圆锥曲线离心率专项训练-2027届高三数学一轮复习

圆锥曲线离心率专项训练 题型一：利用圆锥曲线的定义求离心率 例1.（1）（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知双曲线：（，）的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【详解】由题意知的倾斜角为，所以，则. （2）（2026·黑龙江哈尔滨·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，过的直线与椭圆交于A，B两点，若，的面积是面积的4倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】 椭圆的左、右焦点分别为， ，， ，，，，故轴，是椭圆的通径，即，，，故，，解得，即，． （3）（2026·福建厦门·模拟预测）已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图所示：若是定点，则直线与圆相切时，最大，此时，又，所以最小时，最大，又P为椭圆E：（）上的动点，所以最小时，点为椭圆的短轴的端点，又因为的最大值为，所以的最大值为，所以，所以，所以E的离心率为 （4）（26-27高三上·浙江·开学考试）双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】双曲线即为，则，，可得，则，又因为双曲线离心率，则． （5）（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交双曲线右支于，两点，若为正三角形，则双曲线的离心率__________. 【详解】如图所示： 若为正三角形，则有，根据双曲线的对称性，可知轴， 即，又因为，则.又因为，所以，. 而，由，可得，即，所以. （6）（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线（为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为____________． 【详解】已知，则，故点在上，，；M是直线与的交点，且M在双曲线上，故M、Q是直线与双曲线的两个交点，故M与Q关于原点对称，原点O是线段的中点；设双曲线的左焦点为，连接，由双曲线的对称性，是中点，故四边形是平行四边形，则，且， 由可得，内错角相等则，又，故，故，，故，解得，故． 例2.（1）（2026·陕西·模拟预测）将椭圆的长轴分成6等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于五点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】椭圆的长轴为，分成6等份时5个分点的横坐标依次是： ，对应点和，和关于轴对称，右焦点，左焦点，由椭圆定义可知，由对称性可得，，已知，，故，，故，． （2）（2026·天津武清·模拟预测）已知，是双曲线：上的两点，是双曲线的左焦点，满足，，，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【详解】由，得双曲线上的两点关于原点对称，令该双曲线的右焦点为，则四边形是平行四边形，，由，，得， 令双曲线半焦距为，由，，得， 即，解得，设，则，消去得，由，得，因此，整理得，即，所以双曲线C的离心率. （3）（2026·云南昭通·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过原点的直线交于两点，且．若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图所示，设在轴上方，由双曲线的对称性可知，又因为，即为直角三角形，所以，又根据直线的斜率为得到，所以为正三角形，有，连接与左焦点，由，可得为直角三角形且， 由双曲线定义可知，所以双曲线的离心率为，故B正确． （4）（2026·四川资阳·三模）已知为坐标原点，为椭圆的右顶点．若椭圆上存在两点，，使得以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得，,由题意可知四边形是正方形，所以与垂直且平分，即，因为在椭圆上，所以，即，所以椭圆的离心率为. （5）（2026·江西南昌·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为是双曲线上一点，，的平分线与轴交于点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为的平分线与轴交于点，所以， 因为，A在双曲线右支上，设， 因为，所以 ，又因为，所以，所以. （6）（25-26高三下·海南·阶段检测）已知椭圆的右焦点为F，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为PF中点，若的周长为4，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】由椭圆方程，可得，即长半轴,如图所示，设椭圆左焦点为，原点是的中点，是的中点，则是的中位线，得；因为，椭圆半焦距.所以的周长为：.由，可得：，代入，得，即，故椭圆离心率. 例3.（1）（2026·四川遂宁·二模）已知椭圆的左右焦点分别是，点满足，线段与椭圆交于点，作于，其中为坐标原点，则椭圆的离心率为__________. 【详解】∵ 椭圆方程为（），根据椭圆定义，对椭圆上任意一点，都有. ∵ 点满足，且，∴ ，即为等腰三角形，. ∵ 于，等腰三角形三线合一， ∴ 为线段的中点.∵ 是坐标原点，椭圆焦点关于原点对称，即是的中点， ∴ 在中，是三角形中位线.∴ .∵ ，∴ . ∴ ，得.∴ . （2）（2026·云南红河·模拟预测）已知，为椭圆：（）的左、右焦点，点是椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】设为坐标原点，如图所示： 由题意知，为等腰三角形，因为，所以，在中，，，则，所以离心率． （3）（2026·湖北荆州·一模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【详解】由已知M为的中点，而O是的中点，所以，由于⊥，所以是线段的中垂线，故，由双曲线的对称性知，所以，故. （4）（2026·山西太原·二模）设分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线右支上一点，的平分线交轴于点，令，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为为的平分线，且，，，则，即.由双曲线定义可得，即，解得，.因为，则或，即或，又因为是的内角，则，可得，则，作的平分线，交于点， 则，是等腰三角形，可得，，，且，可得，所以. （5）（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： （6）（2026·湖北武汉·模拟预测）已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点，P为C的渐近线上一点，且P在第一象限，Q为C的左支上一点，若四边形OFPQ为菱形，则C的离心率为______． 【详解】记双曲线的左焦点为，连，QF，由四边形OFPQ为菱形，则， F到渐近线的距离为，结合菱形性质可得，又注意到，则四边形为平行四边形，，，又，则，由双曲线定义可得：，，从而C的离心率为 题型二：利用勾股定理求离心率 例4.（1）（26-27高三上·云南·开学考试）设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以设，则．由椭圆的定义，得，， 在中，，因为，所以．①在中，，即．② 联立①②，解得，，又因为，所以椭圆的离心率． （2）（26-27高三上·河北廊坊·开学考试）双曲线（，）的左顶点为A，右焦点为F，若以为斜边的直角三角形的面积的最大值为，则双曲线C的离心率为（     ） A． B． C． D． 【详解】 因为为直角三角形，所以， 又，所以，因为为以为斜边的直角三角形，所以的面积为，又，，所以，当且仅当时取等号，即面积的最大值为， 又面积的最大值为，所以，即，代入，得即，故离心率为. （3）（2026·河北·二模）已知椭圆的左、右焦点分别是和，过的直线交椭圆于两点，的内切圆分别与相切于两点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】根据椭圆定义得​的周长为.根据三角形内切圆切线长性质，得，，（为内切圆与的切点）.设，由得，周长满足 ，代入，得.因此，进一步得各边长， ，，，. 观察三边：，故​是直角三角形，，即，对​用勾股定理，代入， 化简得​，故离心率. （4）（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点是上一点，直线的斜率为3，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为直线，的斜率之积为，所以，，由直线的斜率为3，可知，所以，因为，所以，，因为，所以，即，所以，所以. （5）（2026·四川·二模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M在C上，且，，，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以点在轴右侧，过点作轴，垂足为点，因为，所以，则,，, 所以,则，则点的坐标为或， 代入椭圆方程，得，所以，所以. （6）（2026·河北·模拟预测）已知，分别为双曲线，的左、右焦点，点P在C上，且满足，，则C的离心率为（    ） A． B． C．5 D． 【详解】由，设，则.因为，所以为直角三角形， 所以，所以.又因为，所以C的离心率. （7）（25-26高三下·江西景德镇·阶段检测）双曲线C：（）的左、右焦点分别为，P是双曲线C上一点，轴，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【详解】因为轴，则P点在双曲线右支上，而，即，即，而，故， 又，即得， 得，故，即双曲线的离心率为. 例5.（1）（2026·山东潍坊·三模）已知双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，且，的内切圆半径为，则双曲线的离心率为________． 【详解】双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，； ， 的内切圆半径为，，. ，.，即； ，即，解得或；由，得. （2）（2026·江苏无锡·模拟预测）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为_____． 【详解】双曲线的左右焦点分别为，，直线与双曲线的右支交于点且，的中点为，且 ，的中点记为，的中点记为， 则，，，则，，即，整理得①.又，即，整理得②.联立，解得或（舍）.则双曲线的离心率为. （3）（2026·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为___________. 【详解】取中点，则．设，根据双曲线定义可得 ， ，所以， ．在中，根据，， 可得，，所以有 ，所以．则， 在中，有，即. （4）（2026·福建福州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，点在轴上，若，且，则双曲线的离心率为________． 【详解】由题意得，由双曲线定义可得，故，过点作⊥，垂足为，因为，所以，故，又，故为的中点，由三线合一可知， 故，故为等边三角形，则，又，故，所以，即，由勾股定理得，即，故，故. （5）（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，，，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】由椭圆的定义知，则.设焦距为，由题可知，，即，解得.所以椭圆的离心率为. （6）（2026·河南·模拟预测）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，P是C上一点，且，，则C的离心率为_______． 【详解】根据椭圆的定义得，平方得，化简得①，因为，所以，所以②， ①-②得，即，又，得到，，代入②得，得到.所以椭圆的离心率为. 例6.（1）（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【详解】设，则，.在中，有，整理得，故.设，在中，有，即，所以的离心率. （2）（2026·山东威海·二模）已知双曲线的一个焦点为，过原点的直线交于两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【详解】由双曲线的对称性，不妨为右焦点，在第一象限，设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可知，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为，所以，所以，在中， ，即，所以，所以双曲线的离心率为.    （3）（2026·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点．若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】设，由于，则，，根据双曲线定义，，,即，， 因为，所以，即，化简得到 又由，即，即， 化简得到，则. （4）（2026·天津北辰·二模）已知F是双曲线E：的左焦点，为坐标原点，过点F的直线与E的右支交于点M，与左支交于点N，且，，则双曲线E的离心率为（   ） A．2 B．3 C． D． 【详解】如图，设的中点为P，设右焦点为，连接、、、. 因为，所以，设，则，，则，，因为P是中点，所以，得到，则，即N是中点，因为O是中点，所以是的中位线，故，因为，所以，由三线合一的性质可得.在中，可得，化简得，所以，则双曲线的离心率. （5）（2026·天津红桥·二模）设，分别是双曲线的左、右焦点，离心率为e，过的直线交双曲线的左支于M，N两点，若是以M为直角顶点的等腰直角三角形，则（   ） A． B． C． D． 【详解】 是以为直角顶点的等腰直角三角形，设，则， ，，则，即，解得，在直角中，，化简得到． （6）（2026·天津东丽·二模）设，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，过且斜率为的直线l与C的左支交于点A，与C的右支交于点B，点D满足，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】由，故为中点，由，则，故，设，由双曲线定义可得、，则，则，则，解得，则，，由，故，即. 题型三：构造齐次式求离心率 例7.（1）（26-27高三上·广西贺州·开学考试）已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】根据题意，又为等腰直角三角形，所以，则，即， 整理得，即，解得或（舍），所以． （2）（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知双曲线，分别为其左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，线段上一点满足，且，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，，所以，因为，所以， 由双曲线定义可知，，故，，由题意得， 在中，由余弦定理得， 即，整理可得，两边同除以得， 解得或（舍去）. （3）（2026·安徽合肥·模拟预测）双曲线：（，）的左、右焦点为、，、为双曲线右支上两点且满足，若时，，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D．3 【详解】、为双曲线右支上两点且，所以， 设，可得，由于且，所以，且 在直角三角形中，，在中由余弦定理，，由可得，即，化简得，可得可得， 所以，化简得，即， 所以，解得：或（舍去） 所以双曲线的离心率为. （4）（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则，由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知，易知，即， 整理得，∴，即离心率为2.故选：A （5）（25-26高三下·安徽·期中）已知椭圆C：的右焦点为，过点的直线与直线垂直，且与椭圆相切，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】 如图所示，因为，所以，直线与直线垂直，所以有，得，又因为直线过点，所以直线的方程为，则直线的方程与椭圆方程联立得， 由于直线与椭圆相切，则，由于，因此上式化简得，两边同时除以再展开化简得，解得或，由于椭圆的离心率满足，因此舍去，保留，则，故C正确. （6）（2026·江苏镇江·二模）椭圆的左右焦点分别为，，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于点，为坐标原点，是椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】 如图所示，圆是以为直径的圆，点是圆与椭圆在第二象限的交点，且，则，， 所以点，即. 将点的坐标代入椭圆的方程可得，即.在椭圆中有，将其代入上式，整理可得，等式的两边同时除以可得，即，即，解得或.因为椭圆的离心率，所以，故，解得.所以椭圆的离心率为. 例8.（1）（2026·安徽安庆·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，，垂足为，因为，所以，为的中点，，，，，整理得，所以，即，， ，在中，，在中，，，化简整理得， ，解得或，又，. （2）（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为、，分别过、作斜率为、的直线、，若和的交点在双曲线上，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【详解】由题意知：，则直线方程：；直线方程：； 联立方程可得交点坐标：，因为交点在双曲线上，故满足双曲线方程，代入可得：；由双曲线定义可知，满足：；代入；可得：， 两边同乘去分母可得：，即：，两边同除，可得：，即；解得或；因为双曲线离心率；故，因此双曲线的离心率为． （3）（2026·陕西榆林·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线在第一象限内的一点，为轴上的点，垂直于轴，，且为平面直角坐标系内一点，满足，，则双曲线的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【详解】由题知，，，，，将其代入双曲线的方程，得，设，则，，设，，，解得，，即， ，，即，得，即，即，整理可得，，整理可得，解得或，，，即. （4）（2026·湖南岳阳·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为 的直线与双曲线E的右支交于两点，若 则双曲线E的离心率为（    ） A． B．2 C．2或 D．或 【详解】如图所示： 设直线的倾斜角为，则有，所以， 即，又因为，解得，又因为直线与双曲线的右支交于两点，所以，即有，所以，，所以，解得， 又因为所以，由双曲线定义可得，所以，又因为，在中，，由余弦定理可得,所以，整理得：， 即，解得，负根舍去. 当在第一象限，在第四象限时，如图所示： 此时在中，，由余弦定理可得, 所以，整理得：，即，解得，负根舍去.综上，或. （5）（2026·江苏·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为为右顶点，是上一点，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【详解】如图，过点做轴于点. 由. 由为中点.又，，所以，所以. 在中，. 在中，，整理得：. 因为，所以.又，所以.即所求双曲线的离心率为2. （6）（2026·安徽铜陵·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，直线交双曲线右支于A，B两点，设M，N分别为和的内心，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】如图所示，记的内切圆在边，，上的切点分别为， 的内切圆在边上的切点为E，则M，G的横坐标相等，且，，，，由，即，得，即，由双曲线定义知点G在双曲线右支上，且在轴上，则，即内心的横坐标为a.同理可得的内心的横坐标也为a，故轴.设直线l的倾斜角为，则，所以.由轴，，可知四点共圆，则，所以.又因为，，在直角梯形MNED中，可得，即，代入中可得，化简得，即，解得，（舍去），所以双曲线的离心率为. （7）（26-27高三上·河南南阳·开学考试）记坐标原点为，椭圆的左、右焦点分别为，线段的垂直平分线与E在第一象限内相交于点，交y轴于点N．若，则E的离心率的平方为（    ） A． B． C． D． 【详解】由对称性可知，设的半焦距为，易知，故，将代入椭圆方程得，即，设的离心率为，则，即，所以，又，则． 题型四：利用正余弦定理求离心率 例9.（1）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 【详解】依题意，设，则，在中，，则，故或（舍去），所以，，则， 故，所以在中，，整理得， 故. （2）（2026·天津·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 【详解】如图， 设右焦点为，连接，由题意可知：，， 在三角形中，，在三角形中，，即， 整理可得，可得，所以. （3）（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】设．在中，由三角形内角和得． 由正弦定理得，即．由椭圆定义得，即，所以．其中， ，椭圆离心率，得． （4）（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知双曲线：的左焦点为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，直线与双曲线的左支相交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图， 记双曲线的右焦点为，为坐标原点.连，， 由且，可得，，.设，又由，得，所以，可得，可得双曲线的离心率为. （5）（2026·河南郑州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【详解】设的半焦距为，过点且与其渐近线垂直的直线与渐近线交于点H，，渐近线的斜率的绝对值为，所以，因为又，所以，故解得，，则．在中，由正弦定理，得，解得，故，由余弦定理，得，整理得，所以的离心率． （6）（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点．若在第一象限，且，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】由双曲线对称性可得，又是双曲线上的点，且在第一象限， 所以，又，所以，所以.在中，由余弦定理得，又因为，所以， 整理得，所以，所以，所以该双曲线的离心率为. 例10.（1）（2026·河北张家口·一模）已知双曲线的左、右两个焦点分别为，过的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点，且满足，（为坐标原点），，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【详解】设， 则， 在中，，所以，化简可得，所以，因为，所以，，因为，所以，化简可得，所以双曲线C的离心率. （2）（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线交C于P，Q两点，若为等边三角形，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】设等边的边长为，可得的周长为，由椭圆的定义，可得，所以，解得，则， 在中，由余弦定理得，即，整理得，即，所以椭圆的离心率为. （3）（2026·河北邢台·二模）已知椭圆 的左焦点为F，直线l过坐标原点 O 且与椭圆交于第一象限内的一点A，若 则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得：，又， 所以，，所以，所以，又，所以，在中，由正弦定理有：， 所以，过点作轴于点，所以， 所以，，所以， 所以，所以，化简整理得：，即，解得，又，所以. （4）（2026·江苏·模拟预测）点在以为焦点的椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图， 中，若 则， 所以.因为 ，所以； 因为所以，因为，所以.由，得.所以. 由正弦定理，得，设椭圆的焦距为，则椭圆的离心率. （5）（2026·安徽合肥·二模）设椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以 则，由于所以， 根据椭圆的定义可得，在中，， 在中，，因为，所以，即，化简得：，即，所以椭圆的离心率为 （6）2026·河南·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则，在中，由正弦定理得，又因为，所以，整理得，因为为三角形内角，，所以，则，故，即是以为直角顶点的直角三角形， 在中， ，由勾股定理得，代入，得，解得，所以，根据椭圆的定义，有，所以，因此，椭圆的离心率. 例11.（1）（2026·贵州贵阳·模拟预测）设，是椭圆的左、右焦点，P是C上一点，记，.若，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】 在中，由正弦定理得： ， 根据椭圆定义：，焦距，因此离心率： ，​又， ， 所以得： ，代入，得 ，因此椭圆离心率为. （2）（2026·福建三明·二模）设椭圆长轴的两个顶点分别为A，B，点C为椭圆E上不同于A，B的一点，若的三个内角A，B，C满足，则椭圆E的离心率为________. 【详解】，故，即，即，因为，所以，即，，故，即，， 不妨设，则， ，故，又，故，将其代入得，故椭圆E的离心率为. （3）（2026·江西抚州·二模）已知分别是椭圆的左､右焦点，是上异于左､右顶点的动点，记内切圆的面积为外接圆的面积为，若的最小值为4，则的离心率为__________. 【详解】如图，设，，由椭圆定义可知，在中，由余弦定理得则， 则内切圆的半径，又在中，由正弦定理可知即为外接圆的半径，故，则由椭圆的对称性可知，当点为短轴端点时，取得最大值，此时取得最小值，最小值为又的最小值为4，则的最小值为2，即，即，化简可得，等式左右两边同时除以，可得，即，由椭圆离心率，得. （4）（2026·河北·二模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上位于轴上方的一点，直线交于另一点，且，则的离心率为_______. 【详解】 设，则，由椭圆定义可知：，， 由余弦定理得：，整理可得：，（舍）或， ，，，，，即，的离心率. （5）（2026·山西晋中·二模）椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上位于第一象限内的一点且的平分线交轴于点，则椭圆的离心率为___________． 【详解】已知椭圆：（），焦点，，且. 点在第一象限，满足，该角的平分线交轴于点.   在中，为角平分线，由角平分线定理有.计算，，于是，即.由椭圆定义得.设，则，代入上式得，所以.因此，.在中，由余弦定理.代入得. 化简得，离心率.故椭圆的离心率为. （6）（2026·四川攀枝花·二模）直线交双曲线于，两点（在第一象限），是双曲线的右焦点，的延长线交双曲线于点，，，则的离心率为________． 【详解】如图，设双曲线的左焦点为，连接，，. 因为关于原点对称，所以四边形是平行四边形.所以.设，则.根据双曲线的定义，，，，在中，由余弦定理，，即， 所以（）.在中，，，，， 由余弦定理可得，所以. 例12.（1）（25-26高三下·吉林长春·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与C交于A，B两点，且，以AB为直径的圆过点，设C的离心率为，则 ___________________ ． 【详解】根据题意，过点的直线与双曲线的左支交于A，B两点，如图所示.，∴设，则.由双曲线定义可知，.∵以AB为直径的圆过点，，即，化简整理得，即，解得（舍去），或.∴，，，. 在中，.在中，， 即，即.. （2）（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】由数量积定义：， 在中， 根据双曲线的定义，故，设双曲线的焦距为，焦点为和， 点在双曲线上，记，，根据双曲线定义有，即， 由，得到，所以， 在中，，由余弦定理得：，即，即，得到，因此离心率为. （3）（2026·河南周口·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其右支上有一点满足，直线交轴于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】由双曲线定义得：，轴是的中垂线，在轴上，故， 设，由得，则，因此.，故，在中由余弦定理可得：，代入： ，故，结合得：.在中由余弦定理可得：， 代入，化简得：，将代入可得： ，化简得：，故. （4）（2026·河北沧州·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，的内切圆分别与，相切于点，，若，，则的离心率为__________. 【详解】如图，作出符合题意的图形，设内切圆与相切于点， 由椭圆定义可知，，又，，，，，得，，，所以，，，， 由余弦定理得，即，化简得. （5）（2026·广东·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为和，过作直线l交椭圆于A、B两点，且，，则椭圆C的离心率为______． 【详解】 设，，，，，， ，，，，，，，，，， ，， ，，，，，，. （6）（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，满足，则椭圆的离心率_____． 【详解】因为，所以可设过点的直线与椭圆在第一象限的交点为，如图所示： 设，则，，， 由题意可得，，在分别由余弦定理解得： ，，即，，解得，，即.故答案为：. 题型五：利用渐近线求双曲线离心率 例13.（1）（2026·福建·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，设为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于原点），点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【详解】以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，所以，不妨设双曲线的一条渐近线为，则到该直线的距离为， 因为，所以，设双曲线的左焦点为，则，在中，由余弦定理得，即，解得，所以双曲线的离心率为． （2）（2026·浙江绍兴·模拟预测）若圆与双曲线的渐近线相切，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【详解】对于双曲线，其渐近线方程为，即． 已知圆，则其圆心坐标为，半径为1．由于圆与双曲线的渐近线相切，则，即．由双曲线的离心率，可得． （3）（26-27高三上·山东滨州·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【详解】双曲线的渐近线方程为, 将已知渐近线整理为斜截式,为,因此,即;所以双曲线的离心率. （4）（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）已知双曲线：的右焦点为，圆与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为P，若的周长为，则双曲线的离心率为（     ） A．2 B． C．3 D． 【详解】根据题意可得，双曲线的渐近线方程为，则， 设，则，所以，，设，则， 则，因为的周长为，所以，解得或（舍去），所以的离心率． （5）（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知双曲线：（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】 的右顶点坐标，不妨设渐近线方程为：，点到直线的距离为：，因为为圆上两点，所以弦长，因为，，所以为等边三角形，所以，即，双曲线中，联立，所以离心率. （6）（2026·天津河北·一模）已知双曲线（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【详解】因为，双曲线（，）的渐近线方程为， 取，即，因为，且圆的半径为，则到的距离为，所以，结合，整理得到，即的离心率为. 例14.（1）（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知双曲线，为右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，点，在轴两侧，，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．3 【详解】双曲线的渐近线方程为，由对称性，不妨设点在直线上，则，则，联立，解得，由点，在轴两侧，则，故，则，整理得，则. （2）（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段与交于点，若，的面积相等，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，其中 ，又双曲线的渐近线方程为，如图，取，即，设到直线的距离为，则， 所以，则，因为，的面积相等，又，则，得到，又直线方程为，则，解得，所以，又点在双曲线上，所以， 整理得到，所以. （3）（2026·陕西商洛·二模）已知双曲线，圆为以实轴为直径的圆，试验发现将圆竖直上移个单位或水平右移个单位后均与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【详解】由题，圆，竖直上移个单位或水平右移个单位后，分别得到圆，，若圆，圆均与双曲线的渐近线相切，不妨取渐近线，有，即，解得，所以双曲线的离心率. （4）（25-26高三上·山东青岛·期末）已知，为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与其中一条渐近线垂直且垂足为.当面积最大时，双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【详解】易知，不妨取渐近线为，如下图： 因此可得到渐近线的距离为， 又易知，可得，由可得； 又易知，即，所以；因此可得，即，所以；因为的面积为的面积的两倍，易知；当且仅当时，的面积最大，也即的面积最大，此时离心率为.故选：D （5）（2026·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线（，）的右焦点为，直线与双曲线的渐近线相交于点，点在第二象限.直线与抛物线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为________. 【详解】解：由题意知双曲线渐近线方程为，因为直线与双曲线的渐近线相交于点，且点在第二象限，则点的横坐标为，代入渐近线，得，即， 因为，则，设，则，又，所以，解得，，所以，将代入得，化简得，因为，所以，则，解得，又，所以，即双曲线的离心率为. （6）（2026·云南·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，直线与双曲线的一条渐近线交于点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】  因为，所以，双曲线的渐近线方程为， 将代入渐近线方程中得，不妨设.由两点间距离公式可得，展开得，再代入，化简得，即.故离心率. 例15.（1）（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，且的面积为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】设点，渐近线方程为，即,则点到渐近线的距离为，又，，， 解得，则，． （2）（2026·北京·三模）双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为为坐标原点，，垂足为，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【详解】设双曲线的焦距为，则以为直径的圆方程为，双曲线的一条渐近线为，则，因为在第一象限，所以，所以，即，， 因为，垂足为,所以， 所以，即①，因为，所以在上的投影向量为，因为，所以，即，所以②，由①②知， 所以． （3）（2026·天津河西·三模）双曲线：的左、右焦点依次为、，坐标原点为，过右焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，该垂线交双曲线的右支于点，若点恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【详解】 由题意可知渐近线，则直线联立直线，和直线可解得点则线段的中点为又因为中点在双曲线上，将点的坐标代入双曲线的方程化简得：即 （4）（2026·安徽合肥·二模）若双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】双曲线的两条渐近线方程为.圆的圆心坐标为，半径.由题意双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，所以圆与其中一条渐近线相切.因为圆心坐标位于第一象限，圆与相交，与相切.圆心到渐近线的距离等于半径，即，整理得，. ，. （5）（2026·海南海口·模拟预测）双曲线的顶点到一条渐近线的距离等实半轴长的倍，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【详解】双曲线右顶点为，渐近线.顶点到渐近线的距离.因为双曲线的顶点到一条渐近线的距离等实半轴长的倍，所以，即，化简得，进而.已知，则，因为，所以. （6）（2026·福建·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，设为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于原点），点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【详解】以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，所以，不妨设双曲线的一条渐近线为，则到该直线的距离为， 因为，所以，设双曲线的左焦点为，则，在中，由余弦定理得，即，解得， 所以双曲线的离心率为． （7）（25-26高三下·山东·阶段检测）已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，若，则的离心率为_____． 【详解】由题意可知，与渐近线垂直，则直线的斜率为，设，则，所以，，因为，所以，，在中利用正弦定理得，所以， ，由双曲线定义知，，即，即，所以的离心率为. 题型六：利用中点弦及斜率求离心率 例16.（1）（2026·陕西咸阳·三模）已知为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线：交于两点，若，则的离心率为______． 【详解】 由题意得，直线的方程为，即， 由，得，设，，所以， 由，得是的中点，所以，即，所以，化简得，又，所以，化简得，所以． （2）（2026·河北雄安·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为分别为椭圆的左、右顶点，直线过与椭圆交于两点（不同于点），的周长为，直线与的斜率分别为，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】 的周长为， 则，.设点，整理得.又，解得，椭圆的离心率. （3）（2026·湖南长沙·一模）已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，交y轴于点E，若，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】由于，记的中点为点M，则的中点也为点M，如下图： 显然直线的斜率一定存在，设直线，，， 则，，于是，则，，， 由，，两式相减可得，即，得.又，所以E为的中点，则，可得.又因为，即，所以，可得，即解得离心率. （4）（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）已知点为椭圆：的上顶点，点，均在椭圆上，且，两点关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】设，则．由题意知，由得，．因为点在椭圆上，所以，解得， 所以，即，所以椭圆的离心率. （5）（25-26高三下·安徽阜阳·开学考试）已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线，分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点，若是线段的中点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】设双曲线的右焦点，过第一象限的渐近线的方程为，将代入到，得，即点，将代入到，得，即点，因为是线段的中点，则有，可得，联立，整理得，则双曲线的离心率. （6）（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设双曲线的右顶点为，过点且斜率为2的直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点（其中点P在第一象限）.若O为坐标原点，点M满足，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】，为的中点，过点作轴，交轴于点， 设，过点的直线的斜率为2，， ，，，，，， ，，，，设， 为的中点，，，是双曲线的渐近线上的点，， ，，，，，，.故选：B. 例17.（1）（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【详解】设是椭圆上异于A，B的点，，，把代入椭圆方程，得，，又，，又，，，， 故B选项正确. （2）（2026·山东德州·三模）双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线右支上一点且在以为直径的圆上，直线的斜率为2，则双曲线的离心率为______． 【详解】因为在以为直径的圆上，根据直径所对圆周角为直角，得，即是直角三角形，斜边，因为直线斜率为，所以中两直角边满足， 在双曲线右支上，由双曲线定义，代入得，， 由得，化简得，即，因此离心率. （3）（2026·江西·模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与的左、右两支分别交于，两点，为的中点且，则的离心率为__________． 【详解】 已知直线的斜率，，则直线的斜率为， 设，则在直线上，即①，②，联立①②得：，即，设，代入双曲线方程并相减得： ，整理得，即，化简得， ，即，，解得，． （4）（2026·甘肃兰州·模拟预测）过原点的直线与双曲线：交于，两点，点在上，若直线与的斜率之积为，则的离心率为______. 【详解】设，，.由在双曲线上得，. 两式作差得.，，. 由题意，离心率，.代入得，故. （5）（2026·河北保定·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点P 是 C 上一点且位于第一象限，若的平分线所在直线的斜率与 的平分线所在直线的斜率分别为，且，则C的离心率为________. 【详解】设的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点， 的平分线所在直线与轴交于点，，则， 因为，且，所以，又因为且，所以，联立方程组，解得，所以，因为，所以，所以，在直角中，因为，所以，又因为，所以，所以双曲线的离心率. （6）（2026·江西·二模）已知双曲线的左焦点为，焦距为，过的斜率为的直线与双曲线的右支交于点，若，其中为坐标原点，则双曲线的离心率为_____． 【详解】设双曲线的右焦点为，则，故， 因为，故， ，所以，所以，由双曲线的定义可知． （7）（2026·宁夏银川·一模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上的点与的上、下顶点连线的斜率之积为，则的离心率为______.过点的直线与交于，两点（均异于左、右顶点），若，则______. 【详解】设，上下顶点坐标分别为和，所以，得，且，所以，离心率；设，，则，，因为，所以， 则，整理为，得， 所以，，，中，根据余弦定理. 题型七：坐标法求离心率 例18.（1）（2026·山东济宁·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为第一象限内一点且在椭圆上，交轴于点，若，，则的离心率为（    ） A． B．或 C． D．或 【详解】由题意可知：，则，，因为，，则为的角平分线， 则，可得， 设，，，则，，因为，则，解得，即，则，解得，即， 则，则，即，所以椭圆C的离心率. （2）（2026·河北·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线与的渐近线在第一象限交于点，与的左支交于点，线段的中点为，为坐标原点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D．4 【详解】设，，，如图： 因为为线段的中点，为线段的中点，所以. 又，所以，即，化简得①.因为，所以为线段的中点，故，因为在上，所以，化简得，解得②.将②代入①，得，化简得，所以，又，所以. （3）（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）在平面直角坐标系中，圆与双曲线相交于A，B，C，D四点，若点A，B，C，D构成圆O圆周的四等分点，圆O的直径长度是双曲线C实轴长的3倍，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】由已知圆的直径为4，又直径长度是双曲线C实轴长的3倍，所以，所以.因为点A，B，C，D构成圆O圆周的四等分点，所以四等分点到圆心的距离为半径， 且四点与原点构成的连线互相垂直.即如图所示： 设圆与轴交于点N，所以，且， 所以设是圆与双曲线的交点，所以或解得或或或，所以四等分点的坐标为, 把代入中，得，解得，所以双曲线C的离心率. （4）（25-26高三下·浙江·开学考试）已知双曲线的左焦点为为虚轴端点，直线与渐近线交于点，若，则该双曲线的离心率是（   ） A． B．2 C． D．3 【详解】不妨设，又，则直线的方程为， 联立，得，即，因为，所以，则，得，则该双曲线的离心率是. （5）（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与在第一､四象限的交点分别为，与轴交点为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】如下图： 易知，所以，且为的中点， 又，所以，因此可得,代入双曲线方程可得，整理并化简可得，即，解得或（舍）；因为双曲线离心率，所以. （6）（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知椭圆的下顶点为，右焦点为，直线与的另一个交点为，关于轴的对称点为，若，则的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【详解】由题意得，，，则直线的斜率，设直线AF的方程为，联立，则，化简得，解得，， 所以点，因此点的坐标为．因为，所以，又，，则，整理可得，将代入，化简得，所以，故离心率． 例19.（1）（2026·广东茂名·二模）已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图所示，椭圆中，右顶点，上顶点， 直线的截距式方程为：，以短轴为直径的圆的圆心在原点，半径为，方程为， 为正三角形，，结合在第一象限，可得点坐标为，将的坐标代入直线方程可得，化简得：，因为椭圆离心率，且， 所以，解得. （2）（2026·河北保定·模拟预测）已知椭圆的上、下顶点分别为，为坐标原点，过作直线的垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【详解】 因为分别为椭圆的上下顶点，故， 故的直线方程为，由可得即，因为，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，故，整理得，故离心率. （3）（2026·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线（，）的右焦点为，直线与双曲线的渐近线相交于点，点在第二象限.直线与抛物线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为________. 【详解】解：由题意知双曲线渐近线方程为，因为直线与双曲线的渐近线相交于点，且点在第二象限，则点的横坐标为，代入渐近线，得，即， 因为，则，设，则，又，所以，解得，，所以，将代入得，化简得，因为，所以，则，解得，又，所以，即双曲线的离心率为. （4）（2026·河南开封·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为顶点在坐标原点，焦点为的抛物线，过作的一条渐近线的垂线交于点P，且，设双曲线的离心率为，则（    ） A． B．2 C． D．3 【详解】 设与渐近线交于点Q，由，可知Q是的中点，不妨设所在直线的方程为，联立可得，由及中点坐标公式得，，由题意得抛物线的方程为，将P点坐标代入可得， 整理得，解得． （5）（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）已知的左、右焦点分别为和，上顶点和右顶点分别为和，与的另一个交点为，若存在实数，使得，则的离心率为________． 【详解】由题意可得，则直线，联立方程组得，消去得，解得或，当时，，则点，当存在实数，使得时，即，可知，得，化简得，由得，解得（舍）. （6）（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知是双曲线的左、右顶点，点在双曲线的渐近线上，且在第一象限，点到坐标原点的距离为，直线交双曲线的右支于点，直线与的斜率互为相反数，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【详解】设，联立，得，，即， 则，直线，所以， 联立直线和直线的方程，解得，，即，代入双曲线方程，得， 所以双曲线的离心率为. 题型八：共焦点的椭圆与双曲线 例20.（1）（2026·广东深圳·二模）已知，为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，为它们的一个公共点，且，O为坐标原点，，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为_________． 【详解】由题意可设椭圆和双曲线的方程分别为，因为二者共焦点，所以，如图，设，由椭圆和双曲线的定义可知，由此解得，由题意知，所以，故在中，由勾股定理可知，代入的表达式可得， 由离心率的定义可得，设，则，所以问题转化为求的最大值，设，由可得，当且仅当两向量同向共线时即取等号，所以的最大值为. （2）（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【详解】如图，设椭圆，双曲线，因为它们有相同的焦点，所以，不妨设点在第一象限，且， 因为点在椭圆上，所以，即，又因为，所以，所以，因为，所以， 又因为点在双曲线上，所以，即，又因为，所以，所以，可得，所以双曲线的离心率为. （3）（2026·上海浦东新·三模）如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，点、是椭圆与双曲线的两个交点，其中在第一象限，在第三象限．若，则与的离心率之积的最小值为___________． 【详解】设椭圆的方程为，双曲线的方程为， 因为椭圆与双曲线的公共焦点，所以，如图所示，连接，根据椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形，因为，可得，设， 在中，由余弦定理得，由椭圆的定义，可得， 可得，所以，所以，又由双曲线的定义，可得，可得，所以，所以，所以，可得，即，可得，所以，因为，当且仅当时，等号成立，所以，即，所以，所以与的离心率之积的最小值为. （4）（2026·安徽安庆·三模）焦点在x轴上的椭圆与双曲线有公共左、右焦点、，点M是与的公共点且，点N在x轴上，满足，若，则与的离心率之积为____. 【详解】由条件可得，，因、、三点共线，则得，则，即，故，因，而表示与同方向的单位向量，表示与同方向的单位向量， 由菱形的性质可得平分，故.设，则，因点是与的公共点，故得（为椭圆的长半轴长），（为双曲线的实半轴长）. 则得，即在中，由余弦定理得，解得，设椭圆，双曲线的离心率分别为、，则. （5）（2026·内蒙古包头·一模）已知椭圆和双曲线有公共焦点，（为左焦点），与在第三象限交于点，直线交轴于点且平分，则的离心率为_________． 【详解】椭圆中，故，，，由题意可知，且，由椭圆定义可得①，由双曲线定义可得②，联立①②得，由角平分线定理可知，， 设，在直线上，由分点比例得， 则，解得，在椭圆上，则，解得， ，，由得，，化简得，，，解得，． 题型九：离心率的范围 例21.（1）（2026·福建漳州·三模）已知是椭圆的左、右焦点，为上一点，分别为的外接圆半径和内切圆半径，且，则的离心率取值范围为（） A． B． C． D． 【详解】设，则，所以，又， 所以，代入条件得，设，因为，所以， 即，又，所以且，所以． （2）（2026·河南周口·三模）已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由题意可知：，，且，若存在点，使得四边形为矩形，此时，且，则四边形为正方形，可得，则，可得，且，即，可得，可得，所以椭圆的离心率的取值范围是. （3）（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P使，且△F1PF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【详解】设，则，由三角形的内角和为，所以，在中，由正弦定理可得：，由可得：，所以，因为 ，因为，因为△F1PF2为锐角三角形，所以，解得：，所以，所以，因为在上单调递减，所以在上单调递减，所以 （4）（2026·广东汕头·模拟预测）若双曲线存在以为中点的弦，则离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】若点在右焦点所在的双曲线内部，则必存在以为中点的弦，此时，解得，则，所以，符合题意；若点在右焦点所在的双曲线外部，则，设以为中点的弦与双曲线E交于两点，则，则，，两式作差得，整理得弦的斜率，因为存在该中点弦，所以直线AB与双曲线E有2个不同的交点， 则，解得，所以，则，符合题意.综上，离心率的取值范围是.故选：C （5）（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是上一点且在第一象限内，为坐标原点，过作直线，交直线于点．若存在点，使得，则的离心率的取值范围为______． 【详解】如图： 由，得，过作直线的垂线，垂足为， 设（也就是直线）与交于点，因为，故，于是，由相似比可得，又为的中点，又，根据三角形中位线的判定，为的中位线，则，所以，即，结合三点共线，， 推出，也就是为线段的中点，由，为直角三角形，由勾股定理得，在中有，将、代入，整理得：，当点在双曲线第一象限向右上方运动时，与的长度均单调递增，因此代数式的最小值出现在无限靠近双曲线右顶点处，此时，，则该式的最小值趋近于，题目要求存在满足条件的点，只需最小值小于，即， 展开并化简得，两边同时除以可得，由离心率定义，得，故双曲线离心率的取值范围是. （6）（2026·山西运城·二模）已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】设的右焦点为，因为点在的内部，所以．由椭圆的定义知，所以，则，则的最大值为，所以，又，所以，此时满足，所以的离心率． 例22.（1）（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，直线与M的一个交点为，且为锐角三角形，则M的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】不妨假设在第一象限，设，由得 ，，，易知恒为锐角， 则得. （2）（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】记的焦距为，设，则，即， 由，得，即，则，整理得，又，因此，解得，所以的离心率的取值范围是． （3）（2026·贵州毕节·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限，若，，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限，则O为的中点，结合，所以四边形为矩形， 所以，而， 则，整理得，所以，结合A在第一象限，可知，所以，由椭圆的对称性可知，由可得，即，所以，整理得，所以，即椭圆C的离心率的取值范围为. （4）（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】如图： ，又，所以，而是圆切线，则，在中，，因此有，从而， 而，所以，在双曲线上，因此，所以，∴，从而，所以，∴双曲线的离心率. （5）（2026·福建南平·二模）已知为双曲线上一动点，若存在点到轴、轴的距离之比为，则双曲线的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】设点，因为点到轴，轴的距离之比为，所以，即. 因为点为双曲线上一动点，将代入双曲线方程可得：，即，通分可得：，即，因为，所以，即；，所以，离心率， 因为，故，则，所以，因此，双曲线的离心率范围为. （6）（2026·河北邯郸·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其右支上有一点，满足的垂直平分线与右支交于点，且直线过右焦点，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】设，不妨设，, 设，则，得，解得, 的垂直平分线与右支交于点且直线过点，等价于直线与双曲线右支交于另一点， 则，即，进一步推导：，得， 代入，解得，又，所以. （7）（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（   ） A． B． C． D． 【详解】椭圆以，为焦点，即，，所以设椭圆方程， 联立方程，消去得出，由题意可得，即，得出或（舍去），解得， 所以，所以椭圆的离心率的最大值为. （8）（25-26高三下·湖南·阶段检测）已知双曲线的左､右焦点分别为为上异于实轴端点的动点，若，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，，在中，结合双曲线定义，，由正弦定理得，化简分子： ， 分母，代入得 ，已知，代入整理得，是三角形内角，故，结合双曲线离心率， 由，，由，，因此离心率. （9）（25-26高三下·安徽·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，连接，若，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，，， 又，则，则，则， 在中，，故，，则， 综上，双曲线的离心率的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆锥曲线离心率专项训练 题型一：利用圆锥曲线的定义求离心率 例1.（1）（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知双曲线：（，）的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． （2）（2026·黑龙江哈尔滨·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，过的直线与椭圆交于A，B两点，若，的面积是面积的4倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． （3）（2026·福建厦门·模拟预测）已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． （4）（26-27高三上·浙江·开学考试）双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． （5）（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交双曲线右支于，两点，若为正三角形，则双曲线的离心率__________. （6）（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线（为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为____________． 例2.（1）（2026·陕西·模拟预测）将椭圆的长轴分成6等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于五点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． （2）（2026·天津武清·模拟预测）已知，是双曲线：上的两点，是双曲线的左焦点，满足，，，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． （3）（2026·云南昭通·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过原点的直线交于两点，且．若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． （4）（2026·四川资阳·三模）已知为坐标原点，为椭圆的右顶点．若椭圆上存在两点，，使得以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． （5）（2026·江西南昌·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为是双曲线上一点，，的平分线与轴交于点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． （6）（25-26高三下·海南·阶段检测）已知椭圆的右焦点为F，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为PF中点，若的周长为4，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 例3.（1）（2026·四川遂宁·二模）已知椭圆的左右焦点分别是，点满足，线段与椭圆交于点，作于，其中为坐标原点，则椭圆的离心率为__________. （2）（2026·云南红河·模拟预测）已知，为椭圆：（）的左、右焦点，点是椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． （3）（2026·湖北荆州·一模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． （4）（2026·山西太原·二模）设分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线右支上一点，的平分线交轴于点，令，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． （5）（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． （6）（2026·湖北武汉·模拟预测）已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点，P为C的渐近线上一点，且P在第一象限，Q为C的左支上一点，若四边形OFPQ为菱形，则C的离心率为______． 题型二：利用勾股定理求离心率 例4.（1）（26-27高三上·云南·开学考试）设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． （2）（26-27高三上·河北廊坊·开学考试）双曲线（，）的左顶点为A，右焦点为F，若以为斜边的直角三角形的面积的最大值为，则双曲线C的离心率为（     ） A． B． C． D． （3）（2026·河北·二模）已知椭圆的左、右焦点分别是和，过的直线交椭圆于两点，的内切圆分别与相切于两点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． （4）（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点是上一点，直线的斜率为3，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． （5）（2026·四川·二模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M在C上，且，，，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． （6）（2026·河北·模拟预测）已知，分别为双曲线，的左、右焦点，点P在C上，且满足，，则C的离心率为（    ） A． B． C．5 D． （7）（25-26高三下·江西景德镇·阶段检测）双曲线C：（）的左、右焦点分别为，P是双曲线C上一点，轴，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 例5.（1）（2026·山东潍坊·三模）已知双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，且，的内切圆半径为，则双曲线的离心率为________． （2）（2026·江苏无锡·模拟预测）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为_____． （3）（2026·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为___________. （4）（2026·福建福州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，点在轴上，若，且，则双曲线的离心率为________． （5）（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，，，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． （6）（2026·河南·模拟预测）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，P是C上一点，且，，则C的离心率为_______． 例6.（1）（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． （2）（2026·山东威海·二模）已知双曲线的一个焦点为，过原点的直线交于两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D．3 （3）（2026·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点．若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． （4）（2026·天津北辰·二模）已知F是双曲线E：的左焦点，为坐标原点，过点F的直线与E的右支交于点M，与左支交于点N，且，，则双曲线E的离心率为（   ） A．2 B．3 C． D． （5）（2026·天津红桥·二模）设，分别是双曲线的左、右焦点，离心率为e，过的直线交双曲线的左支于M，N两点，若是以M为直角顶点的等腰直角三角形，则（   ） A． B． C． D． （6）（2026·天津东丽·二模）设，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，过且斜率为的直线l与C的左支交于点A，与C的右支交于点B，点D满足，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型三：构造齐次式求离心率 例7.（1）（26-27高三上·广西贺州·开学考试）已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． （2）（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知双曲线，分别为其左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，线段上一点满足，且，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． （3）（2026·安徽合肥·模拟预测）双曲线：（，）的左、右焦点为、，、为双曲线右支上两点且满足，若时，，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D．3 （4）（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． （5）（25-26高三下·安徽·期中）已知椭圆C：的右焦点为，过点的直线与直线垂直，且与椭圆相切，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． （6）（2026·江苏镇江·二模）椭圆的左右焦点分别为，，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于点，为坐标原点，是椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 例8.（1）（2026·安徽安庆·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． （2）（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为、，分别过、作斜率为、的直线、，若和的交点在双曲线上，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 （3）（2026·陕西榆林·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线在第一象限内的一点，为轴上的点，垂直于轴，，且为平面直角坐标系内一点，满足，，则双曲线的离心率为（   ） A． B．2 C． D． （4）（2026·湖南岳阳·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为 的直线与双曲线E的右支交于两点，若 则双曲线E的离心率为（    ） A． B．2 C．2或 D．或 （5）（2026·江苏·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为为右顶点，是上一点，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 （6）（2026·安徽铜陵·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，直线交双曲线右支于A，B两点，设M，N分别为和的内心，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． （7）（26-27高三上·河南南阳·开学考试）记坐标原点为，椭圆的左、右焦点分别为，线段的垂直平分线与E在第一象限内相交于点，交y轴于点N．若，则E的离心率的平方为（    ） A． B． C． D． 题型四：利用正余弦定理求离心率 例9.（1）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． （2）（2026·天津·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． （3）（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． （4）（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知双曲线：的左焦点为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，直线与双曲线的左支相交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． （5）（2026·河南郑州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． （6）（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点．若在第一象限，且，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 例10.（1）（2026·河北张家口·一模）已知双曲线的左、右两个焦点分别为，过的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点，且满足，（为坐标原点），，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 （2）（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线交C于P，Q两点，若为等边三角形，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． （3）（2026·河北邢台·二模）已知椭圆 的左焦点为F，直线l过坐标原点 O 且与椭圆交于第一象限内的一点A，若 则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． （4）（2026·江苏·模拟预测）点在以为焦点的椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． （5）（2026·安徽合肥·二模）设椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． （6）2026·河南·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 例11.（1）（2026·贵州贵阳·模拟预测）设，是椭圆的左、右焦点，P是C上一点，记，.若，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． （2）（2026·福建三明·二模）设椭圆长轴的两个顶点分别为A，B，点C为椭圆E上不同于A，B的一点，若的三个内角A，B，C满足，则椭圆E的离心率为________. （3）（2026·江西抚州·二模）已知分别是椭圆的左､右焦点，是上异于左､右顶点的动点，记内切圆的面积为外接圆的面积为，若的最小值为4，则的离心率为__________. （4）（2026·河北·二模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上位于轴上方的一点，直线交于另一点，且，则的离心率为_______. （5）（2026·山西晋中·二模）椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上位于第一象限内的一点且的平分线交轴于点，则椭圆的离心率为___________． （6）（2026·四川攀枝花·二模）直线交双曲线于，两点（在第一象限），是双曲线的右焦点，的延长线交双曲线于点，，，则的离心率为________． 例12.（1）（25-26高三下·吉林长春·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与C交于A，B两点，且，以AB为直径的圆过点，设C的离心率为，则 ___________________ ． （2）（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． （3）（2026·河南周口·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其右支上有一点满足，直线交轴于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． （4）（2026·河北沧州·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，的内切圆分别与，相切于点，，若，，则的离心率为__________. （5）（2026·广东·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为和，过作直线l交椭圆于A、B两点，且，，则椭圆C的离心率为______． （6）（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，满足，则椭圆的离心率_____． 题型五：利用渐近线求双曲线离心率 例13.（1）（2026·福建·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，设为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于原点），点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． （2）（2026·浙江绍兴·模拟预测）若圆与双曲线的渐近线相切，则的离心率是（   ） A． B． C． D． （3）（26-27高三上·山东滨州·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． （4）（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）已知双曲线：的右焦点为，圆与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为P，若的周长为，则双曲线的离心率为（     ） A．2 B． C．3 D． （5）（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知双曲线：（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． （6）（2026·天津河北·一模）已知双曲线（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 例14.（1）（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知双曲线，为右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，点，在轴两侧，，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．3 （2）（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段与交于点，若，的面积相等，则的离心率为（    ） A． B． C． D． （3）（2026·陕西商洛·二模）已知双曲线，圆为以实轴为直径的圆，试验发现将圆竖直上移个单位或水平右移个单位后均与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． （4）（25-26高三上·山东青岛·期末）已知，为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与其中一条渐近线垂直且垂足为.当面积最大时，双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． （5）（2026·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线（，）的右焦点为，直线与双曲线的渐近线相交于点，点在第二象限.直线与抛物线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为________. （6）（2026·云南·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，直线与双曲线的一条渐近线交于点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 例15.（1）（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，且的面积为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． （2）（2026·北京·三模）双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为为坐标原点，，垂足为，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 （3）（2026·天津河西·三模）双曲线：的左、右焦点依次为、，坐标原点为，过右焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，该垂线交双曲线的右支于点，若点恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． （4）（2026·安徽合肥·二模）若双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． （5）（2026·海南海口·模拟预测）双曲线的顶点到一条渐近线的距离等实半轴长的倍，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 （6）（2026·福建·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，设为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于原点），点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． （7）（25-26高三下·山东·阶段检测）已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，若，则的离心率为_____． 题型六：利用中点弦及斜率求离心率 例16.（1）（2026·陕西咸阳·三模）已知为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线：交于两点，若，则的离心率为______． （2）（2026·河北雄安·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为分别为椭圆的左、右顶点，直线过与椭圆交于两点（不同于点），的周长为，直线与的斜率分别为，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． （3）（2026·湖南长沙·一模）已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，交y轴于点E，若，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）已知点为椭圆：的上顶点，点，均在椭圆上，且，两点关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． （5）（25-26高三下·安徽阜阳·开学考试）已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线，分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点，若是线段的中点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． （6）（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设双曲线的右顶点为，过点且斜率为2的直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点（其中点P在第一象限）.若O为坐标原点，点M满足，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 例17.（1）（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． （2）（2026·山东德州·三模）双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线右支上一点且在以为直径的圆上，直线的斜率为2，则双曲线的离心率为______． （3）（2026·江西·模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与的左、右两支分别交于，两点，为的中点且，则的离心率为__________． （4）（2026·甘肃兰州·模拟预测）过原点的直线与双曲线：交于，两点，点在上，若直线与的斜率之积为，则的离心率为______. （5）（2026·河北保定·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点P 是 C 上一点且位于第一象限，若的平分线所在直线的斜率与 的平分线所在直线的斜率分别为，且，则C的离心率为________. （6）（2026·江西·二模）已知双曲线的左焦点为，焦距为，过的斜率为的直线与双曲线的右支交于点，若，其中为坐标原点，则双曲线的离心率为_____． （7）（2026·宁夏银川·一模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上的点与的上、下顶点连线的斜率之积为，则的离心率为______.过点的直线与交于，两点（均异于左、右顶点），若，则______. 题型七：坐标法求离心率 例18.（1）（2026·山东济宁·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为第一象限内一点且在椭圆上，交轴于点，若，，则的离心率为（    ） A． B．或 C． D．或 （2）（2026·河北·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线与的渐近线在第一象限交于点，与的左支交于点，线段的中点为，为坐标原点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D．4 （3）（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）在平面直角坐标系中，圆与双曲线相交于A，B，C，D四点，若点A，B，C，D构成圆O圆周的四等分点，圆O的直径长度是双曲线C实轴长的3倍，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． （4）（25-26高三下·浙江·开学考试）已知双曲线的左焦点为为虚轴端点，直线与渐近线交于点，若，则该双曲线的离心率是（   ） A． B．2 C． D．3 （5）（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与在第一､四象限的交点分别为，与轴交点为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． （6）（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知椭圆的下顶点为，右焦点为，直线与的另一个交点为，关于轴的对称点为，若，则的离心率为（    ）． A． B． C． D． 例19.（1）（2026·广东茂名·二模）已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． （2）（2026·河北保定·模拟预测）已知椭圆的上、下顶点分别为，为坐标原点，过作直线的垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． （3）（2026·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线（，）的右焦点为，直线与双曲线的渐近线相交于点，点在第二象限.直线与抛物线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为________. （4）（2026·河南开封·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为顶点在坐标原点，焦点为的抛物线，过作的一条渐近线的垂线交于点P，且，设双曲线的离心率为，则（    ） A． B．2 C． D．3 （5）（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）已知的左、右焦点分别为和，上顶点和右顶点分别为和，与的另一个交点为，若存在实数，使得，则的离心率为________． （6）（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知是双曲线的左、右顶点，点在双曲线的渐近线上，且在第一象限，点到坐标原点的距离为，直线交双曲线的右支于点，直线与的斜率互为相反数，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 题型八：共焦点的椭圆与双曲线 例20.（1）（2026·广东深圳·二模）已知，为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，为它们的一个公共点，且，O为坐标原点，，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为_________． （2）（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． （3）（2026·上海浦东新·三模）如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，点、是椭圆与双曲线的两个交点，其中在第一象限，在第三象限．若，则与的离心率之积的最小值为___________． （4）（2026·安徽安庆·三模）焦点在x轴上的椭圆与双曲线有公共左、右焦点、，点M是与的公共点且，点N在x轴上，满足，若，则与的离心率之积为____. （5）（2026·内蒙古包头·一模）已知椭圆和双曲线有公共焦点，（为左焦点），与在第三象限交于点，直线交轴于点且平分，则的离心率为_________． 题型九：离心率的范围 例21.（1）（2026·福建漳州·三模）已知是椭圆的左、右焦点，为上一点，分别为的外接圆半径和内切圆半径，且，则的离心率取值范围为（） A． B． C． D． （2）（2026·河南周口·三模）已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______. （3）（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P使，且△F1PF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． （4）（2026·广东汕头·模拟预测）若双曲线存在以为中点的弦，则离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． （5）（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是上一点且在第一象限内，为坐标原点，过作直线，交直线于点．若存在点，使得，则的离心率的取值范围为______． （6）（2026·山西运城·二模）已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例22.（1）（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，直线与M的一个交点为，且为锐角三角形，则M的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． （2）（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）（2026·贵州毕节·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限，若，，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． （5）（2026·福建南平·二模）已知为双曲线上一动点，若存在点到轴、轴的距离之比为，则双曲线的离心率范围为（    ） A． B． C． D． （6）（2026·河北邯郸·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其右支上有一点，满足的垂直平分线与右支交于点，且直线过右焦点，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． （7）（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（   ） A． B． C． D． （8）（25-26高三下·湖南·阶段检测）已知双曲线的左､右焦点分别为为上异于实轴端点的动点，若，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． （9）（25-26高三下·安徽·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，连接，若，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $