专题06 二次根式的六类培优综合题型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法-题型归纳-压轴挑战”为框架，系统提炼二次根式六类题型的解题方法，构建从性质应用到实际建模的知识逻辑链，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心解法|以实数性质为底线原则，统领化简、有理化等核心操作|立足二次根式概念本质，奠定方法基础| |题型归纳|6典例+16变式|性质化简用非负性，复合根式用拆数法，分母有理化用规律式，比较大小用平方差，求值用整体代入，实际应用建等量关系|从基础性质到综合应用，形成“概念-技能-应用”递进链| |压轴挑战|15道题|综合迁移各类方法，强化复杂情境中的推理与转化|聚焦中考高频难点，提升数学思维的系统性与创新性|

专题06 二次根式的六类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用二次根式的性质化简 题型二、复合二次根式的化简 题型三、分母有理化 题型四、比较二次根式的大小 题型五、利用二次根式化简求值 题型六、二次根式的实际应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二次根式是初中代数运算应用基础，所有题型均围绕二次根式化简、分母有理化、平方根与立方根综合及实际应用展开，解题贯穿基本底线原则：利用实数性质解决问题。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用二次根式的性质化简 典例 1若实数满足，则的值为（   ） A．-2 B．9 C．11 D．14 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件与二次根式的性质，先根据二次根式有意义确定的取值范围，再利用化简原式，最后解方程得到的值． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，即， 根据二次根式性质，化简原式 原等式左边 ∵，∴，∴ ， 原等式右边，∵，∴， 将化简结果代入原等式得 ， 移项得 ， 两边平方得 ， 解得． 题型模版 1.特征：利用二次根式的性质化简. 2.方法：解题突破点是根据已知求出未知数的值，另外要注意算术平方根、绝对值具有非负性的知识点的运用. 变式1-1已知，则的值为（   ） A． B．2 C．或2 D．或2 【答案】A 【分析】依据题意，设，，且，，从而，故，可得，再求出，即可得出答案． 【详解】解：由题意∵， ∴， ∴， 设，，且，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 若，即，则， ∴， 解得， ∴， ∴； 故选：A． 变式1-2化简后等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质：时，；时，；时，，二次根式有意义的条件．由题意得，得到，得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵被开方数非负， ∴， ∵， ∴，即， ∴且， ∴， 故选：C． 变式1-3若，则______． 【答案】2027 【分析】首先根据二次根式的意义确定m的取值范围，进而确定出的符号，然后对条件中的等式化简整理即可得解． 【详解】由 有意义，得， ， . ， 可化简为， ，即． 类型二、复合二次根式的化简 典例2．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将变成，即变成，从而使得得以化简． 例如： (1)请仿照上例化简：= ， ． (2)请运用上述方法化简．（写出计算过程） (3)若，且、、均为整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)a的值为8或16． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ； （3）解：∵，， ， ∵、均为整数，且， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴或． 题型模版 1.特征：复合二次根式的化简. 2.方法：对于形如的式子，可尝试将拆分为两个数的和，且，则原式可化为. 变式2-1阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：，善于思考的小敏进行了以下探索： 当a、b、m、n均为整数时，若，则有．，．这样小敏就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 例如：化简． 解：因为， 所以． 请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为整数时，若，用含、的式子分别表示a、b，则： ， ； (2)化简：； (3)已知，化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式将展开，再对应相等即可得出结果； （2）将被开方数，变形为，再结合二次根式的性质化简即可； （3）由，得出，再将根号里面的变成完全平方式，最后根据二次根式的性质化简即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 变式2-2阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照例题即可求解； （2）将化为，再利用二次根式的性质化简计算； （3）将变形为，再利用二次根式的性质化简计算． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵ ， 而，则 ∴； （3）解： ． 变式2-3小崔在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， (1)仿照小崔的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)化简：； (3)若（a，b，m，n均为正整数，为无理数），且m，n满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将7转化为，进行求解即可； （2）将其转化为完全平方的形式，再化简即可； （3）根据，得到，，结合a，b，m，n均为正整数，m，n满足，求出a，b的值即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ； （3）解：由 可知：，    ，b，m，n均为正整数，为无理数， ，     由可得：， ，        ， ， 正整数a，b可取或， 又∵b，m，n均为正整数，为无理数， ， ． 变式2-4【阅读材料】对于形如的式子，我们可以通过完全平方公式将其变形为的形式，并进行化简，其中，． 例如：． 或找，满足，，易知，，所以． (1)化简：； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简，利用完全平方公式将形如的式子化为的形式； （1）直接应用例题的方法求解； （2）分别化简后求和； （3）先把各项中分母的无理式变成的形式，再进行分母有理化后，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：设，，得，或，． ． （2）解：对于，设，，得，或，． ． 对于，同理，（）． 原式． （3）解： ． 题型三、分母有理化 典例3 观察下列计算：，，，… (1)______；______． (2)用含n的代数式表示你所发现的规律； (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) ； (2) 当为正整数时， (3) 【分析】（1）根据分母有理化的方法进行计算即可； （2）根据题干中提供的信息进行解答即可； （3）根据得出的规律，利用二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：， ， ， … ． （3）解： ． 题型模版 1.特征：分母有理化. 2.方法：根据分母有理化的方法进行计算即可. 变式3-1在数学课外学习活动中，小宇和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小宇的解题过程，解决如下问题： (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）可证明（n为正整数），据此把所求式子中的每一项分母有理化，再计算即可得到答案； （3）分母有理化得到，则可证明，把所求式子变形为，进一步可变形为，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）设n为正整数， 则 ， ∴ ； （3）解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 变式3-2观察下列运算． ①由得； ②由得； ③由得． …… (1)通过观察你得出什么规律？用含的式子表示出来． (2)利用（1）中你发现的规律计算： ． 【答案】(1)（n为正整数） (2) 【分析】（1）观察运算直接得出结论即可； （2）利用（1）中发现的规律先整理括号中的运算，再结合平方差公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题意可得运算为：（n为正整数）； （2）解： ． 变式3-3观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； 利用发现的规律解决下列问题： (1)化简式子 ；（为正整数）． (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：；（为正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干的式子，总结规律，即可作答． （2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答． （3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解： ． （3） ． 题型四、比较二次根式的大小 典例4比较大小：________． 【答案】＞ 【分析】因为 ，，所以，，从而得到． 【详解】解：因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 题型模版 1.特征：比较二次根式的大小. 2.方法：解题的关键是：①通过有理化消除分母中的无理数；②通过移项变形，利用完全平方公式比较大小 变式4-1比较大小：_____（填“>、<或=”）． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，判断两个数的正负性，根据有理数大小比较法则“负数小于正数”即可比较大小． 【详解】解：， ， ，， 可得， 根据负数小于正数，得． 变式4-2已知，，则a与b的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】可求出，比较出与的大小，即可得到与的大小关系，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 变式4-3已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 题型五、利用二次根式性质化简求值 典例5已知 ，，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D．15 【答案】B 【分析】设，得，通过平方差公式展开化简，再代入即可求出结果； 【详解】解：设， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为， ∴ 解得， 故 题型模版 1.特征：利用二次根式性质化简求值. 2.方法：根据根式非负性的性质求解. 变式5-1如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件判断b的符号，再利用二次根式性质化简，去绝对值后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴原式 ． 变式5-2已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】观察已知与所求式子的结构，利用平方差公式进行整体计算，即可得到结果． 【详解】解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴． 变式5-3已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合已知条件即可求解． 【详解】解：设 ∵， ， ∴， 解得：， 即． 题型六、二次根式的实际应用 典例6（跨学科融合）“高空抛物”是一种不文明的行为，即使是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，据研究，高空抛物下落的时间和高度近似满足公式（其中）． (1)当时，求下落的时间； (2)已知从高空坠落的物体所带能量10物体质量高度，一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在落地时所带能量有多大？ (3)在（2）的结果中，你能得到什么启示？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【答案】(1) (2) (3)即使质量很小的物体，从高空落下后携带的能量也足以伤害人体，因此要严禁高空抛物的不文明行为 【分析】(1)直接将已知的高度和重力加速度代入时间公式， 化简后计算算术平方根， 即可得到下落时间． (2)已知下落时间， 先将时间代入时间公式， 变形后求出下落高度， 再将高度和物体质量代入能量公式， 即可计算出钥匙落地时的能量． (3)将计算得到的钥匙能量与伤害人体所需的能量对比， 结合文明行为规范， 得出关于高空抛物的启示即可． 【详解】（1）解∶将代入公式计算∶ 答∶ 当时， 下落的时间为． （2）解：当时， ， 即， 解得， ∴ 答∶ 这串钥匙在落地时所带能量为． （3）解∶由计算结果可知， 说明即使质量很小的物体， 从高空落下后产生的能量也足够对人体造成伤害． 答∶ 即使质量很小的物体，从高空落下后携带的能量也足以伤害人体，因此要严禁高空抛物的不文明行为． 题型模版 1.特征：二次根式的实际应用. 2.方法：理解题目意思，列出等量关系式求解. 变式6-1黄金矩形是一种特殊的长方形，它比例和谐，外形美观，宽与长的比值为．数学活动课上，老师带领同学们运用已学的二次根式知识，按如下方式构造了黄金矩形，步骤如下： ①作正方形，边长； ②取的中点； ③以为圆心，为半径画弧，交延长线于点； ④过点作的垂线，交延长线于点． 经计算，该矩形的宽与长的比值为：，所以为黄金矩形． 素材1：；素材2：． 请选用以上任一素材解决以下问题： (1)化简：； (2)判断图中的长方形是否是黄金矩形，并说明理由． 【答案】(1) (2)长方形是黄金矩形，理由如下： ∵正方形中，， 又∵点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴长方形的宽与长的比值为：， ∴长方形是黄金矩形． 【分析】（1）运用素材2进行分母有理化，然后前后相消，即可计算出结果； （2）分别求出、，然后计算长方形的宽与长的比值，结合黄金矩形的定义即可得出结论． 【详解】（1）解： ； （2）略 变式6-2七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形组成，用七巧板可以拼出2600多种图形．如图，图中的正方形就是由七巧板无缝隙、无重叠地拼接而成（简称密铺）．如果设编号为④的三角形的面积为2． (1)直接写出四边形的周长与面积：_____，_____； (2)小明说：他可以用编号分别为③，④，⑤，⑥，⑦的五块板密铺出一个新的正方形，试求这个密铺出的新正方形的边长与面积，并在备用图中画出密铺之后新正方形的示意图（每块标注对应编号）． 【答案】(1)， (2)新正方形的边长为，面积为，示意图如图所示： 【分析】（1）先求出等腰直角三角形④的腰长，可得正方形⑥的边长，进而得到等腰直角三角形①的腰长，再分别求出等腰直角三角形①和④的底边长，即可求出，进而求出，即可求出四边形的周长与面积； （2）根据③，④，⑤，⑥，⑦五块板的面积和为，可得用③，④，⑤，⑥，⑦五块板密铺出一个新正方形的边长为，即可解答． 【详解】（1）解：∵编号为④的等腰直角三角形的面积为2， ∴等腰直角三角形④的腰长为， ∴正方形⑥的边长为， ∴等腰直角三角形①的腰长为， ∴等腰直角三角形①的底边长为， ∵等腰直角三角形④的底边长为， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为，面积为； （2）解：∵③，④，⑤，⑥，⑦五块板密铺出的正方形的面积刚好是的面积， ∴新正方形的面积为； ∴用③，④，⑤，⑥，⑦五块板密铺出一个新正方形的边长为， ∴新正方形的面积为； 示意图如下（略）． 变式6-3综合与实践 小若同学在学完《二次根式》后探究这样一个数学问题：“如果，那么”． 【直观感受】如图1，面积为，，，的正方形均放在数轴上，且所有正方形左下角顶点均与原点重合，数轴上标有它们的边长，，，．观察图形发现面积小的正方形，边长表示的数小；面积大的正方形，边长表示的数大，从而利用正方形面积大小判断算术平方根大小． (1)【画图探究】请你类比图1，在图2中画图探究“如果，那么”．（★注：这里画图探究过程无需严格尺规作图，只需要画出示意图） (2)【应用推理】当时，请你用探究得到的结论，求证：． (3)【拓展提升】记（为正整数，且），请你也用探究得到的结论，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵，且， ∴，即， ∴，即， ∴； (3)证明：∵为正整数，且， ∴， 又∵， ∴利用探究的结论可以得到， ∴． 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据且可得，再利用探究的结论即可证明； （3）将与进行比较，再根据和已知结论即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．比较大小：______（填） 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化和无理数的大小比较，解题的关键是通过有理化消除分母中的无理数． 通过分母有理化将 转化为 ，再与 比较大小即可得． 【详解】解： = × = = = ． 比较 和 ． ，， ，， ∴， ∴ ， ， 即 ． 故答案为：． 2．比较大小∶ _____ ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，通过计算两个表达式的差值，并判断差值的正负来比较大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．若，则的值为_____． 【答案】 【分析】利用平方差公式简化计算，通过换元法可快速求解，考察对平方差公式的灵活应用 【详解】解：设， 由题意得 ， ∴ ∵ ∴将代入得 解得 即所求 4．已知：，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，确定x、y的值是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入方程确定的值，然后代入代数式运用二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴且，解得． 将代入原方程，得， ∴． ∴ ． 故答案为：． 5．已知，求的值． 【答案】 【分析】现将分母有理化，得到，再移项，并将方程两边平方，得到，所以，即可得到答案． 【详解】解：， ， 两边平方，得， ， ． 6．阅读材料，解答下列问题：在对部分二次根式进行分母有理化时，我们将“”和“”称为一对“对偶式”，如，像这样构造“对偶式”可以将根号去掉，从而进行根式的化简． (1)的“对偶式”为__________； (2)化简：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“对偶式”的定义，两个含二次根式的式子相乘后不含根号，因为的对偶式为，所以直接对应构造即可． （2）因为分母是，属于带根号的差的形式，所以可以给分子分母同乘它的对偶式，利用平方差公式去掉分母的根号，完成分母有理化． （3）设所求式子为，已知式子为，因为两个式子相乘可以用平方差公式消去根号，得到只含常数的结果，且已知的值，所以通过计算的结果即可求出的值． 【详解】（1）解：根据材料定义：与互为对偶式，只需改变原式中间的符号， 因此的对偶式为． （2）解：利用对偶式分母有理化化简： ． （3）解：设， ， 根据平方差公式计算：， 因此． 7．如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为和的正方形纸片 A，B． (1)求原长方形纸片的周长． (2)写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积． (3)小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为的正方形纸片吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)阴影部分的长为，宽为，面积为6 (3)不能在长方形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片．理由见解析 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方，结合正方形的面积即可计算正方形纸片A的边长，正方形纸片B的边长，再得出原长方形纸片的长，宽，即可作答； （2）先找出图①中阴影部分的长和宽，再结合面积公式列式计算，即可作答． （3）先计算，则，据此即可作答． 【详解】（1）解：依题意，裁出的正方形纸片A的边长为； 裁出的正方形纸片B的边长为， 则原长方形纸片的长为，宽为， ∴周长为. （2）解：阴影部分的长正方形纸片A的边长， 即阴影部分的长为， 宽为 ∴阴影部分的宽为， ∴阴影部分的面积． （3）解：不能裁出，理由如下： ∵面积为的正方形纸片的边长为， 则， ∴不能在长方形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片． 8．【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． (1)化简： ； (2)【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形（）的宽．求黄金矩形中边的长； (3)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)矩形是黄金矩形．证明见解析 【分析】（1）模仿阅读材料中的方法，利用平方差公式，将分子和分母同时乘以分母的有理化因式，从而消去分母中的根号，达到化简的目的； （2）根据黄金矩形的定义建立方程关于的方程，即可求解； （3）先根据图形关系计算出新矩形的长和宽，然后计算新矩形的宽与长的比值；最后将该比值与黄金比 进行比较，若相等则为黄金矩形，反之则不是． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽， ∴， ∴=． （3）解：矩形是黄金矩形．理由如下： ∵ 黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形， ∴，， ∴=， 故矩形是黄金矩形． 9．定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2)2030 (3)4 【分析】（1）根据定义进行解答即可； （2）根据新定义得到，再代入变形后的代数式求解即可. （3）先利用新定义化简，再进行二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的定义得：关于1的“美好数”是； （2）解：∵y是关于4的“美好数”， ∴. ∴． （3）解： ． 11．阅读材料：小颖同学在学习二次根式时，发现：一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方．如：，． (1)类比归纳：①将含根号的式子直接写成另一个式子的平方的形式： ； ②的算术平方根是： ； (2)类比归纳：小颖同学进一步研究发现：形如式子的化简，如果我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有： ；（用含，的式子直接写出结果） (3)迁移应用：如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，，若这两个小正方形的面积分别为，，求剩余部分的面积（矩形与矩形的面积和）． 【答案】(1)①；② (2) (3)剩余部分的面积为 【分析】（1）利用完全平方公式的逆用，将根号内的表达式拆分为两个完全平方数之和与二倍积的形式． （2）将第(1)题的方法一般化：若，，则． （3）先利用第（2）题的结论化简正方形的边长，再由两个小正方形共用顶点且恰好拼满大正方形对角线方向，确定大正方形边长为两小正方形边长之和，最后用面积差求剩余面积． 【详解】（1）解：① ， ， ． 解：② ， ， ， ， 的算术平方根为． （2）解： ，， ， ， ， ． （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为． ， ． 化简： ， ， ， ， ，即， ． ， ． 由图形可知，两个小正方形共用顶点，分别位于大正方形的两个对角处， 大正方形的边长， ． 矩形和矩形的面积之和： ， ， ， ． 剩余部分（矩形和矩形）的面积之和为． 12．【阅读材料】 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)①（______）=（______）2； ②（_____+______）2； (2)若，当均为正整数时，用含的式子分别表示，得__________，__________； 【拓展提升】 (3)如图，正方形的面积为，正方形的面积为，求正方形的面积． 【答案】(1)①， ；② ， (2)，． (3)45 【分析】（1）对照完全平方公式，拆分根号外的整数为两个正整数的和，根号内的数为这两个正整数的乘积，匹配公式结构补全内容； （2）将等式右侧利用完全平方公式展开，对应等式左侧的有理部分和带根号部分，分别得到、的表达式； （3）因为正方形面积是边长的平方，所以先将两个已知正方形的面积化为完全平方形式，求出两个正方形的边长；再观察图形得出正方形的边长为两个小正方形边长之和，最后利用完全平方公式计算正方形的面积。 【详解】（1）① ； ② ． （2）解： 通过比较等式两边的有理部分和无理部分，可得： ，． （3）解：根据题意，正方形的面积为 。 ， 边长 (cm)。 正方形的面积为 ， 边长 (cm)。 由图可知，正方形 ABCD 的边长 ， 正方形 的面积为 13．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出________； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把分母有理化即可； （2）把算式中各部分进行分母有理化，再合并同类二次根式； （3）按照小明的方法，先把分母有理化，可得：，两边同时平方可得：，等式两边同时乘以可得：，然后利用整体代入法求出代数式的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， 即， ， ， ， ． 14．【激活经验】 小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 (1)________（，且为整数）． 【应用规律】 (2)_______ (3)如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干的例题，总结出规律即可； （2）根据（1）中的规律，化简每个式子，再求和即可； （3）先仿照（2）的过程，将式子化简可得，结合可判断，小数部分为，从而求出的值，最后计算出整数部分即可． 【详解】（1）解：总结规律可得，； （2）解：利用（1）的规律可得， ； （3）解：同理（2）可得， ∵， ∴， ∴原数的小数部分为， ∴，解得， ∴原数的整数部分为． 15．已知，，求的值． 【答案】970 【分析】首先把x和y进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是对x和y进行分母有理化及掌握二次根式的运算法则． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次根式的六类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用二次根式的性质化简 题型二、复合二次根式的化简 题型三、分母有理化 题型四、比较二次根式的大小 题型五、利用二次根式化简求值 题型六、二次根式的实际应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二次根式是初中代数运算应用基础，所有题型均围绕二次根式化简、分母有理化、平方根与立方根综合及实际应用展开，解题贯穿基本底线原则：利用实数性质解决问题。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用二次根式的性质化简 典例 1若实数满足，则的值为（   ） A．-2 B．9 C．11 D．14 题型模版 1.特征：利用二次根式的性质化简. 2.方法：解题突破点是根据已知求出未知数的值，另外要注意算术平方根、绝对值具有非负性的知识点的运用. 变式1-1已知，则的值为（   ） A． B．2 C．或2 D．或2 变式1-2化简后等于（   ） A． B． C． D． 变式1-3若，则______． 类型二、复合二次根式的化简 典例2．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将变成，即变成，从而使得得以化简． 例如： (1)请仿照上例化简：= ， ． (2)请运用上述方法化简．（写出计算过程） (3)若，且、、均为整数，求的值． 题型模版 1.特征：复合二次根式的化简. 2.方法：对于形如的式子，可尝试将拆分为两个数的和，且，则原式可化为. 变式2-1阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：，善于思考的小敏进行了以下探索： 当a、b、m、n均为整数时，若，则有．，．这样小敏就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 例如：化简． 解：因为， 所以． 请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为整数时，若，用含、的式子分别表示a、b，则： ， ； (2)化简：； (3)已知，化简：． 变式2-2阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 变式2-3小崔在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， (1)仿照小崔的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)化简：； (3)若（a，b，m，n均为正整数，为无理数），且m，n满足，求的值． 变式2-4【阅读材料】对于形如的式子，我们可以通过完全平方公式将其变形为的形式，并进行化简，其中，． 例如：． 或找，满足，，易知，，所以． (1)化简：； (2)计算：； (3)计算：． 题型三、分母有理化 典例3 观察下列计算：，，，… (1)______；______． (2)用含n的代数式表示你所发现的规律； (3)利用这一规律计算：． 题型模版 1.特征：分母有理化. 2.方法：根据分母有理化的方法进行计算即可. 变式3-1在数学课外学习活动中，小宇和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小宇的解题过程，解决如下问题： (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 变式3-2观察下列运算． ①由得； ②由得； ③由得． …… (1)通过观察你得出什么规律？用含的式子表示出来． (2)利用（1）中你发现的规律计算： ． 变式3-3观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； 利用发现的规律解决下列问题： (1)化简式子 ；（为正整数）． (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：；（为正整数）． 题型四、比较二次根式的大小 典例4比较大小：________． 题型模版 1.特征：比较二次根式的大小. 2.方法：解题的关键是：①通过有理化消除分母中的无理数；②通过移项变形，利用完全平方公式比较大小 变式4-1比较大小：_____（填“>、<或=”）． 变式4-2已知，，则a与b的大小关系为________． 变式4-3已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 题型五、利用二次根式性质化简求值 典例5已知 ，，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D．15 题型模版 1.特征：利用二次根式性质化简求值. 2.方法：根据根式非负性的性质求解. 变式5-1如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 变式5-2已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式5-3已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 题型六、二次根式的实际应用 典例6（跨学科融合）“高空抛物”是一种不文明的行为，即使是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，据研究，高空抛物下落的时间和高度近似满足公式（其中）． (1)当时，求下落的时间； (2)已知从高空坠落的物体所带能量10物体质量高度，一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在落地时所带能量有多大？ (3)在（2）的结果中，你能得到什么启示？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 题型模版 1.特征：二次根式的实际应用. 2.方法：理解题目意思，列出等量关系式求解. 变式6-1黄金矩形是一种特殊的长方形，它比例和谐，外形美观，宽与长的比值为．数学活动课上，老师带领同学们运用已学的二次根式知识，按如下方式构造了黄金矩形，步骤如下： ①作正方形，边长； ②取的中点； ③以为圆心，为半径画弧，交延长线于点； ④过点作的垂线，交延长线于点． 经计算，该矩形的宽与长的比值为：，所以为黄金矩形． 素材1：；素材2：． 请选用以上任一素材解决以下问题： (1)化简：； (2)判断图中的长方形是否是黄金矩形，并说明理由． 变式6-2七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形组成，用七巧板可以拼出2600多种图形．如图，图中的正方形就是由七巧板无缝隙、无重叠地拼接而成（简称密铺）．如果设编号为④的三角形的面积为2． (1)直接写出四边形的周长与面积：_____，_____； (2)小明说：他可以用编号分别为③，④，⑤，⑥，⑦的五块板密铺出一个新的正方形，试求这个密铺出的新正方形的边长与面积，并在备用图中画出密铺之后新正方形的示意图（每块标注对应编号）． 变式6-3综合与实践 小若同学在学完《二次根式》后探究这样一个数学问题：“如果，那么”． 【直观感受】如图1，面积为，，，的正方形均放在数轴上，且所有正方形左下角顶点均与原点重合，数轴上标有它们的边长，，，．观察图形发现面积小的正方形，边长表示的数小；面积大的正方形，边长表示的数大，从而利用正方形面积大小判断算术平方根大小． (1)【画图探究】请你类比图1，在图2中画图探究“如果，那么”．（★注：这里画图探究过程无需严格尺规作图，只需要画出示意图） (2)【应用推理】当时，请你用探究得到的结论，求证：． (3)【拓展提升】记（为正整数，且），请你也用探究得到的结论，求证：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．比较大小：______（填） 2．比较大小∶ _____ ． 3．若，则的值为_____． 4．已知：，则的值为______． 5．已知，求的值． 6．阅读材料，解答下列问题：在对部分二次根式进行分母有理化时，我们将“”和“”称为一对“对偶式”，如，像这样构造“对偶式”可以将根号去掉，从而进行根式的化简． (1)的“对偶式”为__________； (2)化简：； (3)已知，求的值． 7．如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为和的正方形纸片 A，B． (1)求原长方形纸片的周长． (2)写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积． (3)小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为的正方形纸片吗？请说明理由． 8．【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． (1)化简： ； (2)【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形（）的宽．求黄金矩形中边的长； (3)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 9．定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． 11．阅读材料：小颖同学在学习二次根式时，发现：一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方．如：，． (1)类比归纳：①将含根号的式子直接写成另一个式子的平方的形式： ； ②的算术平方根是： ； (2)类比归纳：小颖同学进一步研究发现：形如式子的化简，如果我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有： ；（用含，的式子直接写出结果） (3)迁移应用：如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，，若这两个小正方形的面积分别为，，求剩余部分的面积（矩形与矩形的面积和）． 12．【阅读材料】 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)①（______）=（______）2； ②（_____+______）2； (2)若，当均为正整数时，用含的式子分别表示，得__________，__________； 【拓展提升】 (3)如图，正方形的面积为，正方形的面积为，求正方形的面积． 13．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出________； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 14．【激活经验】 小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 (1)________（，且为整数）． 【应用规律】 (2)_______ (3)如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． 15．已知，，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $