阶段测评2 直线的方程-（配套练习）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

**基本信息** 本阶段测评聚焦直线方程单元，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一概念到复杂问题的递进，强化运算能力与推理意识，适配单元复习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|交点坐标、倾斜角、距离公式|直接应用概念，如交点象限判断，强化基础运算| |能力提升|平行垂直关系、对称问题、截距应用|结合几何直观，如倾斜角分类讨论，培养推理意识| |综合应用|中线、反射、三角形存在性|多知识点融合，如对称点求最值，发展模型意识|

阶段测评(二)　直线的方程 (时间：50分钟　满分：100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线2x＋y＋1＝0与直线x－y＋2＝0的交点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　联立解得 ∴交点(－1，1)在第二象限． 答案　B 2．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为(　　) A．α B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α 解析　如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α，故选D. 答案　D 3．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于(　　) A．5 B．4 C．2 D．2 解析　设A(x，0)，B(0，y)， 由中点公式得x＝4，y＝－2， 则由两点间的距离公式得|AB|＝＝＝2. 答案　C 4．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为(　　) A．，1 B．，－1 C．－，1 D．－，－1 解析　∵直线x－y－＝0的斜率为，∴直线x－y－＝0的倾斜角α满足tan α＝，得α＝60°，由此可得直线ax＋by－1＝0的倾斜角为2α＝120°，则直线ax＋by－1＝0的斜率为tan 120°＝－.∵直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，∴直线ax＋by－1＝0的方程为y＝－x－1，即－x－y－1＝0，可得a＝－，b＝－1，故选D. 答案　D 5．过直线3x－2y＋3＝0与直线x＋y－4＝0的交点，且与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程为(　　) A．2x＋y－5＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x＋2y－7＝0 D．x－2y＋5＝0 解析　由得∴交点坐标为(1，3).设与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程为2x＋y＋C＝0(C≠－1)，把点(1，3)的坐标代入，得2＋3＋C＝0，解得C＝－5，∴所求直线方程为2x＋y－5＝0，故选A. 答案　A 6．已知点A(3，－1)，B(5，－2)，且点P在直线x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，则P点坐标是(　　) A．(1，－1) B．(－1，1) C． D．(－2，2) 解析　点A(3，－1)关于直线x＋y＝0的对称点为A′(1，－3)，直线A′B与直线x＋y＝0的交点即为所求的点，直线A′B的方程为＝，即y＝x－，与x＋y＝0联立解得x＝，y＝－. 答案　C 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．(2025·乌鲁木齐期末)下列说法正确的是(　　) A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点(k，b)在第三象限 B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3，2) C．斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线的方程为y＝－2x±3 D．过点(2，－1)且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－(x－2) 解析　因为直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，所以有k<0，b>0，因此点(k，b)在第二象限，所以选项A错误；由y＝ax－3a＋2⇒y－2＝a(x－3)，所以直线y＝ax－3a＋2过定点(3，2)，因此选项B正确；斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线的方程为y＝－2x＋3，所以选项C错误；过点(2，－1)且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)，所以选项D正确．故选BD. 答案　BD 8．(2025·吉安期末)已知点M(a－3，2)，N(a，2)，且点P在直线l：x＋y＋1＝0上，则下列说法正确的是(　　) A．||PM|－|PN||的最大值为3 B．若线段MN与直线l有交点，则－3≤a≤0 C．当a＝3时，存在点P，使得PM⊥PN D．当a＝1时，△PMN周长的最小值为＋3 解析　对于A，由点M(a－3，2)，N(a，2)可知M，N两点的纵坐标相同， 即MN平行于x轴，且MN的长度为3， 因此||PM|－|PN||的最大值为MN的长度3，即A正确； 对于B，易知MN的方程为y＝2，可知直线l：x＋y＋1＝0与y＝2的交点坐标为(－3，2)， 若线段MN与直线l有交点，可得a－3≤－3≤a，解得－3≤a≤0，即B正确； 对于C，当a＝3时，可得M(0，2)，N(3，2)， 以MN为直径的圆方程为＋(y－2)2＝， 显然圆心到直线l：x＋y＋1＝0的距离为d＝＝>r＝， 即直线与圆相离，没有交点，所以不存在点P，使得PM⊥PN，即C错误； 对于D，当a＝1时，M(－2，2)，N(1，2)，设M关于直线l：x＋y＋1＝0的对称点坐标为M1(a，b)， 可得解得 即M1(－3，1)，如下图所示： 显然△PMN的周长为|MN|＋|PM|＋|PN|＝3＋|PM1|＋|PN|≥3＋|NM1|＝＋3，即D正确．故选ABD. 答案　ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9．已知不同的两点P(a，－b)与Q(b＋1，a－1)关于点(3，4)对称，则ab＝________． 解析　由题意知 即解得故ab＝－14. 答案　－14 10．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是______________________． 解析　①若直线过原点，则k＝－， ∴直线方程为y＝－x，即4x＋3y＝0. ②若直线不过原点，则设直线方程为＋＝1， 即x＋y＝a. ∴a＝3＋(－4)＝－1， ∴直线方程为x＋y＋1＝0. 综上，所求直线方程为4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0. 答案　4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0 11．若直线l1：y＝kx＋1与直线l2关于点(2，3)对称，则直线l2恒过定点________，l1与l2的距离的最大值是________． 解析　∵直线l1：y＝kx＋1经过定点(0，1)， 又两直线关于点(2，3)对称， 则两直线经过的定点也关于点(2，3)对称， ∴直线l2恒过定点(4，5)， ∴l1与l2的距离的最大值就是两定点之间的距离，即为＝4. 答案　(4，5)　4 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．(13分)(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求实数m的值； (2)已知直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，求实数a的值． 解析　(1)由2×3－m(m＋1)＝0，得m＝－3或m＝2. 当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0. 显然l1与l2不重合，∴l1∥l2. 同理，当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，l1∥l2，故m的值为2或－3. (2)由直线l1⊥l2，得 (a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0， 解得a＝±1. 故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2. 13．(15分)已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0.求： (1)顶点C的坐标； (2)直线BC的方程． 解析　(1)因为AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，所以kAC＝－2， 又点A(5，1)， 所以AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0. 又AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0， 由得所以C(4，3). (2)设B(m，n)， 则AB的中点M在中线CM上， 所以2×－－5＝0， 即2m－n－1＝0. 又点B(m，n)在高BH所在直线上， 所以m－2n－5＝0. 由解得 所以B(－1，－3). 所以直线BC的方程为＝， 即6x－5y－9＝0. 14．(15分)已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1，2)处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A. (1)试判断由此得到的△ABC的个数； (2)求直线BC的方程． 解析　(1)如图，设B(m，0)，点A关于x轴的对称点A′(1，－2)，点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为B′(－3，m＋3).根据光学知识，知点C在直线A′B上，点C又在直线B′A上，且直线A′B的方程为y＝(x－m). 由得x＝. 又直线AB′的方程为y－2＝(x－1)， 由 得x＝. 所以＝，即3m2＋8m－3＝0， 解得m＝或－3. 当m＝时，符合题意； 当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形．综上，符合题意的△ABC只有1个． (2)由(1)得m＝， 则直线A′B的方程为3x＋y－1＝0， 即直线BC的方程为3x＋y－1＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $