专题07 直线中对称与最值的问题 高频考点精练【10大考点】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题07 直线中对称与最值的问题高频考点精练 10大考点汇总 考点一　点关于点对称问题 考点二　点关于直线对称问题 考点三　直线关于点对称问题 考点四　直线关于直线对称问题 考点五　两点间距离最值问题 考点六　利用点到直线距离求最值 考点七　利用两条平行线距离求最值 考点八　线段和、差的最值问题 考点九　光线反射问题 考点十　将军饮马问题求最值 题型突破 考点一　点关于点对称问题 1．（25-26高二上·北京海淀·期中）已知点，若点A与点B关于点C对称，则C点坐标为________. 2．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）点关于点的对称点的坐标是__________. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选） (多选题)下列选项中两点关于对称的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知不同的两点关于点对称，则ab＝________. 考点二　点关于直线对称问题 5．（25-26高二上·江西·阶段检测）点关于直线对称的点的坐标为______. 6．（25-26高二上·北京·期末）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·陕西商洛·期中）（1）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程； （2）求点关于直线的对称点的坐标. 8．（25-26高二上·江苏连云港·期中）点关于直线的对称点坐标为__． 考点三　直线关于点对称问题 9．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 10．（25-26高二上·山东·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______． 11．（25-26高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为________． 12．（25-26高二上·重庆·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______. 考点四　直线关于直线对称问题 13．（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 14．（25-26高二·全国·课后作业）已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为______． 15．（25-26高二·全国·课后作业）求直线关于直线对称的直线的方程． 16．（25-26高二上·浙江·阶段检测）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（    ） A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0 考点五　两点间距离最值问题 17．（25-26高二上·湖北宜昌·期中）函数的最小值是（    ） A．5 B．4 C． D． 18．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点：对于函数，求的最小值. 19．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·广东广州·期中）若，则的最小值为___________. 考点六　利用点到直线距离求最值 21．（25-26高二上·江苏常州·期中）（多选）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线l过定点 B．原点O到直线l距离的最大值为 C．若点，到直线l的距离相等，则 D．若直线l不经过第四象限，则． 22．（25-26高二上·黑龙江·阶段检测）当点到直线的距离取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·北京·期中）到直线的距离不超过，则实数的取值范围是__________. 24．（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）若点到直线的距离不大于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点七　利用两条平行线距离求最值 25．（25-26高二·全国·寒假作业）过两点作两条平行线，分别求满足下列条件的两条平行线方程． (1)两平行线间的距离为4； (2)这两条平行线各自绕点和点旋转，使它们之间的距离取最大值． 26．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知，则直线与直线的距离的最大值为__________ 27．（25-26高二下·上海黄浦·期中）已知两平行线直线分别过点、，设此两平行直线之间的距离为，则的取值范围为________ 28．（25-26高二·全国·课后作业）直线经过点，直线经过点，且，表示和之间的距离，则的取值范围是______. 考点八　线段和、差的最值问题 29．（25-26高二上·陕西·期中）已知点在直线：上运动，点，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．1 30．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线：． (1)若直线m与平行，且m，之间的距离为，求m的方程； (2)P为上一点，点，，求取得最大值时点P的坐标． 31．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为______． 32．（26-27高二上·全国·课后作业）已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为______． 考点九　光线反射问题 33．（25-26高二上·河南南阳·期中）一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为__________. 34．（25-26高二上·山东泰安·期中）从点射出的光线沿与向量平行的直线射到轴上，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 35．（25-26高二上·上海·阶段检测）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为______. 36．（2026高二上·全国·专题练习）已知入射光线在直线上，经过x轴反射到直线上，再经过y轴反射到直线上．若点P是直线上某一点，则点P到直线的距离为________． 考点十　将军饮马问题求最值 37．（25-26高二上·安徽六安·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高三·陕西西安·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系xOy中,设军营所在平面区域为{(x,y)|x2+y2≤},河岸线所在直线方程为x+2y-4=0.假定将军从点P(,)处出发,只要到达军营所在区域即回到军营,当将军选择最短路程时,饮马点A的纵坐标为______.最短总路程为______ 39．（25-26高三上·福建·阶段检测）在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则当“将军饮马”的总路程最短时，将军去往河边饮马的行走路线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高二上·上海奉贤·阶段检测）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 直线中对称与最值的问题高频考点精练 10大考点汇总 考点一　点关于点对称问题 考点二　点关于直线对称问题 考点三　直线关于点对称问题 考点四　直线关于直线对称问题 考点五　两点间距离最值问题 考点六　利用点到直线距离求最值 考点七　利用两条平行线距离求最值 考点八　线段和、差的最值问题 考点九　光线反射问题 考点十　将军饮马问题求最值 题型突破 考点一　点关于点对称问题 1．（25-26高二上·北京海淀·期中）已知点，若点A与点B关于点C对称，则C点坐标为________. 【答案】 【分析】借助中点坐标公式计算即可得. 【详解】设，则有，，故. 故答案为：. 2．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）点关于点的对称点的坐标是__________. 【答案】 【分析】设点，由题意可知为线段的中点，利用中点坐标公式可求出点的坐标. 【详解】设点，由题意可知为线段的中点， 由中点坐标公式可得，解得， 因此点关于点的对称点的坐标是. 故答案为：. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选） (多选题)下列选项中两点关于对称的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】AC 【分析】根据中点坐标公式求解判断即可. 【详解】两点关于对称，即为两点连线的中点. 选项A：和的中点为，A正确. 选项B：和的中点为，B错误. 选项C：和的中点为，C正确. 选项D：和的中点为，D错误. 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知不同的两点关于点对称，则ab＝________. 【答案】 【分析】由点对称，应用中点公式列方程组求出参数，即可得结果. 【详解】由题意知，即，解得，故. 故答案为： 考点二　点关于直线对称问题 5．（25-26高二上·江西·阶段检测）点关于直线对称的点的坐标为______. 【答案】 【分析】设对称点坐标为，根据对称得到，再解方程组即可. 【详解】设所求对称点的坐标为， 则，解得，所求点坐标为. 故答案为：. 6．（25-26高二上·北京·期末）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】使用待定系数法结合直线对称的几何关系求解即可. 【详解】设对称点的坐标为则解得： 故选：B. 7．（25-26高二上·陕西商洛·期中）（1）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程； （2）求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设求直线方程为，代入点的坐标，求出的值，即可得出所求直线的方程； （2）设点，分析可知，线段的中点在直线上，由此可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标. 【详解】（1）根据题意，设所求直线方程为， 将点的坐标代入所求直线方程可得，解得， 故所求直线方程为； （2）设点，由题意可知，，线段的中点在直线上，且直线的斜率为， 所以，，解得，故点的坐标为. 8．（25-26高二上·江苏连云港·期中）点关于直线的对称点坐标为__． 【答案】 【分析】点关于直线对称，抓住“垂直”和“平分”，即可列出两个方程，求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点坐标为， 则， 解得a＝，b＝， ∴点关于直线的对称点坐标为． 故答案为：． 考点三　直线关于点对称问题 9．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 10．（25-26高二上·山东·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______． 【答案】 【分析】在直线上取点、，求出这两点关于点的对称点的坐标，并求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】在直线上取点、， 点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 直线的斜率为， 所以，所求直线方程为，即. 故答案为：. 11．（25-26高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为________． 【答案】 【分析】根据直线关于点对称，设上的点坐标，写出关于对称的点坐标，根据点在已知直线上求直线方程. 【详解】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为在直线l上，所以，即直线的方程为． 故答案为： 12．（25-26高二上·重庆·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______. 【答案】 【分析】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解. 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解之可得， 所以在直线上，代入即可得， 化简的，即. 故答案为： 考点四　直线关于直线对称问题 13．（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【分析】先求两直线的交点，再求另一点的对称点根据两点可求方程. 【详解】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A 14．（25-26高二·全国·课后作业）已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为______． 【答案】 【分析】解法一：在直线上取一点，则关于直线的对称点必在上，则在直线l上，且直线与直线l斜率的乘积等于，建立方程组解出，再由经过与的交点，由两点式可得直线的方程，即可得解； 解法二：利用二级结论，直线关于直线对称的直线方程，由式子决定，即可得到直线的方程. 【详解】解法一：在直线上取一点，不妨取，则关于直线的对称点必在上． 设，则，解得即． 设与的交点为，则由，得，即． 又经过点，所以由两点式得直线的方程为， 即． 故答案为：． 解法二：直线：关于直线：对称的直线方程为 ， 即，所以直线的方程为． 故答案为：． 15．（25-26高二·全国·课后作业）求直线关于直线对称的直线的方程． 【答案】 【分析】联立方程求两条直线的交点P，取直线上一点A，求其关于直线对称的对称点，则过P，的直线即为所求直线. 【详解】联立两直线方程，解得，即两直线的交点为， 取直线：上一点，设其关于直线：的对称点， 则，解得，即， 因为所求直线过，，方程为， 即. 16．（25-26高二上·浙江·阶段检测）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（    ） A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0 【答案】B 【分析】结合两平行线间的距离公式求得正确选项. 【详解】设对称直线方程为， ，解得或（舍去）. 所以所求直线方程为. 故选：B 考点五　两点间距离最值问题 17．（25-26高二上·湖北宜昌·期中）函数的最小值是（    ） A．5 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题将转化为点到两定点的距离和，然后利用将军饮马模型，得到距离最值即可. 【详解】， 则其几何意义为点到两定点的距离和，点表示为横坐标上的点，作出如图所示： 根据将军饮马模型，作出点关于轴对称点，连接，交轴于点， 则，此时直线的直线方程为 令，则，故当时，. 故选：A. 18．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点：对于函数，求的最小值. 【答案】 【分析】根据给定的条件，利用式子的几何意义，结合两点间距离及对称问题求解作答. 【详解】函数， 因此表示点到点的距离与到的距离之和，而点在轴上，点关于轴的对称点， 于是得，当且仅当点共线，即P与原点重合，时取等号， 所以当时，取得最小值. 19．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记点、、，可得出，数形结合可求得的最小值. 【详解】因为， 记点、、，则， 当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，即的最小值为. 故选：C. 20．（25-26高二上·广东广州·期中）若，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】根据题意并结合两点间的距离公式，将原不等式转化为，其中是轴上的动点，是轴上的动点，，是定点，根据距离的几何意义和对称关系，可知当、、、四点共线时，取得最小值，则，最后利用两点间的距离公式即可求得结果. 【详解】解：将配方得： ， 根据两点间的距离公式可知， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 其中是轴上的动点，是轴上的动点，，是定点， 所以， 如图，作关于轴的对称点，关于轴的对称点， 所以要求的最小值， 则需求的最小值， 可知当、、、四点共线时，取得最小值， 即， 所以的最小值为. 故答案为：. 考点六　利用点到直线距离求最值 21．（25-26高二上·江苏常州·期中）（多选）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线l过定点 B．原点O到直线l距离的最大值为 C．若点，到直线l的距离相等，则 D．若直线l不经过第四象限，则． 【答案】ABD 【分析】A选项，变形后，得到方程组，求出定点坐标；B选项，直线l过定点，故最大值为；C选项，由点到直线距离公式得到方程，求出或-2；D选项，数形结合得到时满足要求，从而得到不等式，求出答案. 【详解】A选项，， 令，解得， 故直线l过定点，A正确； B选项，由A选项知，直线l过定点， 故原点O到直线l距离的最大值为，B正确； C选项，点，到直线l的距离相等， 故， 故，解得或-2，C错误； D选项，直线不经过第四象限， 当时，满足要求，此时斜率为0， 当经过原点时，，解得， 此时，斜率为1， 数形结合得到，当时，满足要求， 即，解得，D正确. 故选：ABD 22．（25-26高二上·黑龙江·阶段检测）当点到直线的距离取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线的方程化为点斜式，确定直线所过的定点；当点到直线的距离最大时，直线与和定点的连线垂直，通过斜率关系求解的值. 【详解】∵直线，可变形为，恒过定点， ∴当点到直线的距离取最大值时，. 直线的斜率， 直线的斜率为，且， 两直线斜率之积为，即，代入可得：，解得. 故选：C. 23．（25-26高二上·北京·期中）到直线的距离不超过，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】直接利用点到直线的距离公式得到不等式，解得即可. 【详解】因为到直线的距离不超过， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 24．（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）若点到直线的距离不大于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离公式列出不等式即可求解. 【详解】由点到直线的距离公式及题意可得到直线的距离， 再由题意可得，整理可得：， 解得， 故选：A. 考点七　利用两条平行线距离求最值 25．（25-26高二·全国·寒假作业）过两点作两条平行线，分别求满足下列条件的两条平行线方程． (1)两平行线间的距离为4； (2)这两条平行线各自绕点和点旋转，使它们之间的距离取最大值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）结合点到直线的距离公式，分两直线的斜率都不存在与两直线的斜率都存在进行讨论即可得； （2）结合（1）中所得与点到直线的距离公式，分两直线的斜率都不存在与两直线的斜率都存在进行讨论即可得. 【详解】（1）当两直线的斜率都不存在时，方程分别为，满足题意； 当两直线的斜率都存在时，设方程分别为与， 即与， 由题意得，解得， 所以所求的直线方程分别为， 综上，所求的直线方程为或； （2）由（1）知，当两直线的斜率都不存在时，； 当两直线的斜率都存在时，， 则，即有， ，故， 即，由，解得，故， 此时有，即，解得， 此时对有， 对有， 即此时两直线的方程分别为. 26．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知，则直线与直线的距离的最大值为__________ 【答案】 【分析】由平行线间的距离公式得化简求最值即可. 【详解】因为直线与直线 平行， 所以由平行线间的距离公式得== ，所以当m=1时，d = . 故答案为. 【点睛】本题考查的是平行线间的距离公式和二次函数求最值的问题，属于基础题. 27．（25-26高二下·上海黄浦·期中）已知两平行线直线分别过点、，设此两平行直线之间的距离为，则的取值范围为________ 【答案】 【分析】根据极限的思想分析,当两平行线无限接近于重合,即过两条直线均过、时距离最小；距离最大时为、之间的距离. 【详解】由题意,当两平行线无限接近于重合时距离无限接近于0,距离最大时两条平行线均与直线垂直,此时为、之间的距离. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了极限的思想在解决平面直线距离中的运用,属于中题. 28．（25-26高二·全国·课后作业）直线经过点，直线经过点，且，表示和之间的距离，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题意可知当，与过，两点的直线垂直时，取得最大值，从而可得答案 【详解】当，与过，两点的直线垂直时，， 故答案为： 考点八　线段和、差的最值问题 29．（25-26高二上·陕西·期中）已知点在直线：上运动，点，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】可以验证点与点关于直线对称，从而，结合三角不等式即可得解. 【详解】 设，注意到点，，所以中点为，满足， 且，所以点关于直线对称， 从而，等号成立当且仅当三点共线， 所以的最大值为. 故选：A. 30．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线：． (1)若直线m与平行，且m，之间的距离为，求m的方程； (2)P为上一点，点，，求取得最大值时点P的坐标． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）设出直线m的方程，利用平行线间距离公式列式求解. （2）求出点关于直线的对称点坐标，结合图形，利用线段和差关系确定点位置，进而求出其坐标. 【详解】（1）由直线m与平行，设直线m的方程为， 由m，之间的距离为，得，解得或， 所以直线m的方程为或. （2）设点关于直线：的对称点为， 则，解得，即， 而，当且仅当三点共线时取等号， 直线的方程为，即， 由，解得，点， 所以取得最大值时点P的坐标.    31．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为______． 【答案】 【分析】先求出定点和的坐标，分析得到两条直线互相垂直，从而得到，最后设，在直角三角形中将和表示为的式子，利用三角函数的性质求最值即可求解. 【详解】可以转化为，故直线过定点， 可以转化为，故直线过定点， 由和满足， 所以两条直线互相垂直，可得， 所以，可得， 设为锐角，则，， 所以， 当时，取最大值. 故答案为：. 32．（26-27高二上·全国·课后作业）已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为______． 【答案】 【分析】找到点关于直线的对称点，即可得到即为的最小值. 【详解】    如图所示，设点关于直线的对称点为，则，， 连接， ， 则即为的最小值， ， 所以为的最小值为． 考点九　光线反射问题 33．（25-26高二上·河南南阳·期中）一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为__________. 【答案】 【分析】先求出点关于轴的对称点，然后利用两点求出斜率，代入点斜式直线方程求解即可. 【详解】点关于轴的对称点为，则反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为即，即. 故答案为： 34．（25-26高二上·山东泰安·期中）从点射出的光线沿与向量平行的直线射到轴上，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得从点射出的光线所在直线方程，再求得其关于轴对称的直线方程即可解决. 【详解】与向量平行的直线的斜率为2， 则从点射出的光线所在直线方程为， 在直线上取二点，， ，关于轴的对称点分别为，， 则所求反射光线所在直线经过，两点，， 故所求反射光线所在直线方程为，即， 故选：C 35．（25-26高二上·上海·阶段检测）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为______. 【答案】 【分析】先根据点关于直线对称得出，求的斜率，最后结合点斜式写出直线方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以． 又点的坐标为，所以，直线的方程为， 由对称性可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为： 36．（2026高二上·全国·专题练习）已知入射光线在直线上，经过x轴反射到直线上，再经过y轴反射到直线上．若点P是直线上某一点，则点P到直线的距离为________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是利用反射求直线方程，然后根据直线方程求点到直线的距离，由于是平行直线上的点，转化为求两平行直线间的距离即可. 【详解】如图所示， 结合图形可知，直线，则直线上一点P到直线的距离即为与之间的距离． 由题意知与关于x轴对称，故的方程为，与关于y轴对称， 故的方程为，即． 由两平行线间的距离公式，得与间的距离， 即点P到直线的距离为． 故答案为：  . 考点十　将军饮马问题求最值 37．（25-26高二上·安徽六安·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点A关于直线的对称点坐标，再由两点间距离公式计算可得结果． 【详解】设关于直线的对称点，如图所示， 则且，解得，即， 则， 在直线上取点P，由对称性可得， 所以， 当且仅当B、P、C三点共线时，等号成立， 所以，“将军饮马”的最短总路程为． 故选：B． 38．（25-26高三·陕西西安·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系xOy中,设军营所在平面区域为{(x,y)|x2+y2≤},河岸线所在直线方程为x+2y-4=0.假定将军从点P(,)处出发,只要到达军营所在区域即回到军营,当将军选择最短路程时,饮马点A的纵坐标为______.最短总路程为______ 【答案】 【分析】求出P(,)关于直线x+2y4=0的对称点P'的坐标，再求出线段OP'与直线x+2y-4=0的交点A,再利用圆的几何性质可得结果. 【详解】设P(,)关于直线x+2y4=0的对称点为P'(m,n), 则解得 因为从点P到军营总路程最短,所以A为线段OP'与直线x+2y4=0的交点, 联立得y=(42y),解得y=. 所以“将军饮马”的最短总路程为=，故答案为，. 【点睛】本题主要考查对称问题以及圆的几何性质，属于中档题. 解析几何中点对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且 点 在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解. 39．（25-26高三上·福建·阶段检测）在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则当“将军饮马”的总路程最短时，将军去往河边饮马的行走路线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求圆心C关于直线的对称点B的坐标，结合图形分析可得. 【详解】军营所在区域为，即军营在以为圆心，1为半径的圆内和圆上. 设圆心C关于直线的对称点的坐标为B， 则，解得. 如图，由对称性可知， 所以，当将军去往河边饮马的行走路线所在的直线经过，两点时，“将军饮马”的总路程最短， 因为，所以该直线方程为，即. 故选：B 40．（25-26高二上·上海奉贤·阶段检测）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【答案】B 【分析】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 三点共线满足题意，其中点为点关于直线的对称点，对于A，由根据被垂直平分求出的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间距离公式求解即可. 【详解】如图所示： 由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为， 三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确； 对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确； 对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D错误. 故选：B. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $