3.3.2探索与表达规律 课件 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

北师大版七年级上册数学3.3.2探索与表达规律专项练习 一、核心知识点梳理 1. 本节核心考点：在基础数字、图形规律的前提下，重点学习日历数字规律、数形结合递进规律、表格数据规律三类进阶题型，是对3.3.1基础规律探索的深化与综合应用，侧重利用整式精准建模。 2. 日历规律核心特征：日历中每行数字为连续自然数，差值为1；每列数字上下差值为7；对角线数字呈固定增减规律。设任意一个日期数字为n，可结合整式运算表示出周围所有日期，是本节最核心的必考模型。 3. 进阶规律解题思路：针对复杂图形和表格规律，先摘录前3组对应数据，转化为数字数列；通过分析差值、倍数、周期变化，列出含n的代数式；最后代入已知数据验证，确保规律通用无误。 4. 数形规律技巧：图形递增规律分为等差递增、倍数递增、分层递增，多数题型为等差变化，沿用“公差×n＋修正值”的通用公式，快速推导通项代数式。 5. 高频易错点：日历规律混淆行列差值；建模时未知数设定错误；忽略图形重复变化部分；推导规律后未验证，导致代数式偏差；复杂题型漏看隐藏变化条件。 二、基础专项练习题 （一）选择题（每题5分，共30分） 1. 在日历中，若设某一天的日期为n，则它正下方的日期为（） A. n+1 B. n+7 C. n-7 D. n+8 2. 一组图形规律：第1个图6根小棒，第2个图11根小棒，第3个图16根小棒，相邻差值固定，则第n个图小棒数量为（） A. 5n+1 B. 5n-1 C. 6n+1 D. 6n-5 3. 日历中横向相邻三个数的和不可能是（） A. 36 B. 40 C. 21 D. 15 4. 数列规律：1，4，9，16，25……第n个数为（） A. n² B. 2n C. 2n-1 D. n+3 5. 若日历中竖列相邻三个数，中间数为n，则三个数的和为（） A. 3n B. 3n+7 C. 3n-7 D. 3n+14 6. 下列关于规律建模说法错误的是（） A. 日历三数和一定是3的倍数 B. 等差图形规律可用整式表示 C. 无需列举数据可直接写规律 D. 规律代数式必须代入验证 （二）填空题（每题4分，共24分） 1. 日历中，数n的左侧数字是________，右上方数字是________。 2. 数列：2，8，18，32……第n个数为________。 3. 第1个图案有3个阴影方块，第2个有5个，第3个有7个，第n个图案有________个阴影方块。 4. 日历中正方形框出四个数，最小数为n，则最大数为________。 5. 式子规律：1+2，2+4，3+6，4+8……第n个式子为________。 6. 阶梯图形逐层递增，第1层1个点，第2层4个点，第3层9个点，第n层有________个点。 （三）规律探究计算题（每题8分，共46分） 1. 在日历中用十字框框出5个数字，若中间数字为n，请用含n的代数式表示其余四个数字，并求五个数字的和。 2. 观察小棒摆图形：第1个图形用7根，第2个用12根，第3个用17根，求第n个图形的小棒数量，并计算第10个图形的根数。 3. 探究等式规律：2=1×2，2+4=2×3，2+4+6=3×4，2+4+6+8=4×5，写出第n个等式。 4. 有一组数：0，2，6，12，20……观察差值规律，推导第n项的代数式。 5. 日历中用长方形框出竖列3个数字，三个数之和为60，用规律公式求出这三个日期分别是多少。 三、参考答案与详细解析 （一）选择题解析 1. B 解析：日历每列上下相差7，下方数字更大，为n+7。2. A 解析：相邻差值为5，首项6，代入公式得5n+1。3. B 解析：横向三数和为3n+3，一定是3的倍数，40不是3的倍数。4. A 解析：数列为平方数，1²、2²、3²，第n项为n²。5. A 解析：三数为n-7、n、n+7，求和得3n。6. C 解析：复杂规律必须列举多组数据分析，不可直接臆断。 （二）填空题答案 1. n-1、n+6 2. 2n² 3. 2n+1 4. n+8 5. n+2n 6. n² （三）计算题解析 1. 解析：上下左右四数分别为n-7、n+7、n-1、n+1，五数和=(n-7)+(n+7)+(n-1)+(n+1)+n=5n。 2. 解析：公差为5，首项7，通项为5n+2；第10个图形：5×10+2=52根。 3. 解析：连续偶数求和，第n个等式：2+4+6+…+2n=n(n+1)。 4. 解析：相邻差值为2、4、6、8，通项公式为n(n-1)。 5. 解析：竖列三数和为3n=60，解得n=20，三数为13、20、27。 四、专项解题总结 3.3.2探索与表达规律侧重实际模型与复杂数形规律，核心难点是日历规律建模和高阶数列、图形规律推导。日历题型有固定运算模型，行列、十字、方框数字和均为3或5的倍数，可直接利用整式公式快速解题。图形与数列进阶规律，核心方法依旧是“取样—找差—建模—验证”，通过列举前三组数据锁定变化规律，用整式精准表达。本节是本章思维难点，侧重培养数学建模能力，熟练掌握规律推导方法，既能解决各类填空、选择压轴题，也能为后续函数规律、数列探究题型筑牢思维基础。（字数：1232） 北师大版（新教材）数学七年级上册 3.3.2探索与表达规律 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第三章 整式及其加减 1.能利用字母表示及其代数式运算解释具体问题中蕴含的一般规律或现象；（重点） 2.能综合所学知识解决实际问题和数学问题，发展应用数学的意识，培养自己的实践能力和创新意识.（难点） 素养目标 02 新知导入 你在心里想好一个两位数，将十位数字乘2，然后加3，再将所得的和乘5,最后将得到的数加你想的那个两位数的个位数字.把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数. 小亮和小丽在玩-一个数字游戏。 03 新知导入 我的结果是93 你心里想的数是78 我的结果是27 你心里想的是12 你知道小亮是怎么算出来的吗? 03 新知讲解 规律：结果为原两位数与15的和. 如果用a，b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为 ,则可得， 5（2a+3）+b=10a+b+15 10a+b 03 新知讲解 思考·交流 设计类似上面的数字游戏,解释其中的道理，并与同伴进行交流。 03 新知讲解 年龄与数字的秘密!现在是2024年，如果你的年龄在1~99之间，那么你随便想一个1~9之间的数字，按如下步骤计算: ①把这个数字乘5; ②然后加上40; ③再乘20; ④把所得的数加上1224; ⑤用最后得到的数减去你出生的年份， 这样你会得到一个数，它的第一个数字就是你开始想的那个数，后面的数字就表示你的实际年龄(实际年龄=当前年份一出生年份). 请用所学的代数式知识列式解开这个奥秘。 03 新知讲解 ①把这个数字乘5; ②然后加上40; ③再乘20; ④把所得的数加上1224; ⑤用最后得到的数减去你出生的年份 假设想的数是a 5a 5a+40 20(5a+40) 20(5a+40) +1224 100a+2024 随便想一个1~9之间的数字，按如下步骤计算: ∴100a+2024减去你出生的年份是一个三位数 百位上的数字是a， 后两位是2024减去你出生的年份（你的年龄） ∵你出生的年份加上你的年龄是2024 03 新知讲解 用代数式表示数的变化的规律： （1）数字为整数，考虑相邻两数的和、差、积、商、符号等方面是否存在规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律; （2）数字为分数，可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系； （3）若表示数字变化规律的是等式（或表格），可将每个等式对应写好，然后比较每一行每一列数字之间的关系，从而找出规律. 03 新知讲解 尝试·思考 一个三位数能否被3整除，只要看这个数的各数位上的数字之和能否被3整除。你能说明其中的道理吗? (2)一个四位数能否被3整除是否也有这样的规律?请说明理由。 03 新知讲解 解：设三位数的百十个位分别为a、b、c， 这个三位数为：100a+10b+c 若：a+b+c=3n（n为正整数）， 即=n 亦a+b+c能被3整除， 则100a+10b+c =（a+b+c）+（99a+9b） =3n+9（11a+b） =3[n+3(11a+b)] =3(n+33a+3b) 式子中含有因数（约数）3，必能被3整除。 即：一个三位数的各位数字的和能被3整除，那么正三位数必能被3整除。 03 新知讲解 (2)设这4个数字分别为a,b,c,d 则这个数是a×1000+b×100+c×10+d =a×(3×333+1)+b× (3×33+1)+c× (3×3+1)+d =3× (a×333+b×33+c×3)+(a+b+c+d) 由于(a+b+c+d)能被3整除 则上述式子也能被3整除 即原数可以被3整除 知识点 借助归纳策略解决问题 1.［教材P100“问题”变式］“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格。 观察发现下列低多边形中长方形内部点的个数增加，三角形的个数也随 之增加。根据你的发现，当长方形内部有36个点时，分得的三角形 （不计被分割的三角形）共有( ) A A.74个 B.70个 C.68个 D.102个 返回 举一反三 2.观察：，，，， ， 则 的个位数字是( ) B A.0 B.2 C.6 D.8 返回 举一反三 3.用正三角形、正方形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二 个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的 个数多4个。则第 个图案中正三角形的个数为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 03 新知讲解 回顾本章的学习，在用字母表达数量关系和运算方面你积累了哪些经验? 解决有关数与算式的规律问题，首先要认真观察，从给定的几个数与算式入手，观察数与数之间的规律及算式本身存在的规律，把等式横向、纵向分别进行比较，找出其中的不变部分与变化部分，数与式子的序号之间的关系，然后找出其中的变化规律. 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1．观察以下一列数的特点：0，1，-4，9，-16，25，…，则第11个数是(　　 ) A．-121 B．-100 C．100 D．121 2．观察如图的“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为(　　 ) A．23 B．75 C．77 D．139 B B 1.有一种游戏规则是你想一个数，乘2，加上6，除以2，最后减去你所想的数，我就知道结果，那么结果是(　　) A．1   B．2   C．3   D．4 2．让我们轻松一下，做一个数字游戏： 第一步：取一个自然数x1＝5，计算x12＋1得y1； 第二步：算出y1的各位数字之和得x2，计算x22＋1得y2； 第三步：算出y2的各位数字之和得x3，再计算x32＋1得y3. 依此类推，y30的值为(　　) A．5 B．26 C．65 D．122 C D 当堂检测 3．破译密码“L dp d vwxghqw”，现在给你一把破译它的“钥匙”x－3，即：把26个英文字母顺序排成圈，x－3代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，那么“L dp d vwxghqw”的意思是____________________(填英文、中文均可)． 4．七年级(1)班的小明与小王是好朋友．有一次，小王拿出一副扑克牌，让小明从中任意抽出一张，且让他将牌上的点数(J，Q，K分别计11，12，13)默记心中．小王说：“请你将点数乘2加3后再乘5，最后减去25，算出答案后告诉我，我就知道你所抽的牌是几点．”小明算完后，说：“100.”小王马上宣布：“你抽的牌是________．”小明很佩服． I am a student J 当堂检测 5．10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则：每人心里想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每人将与他相邻两个人的数据的平均数报出来，报出来的数如图所示，则报1的人心里想的数是________． 6 当堂检测 6.小刚在图书馆认识了新朋友小明，他想知道小明的年龄，于是说：“把你的年龄减去5，再乘2后减去结果的一半，再加11，把最后结果告诉我，我就能猜出你的年龄．”小明这样做后，小刚果然迅速猜到小明的年龄．你能说出小刚是用什么办法猜对的吗？ 解：设小明的年龄是x岁， 则小明说的这个数是2(x－5)－×2(x－5)＋11＝x＋6. 所以只要小明说出这个数，小刚再把这个数减去6就能得知小明的年龄． 当堂检测 4.如图，观察点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）根据前三个等式所反映的规律，补全④中的等式： ____； （2）根据上面算式的规律， ____。 返回 举一反三 5.（12分）［教材P102“回顾反思”第2题变式］如图，将一根绳子弯折， 然后按如图所示的方式剪开。剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9 段。如此剪下去…… （1）剪11刀，绳子变为____段； （2）剪 刀，绳子变为 _________段； 45 举一反三 （3）有可能正好剪得2 025段吗？请说明理由。 解：有可能正好剪得2 025段。 因为 ， ， 所以剪506刀，正好剪得2 025段。 返回 举一反三 6.（8分）观察下面的变形规律： ， ， 解答下面的问题： 举一反三 （1）根据上述变化规律写出下面等号后面的式子： ______； ____________。 若为正整数，猜想 ________； 举一反三 （2）求值： 。 解： 。 返回 举一反三 05 课堂小结 探索与表达规律 探索规律问题,要从给出的几个有限的数据着手,认真观察其中的变化规律,尝试猜想、归纳其规律,并取特殊值代入验证 在探索规律的过程中,要善于变换思维方式,这样才能收到事半功倍的效果 谢谢观看 THANKS $