第1-2章阶段题型特训：解答题-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

第1-2章阶段题型特训：解答题-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024） 题型汇总 题型：勾股定理 题型：勾股数及勾股定理逆定理 题型：勾股定理的应用 题型：实数 题型：平方根与立方根 题型：二次根式 跟踪特训 题型：勾股定理 1．（2025秋•大田县期末）如图，四边形ABCD，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，连接AC，且AC＝CD． （1）求CD的长； （2）若，求BD的长． 2．（2025秋•泗阳县期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD为△ABC的中线，AC＝6，△ACD的面积为12． （1）求AB的长． （2）求点A到直线CD的距离． 3．（2026春•铁东区校级月考）如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，D是斜边BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，连接CE． （1）试说明：BE2﹣AE2＝AC2； （2）若AC＝6，BD＝4，求△ACE的周长． 4．（2025秋•浑南区期末）如图，在△ABC中，点E为边AB上的一点，连接CE，过点A作AF⊥AB，交CE延长线于点F，过点A作AD⊥CE，垂足为D．已知AD＝7，CD＝24，AB＝20，BC＝15． （1）求线段AC的长； （2）求证：∠BCE＝∠DFA． 题型：勾股数及勾股定理逆定理 5．（2025秋•临澧县期末）如图，在△ABC中，AC＝5，D为BC边上一点，且CD＝1，，BD＝4，点E是AB边上的动点，连接DE． （1）判断△ACD的形状，并说明理由； （2）求AB的长； （3）当△BDE是直角三角形时，求AE的长． 6．（2025秋•原阳县期末）如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形ABCD的周长； （2）求∠BAD的度数． 7．（2026秋•同步）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB，BC于点D，E，且BD2﹣DA2＝AC2．试说明∠A＝90°． 8．（2026秋•同步）在解答“判断由长为，2，线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中，小明是这样做的： 解：设a，b＝2，c．因为a2+b2＝（）2+22，c2，，所以由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形． 你认为小明的解答正确吗？请说明理由． 题型：勾股定理的应用 9．（2026春•四平期末）图1是放置在水平面上的可折叠式护眼灯，其中底座的高AB＝5cm，连杆BC＝30cm，灯罩CD＝20cm．如图2，转动BC、CD，使得∠BCD成平角，且灯罩端点D离桌面l的高度DH为45cm，求AH的距离． 10．（2026春•老河口市月考）如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得CB＝2千米，CH＝1.6千米，HB＝1.2千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 11．（2026•渠县校级开学）小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作： ①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.7米． （1）求风筝的高度CE． （2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH的长度． 12．（2026春•龙湖区期末）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）． （1）请求出BD的长度； （2）根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准． 题型：实数 13．（2026秋•同步）比较下列各组数的大小： （1）与； （2）和． 14．（2026秋•同步）中国四大名绣之一的“粤绣”，借着海上丝绸之路的起点，从广州走向了世界．如图是一幅面积为110πcm2的粤绣扇面图，它的半径为xcm． （1）x是无理数吗？ （2）试估计x的整数部分是多少，十分位呢？ 15．（2025秋•淮安期末）把下列各数分别填入相应的集合中： ﹣（﹣230），，0，﹣0.99，1.31，5，，3.14246792…，． （1）整数集合：{　 　 …}； （2）非正数集合：{　 　 …}； （3）正有理数集合：{　 　 …}； （4）无理数集合：{　 　 …}． 16．（2025秋•萧山区校级期中）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b． 例：比较和2的大小． 由“作差法”得，因为，所以，所以4＜0，所以． 请你根据上面的方法解决下列问题： （1）比较和1的大小； （2）比较和7的大小． 题型：平方根与立方根 17．（2025秋•南京期末）求下列各式中x的值： （1）4x2﹣25＝0； （2）（2x﹣1）3+27＝0． 18．（2025秋•嘉峪关校级期末）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简． 19．（2025秋•烟台期末）已知3x﹣5的算术平方根是5，1﹣2y的立方根是﹣3． （1）求x，y的值； （2）求的平方根． 20．（2026秋•同步）[阅读材料] ∵，即，∴． ∴的整数部分为1．∴的小数部分为． [解决问题] （1）填空：的小数部分是　 　 ； （2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，则代数式的值是多少？ 题型：二次根式 21．（2025秋•密云区月考）计算： （1）； （2）． 22．（2026春•东莞市校级期中）我们规定用（a，b）表示有序数对．给出如下定义：记，，其中a＞0，b＞0，将（m，n）与（n，m）称为有序数对（a，b）的一对“对称数对”．例如；（4，1）的一对“对称数对”为和． （1）有序数对（4，3）的一对“对称数对”是 　 　 ； （2）若有序数对（5，y）的一对“对称数对”相同，则y的值为 　 　 ； （3）若有序数对（x，2）的一个“对称数对”是，则x的值为 　 　 ； （4）若有序数对（a，b）的一个“对称数对”是，求ab的值． 23．（2025秋•朝阳区校级期末）有一块长方形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加（即），宽AB增加（即）．得到一个面积为192cm2的正方形AGFE． （1）求长方形木板ABCD的面积； （2）木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 24．（2026秋•宝安区校级同步）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知a，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的： ∵a， ∴a﹣2． ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）计算； （2）化简． 参考答案与试题解析 一．解答题（共24小题） 1．（2025秋•大田县期末）如图，四边形ABCD，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，连接AC，且AC＝CD． （1）求CD的长； （2）若，求BD的长． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4， 由勾股定理得：AC5， ∵AC＝CD， ∴CD＝5； （2）如图，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F， 在△ACD中，AC2+CD2＝52+52＝50，AD2＝（5）2＝50， 则∠ACD＝90°， ∴∠ACB+∠DCF＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ACB+∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠CFD， 在△ABC和△CFD中， ， ∴△ABC≌△CFD（AAS）， ∴CF＝AB＝3，DF＝BC＝4， ∴BF＝BC+CF＝7， ∴BD． 2．（2025秋•泗阳县期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD为△ABC的中线，AC＝6，△ACD的面积为12． （1）求AB的长． （2）求点A到直线CD的距离． 【解答】解：（1）∵△ACD的面积为12，CD为△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△ACD＝24， ∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6， ∴，则BC＝8， ∴； （2）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，CD为△ABC的中线， ∴，又△ACD的面积为12， ∴点A到直线CD的距离为． 3．（2026春•铁东区校级月考）如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，D是斜边BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，连接CE． （1）试说明：BE2﹣AE2＝AC2； （2）若AC＝6，BD＝4，求△ACE的周长． 【解答】（1）证明：∵在Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，DE⊥BC， ∴DE垂直平分BC， ∴BE＝CE， 在直角三角形ACE中，∠A＝90°， 由勾股定理得：CE2﹣AE2＝AC2， ∴BE2﹣AE2＝AC2； （2）解：∵D是斜边BC的中点，BD＝4， ∴BC＝2BD＝8， 在Rt△ABC中，AC＝6， 由勾股定理得：， ∴， ∴△ACE的周长． 4．（2025秋•浑南区期末）如图，在△ABC中，点E为边AB上的一点，连接CE，过点A作AF⊥AB，交CE延长线于点F，过点A作AD⊥CE，垂足为D．已知AD＝7，CD＝24，AB＝20，BC＝15． （1）求线段AC的长； （2）求证：∠BCE＝∠DFA． 【解答】（1）解：∵AD⊥CE， ∴∠D＝90°， ∵AD＝7，DC＝24， ∴AC； （2）证明：∵AC＝25，AB＝20，BC＝15，202+152＝252＝625，AC2＝252＝625， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠B为直角， ∴∠BCE+∠BEC＝90°， ∵AF⊥AB， ∴∠DFA+∠AEF＝90°， ∵∠AEF＝∠BEC， ∴∠BCE＝∠DFA． 5．（2025秋•临澧县期末）如图，在△ABC中，AC＝5，D为BC边上一点，且CD＝1，，BD＝4，点E是AB边上的动点，连接DE． （1）判断△ACD的形状，并说明理由； （2）求AB的长； （3）当△BDE是直角三角形时，求AE的长． 【解答】解：（1）在△ABC中，AC＝5，D为BC边上一点，且CD＝1，，BD＝4，由题意可得： ∴， AC2+CD2＝25+1＝26， ∴AD2＝AC2+CD2， ∴∠C＝90° ∴△ACD是直角三角形且∠C＝90°； （2）∵CD＝1，BD＝4， ∴BC＝1+4＝5， 由（1）可知：∠C＝90°； 又AC＝5， 在Rt△ACB中， ∴AB2＝AC2+BC2＝50， ∴； （3）由（2）得：AC＝BC， ∴∠B＝45°， 当∠BDE＝90°时， ∵BD＝4，∠B＝45°， ∴BD＝DE＝4， ∴， ∴； 当∠BED＝90°时， ∵∠B＝45°， ∴BE＝DE， ∵，BD＝4， ∴， ∴，\ 综上可知：当△BDE是直角三角形时，AE的长为或． 6．（2025秋•原阳县期末）如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形ABCD的周长； （2）求∠BAD的度数． 【解答】解：（1）根据勾股定理得： AB5， BC2， CD， AD5， ∴AB+BC+CD+AD＝525＝535； （2）连接BD， 根据勾股定理得：BD5， ∵AB＝5，AD＝5， ∴BD2+AD2＝52+52＝50＝AB2，AD＝BD， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠BAD＝45°． 7．（2026秋•同步）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB，BC于点D，E，且BD2﹣DA2＝AC2．试说明∠A＝90°． 【解答】证明：如图，连接CD， ∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E， ∴CD＝DB， ∵BD2﹣DA2＝AC2， ∴CD2﹣DA2＝AC2， ∴CD2＝AD2+AC2， ∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°． 8．（2026秋•同步）在解答“判断由长为，2，线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中，小明是这样做的： 解：设a，b＝2，c．因为a2+b2＝（）2+22，c2，，所以由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形． 你认为小明的解答正确吗？请说明理由． 【解答】解：小明的解答不正确，理由如下： 设a，b＝2，c， ∵a2+c2＝（）2+（）24，b2＝4， ∴a2+c2＝b2， ∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形． 9．（2026春•四平期末）图1是放置在水平面上的可折叠式护眼灯，其中底座的高AB＝5cm，连杆BC＝30cm，灯罩CD＝20cm．如图2，转动BC、CD，使得∠BCD成平角，且灯罩端点D离桌面l的高度DH为45cm，求AH的距离． 【解答】解：过B点作BE⊥DH于E，如图2， ∵AB⊥l，DH⊥l， ∴四边形ABEH为矩形， ∴HE＝AB＝5cm，BE＝AH， ∵BD＝BC+CD＝30+20＝50（cm），DE＝DH﹣EH＝45﹣5＝40（cm）， ∴BE30（cm）， ∴AH的距离为30cm． 10．（2026春•老河口市月考）如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得CB＝2千米，CH＝1.6千米，HB＝1.2千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 【解答】解：（1）CH是从村庄C到河边的最近路； 理由是：在△CHB中， ∵CH2+BH2＝BC2， ∴CH⊥AB， ∴CH是从村庄C到河边的最近路； （2）设AC＝x，则AH＝x﹣1.2， 在Rt△ACH中，由勾股定理可得，AC2＝AH2+CH2， ∴x2＝（x﹣1.2）2+1.62， 解得：， 答：原来的路线AC的长为千米 11．（2026•渠县校级开学）小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作： ①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.7米． （1）求风筝的高度CE． （2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH的长度． 【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理，得：CD2＝252﹣152＝202， ∴CD＝20（米）， ∴CE＝CD+DE＝20+1.7＝21.7（米）， 答：风筝的高度CE为21.7米． （2）由等积法知：，解得：（米）． 在Rt△BDH中，由勾股定理得：， 答：BH的长度为9米． 12．（2026春•龙湖区期末）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°）． （1）请求出BD的长度； （2）根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【解答】解：（1）在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45， ∴BD＝3， 答：BD的长度为3． （2）该车符合安全标准，理由如下： 在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45， 在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形， 即∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD， ∴该车符合安全标准． 13．（2026秋•同步）比较下列各组数的大小： （1）与； （2）和． 【解答】解：（1）∵，∴1＞1，∴； （2）∵，0.375，0.382＞0.375， ∴． 14．（2026秋•同步）中国四大名绣之一的“粤绣”，借着海上丝绸之路的起点，从广州走向了世界．如图是一幅面积为110πcm2的粤绣扇面图，它的半径为xcm． （1）x是无理数吗？ （2）试估计x的整数部分是多少，十分位呢？ 【解答】解：（1）由题意得，πx2＝110π， 即x2＝110， ∴x（取正值）， ∴x是无理数； （2）∵102＝100，112＝121，而100＜110＜121， ∴1011， 即的整数部分是10， 又∵10.52＝110.25＞110，10.42＝108.16＜110， ∴10.410.5， ∵10.452＝109.2025＜110， ∴10.4510.5， ∴10.5（精确到0.1）， 即的十分位数字为5， 答：x的整数部分是10，十分位是5． 15．（2025秋•淮安期末）把下列各数分别填入相应的集合中： ﹣（﹣230），，0，﹣0.99，1.31，5，，3.14246792…，． （1）整数集合：{　﹣（﹣230），0，5　 …}； （2）非正数集合：{　0，﹣0.99，　 …}； （3）正有理数集合：{　﹣（﹣230），，1.31，5　 …}； （4）无理数集合：{　，3.14246792…，　 …}． 【解答】解：（1）整数集合：{﹣（﹣230），0，5，…}； （2）非正数集合：{0，﹣0.99，，…}； （3）正有理数集合：{﹣（﹣230），，1.31，5，…}； （4）无理数集合：{，3.14246792…，…}． 故答案为：（1）﹣（﹣230），0，5；（2）0，﹣0.99，；（3）﹣（﹣230），，1.31，5；（4），3.14246792…． 16．（2025秋•萧山区校级期中）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b． 例：比较和2的大小． 由“作差法”得，因为，所以，所以4＜0，所以． 请你根据上面的方法解决下列问题： （1）比较和1的大小； （2）比较和7的大小． 【解答】解：（1）根据题目中的作差法计算：， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．（2025秋•南京期末）求下列各式中x的值： （1）4x2﹣25＝0； （2）（2x﹣1）3+27＝0． 【解答】解：（1）4x2﹣25＝0， 4x2＝25， x2， ； （2）（2x﹣1）3+27＝0， （2x﹣1）3＝﹣27， 2x﹣1＝﹣3， x＝﹣1． 18．（2025秋•嘉峪关校级期末）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简． 【解答】解：由数轴得：c＜a＜0＜b，则a﹣b＜0，b﹣c＞0， ∴ ＝|a﹣b|﹣（b﹣c）+|c| ＝﹣a+b﹣b+c﹣c ＝﹣a． 19．（2025秋•烟台期末）已知3x﹣5的算术平方根是5，1﹣2y的立方根是﹣3． （1）求x，y的值； （2）求的平方根． 【解答】解：（1）由题意可得，3x﹣5＝25，1﹣2y＝﹣27， 解得x＝10，y＝14； （2）将x＝10，y＝14代入，得 6， ∴的平方根，即6的平方根为． 20．（2026秋•同步）[阅读材料] ∵，即，∴． ∴的整数部分为1．∴的小数部分为． [解决问题] （1）填空：的小数部分是　2　 ； （2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，则代数式的值是多少？ 【解答】解：（1）由题意，∵4＜7＜9， ∴， ∴． ∴的整数部分是2． ∴的小数部分是2． 故答案为：2； （2）由题意，∵9＜10＜16， ∴， ∴34． ∴的整数部分a是3． ∴的小数部分b是3． ∴（3）3﹣1＝（﹣3）2＝9． ∴代数式的值是9． 21．（2025秋•密云区月考）计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 22．（2026春•东莞市校级期中）我们规定用（a，b）表示有序数对．给出如下定义：记，，其中a＞0，b＞0，将（m，n）与（n，m）称为有序数对（a，b）的一对“对称数对”．例如；（4，1）的一对“对称数对”为和． （1）有序数对（4，3）的一对“对称数对”是 　和　 ； （2）若有序数对（5，y）的一对“对称数对”相同，则y的值为 　　 ； （3）若有序数对（x，2）的一个“对称数对”是，则x的值为 　　 ； （4）若有序数对（a，b）的一个“对称数对”是，求ab的值． 【解答】解：（1）∵， ∴有序数对（4，3）的一对“对称数对”是和， 故答案为：和； （2）∵有序数对（5，y）的一对“对称数对”相同， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵有序数对（x，2）的一个“对称数对”是， ∴， ∴， 故答案为：； （4）∵有序数对（a，b）的一个“对称数对”是， ∴或， ∴或， ∴或． 即ab的值为6或． 23．（2025秋•朝阳区校级期末）有一块长方形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加（即），宽AB增加（即）．得到一个面积为192cm2的正方形AGFE． （1）求长方形木板ABCD的面积； （2）木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 【解答】解：（1）由题意可得：正方形的边长为：， ∴，． ∴矩形ABCD木板的面积为． （2）木工乙的想法可行，理由如下： 从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为， ∴裁出长为：， 由（1）得长方形ABCD的长为宽为， ∵4，6，， ∴，， ∴可以裁出所求的长方形木料． ∴木工乙的想法可行． 24．（2026秋•宝安区校级同步）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知a，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的： ∵a， ∴a﹣2． ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）计算； （2）化简． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝﹣1+13 ＝12． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $