圆锥曲线压轴题专项训练-2027届高三数学一轮复习

圆锥曲线压轴训练（20题) 使用说明：本卷20题均为高考压轴级，题号即难度序，每题配几何示意图。核心 题型包括：曲线基本量与离心率、焦点三角形、中点弦与点差法、焦点弦与通径、 切线与外点切线、定值定理（斜率之积、倒数平方和)、距离与面积最值、直线与 曲线交点个数、焦点弦圆的性质、存在性求离心率范围。答案与解析见另册《参考 答案与解析》。 第1-10题 压轴攻坚（一) 1.(椭圆基本量焦点弦)★★★☆ 设椭圆C:+兰1，左、右焦点分别为F, (1)求C的焦距、离心率，并求过F2且垂直于x轴的弦（通径）PQ的长： (2)求过F2的弦AB长的最小值： (3)若过F2的直线1的斜率为1，求AB。 B 图1 2.(中点弦与点差法)★★★★ 设椭圆c:等+y-1,弦AB的中点为M1,引 (1)判断M是否在椭圆内部： (2)用点差法求直线AB的斜率与方程； (3)求弦长AB。 M B 图2 3.(焦点三角形)★★★★ 圆C:茶+名1的左、右焦点为F1,,P为C上一点，且2PPE (1)求PF+PF2与FF2: (2)用余弦定理求PF1PF2: (3)求△F1PF2的面积。 F 图3 4.(双曲线基本量渐近线)★★★大 设双线c聋益1右能点为 (1)求a,b,c、离心率与两条渐近线的方程： (2)求焦点F到渐近线的距离： (3)求过F且垂直于x轴的弦长（通径），并解释其与b1a的关系。 y=V3x 图4 5.(抛物线基本量焦点弦)★★★★ 设抛物线C:y=8x的焦点为F,准线为x=-2。 (1)求焦点坐标与p; (2)过F的弦AB满足AB=12,求AB中点的横坐标及该中点到准线的距 离； (3)若AB的倾斜角为45°，求AB。 B M 图5 6.(抛物线的切线与外点切线)★★★★ 设抛物线C:y2=4x。 (1)求C在点1,2处的切线方程： (2)求过点M-1,0且与C相切的直线方程（提示：设切线为y=x+t,切点 为t2,2t); (3)说明(2)中两条切线的位置关系。 ,2) 图6 7.(椭圆中的定值：斜率之积)★★★★★ 设椭圆C:￥+y=1的左、右顶点分别为A-2,0,B2,0,P为C上异于A,B 4 的任意一点。 (1)求k'KPB的值： (2)判断该值是否为定值，并说明它与Q,b的关系： (3)若km求点P的坐标。 A B 图7 8.(椭圆上的点到直线距离的最值)★★★★★ 设椭圆C: 兰-1直骏1x+2y-12=0 (1)设P4cos0,2sin0为C上一点，写出P到1的距离表达式： (2)求P到1的距离的最小值： (3)求取最小值时点P的坐标（可用日的某个三角函数值表示）。 +2划-12=0 5 图8 9.(存在性问题：求离心率范围)★★★★★ 设椭圆C:父+ 2t621(Qb≥0)的左、右焦点为F,F2。若C上存在点卫 ∠F1PF,=90°. (1)说明点P在以FF2为直径的圆上，写出该圆方程： (2)联立该圆与椭圆的方程，求P的横坐标满足的条件： (3)求离心率e的取值范围。 图9 10.（焦点弦为直径的圆与准线相切)★★★★★ 设抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为x=-1。过F的弦AB( Ax1,y1,Bx2,y2),M为AB的中点。 (1)用抛物线定义写出AF,BF: (2)求M到准线的距离： (3)证明：以AB为直径的圆与准线相切。 6 B 图10 第11-20题压轴攻坚（二) 11.(椭圆与直线的弦长最值)★★★★ 设椭园C:等+y-1,直线1：y=x+m。 (1)把1与C的方程联立，求使1与C有两个交点的m的取值范围； (2)设交点为A,B,求|AB关于m的表达式： (3)求AB的最大值及相应的直线方程。 l:y=x+m 图11 12.(直线与双曲线的交点个数)★★★★ 装双线C等苦1，直线y=+2. (1)联立方程，写出消元后关于x的方程（注意二次项系数可能为0）： (2)讨论二次项系数为0的情形，指出此时1与C的位置关系及交点个数： (3)求使1与C恰有一个公共点的所有k的值。 y←kx+2 6,2) 图12 13.(焦点弦构成的三角形面积最值)★★★★★ 设椭园C:+兰1的右焦点为下1,0,0为原点，过F的直线交C于A,B 43 两点。 (1)设直线为x=my+1,与椭圆联立后求y1+y2与y1y2: (2)求△OAB的面积S关于m的表达式： (3)求S的最大值及相应直线。 A F B 图13 14.（抛物线定义转化求最值)★★★★★ 设抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为x=-1,A4,4)是C上一点。 (I)求A到准线的距离dA,并验证dA=AF; (2)设P为C上任意一点，说明PA+dp(dp为P到准线的距离)可以转化 为PA+PF,并求其最小值： (3)指出取最小值时P的位置。 图14 0 15.(通径与离心率)★★★★ 稀圆C:×+兰1(a6>0)的右焦点为F,过F且垂直于长轴的弦(G通 长为3，且a=2。 (1)求b2与c; (2)求C的离心率e; (3)由(2)判断：C上是否存在点P使∠FPF2=90°(F1,F2为两焦点)？ O Q 图15 16.(双曲线的焦点三角形)★★★★★ 设双曲线 C苦若1的先、右焦点为RR,P为C右支上一点，月 ∠F1PF,=60°。 (1)写出PF-PF2与FF2: (2)用余弦定理求PFPF2: (3)求△F1PF2的面积。 10 y 图16 17.(中心弦的斜率积定理)★★★★★ 设椭圆C:等+y-1,P0是过原点0的弦（中心弦），M为C上异于PQ 的任意一点。 (1)设Px1y,写出Q的坐标： (2)计算kMP'kMQ,并证明它为定值； (3)指出该定值与a,b的关系。 M 0 x 图17 11 18.(新近线图成的三角形面积)★★★★ 设双曲线C:兰-兰1的两条渐近缓与直线x=4分别交于A,B两点，0为原 43 点。 (1)求两条渐近线的方程： (2)求A,B的坐标与AB: (3)求△OAB的面积。 B 图18 19.(椭圆中互相垂直的半径：定值)★★★★★ 段椭圆C:X+y=1,0为原点，A,B为C上两点，且OA L OB 1 +1 (1)验证特殊情形A2,0,B0,1时OA*oB的值： ab2 1 1 (2)利用椭圆的极坐标方程= cos2日+asin9'证明 +一 JOAP OBP 为定值； 12 (3)写出该定值。 B A 0 图19 20.(综合压轴：焦半径乘积的范围)★★★★★ 设椭园C苦+兰-1的左、右焦点为F-1,051,0。 43 (1)求C的离心率与通径长： (2)若过F2的弦长AB=3,求该弦所在直线的方程： (3)设Px,yo为C上任意一点，利用焦半径公式PF=a+ex、 PF2=a-ex,求PF PF2的取值范围。 P E 图20 3 第1—10题　参考答案与解析 1.（椭圆基本量·焦点弦） 答案：（1）焦距 ，，通径 ；（2）最小值 ；（3）。 解析： （1），。焦距 ，。 通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长为 。 （2）过焦点的弦中，垂直于长轴的通径最短。故 的最小值为 。 （3），斜率 的直线 。代入椭圆： 2.（中点弦与点差法） 答案：（1） 在椭圆内；（2），方程 ；（3）。 解析： （1），故 在椭圆内部（弦 存在）。 （2）设 ，由 、 相减： 由中点 得 ，，故 ，即 ， 直线方程：，即 。 （3）代入椭圆： 或 。 交点 ，。 3.（焦点三角形） 答案：（1），；（2）；（3）。 解析： （1）。由定义 ，。 （2）设 。由余弦定理： （3）。 4.（双曲线基本量·渐近线） 答案：（1），，渐近线 ；（2）；（3）通径 。 解析： （1），，，。 渐近线：。 （2）渐近线 ，焦点 到它的距离 （3）通径 。 5.（抛物线基本量·焦点弦） 答案：（1），；（2）中点横坐标 ，到准线距离 ；（3）。 解析： （1）由 且 得 ，焦点 。 （2）设 。由 ，得 ，中点横坐标为 。 中点到准线 的距离 。 （3）倾斜角 时，。 （验证： 代入 得 ，， ✓） 6.（抛物线的切线与外点切线） 答案：（1）；（2） 与 ；（3）两条切线互相垂直，且交点 在准线上。 解析： （1）抛物线 （）在点 处的切线为 。代入 ： （2）设切点为 ，切线为 。代入 ： 当 ：；当 ：，即 。 （3）两切线斜率分别为 与 ，乘积为 ，故互相垂直；交点 恰在准线 上。（一般结论：过抛物线准线上一点所作的两条切线互相垂直。） 7.（椭圆中的定值：斜率之积） 答案：（1）；（2）是定值 ；（3）。 解析： （1）设 （），则 由 得 ，故 （2）是定值，且一般地 （对椭圆 与左、右顶点）。 （3），则 。直线 ，代入椭圆： 对应顶点 ，故 ，，即 。 8.（椭圆上的点到直线距离的最值） 答案：（2）最小值 ；（3）。 解析： （1） 到 的距离 （2）由 ，得 故绝对值内为负，。 最小值 。 （3）取 时 取最大值 ，此时 9.（存在性问题：求离心率范围） 答案：（1）；（2）；（3）。 解析： （1） 等价于 在以 为直径的圆上，该圆为 （2）由椭圆 得 ，代入圆方程： 因 ，，故 （3）存在点 需 ，即 ：，得 ，即 又 恒成立（等价于 ）。故 10.（焦点弦为直径的圆与准线相切） 答案：（2）距离为 ；（3）见解析。 解析： （1）由抛物线定义， 点 到准线的距离 ；同理 。 （2） 的横坐标为 ，故 到准线 的距离为 （3） 过焦点 ，故 以 为直径的圆的半径 即圆心 到准线的距离等于半径，故该圆与准线相切。 第11—20题　参考答案与解析 11.（椭圆与直线的弦长最值） 答案：（1）；（2）；（3）最大值 ，直线 。 解析： （1）联立：，即 有两个交点需 ，即 ， （2） （3）当 时 最大，为 ，此时直线为 。 12.（直线与双曲线的交点个数） 答案：（1）；（2） 时与渐近线平行，恰有一个交点；（3）。 解析： （1）代入 ： （2）当 ，即 （此时直线与渐近线 平行），方程退化为一次方程 恰有一个交点（直线与双曲线的一支交于一点）。 （3）恰有一个公共点的情形： 情形① ：； 情形② 且 ： ，（此时直线与双曲线相切）。 综上 。 13.（焦点弦构成的三角形面积最值） 答案：（1），；（2）；（3）最大值 ，直线 。 解析： （1） 代入 ：，即 （2），故 原点 到直线 的距离 ，故 （3）令 ，则 ， 故 在 上递减，最大值 ，此时 ，，直线为 。 14.（抛物线定义转化求最值） 答案：（1）；（2）最小值 ；（3）。 解析： （1） 到准线 的距离 。 故 （这正是抛物线的定义）。 （2）对抛物线 上任一点 ，由定义 ，故 由三角不等式 ，当 在线段 上时取等号。因 在 上，取 时 ，故最小值为 。 （3）取最小值时 。 15.（通径与离心率） 答案：（1），；（2）；（3）不存在。 解析： （1）通径 ，由 得 。 （2）。 （3），由第 9 题结论，椭圆上不存在使 的点 。 （也可直接验证：圆 与椭圆联立，由 代入 得 ，即 ，无解。） 16.（双曲线的焦点三角形） 答案：（1），；（2）；（3）。 解析： （1）。 在右支，故 ；。 （2）设 （），则 。由余弦定理： （3）。 17.（中心弦的斜率积定理） 答案：（1）；（2）定值；（3）。 解析： （1） 为过原点的弦，故 关于原点对称，。 （2）设 ，由斜率公式： 因 均在椭圆上：，，故 为定值。 （3）该定值为 。 18.（渐近线围成的三角形面积） 答案：（1）；（2），；（3）。 解析： （1），渐近线 。 （2）把 代入渐近线：，故 （3） 在直线 上， 到 的距离为 ，故 19.（椭圆中互相垂直的半径：定值） 答案：（1）；（3）定值 。 解析： （1）：，。 （2）设 对应的极角为 ，则由椭圆极坐标方程 ： ，故 对应极角 ： （3）定值为 。 20.（综合压轴：焦半径乘积的范围） 答案：（1），通径 ；（2）；（3）。 解析： （1），，；通径 。 （2）过 的弦长恰为通径长 ，故该弦垂直于长轴，直线为 （3）由焦半径公式，对 在椭圆上（）： 因 ，故 ，即 （ 时取 ，即 为短轴端点； 时取 ，即 为长轴端点。） 学科网（北京）股份有限公司 $