2.4.2 圆的一般方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆的标准方程、一般方程及轨迹方程求法，通过类比直线方程研究过程，从确定圆心半径入手，以问题链引导推导一般方程，构建从几何要素到代数表达的学习支架。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，通过配方推理和分类讨论发展数学思维，用对比表格和规范步骤强化数学语言。如例2待定系数法求三点圆方程，例3相关点法求轨迹，帮助学生提升逻辑推理与应用能力，为教师提供系统教学流程和多样化例题。

复习巩固 1 知识点 1：圆的一般方程 问题 1：类比直线方程的研究过程，说说该如何研究圆的方程？ 确定圆的几何要素：圆心、半径 圆的标准方程 圆的一般式方程？ 思考：圆的方程是否也有一般式？ 问题 2：说出圆 (x – 1)2 + (y + 2)2 = 4 的圆心坐标、半径并展开该方程. 展开式：x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0. 圆心坐标：(1，– 2)；半径为 2； 思考：若展开圆的标准方程 (x – a)2 + (y – b)2 = r2 可以得到什么？ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 展开得： x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0， 由于 a，b，r 均为常数，可令 – 2a = D，– 2b = E， a2 + b2 – r2 = F， 结论：任何一个圆方程可以写成：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（2）的形式. 问题 3：形如 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（2）的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？ 反例：x2 + y2 – 2x – 4y + 6 = 0 变形为： (x – 1)2 + (y – 2)2 = – 1； 因为任意一个点的坐标 (x，y) 都不满足上述方程，即这个方程不表示任何图形； 所以形如（2）的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程. 结论：形如 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 （2）方程不一定是圆的方程. 思考：方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (2) 中的 D、 E、 F 满足什么条件时，这个方程表示圆？ 思考：方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (2) 中的 D、 E、 F 满足什么条件时，这个方程表示圆？ 将方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (2) 配方得： ①， （1）当D2 + E2 – 4F > 0时，方程(2)表示以 (，) 为圆心，为半径的圆； 结论：当 D2 + E2 – 4F > 0 时，方程（2）表示一个圆. （2）当D2 + E2 – 4F = 0时，方程(2)只有实数解 x = ，y = ，它表示一个点 (，)； （3）当D2 + E2 – 4F < 0时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形. 概念讲解 圆的一般方程 O x y A r M 概念讲解 圆的一般方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（D2 + E2 – 4F > 0） （1） x2 与 y2 系数相同并且不等于 0； （2）圆心：(，)，半径：. O x y A r M 思考：圆的标准方程与一般方程各有什么特点？ 圆的标准方程与圆的一般方程的特点 归纳小结 圆的标准方程与圆的一般方程的特点 归纳小结 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 (x－a)2 + (y－b)2 = r2 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 （D2 + E2 – 4F > 0） 圆心 半径长 特点 ① 易于看出圆心与半径； ② 方程几何特征明显； ① 特殊的二元二次方程； ② 方程代数特征明显. (a，b) (，) r 例 1：判断方程 x2 + y2 – 4mx + 2my + 20m – 20 = 0 能否表示圆. 若能表示圆，求出圆心和半径. 典例剖析 解：可直接利用 D2 + E2 – 4F > 0 是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数判断； 方法一：(– 4m)2 + (2m)2 – 4(20m – 20) = 16m2 + 4m2 – 80m + 80 = 20(m – 2)2； 例 1：判断方程 x2 + y2 – 4mx + 2my + 20m – 20 = 0 能否表示圆. 若能表示圆，求出圆心和半径. 典例剖析 解：可直接利用 D2 + E2 – 4F > 0 是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数判断； 方法一：(– 4m)2 + (2m)2 – 4(20m – 20) = 16m2 + 4m2 – 80m + 80 = 20(m – 2)2； 分类讨论：当 m = 2 时，它表示一个点；当 m ≠ 2 时，原方程表示一个圆； 此时，圆的圆心为 (2m，– m)，半径为 r = |m – 2|. 判断方程 x2 + y2 – 4mx + 2my + 20m – 20 = 0 能否表示圆. 方法二：原方程可化为(x – 2m)2 + (y + m)2 = 5(m – 2)2， 分类讨论：当 m = 2 时，它表示一个点；当 m ≠ 2 时，原方程表示一个圆； 此时，圆的圆心为 (2m，– m)，半径为 r = |m – 2|. 归纳小结 二元二次方程表示圆的两种判断方法 （1）计算 D2 + E2 – 4F 的值： ① 若其值为正，则表示圆； ② 若其值为0，则表示一个点； ③ 若其值为负，则不表示任何图形； （2）将该方程配方为 (x + )2 + (y + )2 = ，根据圆的标准方程来判断. 1. 判断下列方程能否表示圆的方程，若能，请化成圆的标准方程形式. （1）x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0； （2）2x2 + 2y2 – 12x + 4y = 0； 解：直接利用 D2 + E2 – 4F > 0 是否成立来判断即可； （1）(– 2)2 + 42 – 4×(– 4) = 36 > 0 ；可化为 (x – 1) 2 + (y + 2) 2 = 9； （2）先将方程二次项系数化为 1 得：x2 + y2 – 6x + 2y = 0 (– 6)2 + 22 = 40 > 0 ；可化为 (x – 3) 2 + (y + 1) 2 = 10. 练一练 例 2：求过三点 O (0，0)，M1 (1，1)，M2 (4，2) 的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 典例剖析 例 2：求过三点 O (0，0)，M1 (1，1)，M2 (4，2) 的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 典例剖析 解：设圆的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ①，因为三点都在圆上，所以 将三点分别代入方程得：，解得 ； 所以，所求圆的方程为 x2 + y2 – 8x + 6y = 0； 圆心为 (4，– 3)，半径为 r = = 5. 思考：与课本例2的方法比较，你有什么体会？ 归纳小结 待定系数法求圆的方程 （1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； （3）解出 a，b，r 或 D，E，F 得到标准方程或一般方程. 注意： ① 若知道或涉及圆心和半径，一般采用圆的标准方程较简单； ② 若已知三点求圆的方程，常常采用圆的一般方程用待定系数法求解. 轨迹：点在运动变化过程中形成的图形； 解析几何中，常把图形看作点的轨迹 (集合)； 知识点 2：与圆有关的简单的轨迹方程 例 3：已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4，3)，端点 A 在圆 (x + 1)2 + y2 = 4 上运动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. O x y B (4，3) A (x0，y0) M (x，y) M 的轨迹方程：点M 的坐标 (x，y) 满足的关系式. 分析：点 A 的运动引起点 M 运动，而点 A 在已知圆上运动，即点 A 的坐标满足圆的方程 (x + 1)2 + y2 = 4；建立点 M 与点 A 坐标之间的关系，就可以建立点 M 的坐标满足的条件，从而求出点 M 的轨迹方程. 已知B(4，3)，A在圆(x + 1)2 + y2 = 4上运动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. O x y B (4，3) A (x0，y0) M (x，y) 已知B(4，3)，A在圆(x + 1)2 + y2 = 4上运动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. O x y B (4，3) A (x0，y0) M (x，y) 解：设点 M 的坐标为 (x，y)，点 A 的坐标是 (x0，y0) 又点 B 坐标为 (4，3)，M 线段 AB 的中点，所以 x= ，y= ，即：x0 = 2x – 4，y0 = 2y – 3 ① 因为点 A 在圆 (x + 1)2 + y2 = 4上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即 (x0 + 1)2 + y02 = 4 ②， 将 ① 代入 ② 中得：(2x – 4 + 1)2 + (2y – 3)2 = 4，即 (x – )2 + (y – )2 = 1. 上述方程即是点 M 的轨迹方程，它表示以 (，) 为圆心，半径为1的圆. 归纳小结 相关点法求轨迹方程 （1）设动点坐标为 (𝑥，𝑦) (求谁设谁)； （2）用动点坐标把相关点的坐标表示出来； （3）把相关点的坐标代入已知的轨迹方程； （4）整理化简，得到动点的轨迹方程. O x y B (4，3) A (x0，y0) M (x，y) 已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比是1：2，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹形状 练一练 $