2.4.1圆的标准方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆的定义及标准方程，通过圆规画圆、摩天轮情境导入，从具体轨迹问题抽象出坐标描述需求，搭建“定义推导应用”学习支架，衔接直线方程知识。 其亮点在于以情境驱动数学眼光观察现实，如摩天轮问题引导抽象轨迹，通过推导及直接法、几何法等培养数学思维，例题2用中垂线求圆心体现逻辑推理，小结归纳“定义方程方法”助力数学语言表达。帮助学生发展抽象与运算能力，为教师提供素养导向的结构化教学资源。

圆的标准方程 2.4.1 圆的标准方程 · 新授课 人教A版 选择性必修第一册 · 第二章 直线和圆的方程 到定点的距离等于定长，轨迹成圆 (x − a + (y − b = ，圆心半径一目了然 开场：今天学习圆的标准方程。先给出课题，强调'到定点距离等于定长'的轨迹思想，再进入情境。 学习目标 第 2 页 选择性必修第一册 · 2.4.1 圆的标准方程 1 理解圆的定义，掌握圆的标准方程及其推导 2 会根据条件求圆的标准方程（直接法、待定系数法、几何法） 3 会由圆的标准方程写出圆心坐标和半径 4 会判断点与圆的位置关系 5 体会坐标法研究曲线的思想方法 明确本课五个学习目标，课堂小结与这里呼应。 情境引入 · 圆规画出一个圆 第 3 页 选择性必修第一册 · 2.4.1 圆的标准方程 用圆规画圆：针尖固定在一个点 O，两脚张开定长 r，旋转一周。 笔尖留下的轨迹就是一个圆——圆周上任意一点到定点 O 的距离都等于 r。 问题：用坐标怎么描述这个“轨迹”？ 想一想 圆是“点的集合”： 到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。 把“距离等于定长”翻译成坐标等式，就是圆的方程。 x y O O M r 情境引入：圆规画圆直观呈现圆的定义——到定点距离等于定长的点的集合。 情境引入 · 摩天轮的“圆” 第 4 页 选择性必修第一册 · 2.4.1 圆的标准方程 摩天轮轮盘边缘上的每个座舱，到轮盘中心的距离都等于轮盘半径。 把轮盘看成一个圆：中心在坐标平面的某处，半径已知。 问题：怎样用一个坐标方程把整个轮盘“框”出来？ 做一做 设圆心为 C(a, b)，半径为 r， 圆上任意一点 M(x, y) 满足什么等式？ ——先列出“距离条件”，再化简。 x y O C(a, b) M(x, y) r 情境引入：摩天轮问题引导学生把几何轨迹转化为坐标等式，自然过渡到标准方程的推导。 探究一 · 由定义推导标准方程 第 5 页 选择性必修第一册 · 2.4.1 圆的标准方程 设圆心为 C(a, b)，半径为 r。圆上任取一点 M(x, y)，由定义： |CM| = r 即 = r 两边平方，得 (x − a + (y − b = 归纳：方程 (x − a + (y − b = （r > 0） 以 C(a, b) 为圆心、r 为半径的圆的标准方程。 反过来：坐标满足该方程的点，到 C 的距离都是 r，都在这个圆上。 由圆的定义出发，用两点间距离公式推导圆的标准方程，强调方程与轨迹的对应。 要点归纳 · 圆的标准方程 第 6 页 选择性必修第一册 · 2.4.1 圆的标准方程 圆心 C(a, b)、半径 r（r > 0）的圆的标准方程： (x − a + (y − b = 特例：圆心在原点时， + = ① 三个量确定一个圆：圆心坐标 a、b 和半径 r（三要素） ② 由方程读要素：标准方程中 (x − a)、(y − b) 的符号决定圆心位置 ③ 求标准方程的思路：直接法（找圆心求半径）、待定系数法（设 a、b、r 代点） 归纳圆的标准方程要点：三要素、读要素方法、两种求方程思路。 要点归纳 · 点与圆的位置关系 第 7 页 选择性必修第一册 · 2.4.1 圆的标准方程 点 P(, ) 与圆 (x − a + (y − b = ： 令 = ( − a + ( − b，比较 与 d² > r² 点 P 在圆外 d² = r² 点 P 在圆上 d² < r² 点 P 在圆内 本质：点到圆心距离与半径的大小比较。 点与圆的位置关系归结为距离平方与半径平方的比较，无需开方。 例题 1 · 求圆的标准方程 第 8 页 选择性必修第一册 · 2.4.1 圆的标准方程 例题 1 写出下列各圆的标准方程： (1) 圆心 C(−2, 3)，半径 5； (2) 圆心在原点，半径 ； (3) 圆心 C(1, −2)，且经过点 P(3, 0)。 提示：第 (3) 题需先由两点间距离公式求半径。 答案：(1) (x + 2 + (y − 3 = 25； (2) + = 3；(3) (x − 1 + (y + 2 = 8 例题1：直接写标准方程与先求半径再写方程。 例题 1 · 解析 第 9 页 选择性必修第一册 · 2.4.1 圆的标准方程 (1) 圆心 C(−2, 3)，半径 5 (x + 2 + (y − 3 = 25 (2) 圆心在原点，半径 + = 3 (3) = (3 − 1 + (0 + 2 = 8 → (x − 1 + (y + 2 = 8 前两问直接代入，第三问先求半径的平方。 例题 2 · 几何法求圆的方程 第 10 页 选择性必修第一册 · 2.4.1 圆的标准方程 例题 2 已知圆过 A(2, −3)、B(−2, −5)，且圆心在直线 x − 2y − 3 = 0 上，求圆的方程。 分析：圆心在弦 AB 的中垂线上，也在已知直线上——两线交点即圆心。 关键：圆上两点的连线是弦，圆心必在中垂线上。 答案：(x + 1 + (y + 2 = 10 例题2：几何法——弦的中垂线过圆心，与已知直线联立求圆心。 例题 2 · 解析 第 11 页 选择性必修第一册 · 2.4.1 圆的标准方程 弦 AB 的中点 (0, −4)， = = 中垂线斜率 −2：y + 4 = −2x，即 2x + y + 4 = 0 与 x − 2y − 3 = 0 联立，得圆心 C(−1, −2) = |CA = (2 + 1 + (−3 + 2 = 10 圆的方程：(x + 1 + (y + 2 = 10 方法归纳：找圆心（两线交点：中垂线 + 已知直线）→ 求半径（两点距离）。 演示几何法完整过程：中点、斜率、中垂线、联立求圆心、距离求半径。 例题 3 · 待定系数法求圆的方程 第 12 页 选择性必修第一册 · 2.4.1 圆的标准方程 例题 3 求过 A(0, 0)、B(1, 1)、C(4, 2) 三点的圆的标准方程，并求圆心和半径。 分析：三个独立条件确定一个圆（a、b、r 三个未知数）。 待定系数法：设 (x − a + (y − b = ，把三点坐标代入。 答案：(x − 4 + (y + 3 = 25，圆心 (4, −3)，半径 5 例题3：待定系数法，三个独立条件求 a、b、r。 例题 3 · 解析 第 13 页 选择性必修第一册 · 2.4.1 圆的标准方程 设 (x − a + (y − b = A： + = B：(1 − a + (1 − b = → a + b = 1 C：(4 − a + (2 − b = → 2a + b = 5 解得 a = 4，b = −3， = 25 圆的方程：(x − 4 + (y + 3 = 25 x y O A B C O′ 待定系数法：设方程、代点、解出 a、b、r。 方法对比 · 求圆的方程 第 14 页 选择性必修第一册 · 2.4.1 圆的标准方程 直接法 由题设直接求出圆心坐标和半径，再写标准方程 例：已知圆心与半径、圆心与切点 待定系数法 设 (x − a + (y − b = ，代入点的坐标，解出 a、b、r 例：过三点的圆 几何法 利用圆的几何性质（弦的中垂线过圆心等）先找圆心，再求半径 例：圆心在直线上且过两点 共同点：都要确定“圆心 + 半径”这两个要素。 比较三种求圆方程的方法，强调共同核心是确定圆心和半径。 课堂练习 1 · 圆的标准方程 第 15 页 选择性必修第一册 · 2.4.1 圆的标准方程 练习 1 写出圆心 C(−1, 2)、半径 r = 4 的圆的标准方程。 圆心 C(−1, 2)：a = −1，b = 2，r = 4 (x + 1 + (y − 2 = 16 练习1：直接代入标准方程。 课堂练习 2 · 点与圆的位置关系 第 16 页 选择性必修第一册 · 2.4.1 圆的标准方程 练习 2 判断点 P(2, 3) 与圆 (x − 1 + (y + 2 = 16 的位置关系。 (2 − 1 + (3 + 2 = 1 + 25 = 26 26 > 16 = ，所以点 P 在圆外 练习2：比较距离平方与半径平方。 课堂练习 3 · 圆心在原点 第 17 页 选择性必修第一册 · 2.4.1 圆的标准方程 练习 3 求圆心在原点且经过点 P(3, 4) 的圆的方程。 = |OP = + = 25 + = 25 练习3：圆心在原点的特例，半径即到点距离。 课堂练习 4 · 由方程读要素 第 18 页 选择性必修第一册 · 2.4.1 圆的标准方程 练习 4 写出圆 (x − 2 + (y + 3 = 9 的圆心坐标和半径。 对照 (x − a + (y − b = ：a = 2，b = −3， = 9 圆心 (2, −3)，半径 r = 3 练习4：由标准方程直接读出圆心和半径。 课堂练习 5 · 几何法 第 19 页 选择性必修第一册 · 2.4.1 圆的标准方程 练习 5 求过 A(0, 2)、B(4, 2) 且圆心在 x 轴上的圆的方程。 AB 的中垂线：x = 2（AB 水平，中垂线竖直） 与 x 轴（y = 0）交于圆心 C(2, 0) = (2 − 0 + (0 − 2 = 8 → (x − 2 + = 8 练习5：几何法，中垂线与 x 轴交点即圆心。 课堂练习 6 · 三角形外接圆 第 20 页 选择性必修第一册 · 2.4.1 圆的标准方程 练习 6 △ABC 的顶点 A(2, 3)、B(2, 5)、C(4, 3)，求外接圆的方程。 两条边上的中垂线交点即圆心： AB 中垂线 y = 4；AC 中垂线 x = 3 → 圆心 C(3, 4) = (3 − 2 + (4 − 3 = 2 (x − 3 + (y − 4 = 2 练习6：外接圆圆心即两条中垂线交点，几何法快捷。 思考题 1 · 以 AB 为弦的圆 第 21 页 选择性必修第一册 · 2.4.1 圆的标准方程 思考 1 已知点 A(0, 2)、B(4, 2)，求以 AB 为弦、半径为 2 的圆的方程。 |AB| = 4，弦心距 d = = = 0 圆心为弦 AB 的中点 (2, 2) 答案：(x − 2 + (y − 2 = 4 思考1：已知弦长和半径，用弦心距求圆心——垂径定理思想。 思考题 2 · 动点轨迹 第 22 页 选择性必修第一册 · 2.4.1 圆的标准方程 思考 2 动点 M 到 A(2, 0) 的距离等于它到 B(−2, 0) 的距离的 2 倍，求点 M 的轨迹方程。 设 M(x, y)： = 2 两边平方化简： + + x + 4 = 0 配方：(x + + = ，轨迹是圆 思考2：用距离公式建方程，化简得轨迹是圆——轨迹思想的应用。 课堂小结 第 23 页 选择性必修第一册 · 2.4.1 圆的标准方程 一个定义 到定点距离等于定长的点的集合（轨迹） 一个方程 (x − a + (y − b = ：圆心 C(a, b)，半径 r 一种比较 点与圆： 与 比较，> 外、= 上、< 内 三种方法 直接法、待定系数法、几何法——核心都是找圆心求半径 一个方程定圆，圆心半径一目了然——坐标让“轨迹”变得可算。 小结：'一定义、一方程、一比较、三方法'概括本课，回扣学习目标。 课后作业 第 24 页 选择性必修第一册 · 2.4.1 圆的标准方程 1 写出圆心 C(3, −4)、半径 2 的圆的标准方程 2 求过 A(2, −1)、B(4, 1) 且圆心在 x 轴上的圆的方程 3 圆 (x + 1 + (y − 3 = 12 的圆心坐标和半径 4 求过点 P(2, 3) 且与 x 轴、y 轴都相切的圆的方程 5 求过 A(1, 2)、B(−1, 0)、C(2, 1) 三点的圆的方程 答案：1. (x − 3 + (y + 4 = 8　2. (x − 3 + = 2　3. 圆心 (−1, 3)，半径 2 4. 圆心 (5 − 2, 5 − 2) 或 (5 + 2, 5 + 2)，半径对应 5 − 2 或 5 + 2　5. (x − + (y − = 作业：覆盖标准方程、几何法、待定系数法，难度递进。答案已附。 圆的标准方程 到定点的距离等于定长，轨迹成圆。 (x − a + (y − b = ，一个方程定圆。 结束页：总结本课核心，激励学生体会坐标法研究曲线的力量。 $