山东省日照市东港区八年级数学上学期单元作业（人教版八年级上册第二章《全等三角形》）

作业大赛模板（通用版） 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 人教版八年级上册《全等三角形》单元作业 学段学科 初中数学 适用年级 八年级 教材版本 人教版（六三制） 第十二章《全等三角形》（全等三角形的判定与性质、角平分线的性 对应内容 质、全等综合应用) 作业类型 单元作业 完成时长 总时长120分钟 设计者 【教师姓名】 二、设计背景与意图 1.课标与教材分析 ● 课标要求：本作业对应《义务教育数学课程标准(2022年版)》“图形与几何”领域，重点 发展空间观念、几何直观、推理能力、应用意识等核心素养，达成掌握全等三角形的概 念、判定与性质，能运用全等三角形和角平分线的性质进行推理论证"的学业质量标准。 ●教材地位：全等三角形是初中几何推理的起点，承载图形性质研究的基本方法，为后续轴 对称、四边形、相似等内容奠定基础，蕴含构造辅助线、转化等核心数学方法。 教学重难点：重点为全等三角形的判定方法(SSS、SAS、ASA、AAS、HL)与性质应用 角平分线的性质；难点为全等模型的识别与辅助线的构造（倍长中线、截长补短、旋转 等)。 2.学情分析 维度 具体描述 学生在七年级学习了相交线与平行线、三角形内角和，第一章学习了 已有基础 三角形三边关系与内外角性质，具备基本的几何直观与简单推理经 验，会利用三角尺画垂线。 全等判定方法多，易混淆适用条件；复杂图形中对应边、对应角识别 现有困惑 困难；辅助线构造（倍长中线、截长补短）缺乏经验；几何证明书写 不规范、逻辑不严密。 班级中约半数学生能完成基础判定与简单证明，约三成学生综合证明 表达不规范，约两成学有余力学生可挑战模型探究类问题，需要分层 差异分析 设计、梯度推进。 3.设计意图（一段话讲清即可） 本作业依托日照、临沂、兖州三地期中真题，围绕《全等三角形》的核心知识，按基础巩固 一方法运用一思维提升”三个层次编排：基础层落实全等判定与角平分线性质的直接运用；方 法层渗透倍长中线、截长补短、全等模型等思想方法；提升层以测距、风筝、雨伞、秋干等真 实问题情境，引导学生在“做中学、用中学”，发展几何直观与推理能力，同时借助过程性评价 促进反思与改进。 三、 作业目标 目标维度 编号具体目标 对应核心素养评价证据 识记全等三角形的概念与判定方 几何直观、空 知识理解 A 法(SSS、SAS、ASA、AAS、 正确率、概念复述 HL)，理解角平分线的性质 间观念 运用全等判定证明线段、角相 等；利用角平分线性质求距离与 推理能幼、应过程记录、 方法选 能力运用 B 面积；完成相关尺规作图 用意识 用 通过倍长中线、截长补短、全等 模型（手拉手、一线三垂直、半 推理能力、 创论证思路、创意思 思维发展 角)与综合探究问题，经历比 新意识 维体现 较、慨括、推理与创新过程 体验测距、风筝、雨伞、秋干等 应用意识、 学 情感态度 D 真实情境中的数学价值，养成严 反思语、 作品倾向 谨推理与主动反思的习惯 习品质 四、作业内容与目标对应表 参考答 对应作业 题号题型 题目概要 设计意图 案/评价要 目标编号 点 添加一个条件后仍不能 辨析SSS、SAS、ASA、AAS的适 选择题 证明两三角形全等（判A 用条件，识别错误判定 定辨析) 直角三角形中，利用全 选择题 B 综合全等判定与性质求线段长 D 等判定与性质求线段长 尺规作图作全等三角形 选择题 通过作图过程理解ASA判定依据C 的依据(ASA) 添加条件后仍不能判定 辨析全等判定条件，识别SSA等 选择题 A 0 两三角形全等 错误 雨伞伞骨结构的全等判 从实际情境抽象SSS判定，考查 5 选择题 B D 定依据(SSS) 应用意识 碎玻璃配玻璃问题 选择题 B 用ASA判定解决生活实际问题 (ASA) 中线倍长构造全等，求 倍长中线法构造全等，训练辅助 填空题 解析 第三边的取值范围 线思想 荡秋干中利用全等测距 将全等性质用于测量问题，考查 选择题 0 求高度 建模能力 添加条件使两三角形全 开放条件考查全等判定的灵活运 9 填空题 A 解析 等（开放题） 用 证明两三角形全等并求 10 解答题 B 综合全等判定、性质与中点条件见解析 线段长 风筝骨架问题：证明两 用SSS证明风筝两侧骨架全等， 11 解答题 B 见解析 三角形全等 联系传统文化 12 解答题 证明全等并求线段长 全等+中点+求长综合 见解析 证明全等并证明角平分 13 解答题 B,C 全等性质与角平分线判定综合 见解析 线 证明角互补并探究线段 14 解答题 全等+角平分线，探究与证明 见解析 等量关系 15 解答题 点共线条件下证明全等B 由共线得角相等，运用判定定理见解析 垂足与交点条件下证明 16 解答题 B 余角关系与ASA判定综合 见解析 全等 直接运用判定定理证明 17 解答题 A 考查基本判定方法的直接运用 见解析 全等 18 解答题 证明全等并求角度 B 全等性质+三角形内角和综合 见解析 19 解答题 证明全等并求角度 B 全等+等腰三角形性质综合 见解析 测量河两岸距离（方案 全等测距方案阅读与应用，考查 20 解答题 B,D 见解析 阅读) 建模 测量墙高的方案设计与 方案设计与全等应用，考查探究 21 解答题 C,D 见解析 说理 能力 角平分线+三等分点求 选择题 B 角平分线性质+面积比 三角形面积 23 选择题 尺规作角平分线并求角B 角平分线性质与作图综合 角平分线性质与等面积 24 选择题 角平分线性质+等面积法 法求线段长 角平分线+平行线求线 角平分线与平行线结合得等腰三 25 选择题 B 段长 角形 角平分线交点处多结论 26 选择题 综合角平分线性质判断多个结论D 判断 角平分线+平行线求线 2 填空题 角平分线性质+等腰三角形 段长 判断尺规作角平分线的 28 填空题 角平分线作图痕迹识别 见解析 作图痕迹 判断尺规作角平分线的 29 填空题 角平分线作图痕迹识别 见解析 作图痕迹 角平分线性质+面积求 30 填空题 B 角平分线性质与面积综合 值 31 填空题 角平分线性质求距离 角平分线性质的直接应用 见解析 32 填空题 角平分线性质求线段长 A 角平分线性质的直接应用 见解析 角平分线+全等证明并 33 解答题 B 角平分线性质与全等综合 见解析 求线段长 角平分线综合多结论判 34 选择题 全等+角平分线综合判断 断 角平分线相交多结论判 35 选择题 综合图形多结论判断 断 36 选择题 外角平分线多结论判断C 外角平分线+全等综合 B 37 选择题 等腰三角形多结论判断C 全等+等腰综合判断 D 38 填空题 综合图形多结论判断 综合图形多结论判断 见解析 39 选择题 等边三角形周长问题 B,C 全等+等边+周长转化 40 填空题 动点问题中全等求速度B 动点问题+全等分类讨论 见解析 41 解答题 对称+全等+周长最小值C 对称+全等+最值综合 见解析 思维导图：中线+全等 42 解答题 倍长中线+全等+三边关系 见解析 探究 线三垂直模型探究与 43 解答题 三垂直模型+变式拓展 见解析 拓展 44 解答题 半角模型探究 半角模型+截长补短 见解析 数学建模：全等基本图 45 解答题 基本图形+变式+拓展应用 见解析 形 手拉手模型（等边/等 46 解答题 手拉手模型+数量关系 见解析 腰直角) 倍长中线阅读理解与迁 4> 解答题 阅读理解+倍长中线法 见解析 移 坐标系+等边三角形综 48 解答题 C,D 坐标+等边+最值综合 见解析 合 五、作业评价 维度 A(优秀) B(良好) C(待改进) 权重 得分 基础题全对，概念 知识理解 少量细节错误 较多基础错误 20% 精确 6 方法恰当，过程清 能力运用 方法基本正确 方法不当或缺失 晰，理由充分 30% 观点明确，论证充表达清楚，欠缺 思路混乱，缺乏证 思维发展 30% 分，有独创性 深度 据 主动投入，积极交 态度端正，能按学习态度消极，被 流，乐于协作；学 情感态度 要求完成任务： 动完成任务，合作 20% 习目标明确，能主 基本参与合作 意识弱 动反思改进 六、试题详情 考点四全等三角形判定及其性质 1.(25-26日照北中)如图，己知∠1=∠2，AC=AD,添加一个条件后，仍然不能证明 △ABC≌△AED,这个条件是() D A.BC=ED B.AB=AE C.∠C=∠D D.∠B=∠E 2.(25-26日照北中)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,BE⊥AC与点E,BE与AD 交于点F,若AD=BD=5,CD=3,则AF的长为() B A.3 B.3.5 c.2.5 D.2 3.(25-26日照)如图1，己知∠a,∠p,线段m,求作△ABC. 作法：如图2，①作线段AB=m;②在AB的同旁作∠A=∠Q,∠B=∠B，∠A与∠B的另 一边交于点C.则△ABC就是所作三角形，这样作图的依据是() m m B 图1 图2 A.SAS B.SSS C.ASA D.SSA 4.(25-26日照)如图，在△ABC和△DCE中，点B、D、C在同-直线上，己知∠ACB=∠E ,AC=CE,添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是() E D A.∠A=∠DCE B.AB∥DE C.BC=DE D.AB=CD 5.(24-25日照)某中学数学兴趣小组的同学在学习了三角形相关知识后，尝试了制作雨伞的 实践活动.康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得 8 AB=AC,E,F分别是AB,AC的中点，且ED=DF,那么△AED≌△AFD的依据是( ) H A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 6.(24-25兖州)打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃， 最省事的方法是() ① ② ④ A.带①②去 B.带②③去 C.带③④去 D.带②④去 7.(25-26临沂)在△ABC中，AB=3,BC边上的中线AD=4,则边AC的取值范围是 8.(25-26日照)小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，0A与 地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C 处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m,∠BOC=90°.爸 爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是() A.Im B.1.6m c.1.8m D.1.4m 9.(25-26临沂)如图所示，AB=AD,∠1=∠2，在不改变图形的情况下，请你添加一个条 件，使△ABC≌△ADE,则需添加的条件是 考点五全等判定性质解答题 1.(25-26日照)如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点， DE⊥AB,垂足为F,且AB=DE. B (1)求证：BD=BC: (2)若BD=8cm,求AC的长. 2.(25-26临沂)风筝又称纸鸢，是中国民间传统工艺美术品的杰出代表，由骨架、蒙面、提 线和尾巴等部分构成.如图所示，风筝的两侧骨架AC=AD,底部骨架BC=BD,点E在 AB的延长线上.求证：∠CBE=∠DBE B 图1 图2 10 3.(25-26日照北中)如图，在△ABC中，E是AB上一点，AC与DE相交于点F,F是 AC的中点，ABIICD D F E B (1)求证：△AEF≌△CDF: (2)若AB=10,CD=7,求BE的长. 4.(25-26日照北中)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.D是AC边上-点，连接BD ,EC⊥AC,且AE=BD,AE与BC交于点F E 11 (1)求证：CE=AD: (2)当AD=CF时，求证：BD平分∠ABC. 5.(25-26日照北中)如图，AD是△ABC的角平分线，H,G分别在AC,AB上，且 HD=BD. H G B (1)求证：∠B与∠AHD互补； (2)若∠B+2∠DGA=180°，请探究线段AG与线段A、HD之间满足的等量关系，并加 以证明。 6.(24-25兖州)己知：点B、E、C、F在-条直线上，AB∥DE,AC∥DF,BE=CF. 求证：AABC≌ADEF 12 7.(24-25兖州)如图，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O, OB=OC.求证：∠0AB=∠OAC. D ●入 O B 8.(24-25日照)如图，己知∠C=∠F=90°，AC=DF,AE=DB,求证：∠A=∠D 13 F B 9.(24-25日照)如图，∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上，∠I=∠2，AE,BD相交于点 0. B 2 D (1)求证：△AEC≌△BED；, (2)若∠2=70°，求∠AEB的度数. 10.(24-25兖州)如图，在△ABC中，AB=CB,∠ABC=90°，D为AB延长线上一点， 点E在BC边上，且AE=CD,连接AE、DE、DC. 1a (1)求证：BE=BD: (2)若∠CAE=30°，求∠BDC的度数. 11.(25-26日照)学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A 、B两点间距离”这一问题，设计了如下方案。 课题 测量河两岸A、B两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 A 测量方案示意图 E D ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D,使得点 A、B、C在一条直线上，且CD=BC; 测量步骤 ②测得∠DCB=100°，∠ADC=65°： ③在CD的延长线上取点E,使得∠BEC=15°； ④测得DE的长度为30米. 请你根据以上方案求出A、B两点间的距离AB, 15 12.(25-26日照北中)如图，嘉嘉想知道一堵墙上的点A距地面的高度A0(墙与地面垂直， 即AO⊥OD),但又不便直接测量，于是嘉嘉同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地 面的夹角∠ABO: 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠DCO=∠ABO.标记此时直杆的底端点D; 第三步：测量OD的长度，即为点A距地面的高度AO. E B D (1)请你说明这样设计的理由： (2)若测得B0=0.9m,D0=2.5m,求AC的长度. 16 考点六角平分线的性质 1.(25-26日照北中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D, 点E为BC边上靠近点C的三等分点，且AB=BE,若阴影部分面积为4，则△ABC的面积为 () A A.6 B.8 C.10 D.12 2.(24-25日照)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作 1 弧，分别交AB,BC于点D和E:②分别以点D,E为圆心，以大于2DE的长为半径作弧，两 弧相交于点F;③作射线BF交AC于点G;④过点G作GH∥BC交AB于点H,若 ∠BHG=110°，则∠HGB=() D B A.25 B.30° C.35° D.40° 3.(25-26日照)如图，△ABC中，AB=6,AC=4,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E, BF⊥AC于点F,DE=2,则BF的长为() 17 B E D A.3 B.4 c.5 D.6 4.(24-25兖州)如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,BD平分∠ABE,DE⊥BC ,如果AB=10cm,则DE+DC的长是(). A.8cm B.10cm C.11cm D.12cm 5.(24-25兖州)如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P,BE=BC,PB与CE交于点 H,PG∥AD交BC于点F,交AB于点G.有下列结论：①GA=GP;② SPMC:SPMB=AC:AB,③BP垂直平分CE;④FP=FC,其中正确的结论有() D C E C B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.(24-25兖州)在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB,过点D作直线EF平行 于BC,分别交AB,AC于点E、F,若BE=2,CF=3,则线段EF的长是 18 7.(25-26临沂)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如 下，其中，射线OP为∠AOB的平分线的有一· ① ② ④ 8.(25-26临沂)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如 下，其中，射线OP为∠AOB的平分线的有 ① ② ③ ④ 9.(25-26日照北中)如图，△ABC的面积为4cm2,AP垂直∠B的平分线BP于P.则 △PBC的面积是_cm2. P 10.(25-26日照)如图，P为∠AOB的平分线上一点，PC10A于点C, ∠OAP+∠OBP=180°，则A0+B0=12cm,则0C= 19 A B 11.(24-25日照)如图，△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC,DE⊥AB,垂足为 D,如果AC=12cm,AE=8cm,那么DE的长为一； B 12.(25-26临沂)如图，在△ABC中，D为△ABC外一点，连接CD,AC平分 ∠BAD,CE⊥AB于点E,∠B+∠ADC=180°. D E B (1)求证：BC=CD: (2)若AB=8,BE=2,求AD的长. 20 考点七全等综合 1.(25-26日照北中)如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC,E为BD延长线上的- 点，BE=BA,过E作EF⊥AB,F为垂足.下列结论：①△ABD2△EBC;② ∠BCE+∠BCD=180°；③AE=EC;④BA+BC=2BF.其中正确的有() E D B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.(25-26日照)如图，在△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD与角平分线BE 相交于点P,过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H.下列结论中，正确的 个数是（) H B ①∠4APB=1350: ②AABP心AFBP:@∠MHP=∠ABC+ ∠BAC:④AH+BD=AB 2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(25-26临沂)如图，△ABC中，外角∠MAC,∠ACN的角平分线AD,CD交于点D, 点P在BN上，∠BAD+∠DPB=I8O°，过点D作DE⊥AB,垂足为E,连接BD,则下列 结论中不一定正确的是() 21 A.BD平分∠ABC B.DC平分∠ADP C.BP-2AE=AB D.S.DAB S.DBC AB:BC 4.(25-26临沂)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D,过点B作 BM⊥AC于点M,连接MD,过点D作DM⊥DN,交BM于点N.CD与BM相交于 点E,若点E是CD的中点，则下列结论中正确的有() ①AD=DE;②DM=DN;③∠AMD=45°：④EM:MC:NE=1:2:3. A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 5.(24-25日照)如图，△ABC中，∠A=60°，AB>AC.两内角的平分线CD、BE交于点 0,OF平分∠B0C交BC于F.(1)∠BOC=120°；(2)连接A0,则A0平分 ∠BAC；;(3)OD=OE;(4)BD+CE=BC.其中正确的结论是 (填序号) 6.(24-25日照)如图，△ABC是等边三角形，点D是BC下方的一点， ∠BDC=120°，BD=CD,点E和点F分别是AC和AB上-点，∠EDF=60°.若△ABC 的周长为12，则△AEF的周长为() 22 D A.5 B.6 C.8 D.9 7.(24-25兖州)如图，在长方形ABCD中，AB=I0cm,点E在线段AD上，且AE=6cm ,动点P在线段AB上，从点A出发以2Cm/s的速度向点B运动，同时点2在线段BC上. 以vcm/S的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBO全等时，v的值为 C E Q →P 夕 8.(25-26日照)如图，∠ABN=60°，点C为射线BN上一定点，E为线段AB延长线上一定 点，且BE=AB=I2,点A关于射线BN对称点为D,连接BD,CD,DE. B P (1)证明：∠BAC=∠BDC: (2)若P为直线BC上一个动点，求△PDE周长最小时，P所在的位置，并求出△PDE周长 的最小值. 3 9.(25-26日照)【思维导图】 丞丞同学通过全等三角形的学习，简要地绘制了关于三角形中线的思维导图. 线段相等→面积相等 中线 构造全等+B 【初步应用】 (1)如图①，在△ABC中，E是AB的中点，连接CE,过点E作EF⊥BC于点F,若 △ABC的面积是I2,EF=2,求BC的长. 24 图@ 图② 【推导明理】 (2)如图②，AD是△ABC的中线，若AB=6,AC=4.求AD的取值范围. 丞丞同学利用所学的数学知识及解题经验，先延长AD至点H,使得AD=DH,连接BH, 从而得到△ADC≌△HDB,进而通过全等三角形的性质和三角形三边的关系得出AD的取值范 围；在辅助线的做法上，霖霖同学经过思考，先过点B作BH∥AC,交AD的延长线于点H ,从而得到△ADC≌△HDB,进而解决问题. 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程。 【拓展运用】 (3)如图③，在△ABC中，CA=CB,D,F分别是AC,BC上-点，连接BD,AF,E是 BD的中点，连接AE,若∠BAF=∠CAE=∠ACB,求证：AD+BF=BC, F 图③ 10.(25-26日照北中)【基础回顾】 (1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线I经过点A,分别从点B,C向直 线I作垂线，垂足分别为D,E.求证：△ABD≌△CAE: 25 A GC 图1 图2 图3 【变式探究】 (2)如图2，在△ABC中，AB=AC,直线1经过点A,点D,E分别在直线I上，如果 ∠CEA=∠ADB=∠BAC,猜想DE,BD,CE有何数量关系，并给予证明： 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边 AB,AC为一边向外作△BAD和△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD, AC=AE,AG是边BC上的高.延长GA交DE于点H,若BG=4CG,请直接写出BG与 AH的数量关系. 11.(25-26临沂)【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过翻 折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形， 从而构建模型，解决问题 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，点E,F分别 是BC,CD上的点，且∠EAF=6O°，连接EF,探究线段BE,EF,DF之间的数量关系. 26 图1 图2 (1)探究发现：小雨同学的方法是延长FD到点G.使DG=BE,连接AG,先证明 △ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF，从而得出结论：一； (2)拓展延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边 BC.CD上的点，且∠B1F=)∠BMD,请问()中的结论是香仍然成立？若成立，请写出 证明过程，若不成立，请说明理由， 12.(25-26临沂)【数学建模】 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.如图1，已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC,直线I经过点A,BD⊥直线I、CE⊥直线l,垂足分别为点 D,E 27 图1 图2 图3 (1)请直接写出DE,BD和CE之间的关系 【变式探究】 (2)小丽认为当△ABC不是直角三角形时，上述结论仍然成立。如图2，在△ABC中， AB=AC,D,A,E三点都在直线I上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC,可得 DE=BD+CE.你同意小丽的说法吗？请说明理由. 【拓展应用】 (3)小华认为上述结论可以用来解决等边三角形中的问题.如图3，△ABF和△ACF均为 等边三角形，点D,A,E是同一直线I上不重合的三点，∠BDA=∠AEC=∠BAC,请说 明△DEF为等腰三角形. 13.(24-25兖州)(1)问题发现：如图1，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在 同一条直线上，连接AE. 28 图1 图2 图3 ①∠AEC的度数为 ②线段AE、BD之间的数量关系为一 (2)拓展探究：如图2，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点 B、D、E在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE,试求∠AEB的度数及 判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由： (3)解决问题：如图3，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，点B、 D,E在同一条直线上，请直接写出∠EAB+∠ECB的度数. 29 14.(24-25日照)【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC 中，AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.经过组内合作交流，小明得到了 如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD.请根据小明的方法思考： D 图1 图2 (1)请证明△ADC≌△EDB, (2)请直接写出AD的取值范围一<AD<一： 【问题解决】请利用上述方法解决问题. (3)如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB,∠BAC=∠BCA,求 证AE=2AD 30 15.(24-25日照)如图，在平面直角坐标系中，点A(a,0),点B(b,0),且a,b满足 (a+b)2+b-3=0,△ABC是等边三角形， (1)求点A,点B的坐标： (2)如图，在△ABC的外角平分线上有一点Q: ①连接CO,当CQ最小时，BQ的长度为一： ②在x轴上有一动点P使得∠CPQ=60°不变，当PB=2时，求点2的横坐标. 31 七、答案与解析 考点四全等三角形判定及其性质 第1题 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定方法.由∠I=∠2结合等式的性质可得 ∠CAB=∠DAE,再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可. 【详解】解：∠1=∠2， ∴.∠I+∠EAB=∠2+∠EAB, 即∠CAB=∠DAE, A、添加BC=ED不能证明△ABC≌△AED,该选项符合题意； B、添加AB=AE可利用SAS定理证明△ABC≌△AED,该选项不符合题意： C、添加∠C=∠D可利用ASA证明△ABC≌△AED,该选项不符合题意： D、添加∠B=∠E可利用AAS证明△ABC≌△AED,该选项不符合题意； 故选：A. 第2题 【答案】D 【解析】 【分析】根据ASA推出△BDF≌△ADC,根据全等三角形的性质得出CD=DF,根据线段 的和差即可得出答案， 32 【详解】解：BE⊥AC,AD⊥BC, ∴.∠AEB=∠ADC=∠BDF=90°」 :∠AFE=∠BFD,∠FBD+∠BDF+∠BFD=18O°，∠AEB+∠AFE+∠DAC=18O°. .∠DAC=∠DBF, 在△BDF和△ADC中， I∠DBF=∠DAC BD=AD ∠BDF=∠ADC ∴.ABDF≌△ADC(ASA) .DF=CD=3. AF+DF=AD=5. .AF=2, 故选：D 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，能求出△BDF≌△ADC是解此题的关键. 第3题 【答案】c 【解析】 【分析】本题考查作图一复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的 相等元素，据此得出全等的判定方法， 根据题中的图形，可以得到∠B=B,AB=m,∠A=α，再根据全等三角形的判定方法，求 解即可. 【详解】解：由作图可知，∠B=B,AB=m,∠A=a, 33 则这个作图的依据是：两角及夹边对应相等的两个三角形全等，即ASA】 故选C. 第4题 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、 AAS和HL)是解题的关键.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等.判定两个三角 形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角.根据全等三角形的 判定方法逐一判断即可. 【详解】解：.∠ACB=∠E,AC=CE, A、添加∠A=∠DCE,利用ASA能判定△ABC≌ADCE,故该选项不符合题意： B、添加AB∥DE,则∠A=∠DCE,利用ASA能判定△ABC≌ADCE,故该选项不符合 题意； C、添加BC=DE,利用SAS能判定△ABC≌ADCE,故该选项不符合题意； D、添加AB=CD,利用SSA不能判定△ABC≌△DCE,故该选项符合题意； 故选：D 第5题 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理.由E, F分别是AB,AC的中点，得出AE=AF；根据三边对应相等，证明三角形全等即可. 【详解】解：：E,F分别是AB,AC的中点，AB=AC, .AE=AF, 2 在△AED与△AFD中， 「AE=AF ED=DF AD=AD △AED≌△AFD(SSS).故选：D. 第6题 【答案】A 【解析】 【分析】由己知条件可知，该玻璃为三角形，可以根据这4块玻璃中的条件，结合全等三角形 判定定理解答此题， 【详解】A选项带①②去，符合三角形ASA判定，选项A符合题意： B选项带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项B不符合 题意； C选项带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项C不符合 题意； D选项带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项D不符 合题意； 故选：A 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定方法的灵活运用，解答本题的关键是熟练掌握全等三 角形的判定方法，包括：SSS、SAS、ASA、AAS、HL,做题时要根据已知条件进行选择运 用. 第7题 【答案】5<AC<11 35 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握全等三 角形的判定和性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键 延长AD至E,使DE=DA,连接BE,则AE=2AD=8,证明△EBD和△ACD全等得 AC=BE,在△ABE中，根据三角形三边之间得5<BE<I1,由此即可得出边AC的取值范 围。 【详解】解：延长AD至E,使DE=DA,连接BE,如图所示： D ∴.AE=DE+DA=2AD, AD=4, AE=8, :AD是△ABC的中点， ∴BD=CD. 在△EBD和△ACD中， BD=CD ∠BDE=∠ADC, DE=DA .AEBD≌AACD ∴.AC=BE, 36 在△ABE中，根据三角形三边之间得：AE-AB<BE<AB+BE, AB=3,AE=8, .∴8-3<BE<8+3. .5<BE<11, 即5<AC<11, 故答案为：5<AC<11 第8题 【答案】D 【解析】 【分析】利用全等三角形判定(AAS),证得AOBD与△COE全等，根据全等三角形性质可 求出OE和OD的值，进而求出OA的值，最后根据OA-OE=AE,即可求出问题答案. 【详解】解：：∠BOC=90°， .∠BOD+∠COE=90° .∠BDO=90°，∠CE0=90°. .∠BOD+∠OBD=90°，∠COE+∠OCE=90°， :∠COE=∠OBD.∠BOD=∠OCE. 又OB=CO AOBD兰△COE(AAS), ..OE BD=1.4m,OD=CE=1.8m, .AE =OA-OE =OD+DA-OE=1.8m+1m-1.4m=1.4m. 37 故选：D 【点睛】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解 题关键。 第9题 【答案】AC=AE(或∠B=∠D或∠ACB=∠AED) 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型. 根据全等三角形的判定方法即可解决问题. 【详解】解：·∠1=∠2 ∴.∠1+∠DAC=∠2+∠DAC. 即∠BAC=∠DAE, AB=AD, ∴.根据SAS只要添加AC=AE即可， 根据ASA只要添加∠B=∠D即可， 根据AAS只要添加∠C=∠E即可. 故答案为：AC=AE(或∠B=∠D或∠ACB=∠AED) 考点五全等判定性质解答题 第1题 【答案】(1) 证明：∠DBE=∠BCA=90°，DE⊥AB ∴.∠DEB+∠ABC=90°，∠A+∠ABC=90° 38 .∠DEB=∠A. 在△EBD和△ACB中， ∠DEB=∠A ∠DBE=∠BCA AB=DE ∴.△EBD≌AACB(AAS) .BD=BC. (2)4cm 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. (I)先证∠DEB=∠A,进而证明△EBD≌△ACB(AAS),可得BD=BC; (2)由△ACB≌aEBD,得AC=EB,再结合E是BC的中点，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由△ACB≌△EBD,得AC=EB. E为BC的中点， EB=BC BD=8cm,BC=BD ..BC=8cm. 39 1 .AC=EB=-BC=4cm 2 第2题 【答案】 解：依题意，在△ABC和△ABD中， AC=AD BC=BD AD=AD ∴.△ABC≌AABD(SSS) .∠ABC=∠ABD ·.'∠ABC+∠CBE=∠ABD+∠DBE=180° .∠CBE=∠DBE 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先理解题意，运用SS$方式证明 △ABC≌△ABD,故∠ABC=∠ABD,又因为∠ABC+∠CBE=∠ABD+∠DBE=18O°，则 ∠CBE=∠DBE,即可作答. 【详解】略 第3题 【答案】（1) 证明：：AB‖CD .∠A=∠DCF, 点F是AC的中点， 40 .AF=CF, 在△AEF和△CDF中， ∠A=DCF AF=CF ∠AFE=∠CFD .△AEF≌aCDF(ASA), (2)3 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定和 性质是解题的关键。 (I)由平行线的性质可得∠A=∠DCF,由中点定义可得AF=CF,再利用ASA即可证得 结论： (2)利用全等三角形的性质可得AE=CD,再由BE=AB-AE即可求得答案， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由(I)得：△AEF≌△CDF, .AE =CD. :AB=10,CD=7, .BE=AB-AE=AB-CD=10-7=3 第4题 【答案】(1) 证明：，EC⊥AC,且∠BAC=90°， 41 .∠ACE=∠BAC=90°. 在Rt△CAE与RteABD中， AE=BD CA=AB' :.RtACAE≌Rt△ABD(HL), 'CE=AD; (2) 证明：由上一问得RtACAES≌RtAABD, ∴.∠EAC=∠ABD,∠E=∠ADB, 由上一问得CE=AD 又，AD=CF, ..CE=CF .∠CFE=∠E, 又.∠CFE=∠AFB. .∠AFB=∠ADB, 记AE与BD相交于点H, H E △AHD中，∠AHD+∠ADB+∠DAH=180°， 42 △BHF中，∠BHF+∠HFB+∠HBF=180°， .∠AHD=∠BHF,∠ADB=∠HFB, .∠DAH=∠HBF, 又.∠DAH=∠ABD, ..∠HBF=∠ABD .BD平分∠ABC. 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形 内角和定理，解决本题的关键是证明RtACAES≌RtAABD. (1)根据直角三角形的判定定理证明即可： (2)先由RtACAES≌Rt△ABD,可得∠EAC=∠ABD,∠E=∠ADB,再根据等边对等角， 可得∠CFE=∠E,由此可得∠AFB=∠ADB,再根据三角形内角和为180°，即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第5题 【答案】(1) 证明：，AD是△ABC的角平分线， .∠CAD=∠BAD. 在AB上取一点M,使得AM=AH,连接DM, 43 AH=AM ∠CAD=∠BAD AD=AD .△AHD≌△AMD(SAS) .HD=MD,∠AHD=∠AMD HD=DB. ∴.DB=MD. .∠DMB=∠B, .·∠AMD+∠DMB=180°」 .∠B+∠AHD=180°： (2)AG=AH+HD 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角 形的外角定理，应用角平分线构造全等是常用的构造全等的方法，遇到角平分线常有“翻折构 造全等”、“作角边的垂线段”两种辅助线方法 (I)在AB上取一点M,使得AM=AH,连接DM,则利用SAS可得出△AHD≌△AMD ,从而得出DB=MD,即有∠DMB=∠B,通过转化可证明结论： (2)由(1)的结论中得出的∠AHD=∠AMD,结合三角形的外角可得∠DGM=∠GDM ,可将HD转化为MG,从而在线段AG上可解决问题. 【小问1详解】 82 略 【小问2详解】 解：AG=AH+HD.理由如下， 由(1)HD=MD,∠AHD=∠AMD,∠B+∠AHD=180° :∠B+2∠DGA=180°， .∠AHD=2∠DGA. .∠AMD=2∠DGM. 又.∠AMD=∠DGM+∠GDM, :.2∠DGM=∠DGM+∠GDM,即∠DGM=∠GDM, .MD=MG. .'HD=MG .·AG=AM+MG .AG=AH+HD 第6题 【答案】 证明：，AB∥DE, ∴.∠B=∠DEF. AC∥DF, ∠ACB=∠F, BE =CF, ∴.BE+EC=CF+EC, 45 即BC=EF, 在△ABC和△DEF中， ∠B=∠DEF BC=EF ∠ACB=∠F :.△ABC≌ADEF(ASA 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，由平行线的性质得到∠B=∠DEF,∠ACB=∠F, 由线段之间的关系得到BC=EF，,即可证明△ABC2aDEF(ASA 【详解】略 第7题 【答案】 证明：CD⊥AB,BE⊥AC, .∠ADO=∠BDO=90°，∠AEO±∠CEO=90° .∠BOD=∠COE,OB=OC, ∴.△BOD≌aCOE(AAS). ..OD=OE, OD=OE AOD和R△AOE中A0=A0, 在 ∴Rt△AOD≌Rt△AOE(HL) ∴.∠OAB=∠OAC. 【解析】 46 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识.先证明 △BOD≌△COE,得出OD=OE,再证明RtAAODS≌RtAAOE(HL)即可得出结论. 【详解】略 第8题 【答案】 证明：AE=DB, .AE+EB=DB+EB,AB=DE, 在Rt△ACB和Rt△DFE中， AC=DF AB=DE' .RtAABCSRtADEF (HL): .∠A=∠D 【解析】 【分析】根据HL证明两个三角形全等，再由三角形的性质可得结论。 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，尤其是掌握直角三角形特殊的全等判定：HL ，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件. 第9题 【答案】(1) 证明：：I+∠BDE=∠ADE,∠2+∠C=∠ADE,I=∠2， .∠BDE=∠C, 47 在△BDE和△ACE中， ·∠A=∠B,AE=BE,∠BDE=∠C, .△AEC≌△BED: (2)70° 【解析】 【分析】(1)根据三角形外角的性质可得∠BDE=∠C,即可求证； (2)根据全等三角形的性质可得∠BED=∠AEC,即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，△AEC≌△BED, .∠BED=∠AEC. .∠AEB=∠2=70° 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形 的判定和性质是解题的关键， 第10题 【答案】(1) 证明：：∠ABC=90°，D为AB延长线上一点， .∠CBD=180°-∠ABC=90° .∠CBD=∠ABC 在Rt△ABE和Rt△CBD中， 48 AE=CD AB=CB' :.Rt△ABE≌RtACBD(HL)」 ∴.BE=BD; (2)75° 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性 质等知识，证明Rt△ABE≌Rt△CBD是解题关键. (I)利用“HL”证明Rt△ABE≌Rt△CBD,由全等三角形的性质可证明结论： (2)首先根据等腰直角三角形的性质可得∠BAC=45°，进而可推导∠BAE=15°，再根据 全等三角形的性质可得∠BAE=∠BCD=15°，然后根据“直角三角形的两锐角互余”，可得 答案。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，AB=CB,∠ABC=90° &∠B4C=∠BCM=5x90°=45， .:∠CAE=30° .∠BAE=∠BAC-∠CAE=45°-30°=15°. .·Rt△ABE≌Rt△CBD. .∠BAE=∠BCD=15°. .∠CBD=90°」 49 .∠BDC=90°-∠BCD=90°-15°=75° 第11题 【答案】30米 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练 掌握三角形全等的方法.证明△ACD≌aECB(AAS),得出AC=CE,根据CB=CD,求出 AB=DE=30米. 【详解】解：∠C=100°，∠ADC=65°， ∴.∠CAD=180°-∠DCB-∠ADC=15°. .∠BEC=15° .∴∠CAD=∠BEC, 「∠A=∠E 在 与 中∠C=∠C, △ACD△ECB CD=CB :△ACD≌aECB(AAS), .AC=CE, 又CB=CD .AB=DE=30米 第12题 【答案】(1) 50 解：AO⊥OD .∠AOB=∠DOC=90°， 在△AOB与△DOC中， ∠AOB=∠DOC ∠ABO=∠DCO AB=DC ∴.△AOB≌△DOC(AAS) :.OA=OD; (2)AC=1.6m 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质. (I)由垂直的定义可得出∠AOB=∠COD=90°，由题意可知，AB=CD,结合己知条件利用 AAS证明△AOB≌aDOC,由全等三角形的性质可得出AO=DO, (2)利用全等三角形的性质可得出CO=BO,AO=DO,根据AC=AO-CO=DO-BO 即可得出答案。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：：△AOB≌ADOC .∴OB=0C=0.9m,0A=OD=2.5m .0A-0C=0D-0B=2.5-0.9=1.6(m). 即AC=1.6m 51 考点六角平分线的性质 第1题 【答案】c 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积的计算，过点D作DM⊥AB于点 M,DN⊥BC于点N,根据角平分线的性质得出DM=DN,根据AB=BE,得出 &o=S=4限品pE-2GE·阳猫e分mX4=2,是后碳出AC的面制 1 即可. 【详解】解：过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥BC于点N如图所示： A ,BD平分∠ABC, .DM =DN AB=BE, .S.ABD =S.BDE=4, :点E为BC边上靠近点C的三等分点， .BE=2CE. 52 ·SmE三25mE=)X4=2 2 ∴.△ABC的面积为4+4+2=10， 故选：C 第2题 【答案】c 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，熟练掌握角平分线的基本作图思想是解决问题的关键. 也考查了平行线的性质以及三角形内角和，由题意可知BG是∠ABC的平分线，得到 ∠ABG=∠CBG,根据平行线的性质得到∠IHGB=∠CBG,等量代换得到∠HGB=∠ABG ,根据三角形的内角和定理即可得到结论， 【详解】解：由题意可知BG是∠ABC的平分线， ∴.∠ABG=∠CBG :HG∥BC, .∠HGB=∠CBG, .∠HGB=∠ABG. .∠BHG=110°， :∠4GB=∠HBG=x（180°-110°)=35°， 2 故选：C. 第3题 53 【答案】c 【解析】 【分析】过D作DG⊥AC于点G,根据角平分线的性质以及割补法可列出等式，进而可求出 BF的值. 【详解】解：如图，过D作DG⊥AC于点G, B E D FGC .AD平分∠BAC,DE⊥AB, ∴.DG=DE=2, :SARC=S4RD+SACD 4Cr-4BnE+号4CDG, “2×4.BF=)x6x2+号x4x2, 1 1 2 解得BF=5, 故选：C 【点睛】本题考查角平分线的性质，割补法求面积，能够熟练掌握角平分线的性质是解决本题 的关键。 第4题 【答案】B 【解析】 54 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、根据角平分线的性质，得AD=DE，进而得出 DE+DC =10cm 【详解】解：：BD平分∠ABE,DE⊥BC,DA⊥AB ∴.AD=DE 又：AB=AC .DE+DC=AD+DC=AC=AB=10cm 故选：B. 第5题 【答案】D 【解析】 【分析】①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论； ②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论： ③根据线段垂直平分线的性质即可得结果： ④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果. 【详解】解：①：AP平分∠BAC, ∴∠CAP=∠BAP, PGIIAD」 ∴.∠APG=∠CAP, ∴.∠APG=∠BAP, :.GA=GP: ②·AP平分∠BAC, 55 ∴.P到AC,AB的距离相等， SAPAC SAPAR AC:AB ③：BE=BC,BP平分∠CBE, ∴.BP垂直平分CE(三线合一)， ④：∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P,可得点P也位于∠BCD的平分线上， ∴.∠DCP=∠BCP 又PGIIAD, .∠FPC=∠DCP :.FP=FC, 故①②③④都正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的 关键是根据角平分线的性质和平行线的性质解答， 第6题 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边.明确角度之间的关系确定线段的 等量关系是解题的关键， 由角平分线可得∠ABD=∠CBD,∠ACD=∠BCD,由平行线的性质可得 ∠EDB=∠CBD=∠ABD,∠FDC=∠BCD=∠ACD,则BE=DE,CF=DF,根据 EF=DE+DF=BE+CF,求解即可. 【详解】解：：BDCD分别平分∠ABC、∠ACB, 6 :.∠ABD=∠CBD,∠ACD=∠BCD, EF∥BC, ∴.∠EDB=∠CBD=∠ABD.∠FDC=∠BCD=∠ACD. .BE=DE,CF=DF, .EF=DE+DF=BE+CF=5. 故答案为：5. 第7题 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质和证明，选择适当条件证明三角形全等进而证明 ∠AOP=∠BOP是解题关键. ①由图可知，OC=OD,CP=DP,OP=OP,据此证明△OPC≌△OPD即可. ②由图可知，OC=OD,OP垂直平分CD,据此证明RtAOPCS≌RtAOPD即可. ③由图可知，OC=OD,OA=OB,AC=BD,依次证明△AOD≌△BOC, △ACP≌ABDP,△APO≌△BPO即可. ④由图可知，∠ACP=∠AOB,CO=CP,据此证明∠CPO=∠POB即可. 【详解】解：①有图可知， 「OC=OD CP=DP OP=OP :aOPC≌aOPD(SSS). 57 ∴.∠AOP=∠BOP ∴射线OP是∠AOB的角平分线； ②由图可知， OC=OD.OP⊥CD OC=OD .OP=OP, :RtAOPCS≌RtAOPD(HL), .∠AOP=∠BOP. ∴射线OP是∠AOB的角平分线； ③由图可知， OA=OB ∠AOD=∠BOC ..OC=OD :△AOD≌△BOC(SAS). ∴.∠OAD=∠OBC, ∠OAD=∠OBC ∠APC=∠BPD, .AC=BD :△ACP≌aBDP(AAS). ∴.AP=BP, AP=BP AO=BO ..OP=OP 58 :.△APO≌△BPO(SSS) ∴.∠AOP=∠BOP, ∴射线OP是∠AOB的角平分线： ④由图可知， ∠ACP=∠AOB .CPllOB ∴.∠BOP=∠CPO .…CO=CP .∠COP=∠CPO .∠BOP=∠COP, ∴射线OP是∠AOB的角平分线. 故答案为：①②③④. 第8题 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质和证明，选择适当条件证明三角形全等进而证明 ∠AOP=∠BOP是解题关键 ①由图可知，OC=OD,CP=DP,OP=OP,据此证明△OPC≌△OPD即可. ②由图可知，OC=OD,OP垂直平分CD,据此证明RtAOPCS≌RtAOPD即可. ③由图可知，OC=OD,OA=OB,AC=BD,依次证明△AOD2△BOC, △ACP≌ABDP,△APO≌△BPO即可. o ④由图可知，∠ACP=∠AOB,CO=CP,据此证明∠CPO=∠POB即可. 【详解】解：①有图可知， OC=OD CP=DP OP=OP :.aOPC≌aOPD(SSS). .∠AOP=∠BOP. ∴射线OP是∠AOB的角平分线： ②由图可知， OC=OD.OP⊥CD, OC=OD ..OP=OP, RtAOPCRtAOPD(HL). .∠AOP=∠BOP. ∴.射线OP是∠AOB的角平分线： ③由图可知， OA=OB ∠AOD=∠BOC .OC=OD :△AOD≌△BOC(SAS). .∠OAD=∠OBC. 60 ∠OAD=∠OBC ∠APC=∠BPD. :.AC=BD :△ACP≌△BDP(AAS) .AP=BP, AP=BP A0=BO ..OP=OP :.△APO≌△BPO(SSS). ∴.∠AOP=∠BOP ∴射线OP是∠AOB的角平分线： ④由图可知， ∠ACP=∠AOB. ..CPOB .∴.∠BOP=∠CPO …CO=CP .∠COP=∠CPO .∠BOP=∠COP, ∴射线OP是∠AOB的角平分线. 故答案为：①②③④. 第9题 61 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定 理，构造辅助线是解题的关键.延长AP交BC于点D,先证△ABP2ADBP,得到AP=DP ,然后过A、P作AE⊥BC于点E,PF⊥BC于F,证PF是△AED的中位线，再根据三 1 角形的面积公式得出S,mC= SC即可求解。 【详解】解：延长AP交BC于点D, AP⊥BP, ∴.∠APB=∠PBD=90°， ·BP平分∠ABC, ∴.∠ABP=∠DBP, .BP=BP, :△ABP≌△DBP(AAS), .AP=DP, 过A、P作AE⊥BC于点E,PF⊥BC于F, .AE‖PF, .DF =EF, ∴.PF是△ADE的中位线 -BC-AE.S.oc-BCPF-1BCIAE-1BCAE, 2 2 22 4 62 =2=x4=2cm) 2 2 故答案为：2. B EFD 第10题 【答案】6cm 【解析】 【分析】作PD⊥OB于点D,根据角平分线的性质可得PC=PD,再由 ∠OAP+∠OBP=180°可得∠OAP=∠DBP,即可证明△PCA≌aPDB(AAS)得到AC=BD ,即可证明A0+B0=2OC,求解即可. 【详解】作PD⊥OB于点D, A P B D :P为∠AOB的平分线上-点，PC⊥OA于点C, .∠POC=∠POD,∠PCO=∠PDO=90°， PO=PO .:APOC≌aPOD(AAS), .PC=PD,OC=OD 63 .'∠OAP+∠OBP=180°，∠DBP+∠OBP=180°， ∴.∠OAP=∠DBP. .'∠PCA=∠PDB=90° .△PCA≌△PDB(AAS). .AC=BD .A0+BO=OC+AC+OD-BD=20C=12cm. ..OC=6cm, 故答案为：6cm. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定 和性质是解题的关键。 第11题 【答案】4cm 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，首先根据线段的和差得到EC=4cm,然后根据角 平分线的性质定理求解即可，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到 角的两边的距离相等， 【详解】，AC=12cm, .EC+AE=12cm, AE =8cm .∴.EC=4cm, :BE平分∠ABC,∠ACB=90°，DE⊥AB, ∴.EC=ED=4cm 64 故答案为：4cm. 第12题 【答案】(1) 证明：过点C作CF⊥AD,交AD延长线于点F, E AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD .CE=CF,∠BEC=∠AFC=90° ·.'∠B+∠ADC=180°，∠CDF+∠ADC=180° .∴∠CBE=∠CDF, 在△CDF与△CBE中， ∠CEB=∠CFD ∠CBE=∠CDF, CF=CE ∴.ACDF≌ACBE(AAS) :.BC=CD: (2)AD=4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解 题的关键. 65 (1)先过点C作CF⊥AD,交AD延长线于点F,结合AC平分 ∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD,得CE=CF,∠AEC=∠AFC=90°，又因为 ∠B+∠ADC=180°，证明aCDF≌aCBE(AAS),即可作答. (2)由(1)可得△CDF≌△CBE,则DF=BE,再证明RtAACF≌RtAACE(HL),得 AF=AE.即AB=AD+2BE,把AB=8,BE=2代入AD=AB-2BE进行计算，即可作 答 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由(I)可得△CDF≌△CBE, ∴DF=BE, 在Rt△ACF与Rt△ACE中， AC=AC CF=CE :RtAACFS≌RtAACE(HL), .AF=AE, AB=AE+BE, ∴.AB=AF+BE=（AD+DF)+BE 即AB=AD+2BE, AB=8,BE=2, .AD=AB-2BE=8-4=4. 66 考点七全等综合 第1题 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等边对等角等知识点， 解题的关键是熟练掌握以上性质， ①根据条件证明△ABD≌△EBC即可； ②根据等边对等角和对顶角以及①中全等三角形的性质进行求解即可； ③根据求证出来的条件，找出相等的角，利用等角对等边即可得出结论； ④过点E作EG⊥BC，,交BC的延长线于点G,证明RtAFBES≌RtAGBE和 Rt△AEF≌Rt△CEG,得出相等线段，然后利用线段的和差即可得出结论. 【详解】解：①·BD为△ABC的角平分线， .∠ABD=∠EBC, 又BD=BC,BE=BA, .△ABD≌△EBC(SAS) 故①正确，符合题意： ②.BD=BC, .∠BCD=∠BDC, ∠ADE=∠BDC .∠BCD=∠ADE, 由①得△ABD≌△EBC, 67 ∴.∠BDA=∠BCE. .∠BDA+∠ADE=180°， .∠BCE+∠BCD=180° 故②正确，符合题意： ③，BD=BC,BE=BA,且∠ABD=∠EBC, .∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA, 又：∠ADE=∠BDC, ∴.∠ADE=∠BEA, .AE=AD. :△ABD2△EBC, .AD=CE, .AE=EC, 故③正确，符合题意： ④如图，过点E作EGLBC,交BC的延长线于点G, E D B :BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB,EG⊥BC, .∴.EF=EG, 又BE=BE, 68 :.RtaFBE≌RtAGBE(HL) .BF=BG. 由③得AE=EC, .RtAAEFS≌RtACEG(HL), ∴.AF=CG, .BA=BF+AF=BF+CG.BC+CG=BG=BF .BA-CG+BC+CG=2BF ∴.BA+BC=2BF, 故④正确，符合题意； 综上，正确选项为①②③④， 故选：A. 第2题 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和以及角平分线的定义，证明三角形 全等是解题的关键， 根据三角形内角和以及角平分线的定义得∠PAB+∠PBA=45°，继而得出∠APB的度数，即 可判断①；推出∠APB=∠FPB,根据ASA证明即可，即可判断②；证明 △PAH≌△PFD(ASA),得AH=FD, ∠AHP=∠FDP，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④. 69 【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°， .∠CAB+∠CBA=90° .·AD、BE分别平分∠CAB、∠CBA, ∠PAC=∠PAB=)∠CAB,LPBF=∠PBA=}∠CBA, 2PB+∠n31=CB+2CB0=x0=45, :.∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA)=180°-45°=135°，故结论①正确： .∠BPD=180°-∠APB=180°-135°=45°， 又.PF⊥AD, ∴.∠FPA=∠FPD=90°， ∴.∠FPB=∠FPD+∠BPD=90°+45°=135° .∴∠APB=∠FPB, 在△ABP和△FBP中， 「∠APB=∠FPB PB=PB ∠PBA=∠PBF :△ABP≌△FBP(ASA),故结论②正确； ∴∠BAP=∠BFP,AB=FB,PA=PF. .∠PAH=∠PFD=90°-∠ADF, 在△PAH和△PFD中， 70 ∠PAH=∠PFD PA=PF ∠APH=∠FPD ∴.△PAH≌△PFD(ASA). ∴.AH=FD,∠AHP=∠FDP, :∠ADC=∠ABC+∠DAB=∠ABC+∠CAD=∠ABC+∠BAC. :∠AHP=∠ADC=∠ABC+)∠BAC,故结论③正确： 又：AH=FD,AB=FB .AB=FB=FD+BD=AH+BD. 即AH+BD=AB，,故结论④正确， .正确的个数是4个. 故选：D 第3题 【答案】B 【解析】 【分析】作DF⊥AC于点F,DG⊥BC于点G,由角平分线的性质，等量代换，可得 DE=DG,即可得BD平分∠ABC,在BP上截取BH=AB,连接DH,可证明 △ABD2 HBD(SAS),可得DA=DH,证明△AED≌aPGD(AMS),可得DA=DP, AE=PG,可得DH=DP,由等腰三角形的性质，等量代换，可得HP=2PG=2AE,即 可得BP-2AE=AB,由DE=DG,可得S,DMB:S,DC=AB:BC,即可得符合题意的选 项 【详解】解：作DF⊥AC于点F,DG⊥BC于点G, 之 M A PN :AD平分∠MAC,DE⊥AB,DF⊥AC, .DE=DF, :CD平分∠ACN,DF⊥AC,DG⊥BC, .DF=DG .DE=DG, DE⊥AB,DG⊥BC, :BD平分∠ABC, ·.选项A结论正确，不符合题意； 由已知无法得出DC平分∠ADP, ·.选项B结论不一定正确，符合题意； 在BP上截取BH=AB,连接DH, M E B PN :BD平分∠ABC, .∠ABD=∠HBD, 在△ABD和△HBD中， 72 AB=BH ∠ABD=∠HBD, BD=BD △ABD≌aHBD(SAS), .DA=DH, :∠BAD+∠DPB=180°，∠BAD+∠DAE=180° ∴.∠DPB=∠DAE, 在AAED和△PGD中， ∠DAE=∠DPG ∠AED=∠PGD DE=DG .△AED≌aPGD(AAS), .DA=DP,AE=PG, .DH=DP, 又.DG⊥HP, .HP=2PG=2AE, .BP-2AE BP-2PG=BP-PH=BH=AB, .选项C结论正确，不符合题意； S.nu-7 AB-DE.S.me=BCDG 2 DE=DG, 8w成ax-号4 nE) 73 ·.选项D结论正确，不符合题意， 故选：B 【点睛】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性 质，与三角形的高有关的计算、 第4题 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，可证明 ∠DCB=45°=∠DBC得到BD=CD,则可证明△BDE≌aCDA,得到AD=DE,故①正 确：可证明△BDN≌△CDM,得到DN=DM,则可得到∠DNM=∠DMN=45°，进而可 证明②③正确；过点D作DF⊥BM于P,可证明△DFE≌△CME,推出 DF=MC,BF=BM=M.进而得到ME-M,东此可推出④正编. 【详解】解：：BM⊥AC,CDL AB ∴.∠BDE=∠ADC=90°，∠EMC=90° .∴∠MCE+∠MEC=90°，∠EBD+∠BED=90°」 又：∠BED=∠MEC, .∴.∠EBD=∠MCE :∠ABC=45°， .∴∠DCB=45°=∠DBC. .BD=CD. 在△BDE和△CDA中， 74 ∠BDE=∠CDA BD=CD ∠EBD=∠ACD ∴.△BDE≌ACDA(ASA)」 AD=DE,故①正确： .DM⊥DN,CD⊥AB ∴.∠BDE=∠NDM=90°」 ∴.∠BDN+∠NDE=∠NDE+∠CDM, ∴.∠BDN=∠CDM 在△BDN和△CDM中， ∠BDN=∠CDM BD=CD ∠NBD=∠MCD .ABDN≌aCDM(ASA), .DN=DM,故②正确， ∠DNM=∠DMN=45°. .∠EMC=90°， 且∠AMD+∠DMN+∠EMC=180°， .∠AMD=180°-∠DMN-∠EMC=180°-45°-90°=45°，故③正确： 如图，过点D作DF⊥BM于F, 75 M B .DF⊥BM,BM⊥AC ∴.∠DFE=∠EMC=90°， 点E是CD的中点， ∴.ED=EC, 在△DFE和△CME中， I∠DFE=∠CME ∠DEF=∠CEM, ED=EC :ADFE≌ACME(AAS), :.DF=MC.EF-EM-MF 由②得△DMN是等腰直角三角形， ∴.DF=NF=MF, :NE-NF+EF-MF+lMF-3MF 2 2 :△BDW≌△CDM, ∴.BN=CM=DF=MF EM:MC:N=MF:MF:Mr=12:3,tO正前 故选：D 6 第5题 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义和性质，全等三角形的判定和性 质，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB度数，可得∠EBC+∠DCB度数，进而求出 ∠BOC即可判断(I);过O作OM⊥AB于M,O2LAC于O,ON⊥BC于N,根据角 平分线性质求出O0=OM=ON,即可判断(2)；证aMOD≌△QOE,推出OD=OE, 即可判断(3)；证明RtABNOS≌RtABMO(HL)和RtACNO2 RtACQO,得出BM=BN, CN=CQ,代入即可求出BD+CE=BC,即可判断(4)；正确作出辅助线是解题的关 键。 【详解】解：∠A=60°， .∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°. 48C+4C)=60. BE平分∠ABC,CD平分∠ACB, FC-AC ZDCR-ACB. :.∠EBC+∠DCB=(LABC+∠ACB)=60°， :.∠BOC=180°-（∠EBC+∠DCB)=120° ∴.（1)正确： 77 B FN 过O作OM⊥AB于M,O0⊥AC于Q,ON⊥BC于N, ·O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点， ∴.OM=ON,ON=O2. ..00=OM .O在∠A平分线上， .(2)正确： .∠B0C=120°. .∠D0E=120°， :OM⊥AB,OQ⊥AC,ON⊥BC, :.∠AM0=∠AQ0=90° ∠A=60°， .∠M00=120°， ∠DOM=∠EO2, 在△OMD和aOQE中 ∠MOD=∠EOQ ∠OMD=LO0E, OM=ON :△OMD2aOQE(AAS). 78 ..OE =OD. .（3)正确： 在RtABNO与Rt△BMO中 BO=BO ON=OM' .RtABNOS≌RtABMO(HL), ∴.BN=BM, 同理，RtACNOS≌RtACQO, ..CN=CO .BN=BD+DM①，CN=CE-EQ② 两式相加得， BN+CN=BD+DM+CE-EO DM=EO .BC=BD+CE. .(4)正确： 综上，正确的结论是(1)(2)(3)(4)， 故答案为：(1)(2)(3)(4). 第6题 【答案】c 【解析】 79 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性 质，熟练掌握相关性质是解题关键，延长AC至点P,使CP=BF,连接PD,根据等边三角 形以及等腰三角形的性质可得∠DBC=∠DCB=30°，通过证明△BDF≌ACDP(SAS), △DEF≌△DPF(SAS),可得EF=EP,利用△AEF的周长=AB+AC,即可得出结果. 【详解】解：如图，延长AC至点P,使CP=BF,连接PD, ,△ABC是等边三角形，△ABC的周长为12， .∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC=4, .BD=CD,∠BDC=120° ∴.∠DBC=∠DCB=30° .∠FBD=∠DCE=90°， ∴.∠DCP=∠DBF=90° 在ABDF和△CDP中， BD=CD ∠DBF=∠DCP, BF=CP .ABDF≌ACDP(SAS), ∴.DF=DP,∠BDF=∠CDP. ,∠BDC=120°，∠EDF=60°， .∠BDF+∠CDE=60°， 80 ∴.∠CDP+∠CDE=60°， ∴.∠EDF=∠PDE=60° 在△DEF和△DPE中， DF=DP ∠EDF=∠PDE, DE=DE ∴.△DEF≌ADPF(SAS), .EF=EP, .∴EF=EC+CP=EC+BF, △AEF的周长=AE+EF+AF=AE+CE+BF+AF=AB+AC=8, 故选：C. 第7题 1212 【答案】2或5#5或2 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，当△EAP与△PBQ全等时，有两种可能，一种为 EA=PB,△APE≌△BQP;另一种为AP=PB,△AEP≌△BQP,结合三角形全等的性质 和路程为时间速度之积的关系即可求的答案. 【详解】解：△EAP与△PBO全等时 当EA=PB时，△APE≌△BQP」 .AB=10,AE=6, .PB=AE=6.AP=BO=4 ,'点A出发以2cm/s的速度向点B运动， 81 …运动时间为t=4÷2=2, :点2以cm/s的速度由点B向点C运动，时间为2秒， .v=4÷2=2: 当AP=PB,△AEP≌△BQP. 则AP=PB=5,AE=BQ=6, :点A出发以2cm/s的速度向点B运动， 运动时间为1=5÷2= 2 5 ”点2以cm/s的速度由点B向点C运动，运动时间为2秒，运动距离6cm' 512 .v=6÷ 25 .12 故答案为：2或5： 第8题 【答案】(1) 证明：：A,D两点关于射线BN对称，B,C在BN上， .BA=BD,CA=CD. BA=BD 在 和 中CA=CD △ABC ADBC BC=BC .△ABC≌aDBC(SSS) 82 ∴.∠BAC=∠BDC: (2)P与B重合时，△PDE周长最小，最小值为36. 【解析】 【分析】(1)根据SSS证明△ABC≌△DBC,即可得出结论； (2)根据两点之间线段最短，得出当P,A,E三点共线时，PA+PE最小，最小值为 AE=24,再证明△PDE为等边三角形，即可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：：CAPDE=PD+PE+DE B 由于点D,E均为定点，故DE的长不变 .当PD+PE最小时，△PDE的周长最短. :A,D两点关于射线BN对称， .PD=PA. .PD+PE=PA+PE 两点之间线段最短， 当P,A,E三点共线时，PA+PE最小，即P与B重合时PA+PE最小，PA+PE最小值 为AE=AB+BE=12+12=24. 83 .·△ABC≌△DBC, .∠DBC=∠ABN=60°，BD=AB 又：BE=AB, ∴.BE=BD .△BDE为等腰三角形. 又：∠EBD=180°-∠DBC-∠ABN=180°-60°-60°=60°， ∴.△PDE为等边三角形. .DE BD=BE=AB=12. :CPE的最小值为AE+DE=24+12=36. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质等知 识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键. 第9题 【答案】(1)6： (2)1<AD<5: (3)证明：延长AE到M,使得EM=AE,连接BM, B、H E是BD的中点， ∴.BE=DE, 84 CA=CB. .∠CBA=∠CAB, ·∠BAF=∠ACB.∠BAF+∠ABF+∠AFB=∠CAB+∠ACB+∠ABF, .∠AFB=∠CAB=∠CBA. .AB=AF, .·∠BAF=∠CAE=∠ACB .∠BAM+∠MAF=∠MAF+∠FAC,AH=CH, .∠BAM=∠FAC. 在△EAD和△EMB中， AE=EM ∠AED=∠MEB BE=DE ∴.△AED≌AMEB(SAS) .∠M=∠CAE=∠ACF,BM=AD, 在△ABM和△AFC中， I∠M=∠ACF ∠BAM=∠FAC, AB=AF :.△ABM≌△AFC(AAS) .BM=CF=AD .AD+BF=CF+BF=BC 【解析】 85 【分析】(1)由中点得AE=BE:进而得ABEC的面积-2 ×12=6，再根据面积公式构造 方程即可得解； (2)延长AD至点H,使得AD=DH,连接BH,证明△ADC≌aHDB(SAS),得 BH=AC=4,再利用三角形的三边关系即可得解： (3)延长AE到M,使得EM=AE,连接BM,证明△AED≌AMEB(SAS)得 ∠M=∠CAE=∠ACF,BM=AD,再证明△ABM≌aAFC(AAS),得BM=CF=AD ,从而得AD+BF=CF+BF=BC, 【详解】(1)解：，E是AB的中点 .AE=BE, :△ABC的面积是12， 1 ·ABEC的面积_2 ×12=6. EF⊥BC,EF=2, 1 EF·BC=6即)×2×BC=6 .BC=6: (2)解：延长AD至点H,使得AD=DH,连接BH, H ,AD是△ABC的中线， 8 .BD=CD 在△ADC和△HDB中， BD=CD ∠ADC=∠HDB AD=DH △ADC≌aHDB(SAS), .BH=AC=4」 .AB=6. 6-4<AH<6+4,即2<2AD<10, .1<AD<5: (3)略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，中点定义，等腰三角形的性质，三角形的 三边关系，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键. 第10题 【答案】 (1)证明：BD⊥l,CE⊥1， .∠BDA=∠AEC=90° .∠BAC=90°， .∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAE=90°， ∴.∠ABD=∠CAE、 .AB=AC. :△ABD≌aCAE(AAS): 87 (2)解：DE=BD+CE,证明如下： .∠CEA=∠ADB=∠BAC, .∠CEA+∠EAC+∠ACE=∠EAC+∠BAC+∠BAD=180°， .∠ACE=∠BAD. AC=BA, :△ACE≌aBAD(AAS), .AD=CE,AE=BD .DE=AE+AD=BD+CE: (3)BG-8AH 5 【解析】 【分析】(1)由题意易得∠BDA=∠AEC=90°，∠ABD=∠CAE,然后根据“AAS”可证 三角形全等： (2)由题意易得∠ACE=∠BAD,则有△ACE≌aBAD(AAS),然后根据全等三角形的性质可 进行求解； (3)分别过点E、D作EF⊥GH,DN⊥GH,垂足分别为R、N,由题意易证 △ABG≌2aDAN(AAS),则有BG=AN,AG=DN,同理可得△ACG≌aEAF(AAS),然后 可得ABF≌DNH(MAS),进而可得F阴-D,录后根据线段的等显关系可进行求解. 【详解】(1)略 (2)略 (3)分别过点E、D作EF⊥GH,DN⊥GH,垂足分别为R、N,如图所示： 88 N D H E GC .∠DNA=∠EFA=∠EFH=90° AG⊥BC, .∠AGB=90°=∠DNA, .∠ABG+∠BAG=∠BAG+∠DAN=90°， .∠ABG=∠DAN. AB=DA, .△ABG≌aDAN(AAS), .BG=AN,AG=DN. 同理可得△ACG≌aEAF(AAS), ..AG=EF=DN,CG=AF :∠EFH=∠DNH=9O°，∠EHF=∠DHN .△EFH≌aDNH(AAS), .FH NH, .BG=4CG. .BG=4CG=4AF=AN. AN AF+FN AF+2FH=4AF 89 FH-AF. 2 ·AH=AF+FH= AF 2 BG-4AF-4x2AH= AH 5 5 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的 性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键. 第11题 【答案】(1)EF=BE+DF (2) (I)中的结论EF=BE+FD仍然成立.证明如下： 如图，延长FD到G,使DG=BE,连接AG. G D B ·.'∠ABE+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°， ∴.∠ABE=∠ADG. 在△ABE与△ADG中， AB=AD ∠ABE=∠ADG. BE=DG AABE≌△ADG(SAS), 90 .∴AE=AG,∠BAE=∠DAG :∠BAE+∠DAF=∠GAD+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠BMD. 2 ∴.∠GAF=∠EAF 在△AGE和△AEF中 AG=AE ∠GAE=∠EAF AE=AE ∴△AGF≌△AEF(SAS), ∴.GF=EF FG=DF+DG=BE+DF .∴EF=BE+DF. 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题 的关键。 (1)先证明△ABE≌△ADG得到∠DAG=∠BAE,AG=AE,再证明△AEF≌△AGF,得到 EF=GF，再由线段的和差关系可得结论； (2)延长FD到G,使DG=BE,连接AG,先导角证明∠ABE=∠ADG,再证明 △ABE≌△ADG得到∠DAG=∠BAE,AG=AE，,再接着证明△AEF≌△AGF，得到 EF=GF,再由线段的和差关系可得结论。 【小问1详解】 解：：∠B=∠ADC=90° .∠ADG=180°-∠ADC=90°=∠B, 93 又AB=AD,DG=BE, :.△ABE≌AADG(SAS). .∠DAG=∠BAE,AG=AE: .∠BAD=120°，∠EAF=60°. .∠BAE+∠DAF=120°-60°=60°. .∠GAF=∠DAF+∠DAG=∠DAF+∠BAE=60° .∠GAF=∠EAF, 又，AF=AF, .△AEF≌AAGF(SAS). ..EF=GF =DG+DF=BE+DF: 【小问2详解】 略 第12题 【答案】(I)DE=BD+CE: (2)解：小丽的说法正确，理由如下： 在△ABD中，∠DBA+∠BAD+∠BDA=180° .∠DBA+∠BAD=180°-∠BAD. ·.'∠BAD+∠CAE+∠BAC=180°， .∴.∠BAD+∠CAE=180°-∠BAC, .∠DBA=∠CAE. 92 在△ABD和△CAE中， ∠BDA=∠AEC ∠DBA=∠CAE AB=AC .:△ABD≌aCAE(AAS). .BD=AE,AD=CE, .DE=AE+AD=BD+CE (3)解：由(2)可得AE=BD,∠DBA=∠CAE, :△ABF和△ACF为等边三角形， ∴.∠ABF=∠CAF=60°，FB=AF. .∠ABF+∠ABD=∠CAF+∠EAC,即∠DBF=∠EAF. 在△FBD和△FAE中， BF=AF ∠DBF=∠EAF BD=AE ∴.△FBD≌△FAE(SAS). .DE=EF, △DEF为等腰三角形. 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌 握以上知识点是解题的关键， (I)根据己知条件可证明△ABD≌△CAE,可得BD=AE,AD=CE,即可求解： 8 (2)根据己知条件可证明△ABD≌△CAE,也可得BD=AE,AD=CE,即可求解； (3)根据等边三角形的性质，可得FB=AF,∠DBF=∠EAF,再根据(2)得AE=BD ,即可证明△FBD≌△FAE,由全等三角形的性质可知DE=EF,即可说明结论. 【详解】(I)DE,BD和CE之间的关系为：DE=BD+CE: .:∠BAC=90°， ∴.∠BAD+∠CAE=90° BD⊥直线I、CE⊥直线I, .∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD+∠ABD=90°. .∴.∠ABD=∠CAE. 在△ABD和△CAE中： ∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠AEC, AB=CA :△ABD≌aCAE(AAS), .BD=AE,AD=CE, .DE=AE+AD=BD+CE 故答案为：DE=BD+CE (2)略 (3)略 第13题 【答案】(1)①120°，②AE=BD: 94 (2)∠AEB=90°，2CM+AE=BE,理由如下： :△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，CM为△EDC中DE边上的高， ∠ACB=∠DCE=90°. CE=CD.CA=CB'CM=7ED, ∠CEB=∠CDE=45° ∠CDB=180°-∠CDE=135°， :∠ACB=∠DCE=90°， :.∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD,即∠ECA=∠DCB, CE=CD 在 和 中 ∠ECA=∠DCB AECA△DCB CA=CB ·.△ECA≌ADCB(SAS) AE=BD,∠CDB=∠CEA=135°， ∴.BE=DE+BD=2CM+AE,'∠AEB=∠CEA-∠CED=135°-45°=90° .2CM+AE=BE (3)180° 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活 运用这些性质是解题的关键， (I)①根据等边三角形的性质可得∠ECA=∠DCB,证明△ECA≌△DCB,根据全等三角形 的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答： 95 (2)根据等腰直角三角形的性质可得∠CDB=135°，进而得到；∠ECA=∠DCB,从而得， △ECA≌aDCB(SAS),由全等三角形的性质得出AE=BD,∠CDB=∠CEA=135°，由角 的和差关系即可求出∠AEB.由△DCE是等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高， 可得CM=)ED,进而即可得到结论： (3)由等腰三角形的性质得：∠CDE=∠CED=72°，结合△ECA≌△DCB和△ABC是等 腰三角形，即可得到答案 【详解】解：(1)①：△ABC和△EDC都是等边三角形， ·.CE=CD,CA=CB,∠CDE=∠ECD=∠ACB=60°， ·∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD,即LECA=∠DCB, CE=CD 在 和 中 ∠ECA=∠DCB」 △ECA△DCB CA=CB ·.△ECA≌aDCB(SAS), ∠AEC=∠BDC. :∠BDC=180°-∠CDE=180°-60°=120° .∠AEC=∠BDC=120°. ②：△ECA≌△DCB .AE=BD: (2)略 (3):aDCE是等腰三角形，∠DCE=36°， ·∠CDE=∠CED=I80°-∠DCE 2 =72° % ·.∠CDB=180-∠CDE=108° 同(1)可得：△ECA≌△DCB, .∠CEA=∠CDB=108°， ∠EAC+∠ECA=72°， :△ABC是等腰三角形，∠ACB=36°， .∠CAB=72°」 .∠EAB+∠ECB=∠EAC+∠CAB+∠ECA+∠ACB=72°+72°+36°=180° 第14题 【答案】(1) 证明：：AD为BC边上的中线， ∴BD=CD, 在△ADC和△EDB中， BD=CD ∠ADC=∠EDB AD=ED ∴.△ADC≌△EDB(SAS) (2)1,7(3) 证明：如图：延长AD到F,使得AD=DF,即AF=2AD, AD为BC边上的中线， ∴BD=CD 97 在△BDF和△CDA, AD=DF ∠BDF=∠ADC, BD=CD :△BDF≌aCDA(SAS). .AC=BF,∠F=∠DAC .AC∥BF, ∴.∠BAC+∠ABF=180°， .·∠ACB+∠ACE=18O°，∠ACB=∠ABC, .∠ABF=∠ACE 在△ABF和△ACE, BF=AC ∠ABF=∠ACE, AB=CE .△ABF≌△ACE(SAS). .AE=AF =2AD B 【解析】 98 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质等知识点，画出辅助线推理 论证是解题的关键， (1)根据SAS证明即可； (2)根据三角形三边之间的关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可解答： (3)如图：延长AD到F,使得AD=DF,即AF=2AD,先证明AC=BF,∠F=∠DAC 可得AC∥BF,进而得到∠ABF=∠ACE;再证明△ABF≌△ACE(SAS),最后根据全等三 角形的性质即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：△ADC≌△EDB .BE=AC=6, AB=8, .8-6<AE<8+6,即2<AE<14, DE=AD. .1<AD<7 故答案为：1,7 【小问3详解】 略 第15题 99 【答案】(1)A(-3,0),B(3,0) (2)①3；②点2的横坐标为5或7. 【解析】 【分析】(1)由非负数的性质即可求得a,b的值，从而求得A、B的坐标； (2)①当C9⊥B时，CQ最小，利用含30度直角三角形性质即可求解； ②分两种情况：当点P在点B左侧时，过点P作PH∥BC,证明△PBQ≌ACHP,则得 BQ=PH,过9作QE⊥x轴于E,利用含30度直角三角形性质即可求解；当点P在点B右侧 时，同理可得. 【小问1详解】 解：(a+b)2≥0，b-3≥0，且(a+b)2+b-3=0, :(a+b)2=0,b-3=0, 即a+b=0,b-3=0. 解得：b=3,a=-3, A(-3,0),B(3,0): 【小问2详解】 解：：△ABC是等边三角形，BQ是△ABC的外角平分线， 2ABC=609ZCB0=x120°=60°，BC=A 由A、B的坐标知，AB=BC=6: ①当CQ⊥BQ时，CQ最小， 则∠BC2=90°-∠CBQ=30°」 100