专题1.2-1.3 反比例函数的图像与性质和用反比例函数解决问题重难点题型专训（4个知识点+14大题型+2大提高题型+自我检测）-2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦反比例函数的图象与性质、比例系数k的几何意义、解析式求解、与一次函数交点及实际应用等核心知识点，构建从基础作图与性质判断到综合几何应用、实际问题解决的递进式学习支架。 资料通过14类基础题型（如判断图象象限、求参数范围）和2类提高题型（图象平移、函数综合），结合即时训练与例题解析，培养学生几何直观（如k与图形面积关系题）、推理能力（比较函数值大小）和应用意识（如功率与时间反比例关系）。课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺。

专题1.2-1.3 反比例函数的图像与性质和用反比例函数解决问题重难点题型专训 （4个知识点+14大题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 判断(画)反比例函数图象】 7 【基础题型二 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 8 【基础题型三 判断反比例函数的增减性】 9 【基础题型四 判断反比例函数图象所在象限】 11 【基础题型五 已知反比例函数的增减性求参数】 12 【基础题型六 比较反比例函数值或自变量的大小】 13 【基础题型七 已知比例系数求特殊图形的面积】 14 【基础题型八 求反比例函数解析式】 16 【基础题型九 反比例函数与几何综合】 17 【基础题型十 根据图形面积求比例系数(解析式)】 19 【基础题型十一 一次函数与反比例函数图象综合判断】 22 【基础题型十二 一次函数与反比例函数的交点问题】 25 【基础题型十三 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 27 【基础题型十四 实际问题与反比例函数】 29 第二部分·练提高题型 【提高题型一 根据反比例函数的图像解决问题】 31 【提高题型二 一次函数与反比例函数综合应用】 34 第三部分・自我检测 知识点01 反比例函数的图象与性质 1.描点法做图 步骤 解读 图示 ①列表 自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值 ②描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点 ③连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交 2.反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图象 图象的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 【即时训练】 1．（2026九年级上 全国）某公司计划新建一个容积一定的长方体污水处理池，池的底面积与深度之间的函数表达式为．这个函数的图象大致是（   ）． A．B．C． D． 2．（2026九年级上 湖北武汉）反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 知识点02 比例系数k的几何意义 1. 过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于. 2. 连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于. 3. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 【即时训练】 1.（2026九年级上 福建莆田·周测）如图，点A在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，平行x轴，连接，若，则的面积可以是（   ） A．1 B． C． D． 2.（25-26九年级上·吉林四平·月考）如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________． 知识点03 求反比例函数的表达式 利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤 步骤 设 代 解 写 设反比例函数表达式为 把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设函数表达式，得到关于k的方程 解方程，求出待定系数k的值 写出函数表达式 【即时训练】 1．（2026九年级上 黑龙江哈尔滨·单元测试）双曲线经过点，下列各点在此双曲线上的是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南益阳·专题练习）一个反比例函数的图象经过点，则这个函数的表达式是______． 知识点04 反比例函数与一次函数图象的交点问题 1. 反比例函数与正比例函数图象的交点： 当时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当时，两函数图象无交点． 2. 反比例函数与一次函数图象的交点： 联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程．判别式两函数图象有2个交点；两函数图象有1个交点；两函数图象没有交点． 3. 观察反比例函数与一次函数的图象解不等式或： （1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标，； （2）观察图象，图象在上面的函数值大；图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集． 如图所示，当，时，的解集为或，的解集为或． 【即时训练】 1．（23-24九年级上 广西防城港）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 2．（2026九年级上 山东威海·单元测试）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 知识点05 利用反比例函数解决问题 1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围． 2. 常见反比例关系举例 （1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为； （2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为； （3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为； （4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为； （5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为． 【即时训练】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则功率与做功的时间之间的函数模型是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·吉林长春·阶段测试）如图，在功（单位：）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例函数关系．当时，的值是______． 【基础题型一 判断(画)反比例函数图象】 【例1】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【例2】（2023九年级上 北京海淀·单元测试）在平面直角坐标系中，直线与双曲线有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 1．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段测试）若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建泉州·阶段测试）定义新运算：a⊕b＝，例如：3⊕4＝，3⊕（﹣4）＝，则函数y＝5⊕x（x≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖南益阳·期中）已知，则函数和图象大致是（     ）． A．B． C． D． 4．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）已知函数y＝的图象经过点（－2，3）． （1）求k的值，并在正方形网格中画出这个函数的图象； （2）当x取什么值时，函数的值小于0? 【基础题型二 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 【例1】（25-26九年级上·上海普陀·阶段测试）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026九年级上 湖南长沙 月考）在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则的值为____________．（写出一个符合条件的值即可） 1．（25-26九年级上·山东威海·阶段检测）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 2．（24-25九年级上·辽宁丹东·开学考试）反比例函数的图像经过第二、四象限，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）反比例函数y=的图象经过点A，若A点在第二象限，则k的取值范围是__________ ． 4．（25-26九年级上·全国·单元复习）已知反比例函数． (1)若，则x的取值范围是__________； (2)若，则x的取值范围是__________； (3)若，且，则x的取值范围是__________． 【基础题型三 判断反比例函数的增减性】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（     ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 【例2】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段测试）已知反比例函数，当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段测试）下列函数中，随的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 2．（2023九年级上 广东深圳·单元测试）关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，若x越大，则对应的y值也越大 D．若、是其图象上两点，则不一定有 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中随的增大而增大的是____（填序号）． 4．（25-26九年级上·福建泉州·阶段测试）综合与实践：函数增减性的探究与应用 【阅读材料】 我们学习过，一次函数的图象是一条直线． 当时，图象从左向右上升，随的增大而增大； 当时，图象从左向右下降，随的增大而减小． 我们可以用“作差法”来证明这个性质： 设，对应的函数值分别为，． 计算差值： 因为，所以 （1）当时，，即，说明随的增大而增大； （2）当时，，即，说明随的增大而减小．这就是一次函数的增减性． 【问题探究】 (1)方法迁移 试用类似的方法证明：当时，反比例函数的增减性． (2)性质应用 我们规定：对于任意一个关于的函数，在自变量取值范围内，当时，都有，称该函数“单调递增”；当时，都有，称该函数“单调递减”．请判断：当时，函数是“单调递增”还是“单调递减”，并利用作差法证明你的结论． 【基础题型四 判断反比例函数图象所在象限】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．y随x增大而减小 D．图象与x轴有交点 【例2】（25-26九年级上·上海崇明·阶段测试）已知反比例函数，当时，的取值范围是____________． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）y关于x的函数的图象可能是（     ） A．B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段测试）如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 4．（25-26九年级上·上海崇明·阶段测试）已知某反比例函数的图像经过点． (1)这个函数的图像位于哪些象限？ (2)若、也在这个函数的图像上，求、的值． 【基础题型五 已知反比例函数的增减性求参数】 【例1】（25-26九年级上·河南周口·阶段测试）已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·河南南阳·阶段测试）已知y是关于x的反比例函数，当时，函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的m的值_________． 1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段测试）若反比例函数的图象，在每个象限内，随的增大而减小，则的取值可能为（   ） A． B． C． D．0 2．（23-24九年级上·山东日照·阶段测试）若点，，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3．（2026九年级上 上海）已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 4．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知反比例函数． (1)若点在反比例函数的图象上，则的值为______； (2)当取什么值时，在每一象限内，的值随值的增大而减小？ 【基础题型六 比较反比例函数值或自变量的大小】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）若点，在双曲线上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上 上海宝山·单元测试）如果反比例函数的图象经过点与，那么_____（填“”、“”或“”）． 1．（23-24九年级上 江西南昌·单元测试）点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段测试）已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上 内蒙古锡林郭勒·单元测试）如果函数（a为常数）的图象上有两点、，那么函数值_____．（填“”、“”或“”）． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题． (1)图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取点和点，如果，那么b、有怎样的大小关系？ 【基础题型七 已知比例系数求特殊图形的面积】 【例1】（24-25九年级上·四川巴中·期中）如图，点P是双曲线上的一个动点，过点P作轴于点A，当点P从左向右移动时，的面积（    ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．保持不变 【例2】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如下图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，轴，点C是x轴上一点，则的面积为________． 1．（23-24九年级上 云南玉溪·周测）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 2．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图是反比例函数的图像，在图像上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则四边形是一个矩形，这个矩形的面积为．根据下列要求画图，并写出理由． (1)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的平行四边形（不可为矩形）； (2)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的三角形． 【基础题型八 求反比例函数解析式】 【例1】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段测试）反比例函数的图像经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上 上海·单元测试）已知反比例函数，点在这个函数的图象上，那么当时，y随x的增大而______．（增大或减小） 1．（23-24九年级上 吉林长春·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，轴与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点D，若，则k的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 2．（25-26九年级上·河南周口·阶段测试）若点，，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是________． 4．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 【基础题型九 反比例函数与几何综合】 【例1】（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，字母“M”的五个顶点的坐标分别为．已知反比例函数． （1）当k的值为5时，图象经过字母“M”中的点_______． （2）当k的值为2时，图象与字母“M”中的线段_______有交点． 1．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，点在双曲线上，过点A作轴，垂足为C，线段的垂直平分线交于点B，，则周长的值是（     ） A．4 B． C． D． 2．（25-26九年级上·辽宁营口·开学考试）如图，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点P是矩形的对称中心，点P在y轴正半轴上，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点C，求矩形的面积． 【基础题型十 根据图形面积求比例系数(解析式)】 【例1】（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，P是反比例函数图象上的一点，轴于点A，轴于点B，若矩形的面积为2，则k的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在y轴正半轴上，菱形的面积为24，若反比例函数的图象经过点C，则k的值为________． 1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上 浙江宁波·单元测试）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（     ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·甘肃天水·阶段测试）如图，双曲线经过正方形的顶点，已知，则________． 4．（2026九年级上 河南平顶山·课后作业）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)连接，若的面积是3，求的值． 【基础题型十一 一次函数与反比例函数图象综合判断】 【例1】（25-26九年级上·山东济南·阶段测试）函数与（k为常数，且）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是______ 1．（23-24九年级上·广东湛江·课后作业）一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·阶段测试）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是 （    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京平谷·阶段测试）为了解不等式“”，明明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（2025九年级上 河南郑州·周测）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点． (1)的值为_________，的值为_______； (2)直接写出时自变量的取值范围； (3)以为边，在直线的下方作正方形，请通过计算判断点是否落在反比例函数上． 【基础题型十二 一次函数与反比例函数的交点问题】 【例1】（25-26九年级上·山东济南·阶段测试）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【例2】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为_______． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．则下列说法错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，一次函数的值小于反比例函数的值 C．将直线向上平移k个单位长度后与反比例函数的图象一定有交点 D．连接，，则的面积为12 2．（25-26九年级上·吉林长春·阶段测试）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ） A．1 B．2 C． D． 3．（25-26九年级上·山东烟台·阶段测试）如图，一次函数图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数在第一象限的图象相交于点．点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．则的面积为__________． 4．（2026九年级上 甘肃兰州）如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数、反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求线段的长． 【基础题型十三 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 【例1】（25-26九年级上·吉林长春·阶段测试）如图，直线l经过原点，且与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转度角（）后，与双曲线交于B、D两点，则四边形的形状是（     ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 【例2】（2024九年级上 广东东莞·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与双曲线交于点C．若，则k的值为______． 1．（23-24九年级上·河北保定·阶段测试）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26九年级上·山东·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则（   ） A．2 B． C． D．-2 3．（25-26九年级上·广东清远·阶段测试）如图，经过原点的直线与反比例函数的图像交于A，两点点A在第一象限，点，，在反比例函数的图像上，轴，轴，五边形的面积为，四边形的面积为，则的值为______． 4．（25-26九年级上·河南洛阳·阶段测试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，连接，且． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)过点作平行于轴的直线，交一次函数的图象于点（不与重合），交反比例函数的图象于点．若，求的值； (3)当时，直接写出的解集 ． 【基础题型十四 实际问题与反比例函数】 【例1】（25-26九年级上·上海普陀·阶段测试）已知将相同质量的金属完全浸入盛满水的杯中，金属的密度与溢出的水的体积成反比例（常见金属密度如表所示）．如果将密度为的A种金属完全浸入盛满水的杯中，测得溢出的水的体积为，再将与A种金属质量相同的B种金属完全浸入盛满水的杯中后，测得溢出的水的体积为，那么B种金属的种类是（     ） 金属种类 密度（） 金 19.3 银 10.5 铜 8.9 铁 7.9 A．金 B．银 C．铜 D．铁 【例2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某品牌新能源汽车搭载了一块容量为（千瓦时）的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率（单位：）与充满电所需的时间（单位：）满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的倍，则充满电所需的时间将缩短______（用含的代数式表示）． 1．（2026九年级上 浙江）【科学知识】①同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系．②两种液体混合后密度满足：（其中，为两种液体的密度，，为两种液体的体积，为方便计算，假定）． 【问题解决】图1中的液体由的水与的溶液甲混合而成，为测算溶液甲的密度，小明将一正方体木块置于图1液体中，测得漂浮的正方体木块浸入液体的深度为；小明又将该木块置于图2的水中，测得漂浮的正方体木块浸入水的深度为．已知水的密度为，则溶液甲的密度为（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山西长治·阶段测试）小秦在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔（jié）槔（gāo）的古代汲水工具（如图1）．若图中人物竖直向下施加的拉力为（单位：N），当改变点与点之间的距离（单位：m）时，横杆始终处于水平状态，小秦发现与之间满足反比例函数关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示．当竖直向下施加的拉力为75N时，要使横杆仍处于水平状态，则点与点之间的距离为（   ）． A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m 3．（2026九年级上 四川成都·课后作业）成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 4．（25-26九年级上·山西·阶段检测）如图，“汽缸”是引导活塞在缸内进行直线往复运动的圆筒形金属机件，其工作原理是空气在汽缸中受到活塞件压缩而增强工作压力，在温度不变的条件下，压强与体积之间成反比例关系．通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强如下表：（调查获得的部分数据） 体积x（mL） 20 40 60 80 压强y（kPa） 300 150 100 75 在温度不变的条件下，若要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为多少？ 【提高题型一 根据反比例函数的图像解决问题】 【例1】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段测试）函数的大致图像为（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026九年级上 陕西西安·单元测试）已知反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点，则______________． 1．（23-24九年级上 内蒙古锡林郭勒·单元测试）类比二次函数图象的平移，把双曲线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，其对应的函数解析式变为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南永州·单元测试）如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上 宁夏吴忠·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，下面三个结论：①；②点和点在反比例函数的图象上，若，则；③不等式的解集是，其中正确的结论是________（只填序号） 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）有这样一个问题：探究函数的图象和性质． 小石根据学习函数的经验，对此函数的图象和性质进行了探究． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_____________； (2)下表是与的几组对应值． … … … … 求的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对应值为坐标的点．根据描出的点，画出此函数的图象； (4)进一步探究，结合函数的图象，写出此函数的性质（一条即可）：___________________________________________________________． 【提高题型二 一次函数与反比例函数综合应用】 【例1】（23-24九年级上 山东威海·单元测试）反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则和的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（25-26九年级上·山东东营·阶段测试）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则________． 1．（2024九年级上 湖北武汉·单元测试）通过构造恰当的图形，可以直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．请利用直角坐标系构造恰当的图形，判断不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（2023九年级上 河北衡水·单元测试）如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 3．（24-25九年级上·陕西·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点A、B在双曲线上，与x轴交于点D．若点A的坐标为，则四边形的面积为___________． 4．（25-26九年级上·山东烟台·阶段测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为y轴上一点， ①若，求点P的坐标． ②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若双曲线经过第二、四象限，则直线经过的象限是（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 2．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段测试）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．若点，都在图象上，且，则 C．图象位于第二、四象限 D．当时，随的增大而减小 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知反比例函数的图象如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·吉林长春·阶段测试）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 5．（25-26九年级上·山东德州·开学考试）如图，点A、B位于图中所示的双曲线上，且轴，点C、D在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 6．（25-26九年级上·福建泉州·阶段测试）已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 7．（23-24九年级上 江苏扬州·课后作业）若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·河南周口·阶段测试）已知点在第二象限，则反比例函数的图象所在象限是（     ） A．一、三 B．二、四 C．一、二 D．三、四 9．（25-26九年级上·吉林长春·阶段测试）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，函数与函数交于、两点，点在轴上，且，若，则的值为（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 10．（23-24九年级上 吉林长春·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，点的坐标分别为，，，点在点的右侧．动点从点出发，沿运动到点，反比例函数的图象经过点．则在点的运动过程中，图象经过两次的点是（） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·福建泉州·阶段测试）已知、两点在反比例函数的图像上，且，则的取值范围为__________． 12．（2026九年级上 山东泰安·周测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交，两点。若点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，则点P的坐标为_____．    13．（2026九年级上 湖北武汉·周测）武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升．经统计，光谷某高新产业园的入驻企业年均产值（单位：亿元）与园区投入的研发资金x（单位：千万元）近似满足反比例函数关系．已知当时，入驻企业年均产值随研发资金的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值：______． 14．（25-26九年级上·福建泉州·阶段测试）如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点，，都在反比例函数的图象上，且边经过原点，若平行四边形的面积为，则__________． 15．（24-25九年级上·福建泉州·期中）将向右平移两个单位，向下平移个单位，与有两个交点，分别为，，则_____． 16．（25-26九年级上·山东济南·阶段测试）直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（25-26九年级上·河南周口·阶段测试）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连结、．四边形的面积为8． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，x的取值范围． 18．（25-26九年级上·上海宝山·阶段测试）已知一次函数与反比例函数的图像交于点． (1)求和的值； (2)判断反比例函数的图像位于哪些象限？ (3)在平面直角坐标系中，求直线上位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围． 19．（2024九年级上 青海西宁·周测）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式和正比例函数的解析式； (2)在轴上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 20．（25-26九年级上·北京通州·阶段测试）小明在自主探究活动中遇到这样一个问题：探究函数的图象与性质． 下面是小明根据学习函数的经验，对问题进行探究的过程，请你帮助小明补充完整． (1)函数自变量的取值范围是__________； (2)小明取了几组的值，并求出了相对应的值，填写在下表中， … 1 2 3 4 5 … … 6 3 2 … 那么，__________； (3)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (4)写出此函数一条性质： ________________________________________________________________________________________； (5)正比例函数与相交于点，（点在点的左侧），已知点，直接写出点的坐标__________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2-1.3 反比例函数的图像与性质和用反比例函数解决问题重难点题型专训 （4个知识点+14大题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 判断(画)反比例函数图象】 10 【基础题型二 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 14 【基础题型三 判断反比例函数的增减性】 17 【基础题型四 判断反比例函数图象所在象限】 21 【基础题型五 已知反比例函数的增减性求参数】 25 【基础题型六 比较反比例函数值或自变量的大小】 27 【基础题型七 已知比例系数求特殊图形的面积】 30 【基础题型八 求反比例函数解析式】 36 【基础题型九 反比例函数与几何综合】 39 【基础题型十 根据图形面积求比例系数(解析式)】 45 【基础题型十一 一次函数与反比例函数图象综合判断】 51 【基础题型十二 一次函数与反比例函数的交点问题】 57 【基础题型十三 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 63 【基础题型十四 实际问题与反比例函数】 70 第二部分·练提高题型 【提高题型一 根据反比例函数的图像解决问题】 74 【提高题型二 一次函数与反比例函数综合应用】 79 第三部分・自我检测 知识点01 反比例函数的图象与性质 1.描点法做图 步骤 解读 图示 ①列表 自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值 ②描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点 ③连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交 2.反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图象 图象的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 【即时训练】 1．（2026九年级上 全国）某公司计划新建一个容积一定的长方体污水处理池，池的底面积与深度之间的函数表达式为．这个函数的图象大致是（   ）． A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的函数识别，根据方体污水处理池的容积等于底面积乘深度，且容积一定，故，，即可作答． 【详解】解：由题意可知： ， ∴中，当的值一定时，是h的反比例函数， ∴函数的图象：当时是“双曲线”在第一象限的分支． 故选：C． 2．（2026九年级上 湖北武汉）反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【分析】根据反比例函数图象的性质，得到比例系数小于0，列出不等式求出的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、第四象限， ，解得， 只要取小于的任意实数都符合条件，例如． 知识点02 比例系数k的几何意义 1. 过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于. 2. 连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于. 3. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 【即时训练】 1.（2026九年级上 福建莆田·周测）如图，点A在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，平行x轴，连接，若，则的面积可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】，，将 的面积表示出来，建立面积与的函数关系，结合的取值范围即可求解． 【详解】∵ 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴设， ∵平行 轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ，只有符合题意． 2.（25-26九年级上·吉林四平·月考）如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】连接、，利用反比例函数的几何意义求出的面积，再结合平行四边形与三角形的面积关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点，如图， ∵轴， ∴轴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 点在反比例函数的图象上，同理可得； ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积． 知识点03 求反比例函数的表达式 利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤 步骤 设 代 解 写 设反比例函数表达式为 把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设函数表达式，得到关于k的方程 解方程，求出待定系数k的值 写出函数表达式 【即时训练】 1．（2026九年级上 黑龙江哈尔滨·单元测试）双曲线经过点，下列各点在此双曲线上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知点坐标求出反比例函数的值，再利用反比例函数的性质：双曲线上点的横纵坐标乘积等于，验证各选项即可得到答案． 【详解】解：∵ 双曲线经过点， ∴ ， ∴ 双曲线上任意点满足横纵坐标乘积为， 逐一验证选项： 选项，，不在双曲线上； 选项，，在此双曲线上； 选项，，不在双曲线上； 选项，，不在双曲线上； 2．（23-24九年级上·湖南益阳·专题练习）一个反比例函数的图象经过点，则这个函数的表达式是______． 【答案】 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 将代入表达式得， 解得， 因此这个反比例函数的表达式为． 知识点04 反比例函数与一次函数图象的交点问题 1. 反比例函数与正比例函数图象的交点： 当时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当时，两函数图象无交点． 2. 反比例函数与一次函数图象的交点： 联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程．判别式两函数图象有2个交点；两函数图象有1个交点；两函数图象没有交点． 3. 观察反比例函数与一次函数的图象解不等式或： （1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标，； （2）观察图象，图象在上面的函数值大；图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集． 如图所示，当，时，的解集为或，的解集为或． 【即时训练】 1．（23-24九年级上 广西防城港）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：由函数图象可知：不等式的解集为或． 2．（2026九年级上 山东威海·单元测试）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】先求出点的坐标，再找出一次函数图象在反比例函数图象的下方部分即可． 【详解】解：将代入反比例函数的解析式得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数解析式得， ∴， ∴， ∵直线与双曲线交于点和点， ∴由函数图象可得，不等式的解集是或． 知识点05 利用反比例函数解决问题 1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围． 2. 常见反比例关系举例 （1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为； （2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为； （3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为； （4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为； （5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为． 【即时训练】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则功率与做功的时间之间的函数模型是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数的表达式特征排除错误选项，通过待定系数法计算比例系数，验证后确定函数解析式． 【详解】解：∵功率与做功时间近似存在反比例函数关系， ∴设函数解析式为（为常数，）， ∵选项中的函数为正比例函数形式，不符合反比例关系， ∴排除， 将，代入，得， ∴函数解析式为，对应选项，代入其余各组值验证，计算所得值均与实验值近似相符． 2．（25-26九年级上·吉林长春·阶段测试）如图，在功（单位：）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例函数关系．当时，的值是______． 【答案】 【详解】解：设， 将点代入得， 解得：， ， 当时，． 【基础题型一 判断(画)反比例函数图象】 【例1】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．根据图中的点的坐标结合反比例函数的解析式即可判断． 【详解】解：反比例函数经过点，则由图知，第④个符合题意， 故选：D． 【例2】（2023九年级上 北京海淀·单元测试）在平面直角坐标系中，直线与双曲线有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的图象位于一、三象限可知直线的图象过一、三象限，进而可得答案． 【详解】解：双曲线的图象位于一、三象限， 若直线与双曲线有公共点， 则直线的图象过一、三象限， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数和双曲线的图象，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解题的关键． 1．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段测试）若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两种情况分类讨论得出答案． 【详解】解：，分两种情况： ①当时，正比例函数的图象过第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； ②当时，正比例函数的图象过第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合． 2．（25-26九年级上·福建泉州·阶段测试）定义新运算：a⊕b＝，例如：3⊕4＝，3⊕（﹣4）＝，则函数y＝5⊕x（x≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得y＝5⊕x＝，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案． 【详解】解：由题意得：y＝5⊕x＝， 当x＞0时，反比例函数y＝在第一象限， 当x＜0时，反比例函数y＝在第二象限， 又因为反比例函数图象是双曲线，因此B选项符合． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的图象是双曲线． 3．（25-26九年级上·湖南益阳·期中）已知，则函数和图象大致是（     ）． A．B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数和一次函数的图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分析两个函数图象所在象限， 即可选出答案 ． 【详解】解：∵ ， 的图象在一、 三象限， 在一、 二、 四象限， 故选：A． 4．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）已知函数y＝的图象经过点（－2，3）． （1）求k的值，并在正方形网格中画出这个函数的图象； （2）当x取什么值时，函数的值小于0? 【答案】（1），见解析；（2）x＞0时，函数的值小于0 【分析】（1）将点（－2，3）代入函数解析式，即可得出的值，画出反比例函数的图像即可； （2）根据反比例函数图像解答． 【详解】解：（1）把（-2，3）代入y＝，得k=-2×3=-6， ∴y=- ，图如下： ； （2）由图象可以看出，当x＞0时，函数的值小于0． 【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，画反比例函数图像，根据反比例函数图像得出函数的取值范围，熟练掌握发反比例函数的性质是解本题的关键． 【基础题型二 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 【例1】（25-26九年级上·上海普陀·阶段测试）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴比例系数， 解得． 【例2】（2026九年级上 湖南长沙 月考）在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则的值为____________．（写出一个符合条件的值即可） 【答案】 （任意大于的常数都正确） 【分析】反比例函数的图象位于第一、第三象限时，满足条件，只需写出一个符合要求的正数即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象两支分别位于第一、第三象限， ∴， 因此任意取一个大于的常数即可，例如符合条件． 1．（25-26九年级上·山东威海·阶段检测）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象与性质； 先根据反比例函数的图象得到，再根据一次函数的图象与性质解答即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴ ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限； 故选：A. 2．（24-25九年级上·辽宁丹东·开学考试）反比例函数的图像经过第二、四象限，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数：当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限．据此得到，解不等式即可． 【详解】解：由题意得到， 解得． 故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）反比例函数y=的图象经过点A，若A点在第二象限，则k的取值范围是__________ ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象所在象限与比例系数的关系列不等式求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限，反比例函数经过点， ∴该反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴可得不等式 ，解得 ． 4．（25-26九年级上·全国·单元复习）已知反比例函数． (1)若，则x的取值范围是__________； (2)若，则x的取值范围是__________； (3)若，且，则x的取值范围是__________． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数的增减性， （1）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （2）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （3）先分别求出当和时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； 解题的关键在于熟知反比例函数的性质：当时，函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数的图像在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大． 【详解】（1）解：反比例函数的图像如图所示， 当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； （2）当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：； （3）当时，；当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当且时，x的取值范围是或． 【基础题型三 判断反比例函数的增减性】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（     ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象的性质判断即可． 【详解】反比例函数，观察函数图象在第一象限，在第一象限内，随着值的增大，的值随之减小． 【例2】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段测试）已知反比例函数，当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】 减小 【详解】解：∵反比例函数中，比例系数， ∴双曲线在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵对应第一象限内的图象， ∴随的增大而减小． 1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段测试）下列函数中，随的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：中，，随增大而增大，不符合题意； 选项B：中，，随增大而增大，不符合题意； 选项C：是反比例函数，仅在每个象限内满足随增大而增大，不符合题意； 选项D：中，，随增大而减小，符合题意． 2．（2023九年级上 广东深圳·单元测试）关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，若x越大，则对应的y值也越大 D．若、是其图象上两点，则不一定有 【答案】C 【分析】根据函数关系式画出函数图象，根据函数图象，逐项判断即可． 【详解】解：函数的图象如图所示：    A、由图示知，当时，y随x的增大而增大．故本选项结论正确，不符合题意； B、由图示知，当时，y随x的增大而增大．故本选项结论正确，不符合题意； C、由图示知，在同一象限内，当时，若x越大，则对应的y值也越大．若不在同一象限内则时，，时，，故本选项结论错误，符合题意； D、由图示知，若，，则．故本选项结论正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的增减性，反比例函数，当时，在每个象限内y随x的增大而减小，当时，在每个象限内y随x的增大而增大． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中随的增大而增大的是____（填序号）． 【答案】②⑥/⑥② 【分析】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，根据性质逐个分析即可． 【详解】解：①，∵，∴在每个象限随的增大而增大，故不符合题意； ②，∵，∴随的增大而增大，故符合题意； ③∵，∴随的增大而减小，故不符合题意； ④，∵，∴随的增大而减小，故不符合题意； ⑤，∵，∴随的增大而减小，故不符合题意； ⑥，∵，∴随的增大而增大，故符合题意； 故答案为：②⑥． 4．（25-26九年级上·福建泉州·阶段测试）综合与实践：函数增减性的探究与应用 【阅读材料】 我们学习过，一次函数的图象是一条直线． 当时，图象从左向右上升，随的增大而增大； 当时，图象从左向右下降，随的增大而减小． 我们可以用“作差法”来证明这个性质： 设，对应的函数值分别为，． 计算差值： 因为，所以 （1）当时，，即，说明随的增大而增大； （2）当时，，即，说明随的增大而减小．这就是一次函数的增减性． 【问题探究】 (1)方法迁移 试用类似的方法证明：当时，反比例函数的增减性． (2)性质应用 我们规定：对于任意一个关于的函数，在自变量取值范围内，当时，都有，称该函数“单调递增”；当时，都有，称该函数“单调递减”．请判断：当时，函数是“单调递增”还是“单调递减”，并利用作差法证明你的结论． 【答案】(1)设，对应的函数值分别为，，     ，         因为，，所以 ①当时，， 即，说明随的增大而减小；         ②当时，， 即，说明随的增大而增大． (2)当   时，函数  是“单调递增” 设，对应函数值分别为，          因为，即．         因为， 所以，即，     所以当时，函数是“单调递增”． 【分析】（1）仿照【阅读材料】的方法解答即可； （2）利用作差法解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型四 判断反比例函数图象所在象限】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．y随x增大而减小 D．图象与x轴有交点 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质可得当时，图象位于第四象限，且随增大而增大；图象与坐标轴无交点，由此逐项分析即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数为，， ∴当时，图象位于第四象限，且随增大而增大；图象与坐标轴无交点； A、当时，，该项正确； B、由于，图象仅位于第四象限，不涉及第一、三象限，该项错误； C、当时，随增大而增大，该项错误； D、反比例函数图象不与轴相交，该项错误． 【例2】（25-26九年级上·上海崇明·阶段测试）已知反比例函数，当时，的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断图象位置与增减性，结合已知的取值范围计算端点对应的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数中， 函数图象位于第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， ， 图象在第二象限， 当时，，当时，， 当时，的取值范围是． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，图象在第一象限，随的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵当时，图象在第三象限，随的增大而减小， ∴当时，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围是或，故C错误，符合题意； 若点在函数图象上，则，即， ∴，即点也在函数图象上，故D正确，不符合题意． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）y关于x的函数的图象可能是（     ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质得出函数的图象位于一、三象限，根据函数图象的平移规律即可得出答案. 【详解】解：∵， ∴函数的图象位于一、三象限， ∵， ∴函数的图象向右平移个单位得到函数的图象， ∴函数的图象为 . 3．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段测试）如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的定义得到的次数与系数满足的条件，求出的所有可能值，再结合图象在第二、四象限的性质确定系数的符号，即可得到的值． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，其中， ∴可得，解得且， ∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴，解得 ， ∴． 4．（25-26九年级上·上海崇明·阶段测试）已知某反比例函数的图像经过点． (1)这个函数的图像位于哪些象限？ (2)若、也在这个函数的图像上，求、的值． 【答案】(1)这个函数的图像位于二、四象限； (2)． 【分析】（1）把代入反比例函数解析式求出k的值，即可得到答案； （2）反比例函数表达式为：．把、代入进行解答即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为： ∵反比例函数的图像经过点， ∴ ∴这个函数的图像位于二、四象限； （2）解：∵ ∴反比例函数表达式为：． 把、代入上式， 得 【基础题型五 已知反比例函数的增减性求参数】 【例1】（25-26九年级上·河南周口·阶段测试）已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当反比例函数比例系数大于0时，在的区间内，y随x的增大而减小，据此列出不等式即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小， ∴反比例函数的比例系数大于0，即， 解得． 【例2】（25-26九年级上·河南南阳·阶段测试）已知y是关于x的反比例函数，当时，函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的m的值_________． 【答案】（答案不唯一，只要小于0即可） 【分析】根据反比例函数的性质，先确定的取值范围，再写出取值范围内一个符合条件的值即可． 【详解】解：由题意得，当时，随的增大而增大， ∴， 取的一个符合条件的值为（答案不唯一）． 1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段测试）若反比例函数的图象，在每个象限内，随的增大而减小，则的取值可能为（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线且当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解题的关键． 根据反比例函数的性质可求k的取值范围，再确定的可能取值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而减小, ∴，即，即D选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24九年级上·山东日照·阶段测试）若点，，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质求解判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小， ∵，， ∴点在第三象限内，点在第一象限内， ∴，则， 故选：． 3．（2026九年级上 上海）已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据点的坐标求出反比例函数的值，得到反比例函数解析式，再利用反比例函数的增减性，结合的取值范围，得到的取值范围． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为， ， 反比例函数在第一象限内，随的增大而减小， 点在该反比例函数图象上，且， 当时，， ． 4．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知反比例函数． (1)若点在反比例函数的图象上，则的值为______； (2)当取什么值时，在每一象限内，的值随值的增大而减小？ 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了判断反比例函数的增减性，已知反比例函数的增减性求参数，求反比例函数解析式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）将点代入反比例函数中，求出k即可； （2）根据在每一象限内，的值随值的增大而减小，得到关于k的不等式求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， 故答案为：2； （2）∵反比例函数，在每一象限内，的值随值的增大而减小， ∴， 解得：， ∴当时，在每一象限内，的值随值的增大而减小． 【基础题型六 比较反比例函数值或自变量的大小】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）若点，在双曲线上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由确定双曲线的象限分布，结合点的横坐标符号判断函数值正负即可比较． 【详解】解：∵， ∴双曲线的两支分别位于第二、第四象限， ∵点的横坐标， ∴该点在第二象限，， ∵点的横坐标， ∴该点在第四象限，， ∴． 【例2】（23-24九年级上 上海宝山·单元测试）如果反比例函数的图象经过点与，那么_____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】根据题意可得点A，B在第一象限，根据反比例函数增减性即可进行判断． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第一，三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵，， ∴点A，B在第一象限，且， ∴． 1．（23-24九年级上 江西南昌·单元测试）点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴A点在第三象限， ∴， ∵， ∴B、C两点在第一象限， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段测试）已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，，再根据比较大小即可． 【详解】解：∵点，，在的图象上， ∴，，． ∵， ∴， 即． 3．（23-24九年级上 内蒙古锡林郭勒·单元测试）如果函数（a为常数）的图象上有两点、，那么函数值_____．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质：当时，在图象的每一支上y随x的增大而增大进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴在图象的每一支上y随x的增大而增大， ∵， ∴． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题． (1)图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取点和点，如果，那么b、有怎样的大小关系？ 【答案】(1)第四象限， (2) 【分析】（1）根据一支所处象限可求得另一支所在象限，同时可知反比例函数的系数小于零，即可解得答案； （2）根据反比例函数的性质，在图象的每一个象限内随增大而增大，即可求得答案． 【详解】（1）解：根据图象知：该函数的图象的另一支位于第四象限， ∵这个反比例函数图象位于第二、四象限， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴在这个函数图象的任意一支上，都随的增大而增大， ∴当时，． 【基础题型七 已知比例系数求特殊图形的面积】 【例1】（24-25九年级上·四川巴中·期中）如图，点P是双曲线上的一个动点，过点P作轴于点A，当点P从左向右移动时，的面积（    ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义．根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】解：设点P的坐标为， 则的面积为：， 即的面积保持不变， 故选：D． 【例2】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如下图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，轴，点C是x轴上一点，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到，进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，记与轴的交点为， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（23-24九年级上 云南玉溪·周测）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 【答案】B 【分析】延长交y轴于点E，则四边形是矩形，四边形是矩形，根据反比例函数比例系数的几何意义可得四边形的面积为3，四边形的面积为11，即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， ∵轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 矩形的面积为． 2．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据反比例函数的几何性质，可得，又，可得到，，，按此规律，可得． 【详解】解：连接，如图所示， ，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于x轴， ，根据反比例函数的几何性质可得， ， ， ，，，依此规律，可得． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 【答案】9 【分析】过点A作于点E，设，求得，，得到，于是得到结论． 【详解】解：过点A作于点E，设． ， ∵点A是的中点， ， ∵   的图象经过点A， ， ． ∵点D在反比例函数的图象上， ， ， ． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图是反比例函数的图像，在图像上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则四边形是一个矩形，这个矩形的面积为．根据下列要求画图，并写出理由． (1)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的平行四边形（不可为矩形）； (2)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的三角形． 【答案】(1) 解：连接，过点作交轴于点，如图： 轴，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形即为所求； (2) 解：连接并延长交反比例函数于，连接，如图： 由反比例函数图象的对称性可知，与关于点对称， ， ， ， ， ， 即为所求． 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）连接，过点作交轴于点，可知四边形是平行四边形，则有，从而，所以平行四边形即为所求； （2）连接并延长交反比例函数于，连接，由反比例函数的对称性可知，可得，所以即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型八 求反比例函数解析式】 【例1】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段测试）反比例函数的图像经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：将点代入，得，解得． 【例2】（23-24九年级上 上海·单元测试）已知反比例函数，点在这个函数的图象上，那么当时，y随x的增大而______．（增大或减小） 【答案】增大 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数的性质判断时随的变化趋势． 【详解】解：将点代入， 得， ， 反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 当时，函数图象位于第四象限，因此随的增大而增大， 1．（23-24九年级上 吉林长春·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，轴与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点D，若，则k的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】设点C的坐标为，可得，再由，可得，从而得到，从而得到点B的坐标为，即可求解． 【详解】解：设点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴． 2．（25-26九年级上·河南周口·阶段测试）若点，，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先利用已知点A的坐标求出反比例函数的比例系数k，再分别求出和的值，比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将代入解析式得，解得， 将代入解析式得，解得， ∵， ∴． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是________． 【答案】或 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据增减性求解即可． 【详解】解：把代入，得， 解得：， ∴该反比例函数表达式为， 当时，， 解得， ∵， ∴函数图象在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∴当时，或． 4．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 【答案】(1) (2)点不在这个反比例函数的图象上 【分析】（1）将点代入即可求出反比例函数表达式； （2）将点的横坐标代入解析式，解出纵坐标看是否与点一致即可． 【详解】（1）将点代入，解得： ， ， 所以反比例函数解析式是：． （2）将点的横坐标代入，解得： ， ， 所以点不在这个反比例函数的图象上． 【基础题型九 反比例函数与几何综合】 【例1】（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质得到，可知，，进而求出，将代入计算即可． 【详解】解：点的坐标为，绕点逆时针旋转， ∴， ，， 故， 将代入中，得． 【例2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，字母“M”的五个顶点的坐标分别为．已知反比例函数． （1）当k的值为5时，图象经过字母“M”中的点_______． （2）当k的值为2时，图象与字母“M”中的线段_______有交点． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与点的坐标，根据反比例函数和点的坐标确定点与图象的位置关系是解题的关键． （1）计算的函数值，可判定反比例函数图象上的点，根据位置关系求解即可； （2）分别计算和的函数值，判定点与反比例函数的图象的位置关系，根据位置关系求解即可． 【详解】解：（1）当时，反比例函数为， 当时， ∴点在反比例函数的图象上； 故答案为：． （2）当时，反比例函数为， 当时，， 当时，， ∵，， ∴点在反比例函数的图象的下方，点在反比例函数的图象的上方， ∴反比例函数的图象与线段有交点． 故答案为：． 1．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，点在双曲线上，过点A作轴，垂足为C，线段的垂直平分线交于点B，，则周长的值是（     ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，进而求出，再说明，然后根据勾股定理得，即可求出，最后根据的周长为得出答案． 【详解】解：∵点A在双曲线上， ∴， ∴，则． ∵线段的垂直平分线交于点B， ∴． 在中，， ， 则， 即， 解得（负值舍去）， ∴的周长为． 2．（25-26九年级上·辽宁营口·开学考试）如图，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的顶点的坐标为，可求得，继而求得点的坐标，然后由待定系数法即可求得的值． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是菱形， ，， 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 【答案】32 【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为64，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形的对称中心是坐标原点，轴，轴， ∴正方形的面积， 根据题意：观察图形可得，图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O顺时针旋转，正好和以A、C为顶点的小空白部分重合， ∴阴影的面积是图中正方形面积的一半， ∴阴影部分的面积． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点P是矩形的对称中心，点P在y轴正半轴上，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点C，求矩形的面积． 【答案】 【分析】分别过点A，C作y轴的垂线，分别交y轴于点D，E，根据反比例函数得，，根据四边形是矩形，进而可证明，，即可得，，再根据，计算即可得答案． 【详解】解：如图， 分别过点A，C作y轴的垂线，分别交y轴于点D，E，则：， 点A在反比例函数的图象上， ∴， 点C在反比例函数的图象上， ∴， 四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为12． 【基础题型十 根据图形面积求比例系数(解析式)】 【例1】（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，P是反比例函数图象上的一点，轴于点A，轴于点B，若矩形的面积为2，则k的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由四边形的面积可求得，又因反比例函数的图象在第一象限，即可得，写出的值即可． 【详解】解：点P是反比例函数图象上的一点，分别过点P作轴于点A，轴于点B，若四边形的面积为2， 矩形的面积， ， 又反比例函数的图象在第一象限， ， ． 【例2】（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在y轴正半轴上，菱形的面积为24，若反比例函数的图象经过点C，则k的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据图形面积求比例系数（解析式），正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据菱形的面积为24，得，则，又因为反比例函数的图象在第二象限，则，即可作答． 【详解】解：如图所示： 菱形的顶点B在y轴正半轴上，菱形的面积为24， ∴， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， 故答案为： 1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，设点的坐标是，则点的坐标是，根据等腰三角形的性质可得，根据反比例函数的解析式可知点的纵坐标是，从而可得，根据三角形的面积公式即可求出的值． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 设点的坐标是，则点的坐标是， ，， 是等腰三角形， ， 轴 点的横坐标是，纵坐标是， 轴交双曲线于点， 点的横坐标是， 点的纵坐标是， ， ， ， ． 2．（23-24九年级上 浙江宁波·单元测试）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反比例函数中心对称性及的几何意义，将四边形面积分割为三个三角形面积之和． 【详解】解：设，其中，， 点在反比例函数上， ， 直线过原点， 点与点关于原点对称， ， 轴，轴， ，， ，，，， ，， ， ， ， ， ． 3．（25-26九年级上·甘肃天水·阶段测试）如图，双曲线经过正方形的顶点，已知，则________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的“”的几何意义求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， 又∵双曲线在第三象限， ∴． 4．（2026九年级上 河南平顶山·课后作业）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)连接，若的面积是3，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）延长 交轴于点，根据反比例函数的意义得出，，根据的面积是3，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：延长 交轴于点，由题意得轴， 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上， ， ， 解得． 【基础题型十一 一次函数与反比例函数图象综合判断】 【例1】（25-26九年级上·山东济南·阶段测试）函数与（k为常数，且）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的综合判断，根据一次函数的图象和性质和反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵ 函数与， ∴当时，，一次函数的图象过一，三，四象限，双曲线过一，三象限； 当时，，一次函数的图象过一，二，三象限，双曲线过二，四象限； 故满足题意的只有选项A； 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是______ 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论． 当在原点右侧时，点坐标为，表示出直线解析式，得出，求解即可，同理，当在原点左侧时，，求解即可． 【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ； ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． ∴的取值范围是或． 故答案为：或． 1．（23-24九年级上·广东湛江·课后作业）一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数经过的象限确定 、 的符号，进而确定反比例函数型的图像分布区域； 【详解】解：一次函数 的图像经过第一、二、三象限， ，， 函数的图像经过第一、三象限，且无限接近轴， 函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，其无限接近直线，排除B、C选项； 当时，，当时，，排除D选项；A选项符合题意． 2．（24-25九年级上·全国·阶段测试）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象，解题的关键是能够分类讨论，难度不大． 根据反比例函数和一次函数的图象，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴， 则A、D选项不符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，函数的图象位于第一、三象限，则B选项符合题意；C选项不符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，函数的图象位于第二、四象限，均不符合题意； 故选：B 3．（25-26九年级上·北京平谷·阶段测试）为了解不等式“”，明明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据不等式“”的解集即为直线的图像在反比例函数的图像上方的自变量的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：由函数图像可知，不等式“”的解集即为直线的图像在反比例函数的图像上方的自变量的取值范围， ∴不等式“”的解集即为或， 故选D． 【点睛】本题主要考查了利用图像法求不等式的解集，解题的关键在于能够根据题意得到，不等式“”的解集即为直线的图像在反比例函数的图像上方的自变量的取值范围． 4．（2025九年级上 河南郑州·周测）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点． (1)的值为_________，的值为_______； (2)直接写出时自变量的取值范围； (3)以为边，在直线的下方作正方形，请通过计算判断点是否落在反比例函数上． 【答案】(1)2，6 (2)或 (3)点没有落到双曲线上 【分析】本题主要涉及一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，反比例函数的性质．以及正方形的性质和点在函数图象上 的判断方法。 （1）把点代入一次函数，得到m的值为2；再把点代入反比例函数，得到k的值为6； （2）根据函数图象的位置关系确定自变 量的取值范围． （3）过点A作轴，垂足为D，过点B作，垂足为E，证明，可得，．求出点B的坐标，代入解析式判断点B没有落到双曲线上． 【详解】（1）解∶把点代入一次函数， 可得，解得； 把点代入反比例函数， 可得 解得． 故答案为∶3，6． （2）解：由图可知当时，自变量的取值范围是或， （3）解：如图，过点A作轴，垂足为D，过点B作，垂足为E， ． 四边形为正方形， ． ． ， ． ． ，． ∵点A的坐标为， ，． ∴点B的坐标为，即． 当时， ∴点B没有落到双曲线上． 【基础题型十二 一次函数与反比例函数的交点问题】 【例1】（25-26九年级上·山东济南·阶段测试）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据函数图象得到当或时在上方，即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 根据函数图象可知当或时在上方， 关于的不等式解集是或． 【例2】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为_______． 【答案】 【分析】直线和双曲线的图象都关于原点中心对称，因此两个交点关于原点对称，根据已知交点坐标即可求出另一个交点坐标． 【详解】解：∵直线的图象关于原点对称，双曲线的图象也关于原点对称， ∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称． 已知一个交点坐标为，因此另一个交点坐标为． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．则下列说法错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，一次函数的值小于反比例函数的值 C．将直线向上平移k个单位长度后与反比例函数的图象一定有交点 D．连接，，则的面积为12 【答案】B 【分析】联立方程组可求得点C坐标，可判断A；由一次函数图象与反比例函数图象相对点C坐标的位置关系可判断B；根据一次函数图象的平移，结合反比例函数图象的位置可判断C；先求得点A、B的坐标，再利用坐标与图形性质求得的面积可判断D，进而可得答案． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点C， ∴联立方程组，解得或（舍去）， ∴点C的坐标为，故A正确； 由图象知，当时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方， ∴当时，一次函数的值大于反比例函数的值，故B错误； ∵将直线向上平移k个单位后，直线始终经过第一象限，又反比例函数的图象位于第一象限， ∴将直线向上平移k个单位后与反比例函数的图象一定有交点， 故C正确； ∵点A在反比例函数的图象上，且点A的横坐标为1． ∴当时，，则点A坐标为， 又∵过点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B， ∴点B坐标为， ，如图， 则，故D正确． 2．（25-26九年级上·吉林长春·阶段测试）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设点A坐标为，根据反比例函数图象的中心对称性质得点B坐标为，再根据计算即可． 【详解】解：设点A坐标为， ∵点A与点B关于原点对称， ∴点B坐标为， ∴， 即的面积为1． 3．（25-26九年级上·山东烟台·阶段测试）如图，一次函数图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数在第一象限的图象相交于点．点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．则的面积为__________． 【答案】4 【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质分别求出点、的坐标，进而计算． 【详解】解：对于一次函数，时，， ∴； 将点代入一次函数， 有， 解得， ∴， 将代入反比例函数， 有， 解得， ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴，即， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴． 4．（2026九年级上 甘肃兰州）如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数、反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，函数图像平移，得到函数中的值，再根据已知条件，得出点坐标，将点坐标代入反比例函数内，即可得到函数解析式． （2）根据为的中位线，得出，继而得出，两点坐标，通过，两点横坐标绝对值的差，即可得到的长度． 【详解】（1）解：由题意知，图像是由的图象向上平移1个单位得到， 得与为同一函数， ，， 一次函数为， 其交轴于点，则 ， 过点作轴于点，， 则的横坐标为， 在上，代入得， ， 点坐标为， 点B在反比例函数上， 将点B坐标代入得 ，， 则反比例函数表达式为 （2）解：过点作轴于点，为的中位线，， ，， 轴，， 点的横坐标为， 又点在一次函数上，代入得 ，， 点的坐标为 又为水平线， 为与的交点， 将代入得 ，， 点的坐标为 ． 【基础题型十三 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 【例1】（25-26九年级上·吉林长春·阶段测试）如图，直线l经过原点，且与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转度角（）后，与双曲线交于B、D两点，则四边形的形状是（     ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】由于直线与双曲线都是关于原点的中心对称图形，根据对称性可得，，再由，即可判定四边形一定是平行四边形． 【详解】解：如图， ∵直线与双曲线是关于原点的中心对称图形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形不可能是菱形或正方形， ∵只有当时，四边形是矩形， ∴四边形不一定是矩形， ∴四边形一定是平行四边形． 【例2】（2024九年级上 广东东莞·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与双曲线交于点C．若，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，本题的突破点是求出点C的坐标．求解，，设，利用中点坐标公式可得的坐标，再代入反比例函数解析式建立方程求解即可． 【详解】解： ∵直线与坐标轴交于A、B两点， ∴将代入，得，将代入，得， ∴，， ∵，设， ∴， ∴， ∴， ∵点C在上， ∴． ∴， ∵反比例函数图像在第一、三象限， ∴． 故答案为：． 1．（23-24九年级上·河北保定·阶段测试）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键．利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵把 ，直线与双曲线交于点和点， ∴， ∴反比例函数为：， ∴， ∴， ∴当或时，直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集是：或． 故选：D． 2．（25-26九年级上·山东·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则（   ） A．2 B． C． D．-2 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点坐标规律探索，依次求出各点的坐标，观察到每 3 次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出，从而得到每 3 次变化为一个循环组依次循环，用 2025除以 3 ，根据商的情况确定出即可． 【详解】解：当时，的横坐标与的横坐标相等为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 由上可知，，3个为一组依次循环， ， ， 故选：C． 3．（25-26九年级上·广东清远·阶段测试）如图，经过原点的直线与反比例函数的图像交于A，两点点A在第一象限，点，，在反比例函数的图像上，轴，轴，五边形的面积为，四边形的面积为，则的值为______． 【答案】 【分析】连接，，，由题意得，点A的坐标为，点D的坐标为，根据题意得，，根据，得E，的纵坐标的绝对值相等，根据E，在反比例函数的图像上得E，关于原点对称，点E的坐标为，得E，，共线，根据，即可证明四边形是平行四边形，可得，即，进行计算即可得． 【详解】解：如图所示，连接，，， 由题意A，关于原点对称， ∴点A的坐标为，点D的坐标为， ，的纵坐标的绝对值相等， ∵， ，的纵坐标的绝对值相等， ∵E，在反比例函数的图像上， ，关于原点对称，点E的坐标为， ，，共线， ∵，， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的对称性，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，证得四边形是平行四边形是解题的关键． 4．（25-26九年级上·河南洛阳·阶段测试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，连接，且． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)过点作平行于轴的直线，交一次函数的图象于点（不与重合），交反比例函数的图象于点．若，求的值； (3)当时，直接写出的解集 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先求解，，可得，进一步利用待定系数法求解一次函数的解析式即可． （2）表示，，可得，，结合，进一步可得答案． （3）直接利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入， ∴， 解得：， ∴一次函数为． （2）解：如图， ∵，一次函数，反比例函数， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， 当时，此时不符合题意， 综上：． （3）解：∵， ∴结合图象可得：当时，的解集是． 【基础题型十四 实际问题与反比例函数】 【例1】（25-26九年级上·上海普陀·阶段测试）已知将相同质量的金属完全浸入盛满水的杯中，金属的密度与溢出的水的体积成反比例（常见金属密度如表所示）．如果将密度为的A种金属完全浸入盛满水的杯中，测得溢出的水的体积为，再将与A种金属质量相同的B种金属完全浸入盛满水的杯中后，测得溢出的水的体积为，那么B种金属的种类是（     ） 金属种类 密度（） 金 19.3 银 10.5 铜 8.9 铁 7.9 A．金 B．银 C．铜 D．铁 【答案】B 【分析】本题利用反比例函数的性质求解，根据密度与溢出体积成反比例得到定值（即金属质量），再计算B金属的密度，对照表格得到结果． 【详解】解：设金属密度为，溢出的水的体积为 ， ∵金属的密度与溢出的水的体积成反比例，且A，B金属质量相同， ∴（ 为定值，即金属质量），且 将A金属数据代入得：，， ∴ 对B金属，， ∴. 对照表格可知，密度为的金属是银，因此B种金属为银． 【例2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某品牌新能源汽车搭载了一块容量为（千瓦时）的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率（单位：）与充满电所需的时间（单位：）满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的倍，则充满电所需的时间将缩短______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】设将充电功率提升后，充电功率为，充满电所需的时间为，再根据，解出即可求解． 【详解】解：设将充电功率提升后，充电功率为，充满电所需的时间为， 根据题意，，，又， ，即， 解得， ， 则充满电所需的时间将缩短． 1．（2026九年级上 浙江）【科学知识】①同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系．②两种液体混合后密度满足：（其中，为两种液体的密度，，为两种液体的体积，为方便计算，假定）． 【问题解决】图1中的液体由的水与的溶液甲混合而成，为测算溶液甲的密度，小明将一正方体木块置于图1液体中，测得漂浮的正方体木块浸入液体的深度为；小明又将该木块置于图2的水中，测得漂浮的正方体木块浸入水的深度为．已知水的密度为，则溶液甲的密度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方体木块底面积为S，混合液体密度为ρ ，先列方程求得，再根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设正方体木块底面积为S，混合液体密度为ρ ， ∵同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系， ∴，解得：， 由两种液体混合后密度公式可得： ， 解得：． 2．（25-26九年级上·山西长治·阶段测试）小秦在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔（jié）槔（gāo）的古代汲水工具（如图1）．若图中人物竖直向下施加的拉力为（单位：N），当改变点与点之间的距离（单位：m）时，横杆始终处于水平状态，小秦发现与之间满足反比例函数关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示．当竖直向下施加的拉力为75N时，要使横杆仍处于水平状态，则点与点之间的距离为（   ）． A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m 【答案】B 【分析】已知与是反比例函数关系，先设反比例函数解析式，从图像读取一组对应点代入求出，再把代入解析式求出对应的． 【详解】解：由题意，设反比例函数解析式为．从图2中可得，当m时，N，将代入解析式： ， 解得，因此函数解析式为： ， 当拉力N时，代入解析式： ， 解方程： ， 即点与点之间的距离为4m． 3．（2026九年级上 四川成都·课后作业）成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 【答案】 【分析】结合已知条件求出工程总长度，再用总长度除以每天修建的长度，即可得到所需天数，用到反比例函数两变量乘积为定值的性质． 【详解】解 ∵每天修建的长度和修建天数成反比例函数关系 ∴设， 可得，其中为工程总长度 将，代入式子 得， 即工程总长度为（米） 当时， 代入得 解得 答：需要天完工． 4．（25-26九年级上·山西·阶段检测）如图，“汽缸”是引导活塞在缸内进行直线往复运动的圆筒形金属机件，其工作原理是空气在汽缸中受到活塞件压缩而增强工作压力，在温度不变的条件下，压强与体积之间成反比例关系．通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强如下表：（调查获得的部分数据） 体积x（mL） 20 40 60 80 压强y（kPa） 300 150 100 75 在温度不变的条件下，若要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为多少？ 【答案】要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为120mL 【详解】解：由题得，即． 当时，， 解得． 答：要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为． 【提高题型一 根据反比例函数的图像解决问题】 【例1】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段测试）函数的大致图像为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分母不为0得出，再结合函数的图像与y轴交点位置解答即可； 【详解】解：根据分式有意义得分母不为0，即，解得， 因此函数的图像无限接近直线，但不与直线相交，排除选项B、D； 判断y轴交点符号： 代入，得，说明函数与y轴交于正半轴，选项C中时，排除C； 当时，，因此，图像在x轴上方； 当时，，因此，图像在x轴下方，完全符合选项A的图像特征． 【例2】（2026九年级上 陕西西安·单元测试）已知反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点，则______________． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数交点的中心对称得出自变量的关系，然后根据反比例函数的性质求解． 【详解】解：∵反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点， ∴点与点关于原点对称， ∴，且， ∴． 1．（23-24九年级上 内蒙古锡林郭勒·单元测试）类比二次函数图象的平移，把双曲线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，其对应的函数解析式变为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：双曲线向右平移2个单位可得到，， 再把的图象向上平移1个单位即可得到，，即． 2．（23-24九年级上·湖南永州·单元测试）如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由图象分布的位置可得，，，再由时，由图象可得，即得，进而可得，即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一象限，反比例函数和的图象分布在第二象限， ∴，，， 当时，由图象可得， ∴， ∴， 故选：． 3．（23-24九年级上 宁夏吴忠·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，下面三个结论：①；②点和点在反比例函数的图象上，若，则；③不等式的解集是，其中正确的结论是________（只填序号） 【答案】① 【分析】根据题意，得，，解得，，结合函数的性质，求解即可； 【详解】解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， ， ， 直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点， ， 故① 正确； 点和点在反比例函数的图象上，但是没有说明是否是在同一支上，故当，则不一定成立； 故②错误； 根据题意，得， 解得，， 根据图象，知当或时，直线在反比例函数图象的下方， 故不等式的解集是或， 故③错误． 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）有这样一个问题：探究函数的图象和性质． 小石根据学习函数的经验，对此函数的图象和性质进行了探究． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_____________； (2)下表是与的几组对应值． … … … … 求的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对应值为坐标的点．根据描出的点，画出此函数的图象； (4)进一步探究，结合函数的图象，写出此函数的性质（一条即可）：___________________________________________________________． 【答案】(1) (2) (3) (4)当时，随的增大而增大；当时，随的增大而增大．（答案不唯一） 【分析】（1）根据分母不等于即可求解； （2）将代入解析式即可得的值； （3）将各点分轴左右两侧，按自变量从小到大用平滑曲线依次连接可得； （4）结合图象可从函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：函数的自变量的取值范围是； （2）解：当时，， ； （3）略 （4）由图可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而增大．（答案不唯一） 【提高题型二 一次函数与反比例函数综合应用】 【例1】（23-24九年级上 山东威海·单元测试）反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则和的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴将代入一次函数表达式，得； ∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入反比例函数表达式，得，解得， ∴的值是，的值是． 【例2】（25-26九年级上·山东东营·阶段测试）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则________． 【答案】 【分析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出、、、、、的横纵坐标，从而得到每次变化为一个循环组依次循环，用除以，根据商的情况确定出即可． 【详解】当时，的横坐标与的横坐标相等为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， ， 由上可知，，，，，，，个为一组依次循环， ∵， ∴． 1．（2024九年级上 湖北武汉·单元测试）通过构造恰当的图形，可以直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．请利用直角坐标系构造恰当的图形，判断不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题的关键．结合函数图象与不等式之间的联系，利用数形结合思想求解． 【详解】解：∵， ∴ 函数的图象和函数图象如下： 由图象可知，不等式的解集是或， 故选：B． 2．（2023九年级上 河北衡水·单元测试）如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意得出，，进而求得的坐标，分情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，②当且反比例函数图象过点时，分别代入反比例函数解析式，求得的值，进而根据，得出的范围，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象过点，， ，， ，． 反比例函数的图象与线段只有一个交点， ∴分两种情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时； ②当且反比例函数图象过点，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时， ， ，， 不可能为，故选A． 3．（24-25九年级上·陕西·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点A、B在双曲线上，与x轴交于点D．若点A的坐标为，则四边形的面积为___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的综合应用以及待定系数法求一次函数和反比例函数解析式和三角形面积求法等知识，首先求出直线解析式，进而得出直线解析，再利用直线解析式与反比例函数联立求出B点坐标，进而利用，求出即可． 【详解】解：∵A在双曲线上， ∴， 故， 设方程为，将A点坐标代入得出： ，解得：， 故AO直线解析式为：， ∵， ∴直线的解析式可以假设为， 将A点坐标代入得：， 故直线的解析式为：， 将直线与反比例函数联立得出： ， 解得：，， 那么B点坐标为： ， ∵，经过B点， ∴直线解析式一次项系数为：2， 故设解析式为：， 将B点代入得出：， 故， 则直线解析式为：， 则与x轴交点D为：， 解得：， 故D点坐标为：， ∵直线的解析式为：， ∴与x轴交点坐标E为：， 则 ． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·山东烟台·阶段测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为y轴上一点， ①若，求点P的坐标． ②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点P的坐标为或； ②存在，或或． 理由如下： ∵点P为y轴上一点，反比例函数的图象是否存在一点E， ∴设，， ∵，，以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴当与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； 当为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； 当为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； ∴存在，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，或或． 【分析】（1）先把代入求出m，再把点B坐标代入反比例函数解析式，即可得到结论； （2）①解方程得到，在中，令，进而求得，设，由，根据三角形的面积公式列方程求解； ②设，根据平行四边形的对角线中点交于一点列方程组求解，再验证明求得的E点是否在反比例函数上，即可得出结论． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入中得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：①解得或， ∴， 在中，令，则， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或； ②略 1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若双曲线经过第二、四象限，则直线经过的象限是（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，属于函数的基础知识，难度不大．根据反比例函数的性质得出，再由一次函数的性质判断函数所经过的象限． 【详解】解：∵双曲线y经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴， 则直线一定经过一、三、四象限． 故选：C． 2．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段测试）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．若点，都在图象上，且，则 C．图象位于第二、四象限 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【详解】解：将代入函数得：， ∴这个函数的图象经过点，不经过点，则选项A错误； ∵反比例函数中的， ∴图象位于第一、三象限；则选项C错误； 在每一象限内，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，选项D正确； 若，或，则；若，则，则选项B错误． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知反比例函数的图象如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，求出反比例函数图象经过点和时的k值，再根据越大，图象越远离坐标轴求解即可． 【详解】解：根据图象，将点代入代入中，得， 将点代入中，得， 由图象知，的取值范围是， 故选：B． 4．（25-26九年级上·吉林长春·阶段测试）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 【答案】C 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、设与的函数关系式是， ∵图象经过点， ∴，解得， ∴与的函数关系式是，故A正确，不符合题意； B、当时，，解得，故B正确，不符合题意； C、 ∵反比例函数图象在第一象限，随的增大而减小， ∴当时，，故C错误，符合题意； D、当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是，故D正确，不符合题意． 5．（25-26九年级上·山东德州·开学考试）如图，点A、B位于图中所示的双曲线上，且轴，点C、D在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】延长交y轴于E，则轴，推出四边形和四边形都是矩形，根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：延长交y轴于E，则轴，如图： ∵四边形为矩形， ∴四边形和四边形都是矩形， ∵点A在双曲线上， ∴矩形的面积为4， ∵点B在双曲线上，且轴， ∴矩形的面积为12， ∴矩形的面积为． 6．（25-26九年级上·福建泉州·阶段测试）已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】先根据反比例函数系数判断图象位置和增减性，再结合m的范围确定三个点横坐标的范围，结合增减性比较y的大小即可得到结果． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， A、当时，可得，三点都在第二象限，根据增减性得，即，故该选项不符合题意； B、当时，可得，A、B在第二象限，C在第四象限，可得，且，，，即，故该选项符合题意； C、当时，可得，点A在第二象限，点B、C在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； D、当时，可得，三点都在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； 7．（23-24九年级上 江苏扬州·课后作业）若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先要判断A、B两点是否在同一象限，然后根据得，从而得出a的取值范围． 【详解】解：∵，，且， ∴点A在第二象限，点B在第四象限， ∴反比例函数的比例系数， 解得. 8．（25-26九年级上·河南周口·阶段测试）已知点在第二象限，则反比例函数的图象所在象限是（     ） A．一、三 B．二、四 C．一、二 D．三、四 【答案】A 【分析】先根据第二象限点的坐标特征列出不等式组，求出的取值范围，再结合反比例函数的定义和性质，判断的符号，进而确定反比例函数图象所在象限． 【详解】解：∵第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于，点在第二象限， ∴，且 解得，，且， ∴， ∵是反比例函数，， ∴，反比例函数的图象位于第一、三象限． 9．（25-26九年级上·吉林长春·阶段测试）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，函数与函数交于、两点，点在轴上，且，若，则的值为（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】根据点A和点B关于原点对称，则，据此可得；过点A作轴于点E，则，据此可得，进而可得，即可求出． 【详解】解：∵函数与函数交于、两点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴， ∴； 如图所示，过点A作轴于点E， ∵， ∴， ∴， 又∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴． 10．（23-24九年级上 吉林长春·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，点的坐标分别为，，，点在点的右侧．动点从点出发，沿运动到点，反比例函数的图象经过点．则在点的运动过程中，图象经过两次的点是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点的坐标，分段讨论点在和上运动时的取值范围，找出公共范围并验证选项． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形，，点在点右侧， ∴，， ∴， 设，反比例函数解析式为，则， 当点在线段上运动时，，， ∴，即； 当点在线段上运动时，，， ∴，即， 若图象经过某点两次，则该点对应的值在两段运动中均能取到，且对应不同的点， ∴， 、，不在范围内，不符合题意； 、，在范围内，符合题意； 、，不在范围内，不符合题意； 、，不在范围内，不符合题意． 11．（25-26九年级上·福建泉州·阶段测试）已知、两点在反比例函数的图像上，且，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的性质判断的增减性，再由且，判断出，两点分别位于不同象限，根据象限内点的坐标特征列不等式组求解． 【详解】解：反比例函数中，， 该反比例函数图像在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， ， 又， 点，不在同一象限，即在第三象限，在第一象限， ∴ ， ∴的取值范围为． 12．（2026九年级上 山东泰安·周测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交，两点。若点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，则点P的坐标为_____．    【答案】或 【分析】先求解点，，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，求出，设，然后根据题意得到，求解即可． 【详解】解：将，代入， 得，， 解得：， 点，． 把，代入， 得， 解得：， 一次函数的解析式为； 如图，连接，    ∵一次函数的解析式为， 当时，， ∴． ∵点，点， ． 设点， 由题意，得， 解得， 点的坐标为或． 13．（2026九年级上 湖北武汉·周测）武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升．经统计，光谷某高新产业园的入驻企业年均产值（单位：亿元）与园区投入的研发资金x（单位：千万元）近似满足反比例函数关系．已知当时，入驻企业年均产值随研发资金的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值：______． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的性质，得到反比例函数的比例系数大于0，列出关于的不等式，求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：对于反比例函数，当且时，随的增大而减小． 由题意得反比例函数的比例系数，因此可得不等式 移项得 系数化为得 任取一个满足条件的即可，例如． 14．（25-26九年级上·福建泉州·阶段测试）如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点，，都在反比例函数的图象上，且边经过原点，若平行四边形的面积为，则__________． 【答案】6 【分析】设，根据反比例函数的中心对称性可得，利用平行四边形性质表示出点的坐标，代入反比例函数解析式得到的关系，再结合建立关于的方程求解． 【详解】解：设，其中 ， 边经过原点，且在反比例函数图象上 ， 点与点关于原点对称 ， ，且为中点 ． 四边形是平行四边形， ∴， 设，其中， ∴， ∴， ∴，， ． 点在反比例函数图象上， ， ， ， ，即 ． 连接， 四边形是平行四边形 ， 点到的距离等于平行四边形边上的高，设为， 又 将代入上式得 ． 15．（24-25九年级上·福建泉州·期中）将向右平移两个单位，向下平移个单位，与有两个交点，分别为，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的平移，反比例函数图象的性质，由平移可得平移后所得函数解析式为，进而反比例函数的图象关于点中心对 称，恒过点，可得点，关于中心对称，即得，得到，即可得，再代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵将向右平移两个单位，向下平移个单位， ∴平移后所得函数解析式为， ∵反比例函数的图象关于点中心对称，恒过点， ∴点，关于中心对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·山东济南·阶段测试）直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 17．（25-26九年级上·河南周口·阶段测试）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连结、．四边形的面积为8． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）可证明四边形是平行四边形，则，，则题目可解； （2）观察图像得不等式的解集； 【详解】（1）解：正比例函数的图象和反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴点A与点B关于原点中心对称． ∴． ∵轴于点C，轴于点D， 又∵， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴反比例函数的解析式为 （2）解：由图象可知或． 18．（25-26九年级上·上海宝山·阶段测试）已知一次函数与反比例函数的图像交于点． (1)求和的值； (2)判断反比例函数的图像位于哪些象限？ (3)在平面直角坐标系中，求直线上位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)； (2)第一、三象限 (3) 【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求解即可； （2）根据反比例函数的性质即可求解； （3）根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意点既在一次函数也在反比例的图像上， ∴， 解得； ， 解得； （2）由（1）可得， ∴反比例函数的图像位于第一、三象限； （3）根据题意得：， 解得． ∴所有这样的点的横坐标的取值范围是． 19．（2024九年级上 青海西宁·周测）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式和正比例函数的解析式； (2)在轴上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为； (2)或或或． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）利用对称性求出点的坐标，设，分点为顶点和点为顶点两种情况，利用两点间距离公式列出方程解答即可求解； 本题考查了待定系数法求反比例函数和正比例函数解析式，反比例函数的图象和几何应用，等腰三角形的性质，两点间距离公式，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：∵点关于原点对称， ∴， 设， ∵是以为腰的等腰三角形， 当点为顶点时，， ∴， ，， ∴点的坐标为或； 当点为顶点时，， ∴， ，， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 20．（25-26九年级上·北京通州·阶段测试）小明在自主探究活动中遇到这样一个问题：探究函数的图象与性质． 下面是小明根据学习函数的经验，对问题进行探究的过程，请你帮助小明补充完整． (1)函数自变量的取值范围是__________； (2)小明取了几组的值，并求出了相对应的值，填写在下表中， … 1 2 3 4 5 … … 6 3 2 … 那么，__________； (3)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (4)写出此函数一条性质： ________________________________________________________________________________________； (5)正比例函数与相交于点，（点在点的左侧），已知点，直接写出点的坐标__________． 【答案】(1) (2)-2 (3) (4)答案不唯一：如函数图象与坐标轴无交点等 (5) 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，分母为，因此只需保证． （2）表格中对应时的函数值，将代入解析式计算即可． （3）该函数是反比例函数，图象为双曲线，分两步作图：①根据表格坐标描点；②用平滑曲线分别连接一、三象限内的点，注意图象无限靠近坐标轴但不与坐标轴相交． （4）反比例函数的常见性质：象限分布、增减性、对称性，任选一条即可． （5）正比例函数与反比例函数的交点关于原点中心对称，若一个交点为，另一个交点为．先验证点在反比例函数上，再利用对称直接写出． 【详解】（1）解：函数是分式，分母不能为0， 自变量的取值范围是． （2）解：把代入， ， ． （3）解：根据表格给出的、、、、、、、、、在坐标系标出对应点； 用平滑曲线连接第三象限内所有负坐标点，得到第三象限分支；再用平滑曲线连接第一象限内所有正坐标点，得到第一象限分支； 双曲线两支分别在一、三象限，不与轴、轴相交． （4）解：示例1：图象分布在第一、第三象限； 示例2：在每个象限内，随的增大而减小； 示例3：图象关于原点中心对称； 示例4：函数图象与坐标轴无交点； 示例5：图象关于直线、轴对称． （写出任意一条即可） （5）解：将代入： ， 即， 正比例与反比例函数交点关于原点对称，点在点左侧， 坐标为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $