的结论和图象即可得出结果； （3）先根据（2）题的促销方案求出在两家商场购买花钱一样多时的的值，再结合图象分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入中，得， 由于始终为0.4，即， ； 故答案为：100，； （2）解：由（1）及优惠率的含义可知：当购买总金额都为元，且在的条件下时 甲家商场采取的促销方案是：打6折促销， 乙家商场采取的促销方案是：优惠100元， 故答案为：打6折促销，优惠100元； （3）解：由（2）题可知， 当时，甲家商场需花元，乙家商场需花元， 当时，解得，即当时，在两家商场购买花钱一样多， 再由图象易知，当时，乙商场更优惠；当时，甲商场更优惠． 【变式题6-3】.（2026·贵州遵义·一模）为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)5； (3) 【分析】()设反比例函数的解析式为，将点代入解析式求解，即可解题； ()将代入()中求出的解析式求解，即可解题， ()把代入()中求出的解析，再根据反比例函数的性质在第一象限，随的增大而减小，即可解答． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：将代入()中求出的解析式: ， ∴当日销售单价为元时，对应的日销售量为套； （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， ∵， ∴在第一象限，随的增大而减小， ∴的取值范围为 【压轴素养题型】 【题型7】分段函数实际问题 1.核心知识点 分段函数的意义；反比例函数与一次函数解析式求解；分段计算 2.解题方法技巧 ①分析题意，明确不同阶段对应的函数类型，找准分段点； ②分别在各段定义域内，利用待定系数法求出对应的函数解析式； ③解决具体问题时，先判断所属阶段，再代入对应解析式计算。 【例题7】.（2026·河南洛阳·三模）如图是某饮水机通电开机后，水温与开机时间（分）之间的关系图象，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例，当水温降至时，饮水机又自动开始加热……，重复上述过程． (1)当时，求水温关于开机时间（分）的一次函数解析式． (2)求的值． (3)上午（水温），饮水机开机通电后到中午，水温共有几次达到? 【答案】(1) (2) (3)水温共有次达到 【分析】本题考查一次函数、反比例函数的实际应用与周期规律探究，熟练运用待定系数法求函数解析式、结合周期计算次数是解答本题的关键． （1）利用一次函数待定系数法，代入图像已知两点坐标、，求解，确定时的一次函数解析式； （2）水温下降阶段为反比例函数变化，先用定点求出反比例函数表达式，再代入，算出对应的自变量数值即为t； （3）先算出单次循环周期时长，再计算到的总时长，通过除法求周期个数与剩余时间，结合周期规律统计水温达到的总次数． 【详解】（1）解：由图象可知，当时间时，；当时间时，， 当时，设， 将、分别代入， 得， 解得， 所以温度关于开机时间（分）的函数关系式为； （2）解：由图象知当时，在水温下降过程中，水温是关于开机时间（分）的反比例函数， 设， 把点代入，得 解得， ， 当时，， 解得， ∴； （3）解：结合图象，可知每分钟图象重复出现一次，到经历分钟， ， 共经历了个周期余分钟， 所以水温共有次达到． 【变式题7-1】.（2026·山东枣庄·一模）某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为时，接通电源，水温（）与时间（）的关系如图所示． (1)分别求出在一个循环内水温上升和下降阶段与之间的函数关系式； (2)求在一个循环内水温不低于的时长． 【答案】(1)； (2)分钟 【分析】（1）根据函数图象分为当时和当时，分别求出函数关系式即可； （2）分别求出当时，，解得；，解得；然后相减即可； 【详解】（1）解：水温上升时，即当时，设关于的函数关系式为， 由图象可得：， 解得：， ； 水温下降时，即当时，设关于的函数关系式为， 由图象可得：，解得：， 关于的函数关系式为； （2）解：当时，，解得； ， 解得， 在一个循环内水温不低于的时间为（分钟） 【变式题7-2】.（2026·贵州遵义·一模）心理学家研究发现，一般情况下，一堂40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化、开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中，分别为线段，为双曲线的一部分）． (1)求段反比例函数的解析式； (2)开始上课后第六分钟时与第三十二分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ 【答案】(1) (2)开始上课后第六分钟时学生的注意力更集中 【分析】（1）利用待定系数法可求出段反比例函数解析式，进而得出答案； （2）利用待定系数法可求出段一次函数解析式，再把，代入段解析式求出对应的y值，把，代入段解析式求出对应的y值，进行比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：设段反比例函数解析式为 ， 把点 代入得 ，解得 ， ∴段反比例函数解析式为： ； （2）解： 设段解析式为 ， 把，，代入得 ，解得 ， 即段解析式为 ， 把，代入段解析式得 ， 把，代入段解析式得 ， 因为 ， 因此开始上课后第六分钟时学生的注意力更集中． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·河北石家庄·期中）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 【答案】(1)线段的函数解析式为，定义域为； (2)双曲线段的函数解析式为，定义域为； (3)12 (4)1 【分析】（1）将点与代入函数解析式，由待定系数法求解即可； （2）设出双曲线段的函数解析式，再将点代入函数解析式求解即可； （3）分别求解出升温阶段与恒温系统关闭阶段，温度为的时间，再计算时常即可； （4）求出现在符合光照和温度的时间，进而根据要求即可解答． 【详解】（1）解：设线段的函数解析式为， ∵点与在线段上， ∴，解得， ∴线段的函数解析式为，定义域为； 故答案为：，； （2）解：双曲线段的函数解析式为， ∵点在双曲线上， ∴，解得， ∴双曲线段的函数解析式为， ∵当时，可得，解得， ∴定义域为； 故答案为：，； （3）解：∵线段的函数解析式为， 令，可得，解得， 又∵双曲线段的函数解析式为， 令，可得，解得， ∴从3时开始到15时，温度不低于，即时长为时； 故答案为：12； （4）解：由题意，日照时间为，共10小时， 需保证植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于， ∵该大棚在时内，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为8小时，不满足条件； 故推迟1小时时，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为9小时，满足条件 故至少推迟1小时，能满足上述要求． 故答案为：1． 【题型8】方案可行性判断类应用 1.核心知识点 反比例函数性质；不等式求解；方案验证 2.解题方法技巧 ①先建立反比例函数模型，得到变量之间的对应关系； ②根据题干给出的限制条件，列出不等式，求解变量的取值范围； ③将待判断的方案代入，验证是否满足所有限制条件，得出是否可行的结论。 【例题8】.（2025·江苏南京·一模）立竿见影． 如图①，在平地上竖立一根直竿，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹（直竿影子顶端的轨迹）在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图②所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索． (1)某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置如图①所示，则他的这次观测大约在__________季节．（填“春夏”或“秋冬”） (2)月日，乙同学从到每隔标记一次影端的位置． ①当天的影端轨迹最接近图②中的哪条线？ ②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理． (3)如图③，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿的影端轨迹为正东西向的直线”，丁同学提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向（俯视图如图④所示），影端轨迹有何变化？ ①在图④中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹； ②已知到直线的距离为，斜坡坡角为，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，此时影端落在斜坡上的处，求到地平面的距离（精确到）． （参考数据：，．） 【答案】(1)秋冬 (2)①； ②方案：选用相距正午等时间（如上午和下午）的两处标记点， 道理：由图②可知，双曲线是轴对称图形，对称轴为过点的正南北向的直线；选用相距正午等时间的两处标记点，则两处标记点关于双曲线的对称轴对称，连接两处标记点即可确定出正东西方向． (3) ①如图所示，落在坡面上的影端轨迹如图④粗线部分即为所求： ② 【分析】本题考查了反比例函数的应用、解直角三角形的应用、几何体的俯视图，理解题意是解题的关键． （1）根据题意，结合图①和图②即可得出答案； （2）①根据月日在春分日和夏至日之间，结合图②即可得出答案；②观察图②可知双曲线为轴对称图形，对称轴为过点的正南北向的直线，故选择相距正午等时间的两处标记点，即可解答； （3）①由题意得，直竿的影端轨迹为正东西向的直线，则影端轨迹的俯视图与夹角为°的线段，据此即可在图④中画出落在坡面上的影端轨迹；②设点到直线的垂足为点，则，由斜坡坡角为，即，设于点，设，则，由斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向得，，则，，进而根据，列方程，即可求解． 影端轨迹可得，三点共线，作于点，由题意得，，再利用解直角三角形的知识即可求解． 【详解】（1）解：由图①可知，竿影顶端的标记点在和标记点的东北方向， 结合图②可知，他的这次观测大约在秋冬季节． 故答案为：秋冬． （2）解：①月日在春分日和夏至日之间， 结合图②可知，当天的影端轨迹最接近图②中的； ②略 （3）解：①略 ②如图，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，到直线的距离为， ∴， ∴； 设于点，设，则 如图， ∵斜坡坡角为，即， ∴， ∴ ∵斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向 ∴， ∴ ∴ ∴ 解得： 答：到地平面的距离为． 【变式题8-1】.（2024·浙江台州·三模）某综合实践小组准备研究心率（每分钟心跳次数）与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系，用实测心率占最大心率的百分比（也叫相对心率）来描述运动后的即时心率与跳绳持续时间的关系（最大心率年龄）．该小组在九年级学生中随机抽取了20位男生（年龄都是16岁），测试了跳绳持续时间与相对心率，通过计算平均数后得到的数据如下表： 跳绳持续时间（单位：秒） 0 30 60 90 140 … 平均相对心率（%） 40 60 70 76 82 … (1)该小组讨论认为，一次函数、二次函数、反比例函数都不能很好地表示随变化的规律，请你说明理由． (2)该小组请教体育老师和保健医生后知道，随着跳绳持续时间增加，平均相对心率随之增加且增加的速度越来越慢．他们计算表中的值，画出散点图如下图所示，发现是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式． (3)该小组查阅资料发现： 热身运动合适的心率范围是最大心率的； 减脂运动合适的心率范围是最大心率的； 有氧耐力运动（锻炼心肺功能）合适的心率范围是最大心率的； 无氧耐力运动合适的心率范围是最大心率的，从健康角度考虑，相对心率不应超过． 根据这些信息，请你帮学校设计一套适合男生跳绳持续时间的训练方案． 【答案】(1)解：由表格数据可知： 当自变量增加值相同时，平均相对心率增加值不相同，所以该函数不是一次函数； 当自变量增加值相同时，相邻的平均相对心率增加值的差不相同，所以该函数不是二次函数； 当自变量与函数值的乘积不是一个定值，所以该函数不是反比例函数（说理方法不唯一）． (2) (3)方案设计如下： 连续跳绳是热身运动；连续跳绳是减脂运动； 连续跳绳是有氧耐力运动；连续跳绳是无氧耐力运动． 从健康角度考虑，连续跳绳时间不要超过5分钟，即连续跳绳5分钟后需要停下休息． 【分析】（1）根据一次函数、反比例函数、二次函数的的图象与性质判断作答即可； （2）设，分别把代入，计算求解，进而可得结果； （3）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；根据样本估计总体，全校男生跳绳中的相对心率与持续跳绳时间的关系也符合这一变化规律，然后设计方案即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， 分别把，代入，得，， 解得：， ． （3）解：． ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 可以估计全校男生跳绳中的相对心率与持续跳绳时间的关系也符合这一变化规律． 方案略． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的的图象与性质，反比例函数解析式等知识．熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的的图象与性质，反比例函数解析式是解题的关键． 【变式题8-2】.（2025·浙江温州·二模）某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． (1)求材料加热到的时间． (2)求材料自然降温时，关于的函数表达式． (3)已知该工艺品操作时温度需保持在（包括，），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费元；恒温阶段每分钟需花费元．（注：自然降温阶段不产生成本） 【答案】(1)20分钟 (2) (3) 由题意可知，加热时长为分钟． 恒温阶段（分钟）， 费用为：（元）， 间歇加热工作：对于，令，得， 除第一次加热到需要分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要分钟，一天小时中，加热时间为（分钟）， 费用为：（元）， ∵， ∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本． 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式，然后把时代入即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知加热时，关于的函数为一次函数， ∴可设解析式为， 将点，代入，得 ，解得， ∴关于的函数解析式为， 当时，，解得， ∴第一次加热到时间为分钟； （2）解：由题意可设加热后关于的表达式为， 将代入，得， ∴关于的表达式为； （3）略 【变式题8-3】.（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）为加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案． 【方案一】如图，①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长）． 【方案二】如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长． (1)方案一中，若大视力表中“”的高是，直接写出小视力表中相应“”的高度是______． (2)方案二中，如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． (3)小明选择【方案一】制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力表上视力值和该行字母的高度之间的关系是一种函数模型，视力表上部分视力值和字母的高度的部分对应数据如表所示： ①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值与字母的高度（说明理由），并求出视力值与字母高度之间的函数关系式； 位置 视力值 的值（） 第1行 第5行 第8行 第14行 ②若小明的视力值是，则他能看清的最小的字母的高度是______． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，反比例函数的应用，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键， （1）证明，得，代入数据求解，即可得解； （2）如图，作于点，延长线交于点，证明，得，代入数据求解，即可得解． （3）①由视力值V与字母高度a的乘积是定值，得到视力值V与字母高度a成反比例函数关系，用待定系数法即可求出函数关系式． ②把，代入，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知， ， 又， ， ， 由题意知， ， 解得， 即小视力表中相应“”的高是． 故答案为：． （2）解：如图，如图，作于点，延长线交于点， 由题意知，， ， ∴， ， ， ， ， ， 由题意知， ， ， ， ∴镜长至少为． （3）解：①∵视力值V与字母高度a的乘积是定值7， ∴视力值V与字母高度a成反比例函数关系． 设， 把，代入得到， ∴视力值V与字母高度a的函数关系是， ②把，代入，得， ∴则他能看清的最小的字母的高度是． 故答案为：． 易错点 1、混淆正比例与反比例关系，误将“总量固定，两变量此消彼长”判断为正比，导致函数关系式列错。 2、忽略实际问题中自变量的取值范围，仅考虑数学上的，忽略正数、整数、上限等实际限制，导致结果不符合现实意义。 3、跨学科应用中记错物理公式，或单位未统一就直接代入计算，导致结果出错。 4、分段函数问题中搞错分段点，或代入了错误分段的解析式，导致计算结果错误。 重点 1、从实际问题中抽象反比例函数关系，建立函数模型，确定函数解析式。 2、工程、行程、物理、经济等常见类型反比例函数应用的解题思路与步骤。 3、结合实际意义确定自变量的取值范围，利用反比例函数性质解决取值范围与方案判断问题。 难点 1、反比例函数与一次函数结合的分段实际问题，利用数形结合分析方案优劣。 2、跨学科情境下等量关系的提取与数学模型的建立。 3、多限制条件下的方案设计与优化，整数解的枚举与筛选。 一、单选题 1．古代杠杆工具“踏碓”利用力矩平衡工作，阻力与阻力臂的乘积保持不变，动力随动力臂变化．下列说法错误的是（    ） A．与成反比例关系 B．越长，越小 C．每增加，一定减少固定值 D．动力臂增大，动力明显减小 【答案】C 【分析】根据题意推出动力与动力臂为反比例函数关系，结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：设（），由题意得：， ∴，即，是关于的反比例函数． ∵符合反比例函数定义，∴A选项正确． ∵，反比例函数随增大而减小，∴越长越小，B选项正确． 举例验证C选项：设，当时，；增加变为时，，减少量为；再增加变为时，，减少量约为，减少值不是固定值，因此C选项错误． 由反比例函数性质可知，增大时减小，即动力臂增大，动力明显减小，因此D选项正确． 2．盐城市学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述甲、丁两所学校情况的点，恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中，成绩优秀人数最多的学校是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【详解】解：根据题意可知，的值即为该校的成绩优秀人数． 描述甲、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， 甲、丁两所学校的的值相同，即成绩优秀人数相同． 描述乙学校情况的点在反比例函数图象上方，描述丙学校情况的点在反比例函数图象下方， 乙学校的的值最大，即成绩优秀人数最多． 3．某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强是时，木板面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设反比例函数关系式为，然后代入已知点求出比例系数，再将压强值代入关系式，算出对应的木板面积． 【详解】解：设该反比例函数的关系式为，将代入， 可得， 则反比例函数的关系式为， 当，． 二、填空题 4．将一瓶氯化钠溶液加水稀释的过程中，氯化钠的浓度与溶液总体积之间满足反比例函数关系，其图象如图所示，当溶液总体积为时，氯化钠的浓度为_____． 【答案】2 【分析】根据函数图象求出反比例函数的解析式，令，求解y． 【详解】解：已知氯化钠的浓度与溶液总体积之间满足反比例函数关系， ∴设y与x之间的函数解析式为， 由图象可得函数图象过点， ∴， 解得， ∴， 令，则， ∴当溶液总体积为时，氯化钠的浓度为． 5．冰箱制冷功率P与工作时间t成反比（总耗电量固定）．若时，，则P与t之间的关系式为________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义设出函数解析式，再利用待定系数法求出比例系数，即可得到与的关系式． 【详解】解：∵与成反比， ∴设， ∵时，， ∴， 因此与之间的关系式为． 6．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为____． 【答案】 【分析】设反比例函数的解析式为，代入得出反比例函数的解析式为： ，当时得出，得出，得出，由对称的性质，得，进而求得的长． 【详解】根据题意可知， ． 设反比例函数的解析式为 将点 代入，得 ． 反比例函数的解析式为： ∵， ∴当时， ． 解得．经检验，是分式方程的解． ∴ ． ∴． 由对称的性质，得． ∴ 三、解答题 7．为打造便民宜居的公共空间，某社区启动了口袋公园提质改造项目，现对一块面积为的休闲广场铺装地砖． (1)若每块地砖的面积为（单位：），所需地砖总块数为，请直接写出关于的函数表达式； (2)结合景观设计方案，施工方采用白色、灰色两种同规格的正方形防滑地砖进行交错铺装，每块地砖的边长均为．已知白色地砖的数量比灰色地砖数量的倍少块．求白色和灰色地砖各用了多少块． 【答案】(1) (2)白色地砖块，灰色地砖块 【分析】（1）利用反比例关系得到关于的函数表达式即可； （2）先根据正方形面积公式算出单块地砖面积，进而得到总地砖数量，再结合两种地砖的数量关系，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，广场总面积为，故， 整理得，其中． （2）解：已知地砖是边长为的正方形，因此单块地砖面积为：， 所需地砖的总块数为：（块）， 设灰色地砖数量为块，则白色地砖数量为块， 根据题意列方程得：， ， 解得， 故白色地砖数量为：（块）， 故白色地砖用了块，灰色地砖用了块． 8．某生物兴趣小组在实验室用一个装有培养液的锥形瓶培养一种单细胞藻类．培养过程中发现，在一定范围内，平均每亿个细胞占有的培养液体积（单位：升）是瓶内藻类细胞总数量（单位：亿个）的反比例函数．兴趣小组成员根据收集的实验数据绘制出如下图象． (1)求与之间的关系式； (2)当瓶内藻类细胞总数量不少于6亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是多少升？ 【答案】(1) (2)当瓶内藻类细胞总数量不小于6亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是升． 【分析】（1）设与之间的关系式为，由函数图象可知点的坐标为，用待定系数法求出反比例函数的解析式； （2）把代入反比例函数的解析式即可求出，由反比例函数的性质可知当时，随的增大而减小，可得的最大值为． 【详解】（1）解：设与之间的关系式为， 将代入， 可得：， ， 与之间的关系式为； （2）解：当时， 可得：， ， 当时，随的增大而减小， 当时，，即的最大值为． 答：当瓶内藻类细胞总数量不小于6亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是升． 9．浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度 8.5 14 10 1 (1)__________，__________； (2)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再利用求函数值的方法解答即可； （2）根据反比例函数的增减性进行解答即可． 【详解】（1）液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数， 设反比例函数解析式为， 把 ，代入得， ， 当 时， ； 当时， ； （2）当时， ， 当时， ， ， 当时，随着的增大而减小， ． 10．最近火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强 … … 接触面积 … … (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式； (2)若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？ 【答案】(1) (2)9.6×10-3 m2 【分析】（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系．设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为，利用待定系数法求解即可． （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． 将代入， 得， ∴地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． （2）解：将代入时， 则， ∴当这段玻璃通道能承受的最大压强为时，这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为平方米． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 用反比例函数解决问题 【本节预习目标】 1.能从实际问题中抽象出反比例函数关系，建立反比例函数模型，正确确定函数解析式。 2.能结合反比例函数的图象与性质，分析实际问题中变量的变化规律，求解变量的取值范围。 3.掌握工程、行程、物理、经济、几何等常见类型的反比例函数应用，熟练解决相关实际问题。 4.能解决反比例函数与一次函数结合的分段实际问题，提升数形结合与数学建模能力。 5.能根据实际问题的限制条件进行方案设计与可行性判断，体会数学的应用价值。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 反比例函数基础 反比例函数的三种表达形式、图象与性质、的几何意义 以反比例函数的性质为工具，将实际问题转化为反比例函数模型，利用函数性质求解变量的取值与范围 一次函数实际应用 一次函数建模、分段函数、方案选择类问题解题思路 两类函数实际应用的核心都是“建模→求解→验证”；本节新增反比例+一次函数的分段综合应用，方法可迁移类比 常见数量关系 工程、行程、销售、几何图形的基本公式 当公式中的总量为定值时，两个变量即成反比例关系，是本节建模的核心依据 知识点1：反比例函数实际问题的建模 1.一般解题步骤 ①审题：提取题干中的常量与变量，明确两个变量之间的数量关系； ②建模：设出变量，根据等量关系列出等式，整理为（为常数，）的标准形式； ③求解：代入已知量，计算未知量或参数的值； ④验答：检验结果是否符合实际意义，写出最终答案。 2.自变量的取值范围 纯数学问题中自变量；实际问题中需结合具体情境限定： 长度、速度、时间、价格、数量等变量必须为正数； 受墙长、材料总量、价格上限等条件限制时，需进一步求出自变量的取值范围。 知识点2：常见反比例函数实际应用类型 1.工程与行程类 工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例； 路程一定时，行驶速度与行驶时间成反比例。 2.物理跨学科类 压力一定时，压强与受力面积成反比例； 电压一定时，电流与电阻成反比例； 杠杆平衡时，力与对应的力臂成反比例。 3.经济与生活类 总金额一定时，商品单价与购买数量成反比例； 总工作量一定时，人均工作量与参与人数成反比例。 4.几何图形类 图形面积一定时，对应的底与高、长与宽成反比例。 【基础巩固题型】 【题型1】实际问题中反比例函数关系式的建立 1.核心知识点 反比例函数的定义；常见数量关系；数学建模思想 2.解题方法技巧 ①从题干中提取“总量固定”的关键信息，确认两个变量成反比例关系； ②设出对应变量，根据基本数量关系列出等式，整理为的标准形式； ③结合实际意义标注自变量的取值范围，确保变量为正且符合现实逻辑。 【例题1】.（2026·广西南宁·三模）已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·河南信阳·期中）如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）与物距（蜡烛到小孔的距离）x（单位：）成反比例关系，当时，，则y关于x的关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·广西梧州·期末）某校开放周筹备期间，小杨接到一项任务：将一批纪念徽章分发给志愿者．他们发现，每天分发的数量与分发天数成反比例关系．已知如果每天分发50枚，则恰好按计划天数完成；如果每天分发75枚，则可以提前2天完成．则每天分发数量y（枚）与分发天数x（天）之间的函数关系式为_________ 【变式题1-3】.（2026·内蒙古呼和浩特·一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”为：阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，则动力关于自变量动力臂的函数解析式为_____．      【题型2】表格数据的反比例关系验证与求值 1.核心知识点 反比例关系的判定；待定系数法；代入求值 2.解题方法技巧 ①计算表格中每组对应变量的乘积，若乘积为定值，则可判定为反比例关系； ②选取一组数据计算比例系数，写出函数解析式，再用其他组数据验证； ③代入已知变量的值，求解对应的未知变量。 【例题2】.（2026·山西长治·三模）为了研究“电热水壶功率与烧开一壶水所需时间”的关系，物理小组在电压恒定的条件下，记录了5个不同功率的电热水壶烧开同样一壶水的实验数据，如下表： 功率x（千瓦） 0.8 1.0 1.6 2.0 2.5 时间y（分钟） 25 20 12.5 10 8 经分析，y与x满足某种函数关系，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：）的函数，下表记录了一组实验数据： V（单位：） 1 1.5 2 2.5 3 p（单位：kPa） 96 64 48 38.4 32 p与V之间的函数关系式可能是________． 【变式题2-2】.（2026·江苏扬州·中考真题）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【变式题2-3】.（2026·山东临沂·二模）教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如下表： （分钟） 0 2 5 7 10 14 17 20 … 30 50 80 100 70 50 35 … 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 【题型3】实际问题的反比例函数图象识别 1.核心知识点 反比例函数的图象特征；自变量的实际取值范围 2.解题方法技巧 ①先根据题意列出函数关系式，确定函数类型为反比例函数； ②结合自变量的实际意义，确定自变量取值为正，对应图象为第一象限的一支曲线； ③根据函数的增减性和变化趋势，匹配对应的图象选项。 【例题3】.（2026·江苏南京·二模）向体积一定的水中加入质量为的糖，充分溶解后（体积的变化忽略不计）．含糖率等于糖的质量与总质量的比值，甜度系数等于单位体积的水中所含糖的质量．下列图像中，能大致反映、关于的关系的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（24-25九年级上·河北衡水·期中）矩形的面积为4．两邻边长分别为x，y，则y与x关系的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（24-25八年级上·上海崇明·期中）已知矩形的面积为5，它的长与宽之间的关系用图像大致可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江苏泰州·期末）某项工作，一个人单独完成需10天．若m个人共同完成需n天，每人每天完成的工作量相同，选取数对，在坐标系中进行描点，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型4】工程与行程类反比例应用 1.核心知识点 工作总量=工作效率×工作时间；路程=速度×时间；反比例关系 2.解题方法技巧 ①先确定固定不变的总量（工作总量、路程），明确两个相关变量； ②根据基本公式变形，得到反比例函数关系式； ③代入已知量求解未知量，计算前注意统一单位。 【例题4】.（2026·山西太原·二模）无人驾驶拖拉机匀速行驶时，发动机的输出功率保持恒定，牵引力（单位：）与速度（单位：）满足反比例函数关系．已知某无人驾驶拖拉机进行耕地作业，当匀速行驶速度为，牵引力．为保证耕地的效果，牵引力不能低于，则拖拉机速度（单位：）的最大值为_______． 【变式题4-1】.（2026·广东广州·三模）某天 ，小芳在家通过某打车软件打车前往火车站搭乘当天 的动车．记汽车的行驶时间为 （单位： ），行驶的平均速度为 （单位： ）， ．根据经验， ， 的对应值如表： … 20 30 40 50 60 … 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 (1)求平均速度 关于行驶时间 的函数解析式． (2)已知小芳从开始打车到上车用了 ，并且她想在动车出发前半小时到达火车站，若汽车的平均速度为 ，小芳能否在预定的时间内到达火车站？请说明理由． (3)若汽车到达火车站的行驶时间 满足 ，求平均速度 的范围． 【变式题4-2】.（2026·河南洛阳·三模）儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（）． (1)求t与x之间的函数关系式； (2)要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？ (3)已知一个进水管的注水速度为，则此游泳池的容积是多少？若要注入的水，需要同时打开6个进水管多长时间？ 【变式题4-3】.（25-26八年级下·上海普陀·期末）随着低空物流的发展，城市配送无人机广泛投入使用．某物流公司购买了一批同一型号的物流无人机，用于开展一项新型配送业务．物流公司收到订单后，用满电电能的无人机从仓库出发运送货物至指定地点，以下为该型号物流无人机的相关资料． 资料1 无人机的相关数据如图所示    资料2 已知在规定载重范围内，忽略空气阻力等干扰因素，无人机匀速飞行的速度（单位：）可以看作其载重（单位：）的一次函数，下表为此无人机载重情况与相应飞行速度的部分数据． 载重（单位：） 0 2 4 6 8 10 飞行速度（单位：） 72 69.84 67.68 65.52 63.36 61.2 资料3 已知无人机飞行时功率恒定，每公里消耗电能（单位：）与其飞行速度（单位：）成反比例，当飞行速度为时，每公里消耗电能为． 根据上述资料，回答下列问题： (1)根据资料3，每公里消耗电能关于飞行速度的函数表达式为_______________； (2)根据资料1和2，飞行速度关于其载重的函数表达式为_______________，自变量m的取值范围是_______________； (3)该物流公司收到的一份订单，需要给距离仓库的某地配送重量为的货物，请结合以上资料，判断该无人机能否完成这份订单？（在电能耗尽前能送到指定地点即可完成订单，不考虑其它因素） 【培优提升题型】 【题型5】物理跨学科反比例应用 1.核心知识点 杠杆原理、欧姆定律、压强公式等物理规律；反比例函数建模 2.解题方法技巧 ①准确回忆对应物理公式，明确公式中的常量与变量； ②将物理公式变形，得到因变量关于自变量的反比例函数表达式； ③结合物理限制条件，求解变量的取值范围，结果需符合物理常识。 【例题5】.（2026·山东东营·模拟预测）在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关S后，移动滑动变阻器的滑片，电流I与电阻R成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点P的坐标为，则电源电压U为（提示：）________． 【变式题5-1】.（2026·贵州遵义·二模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为的容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)在（1）的条件下，实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围． 【变式题5-2】.（2026·贵州安顺·二模）图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要________； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【变式题5-3】.（2026·安徽马鞍山·三模）综合与实践 【项目主题】探究智能物流分拣中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力 【实践小组】某校初中科技社团 智能分拣是现代物流核心作业环节，分拣效率指设备每秒处理包裹的数量（件）．某校初中科技社团开展实践活动，探究不同设备分拣效率、温度对效率的影响，用数学模型解决物流实际问题． 【项目准备】 ①．设备选取：3种智能分拣设备（桌面小型分拣机、皮带中型分拣机、交叉带大型分拣机），分别记为设备A、设备B、设备C； ②．任务设定：选取同一批包裹分拣任务，该任务的总包裹量固定，记为（单位：件）； ③．实验原理：在标准环境下，设备完成任务的时间（单位：）与分拣效率（单位：件）成反比例关系，（为定值，，）． ④．实验数据： 设备类型 标准分拣效率（件/s） 完成时间 设备A（小型分拣机） 5 100 设备B（中型分拣机） 10 设备C（大型分拣机） 20 25 【项目探究】 (1)根据实验原理，该分拣任务的总包裹量________，________； (2)在实际作业中，当时，设备的实际分拣效率、与环境温度（）满足一次函数关系：，，若将设备A和设备B组成联合分拣组同时处理该任务，总效率为两者实际效率之和．求当环境温度为时，该联合分拣组完成总包裹量所需的时间； (3)设备C的实际分拣效率与环境温度（）满足：，若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中环境温度为时联合分拣组的完成时间，求环境温度（）的取值范围． 【题型6】经济生活类反比例应用 1.核心知识点 总价、单价、数量的关系；反比例建模；实际取值范围 2.解题方法技巧 ①从题干中提取总预算、总货款等固定总量，确定单价与数量等变量的反比例关系； ②设元列出反比例函数解析式； ③根据价格上限、数量限制等条件，求解对应的取值范围或具体数值。 【例题6】.（2026·江苏南京·二模）某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个． (1)求与的函数表达式； (2)若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 【变式题6-1】.（25-26九年级上·江西上饶·期末）某工厂生产的一种机器零件，其每个零件的生产成本（元）与生产数量（个）之间近似满足反比例函数关系． (1)已知生产100个零件时，每个零件的生产成本为50元，求关于的函数解析式； (2)若要将每个零件的生产成本控制在30元以内（不包含30元），那么至少需要生产多少个零件？ 【变式题6-2】.（25-26八年级上·上海·期中）双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 【变式题6-3】.（2026·贵州遵义·一模）为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 【压轴素养题型】 【题型7】分段函数实际问题 1.核心知识点 分段函数的意义；反比例函数与一次函数解析式求解；分段计算 2.解题方法技巧 ①分析题意，明确不同阶段对应的函数类型，找准分段点； ②分别在各段定义域内，利用待定系数法求出对应的函数解析式； ③解决具体问题时，先判断所属阶段，再代入对应解析式计算。 【例题7】.（2026·河南洛阳·三模）如图是某饮水机通电开机后，水温与开机时间（分）之间的关系图象，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例，当水温降至时，饮水机又自动开始加热……，重复上述过程． (1)当时，求水温关于开机时间（分）的一次函数解析式． (2)求的值． (3)上午（水温），饮水机开机通电后到中午，水温共有几次达到? 【变式题7-1】.（2026·山东枣庄·一模）某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为时，接通电源，水温（）与时间（）的关系如图所示． (1)分别求出在一个循环内水温上升和下降阶段与之间的函数关系式； (2)求在一个循环内水温不低于的时长． 【变式题7-2】.（2026·贵州遵义·一模）心理学家研究发现，一般情况下，一堂40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化、开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中，分别为线段，为双曲线的一部分）． (1)求段反比例函数的解析式； (2)开始上课后第六分钟时与第三十二分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ 【变式题7-3】.（25-26九年级上·河北石家庄·期中）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 【题型8】方案可行性判断类应用 1.核心知识点 反比例函数性质；不等式求解；方案验证 2.解题方法技巧 ①先建立反比例函数模型，得到变量之间的对应关系； ②根据题干给出的限制条件，列出不等式，求解变量的取值范围； ③将待判断的方案代入，验证是否满足所有限制条件，得出是否可行的结论。 【例题8】.（2025·江苏南京·一模）立竿见影． 如图①，在平地上竖立一根直竿，太阳每天东升西落，直竿在阳光下的影子随之变化．研究表明，南京地区的影端轨迹（直竿影子顶端的轨迹）在春分日、秋分日是正东西向的直线，在其它时候是双曲线的一支，日期与轨迹形状的对应情况如图②所示．在老师指导下，鼓楼区的几位同学在学校进行了如下探索． (1)某一天甲同学在操场上观测到竿影顶端的3处标记点，位置如图①所示，则他的这次观测大约在__________季节．（填“春夏”或“秋冬”） (2)月日，乙同学从到每隔标记一次影端的位置． ①当天的影端轨迹最接近图②中的哪条线？ ②他选用了两处标记点确定出正东西方向，请指出他确定方向的方案和道理． (3)如图③，丙同学在实验室中用灯光模拟出“在春分日，直竿的影端轨迹为正东西向的直线”，丁同学提出：在地平面上放置一个三棱柱形状的木斜坡，其下沿紧挨着竿底且指向北偏西方向（俯视图如图④所示），影端轨迹有何变化？ ①在图④中用粗线画出落在坡面上的影端轨迹； ②已知到直线的距离为，斜坡坡角为，春分日正午时分太阳光线与地平面的夹角约为，此时影端落在斜坡上的处，求到地平面的距离（精确到）． （参考数据：，．） 【变式题8-1】.（2024·浙江台州·三模）某综合实践小组准备研究心率（每分钟心跳次数）与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系，用实测心率占最大心率的百分比（也叫相对心率）来描述运动后的即时心率与跳绳持续时间的关系（最大心率年龄）．该小组在九年级学生中随机抽取了20位男生（年龄都是16岁），测试了跳绳持续时间与相对心率，通过计算平均数后得到的数据如下表： 跳绳持续时间（单位：秒） 0 30 60 90 140 … 平均相对心率（%） 40 60 70 76 82 … (1)该小组讨论认为，一次函数、二次函数、反比例函数都不能很好地表示随变化的规律，请你说明理由． (2)该小组请教体育老师和保健医生后知道，随着跳绳持续时间增加，平均相对心率随之增加且增加的速度越来越慢．他们计算表中的值，画出散点图如下图所示，发现是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式． (3)该小组查阅资料发现： 热身运动合适的心率范围是最大心率的； 减脂运动合适的心率范围是最大心率的； 有氧耐力运动（锻炼心肺功能）合适的心率范围是最大心率的； 无氧耐力运动合适的心率范围是最大心率的，从健康角度考虑，相对心率不应超过． 根据这些信息，请你帮学校设计一套适合男生跳绳持续时间的训练方案． 【变式题8-2】.（2025·浙江温州·二模）某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． (1)求材料加热到的时间． (2)求材料自然降温时，关于的函数表达式． (3)已知该工艺品操作时温度需保持在（包括，），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费元；恒温阶段每分钟需花费元．（注：自然降温阶段不产生成本） 【变式题8-3】.（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）为加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案． 【方案一】如图，①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长）． 【方案二】如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长． (1)方案一中，若大视力表中“”的高是，直接写出小视力表中相应“”的高度是______． (2)方案二中，如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． (3)小明选择【方案一】制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力表上视力值和该行字母的高度之间的关系是一种函数模型，视力表上部分视力值和字母的高度的部分对应数据如表所示： ①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值与字母的高度（说明理由），并求出视力值与字母高度之间的函数关系式； 位置 视力值 的值（） 第1行 第5行 第8行 第14行 ②若小明的视力值是，则他能看清的最小的字母的高度是______． 易错点 1、混淆正比例与反比例关系，误将“总量固定，两变量此消彼长”判断为正比，导致函数关系式列错。 2、忽略实际问题中自变量的取值范围，仅考虑数学上的，忽略正数、整数、上限等实际限制，导致结果不符合现实意义。 3、跨学科应用中记错物理公式，或单位未统一就直接代入计算，导致结果出错。 4、分段函数问题中搞错分段点，或代入了错误分段的解析式，导致计算结果错误。 重点 1、从实际问题中抽象反比例函数关系，建立函数模型，确定函数解析式。 2、工程、行程、物理、经济等常见类型反比例函数应用的解题思路与步骤。 3、结合实际意义确定自变量的取值范围，利用反比例函数性质解决取值范围与方案判断问题。 难点 1、反比例函数与一次函数结合的分段实际问题，利用数形结合分析方案优劣。 2、跨学科情境下等量关系的提取与数学模型的建立。 3、多限制条件下的方案设计与优化，整数解的枚举与筛选。 一、单选题 1．古代杠杆工具“踏碓”利用力矩平衡工作，阻力与阻力臂的乘积保持不变，动力随动力臂变化．下列说法错误的是（    ） A．与成反比例关系 B．越长，越小 C．每增加，一定减少固定值 D．动力臂增大，动力明显减小 2．盐城市学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述甲、丁两所学校情况的点，恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中，成绩优秀人数最多的学校是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强是时，木板面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．将一瓶氯化钠溶液加水稀释的过程中，氯化钠的浓度与溶液总体积之间满足反比例函数关系，其图象如图所示，当溶液总体积为时，氯化钠的浓度为_____． 5．冰箱制冷功率P与工作时间t成反比（总耗电量固定）．若时，，则P与t之间的关系式为________． 6．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为____． 三、解答题 7．为打造便民宜居的公共空间，某社区启动了口袋公园提质改造项目，现对一块面积为的休闲广场铺装地砖． (1)若每块地砖的面积为（单位：），所需地砖总块数为，请直接写出关于的函数表达式； (2)结合景观设计方案，施工方采用白色、灰色两种同规格的正方形防滑地砖进行交错铺装，每块地砖的边长均为．已知白色地砖的数量比灰色地砖数量的倍少块．求白色和灰色地砖各用了多少块． 8．某生物兴趣小组在实验室用一个装有培养液的锥形瓶培养一种单细胞藻类．培养过程中发现，在一定范围内，平均每亿个细胞占有的培养液体积（单位：升）是瓶内藻类细胞总数量（单位：亿个）的反比例函数．兴趣小组成员根据收集的实验数据绘制出如下图象． (1)求与之间的关系式； (2)当瓶内藻类细胞总数量不少于6亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是多少升？ 9．浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度 8.5 14 10 1 (1)__________，__________； (2)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 10．最近火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强 … … 接触面积 … … (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式； (2)若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $